【文档说明】机械现代控制工程5 稳定性 [恢复].pptx，共(45)页，1.201 MB，由精品优选上传

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5系统的稳定性机械工程控制基础5.1系统稳定性的初步概念5.2Routh（劳斯）稳定判据5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据5.4Bode（伯德）稳定判据5.5系统的相对稳定性机械工程控制基础5.1系统稳定性的初步概念1稳定性的概念稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判

定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。机械工程

控制基础2稳定的充要条件系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部，或所有闭环特征根均位于左半s平面。0)(lim=→tkt根据系统稳定的定义，若,则系统是稳定的。)()()()()()()()()(212

1nnmmsssazszszsbsDsMs−−−−−−==12112()nniiniAAAAsssss==+++=−−−−==++=nititnttinieAeAeAeAtk1212)(

0lim)(lim1=→→==nitittieAtkni,,2,1=必要性：0i充分性：0ini,,2,1=0)(1=→→=nittiieAtk5.1系统稳定性的初步概念机械工

程控制基础5.2Routh（劳斯）稳定判据避免直接求解特征根，讨论特征根的分布0)(0111=++++=−−asasasasDnnnn(1)必要条件)0(na0ia1,,2,1,0−=ni说明：0128296)(2345=++−++

=ssssssD)3)(2)(1()(+++=ssssD)3)(23(2+++=sss611623+++=sssssss2)2)(1(2+=++2++s232++ss)3)(23(2+++ssssss2323++=6932++ss611623+++=sss08

964)(245=++++=sssssD010275)(234=−−−−−=sssssD例1不稳定不稳定可能稳定机械工程控制基础5.2Routh（劳斯）稳定判据0)(012211=+++++=−−−−asasasasasDn

nnnnn(2)劳斯（Routh）判据0321sssssnnnn−−−劳斯表642−−−nnnnaaaa7531−−−−nnnnaaaa4321bbbb4321cccc劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否

则系统不稳定且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数0a13211−−−−−=nnnnnaaaaab15412−−−−−=nnnnnaaaaab17613−−−−−=nnnnnaaaaab121311bbaabc

nn−−−=131512bbaabcnn−−−=141713bbaabcnn−−−=机械工程控制基础5.2Routh（劳斯）稳定判据s4s3s2s1s0解.列劳斯表171052劳斯表第一列元素变号2次，有2个正根，系统不稳定33184−5335335

275=−10501105=−331845331052533−=−10331841051033184=−−−101033184−例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0机械工程控制基础5.2Routh（劳斯）稳定判

据s3s2s1s0解.列劳斯表1-3e2劳斯表第一列元素变号2次，有2个正根，系统不稳定。2−−=−−ee230−例3：D(s)=s3-3s+2=0判定在右半平面的极点数。(3)劳斯判据特殊情况处理202=−−−某行第一列元素为0，而该行元素不全为0时:将此0改

为e，继续运算。机械工程控制基础5.2Routh（劳斯）稳定判据解.列劳斯表1123532025s5s4s3s2s1s0316380316320123=−380325353=−5250000例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2

+35s+25=0D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25机械工程控制基础5.2Routh（劳斯）稳定判据02552=+s出现全零行时：用上一行元素组

成辅助方程，将其对S求导一次，用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。列辅助方程：例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0()0102552+=+ssdsdD(s)=(s+j5)(s-j5)

(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0机械工程控制基础5.2Routh（劳斯）稳定判据解.列劳斯表1123532025s5s4s3s2s1s03163805250010250例4D(s)=s5+3

s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0机械工程控制基础5.2Routh（劳斯）稳定判据例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s+j5)

(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0计算劳斯表时,某一行各项全为零。这表明特征方程具有对称于原点的根:系统可能出现一对共轭虚根；或一对符号相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的复根。其根的数目总是偶数的这些对称于原点的根可由令辅助多项式等于零构成

的辅助方程求得02552=+s列辅助方程：S=±j5机械工程控制基础解.列劳斯表10-120-2s5s4s3s2s1s0000-216/e00224=−s8-20列辅助方程：例5D(s)=s5+2s4-s-2=0()082234==−ssdsde第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定=(s+2

)(s+1)(s-1)(s+j5)(s-j5)5.2Routh（劳斯）稳定判据机械工程控制基础(4)劳斯判据的应用例6某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益K的范

围。解依题意有()()()223)1(9131)(−−=−−=ssKssKsG()()()()01969193)(22=−+−+=−+−=KsKssKssD−−01069KK132K系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系5.2Routh（劳斯）稳定判据机械工程控制

基础例7系统结构图如右，(1)确定使系统稳定的参数(K,x)的范围;(2)当x=2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。解.(1))10020()(2++=sssKsGax100aKK=010010020)(2

3=+++=KssssDx0123ssss1001K10020x0201002000xxK−K1000K0xx20K5.2Routh（劳斯）稳定判据机械工程控制基础(2)当x=2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。0100100220)(23=+++=KssssD0

123ssss2316110037−K037100912K−61100−K61.0K12.9K当x=2时，进行平移变换：1−=ss1−=ss0)61100(233723=−+++=Ksss0100)1(100)1(40)1()(23=+−

+−+−=KssssD5.2Routh（劳斯）稳定判据机械工程控制基础问题讨论：(1)系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型，形式无关。(2)闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。nnnmsCsCsCssszszszsKs−++−+−=−−−−−−=221

12121)())(()())((*)(tntetneCCeCtk+++=2121)(闭环零点影响系数Ci，只会改变动态性能。闭环极点决定稳定性，也决定模态，同时影响稳定性和动态性能。(3)闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无直接关系。5.2Routh（劳斯）稳定判据机械工程控制基础5.

3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据系统稳定的充要条件—全部闭环极点均具有负的实部由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题代数稳定判据—Ruoth判据由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性可研究如何调整系统结构参数改善系统稳

定性及性能问题频域稳定判据—Nyquist判据对数稳定判据机械工程控制基础5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据1、Nyquist稳定判据的基本原理（1）映射原理Nyquist判据依据复变函数中的映射原理。设有复变函数S平面上的点,将按式映射到F(S

)平面上的相应点;零点将映射到F(S)平面上的原点,极点将映射到F(S)平面上的无限远点,而其它普通点将映射到F(S)平面上除原点外的有限值点。机械工程控制基础5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据映射原理：设C为s平面

上不经过F(s)的任何极点的封闭曲线，C中包含了F(s)的p个极点和z个零点，则当动点s顺时针在C上围绕一周时,映射到F(s)平面上的闭曲线将顺时针围绕坐标原点N次，且有N=z-p机械工程控制基础5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（2）特征函数F(

s)与G(S)H(S)的关系)()()()(*sNsMKsHsG=系统结构图如图所示设)()(1)()(sHsGsGs+=))()((321*pspspsK−−−=)()(1)(sHsGsF+=令))()(()())()((321*321

pspspssMKpspsps−−−+−−−=))()(())()(()()(321321pspspsssssNsD−−−−−−==)()()()()(1**sNsMKsNsNsMK+=+=机械工程控制基础F(s

)的特点极点pi:开环极点零点i:闭环极点个数相同5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据◆F(s)的零点就是闭环传递函数的极点。◆F(s)的极点就是开环传递函数的极点;)()(1)(jHjGjF+=机械工程控制基础设F(s)在右半s平面有))()(())()(()

(321321pspspssssjF−−−−−−=P个极点(开环极点)Z个零点(闭环极点)Z=2P=1s绕包围整个右半平面的奈氏路径顺时针转过一周，NPZjF2)(2)(−=−−=F(j)绕[F]平面原点转过的角度jF()为PNZ+=2−2−2

−0005.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据机械工程控制基础5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据s绕奈氏路径一周时，F(j)包围[F]平面(0,j0)点的圈数，既是开环幅相曲线GH(j)包围[G]平面(-1,j0)点的圈数。)()(1)(jHjG

jF+=机械工程控制基础2、Nyquist稳定性判据(一)当系统开环传递函数G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上没有极点时(例如0型系统)a)开环系统稳定时,即p=0,如果从-→+时Nyquist曲线G(j)H(j)不包围(-1,0j)点,N等于零,则z=0,闭环系统稳定;否则不

稳定b)开环系统不稳定时,即p≥1。如果从-→+时Nyquist曲线G(j)H(j)逆时针包围(-1,0j)点N次(N<0),且N=-p,则z=N+p=0,系统稳定。否则系统不稳定。c)当Nyquist曲

线G(j)H(j)通过(-l,0j)点时,表明在s平面虚轴上有闭环极点,系统处于临界稳定状态，属于不稳定。*z≥0,p≥05.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据机械工程控制基础Nyquist稳定性判据

(二)当系统开环传递函数中有极点位于S平面虚轴上时(如I型及以上系统),如系统开环频率特性G(j)H(j)在从-→+变化逆时针包围(-1,j0)点的次数N等于G(s)H(s)位于s右半平面的极点数p,系统闭环极点数z=N+p

=0,则闭环系统稳定。否则系统不稳定。5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据机械工程控制基础5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据3、Nyquist轨迹机械工程控制基础例1)1T)(1T()1T()(321++−=sssKsG设=K1K2K110=

+=+=PNZ211=+=+=PNZ不稳定不稳定5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据机械工程控制基础例2已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。解依题有−=180)0(KjG=K(不稳定)1T)(−=sKsG−=900)(jG11K0=N101=+=+=NPZ

12K1−=N011=−=+=NPZ(稳定)01T)(=+−=KssD5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据ω应为-∞~∞机械工程控制基础例3已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。解依题有=0)0(KjG=K(稳定))1T)

(1T)(1T()(321+++=sssKsG−=2700)(jG)(1小K0=N000=+=+=NPZ)(2大K2=N220=+=+=NPZ(不稳定)5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据机械工程控制基础5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判

据)()(sHsG含有位于j上极点和/或零点的特殊情况平面sj+0j−0j+j−j1eABC平面GHReIm−==''',,FEDFED'A'B'C+=0−=0变量s沿着j轴从−j运动到−0j，从−0j到+0j

，变量s沿着半径为1e）的半圆运动，再沿着正j轴从+0j运动到j（e)1()()(+=TssKsHsG机械工程控制基础5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据即按常规方法作出ω由0+→∞变化时的Nyquist

曲线后，从G(j0)开始，以∞的半径顺时针补画v90°的圆弧(辅助线)得到完整的Nyquist曲线。显然，对于最小相位系统，其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。机械工程控制基础例4已知单位反馈系统开环传递函

数,分析系统稳定性。解依题有=0)0(jG=K(稳定))1T)(1T()(21++=sssKsG−=2700)(jG)(1小K0=N000=+=+=NPZ)(2大K2=N220=+=+=NPZ(不稳定)−=+90)0(jG5.3N

yquist（乃奎斯特）稳定判据机械工程控制基础例5已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。解依题有=0)0(jG=K(稳定))1T)(1T()1()(212+++=ssssKsG−=2700)(jG)(1小K0=N000=+=+=NPZ)(2大K2=N220=+=+=NP

Z(不稳定)−=+180)0(jG21TTτ5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据机械工程控制基础例6已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。NPZ+=2/2/=K(稳定))1T)(1T()(21++=sssKsG1K000=−

=−=+−NNN0002=+=+=NPZ2K101=−=−=+−NNN2202=+=+=NPZ(不稳定)+−−=NNN对数稳定判据5.4Bode（伯德）稳定判据机械工程控制基础5.4Bode（伯德）稳定判据−=180)0(KjG例7已知单位反馈系统开环传递函数,分

析系统稳定性。=K(不稳定))1T)(1T)(1T()(321++−=sssKsG1K000=−=−=+−NNN10212=+=+=NPZ2K21210−=−=−=+−NNN021212=−=+=NPZ

(稳定)−=2700)(jG3K21211=−=−=+−NNN221212=+=+=NPZ(不稳定)机械工程控制基础注意问题Z闭环系统不稳定00=0闭环系统稳定计算错！2.ω应为-∞~∞，按ω=0~∞图型取得的N应乘2，此时N

的最小单位为二分之一1.当[s]平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边绕出半径为无穷小的圆弧；[G]平面对应要补充大圆弧3.5.4Bode（伯德）稳定判据机械工程控制基础5.5系统的相对稳定性时域（t）系统动态性能稳定边界稳

定程度频域（）稳定程度虚轴阻尼比x到(-1,j0)的距离(-1,j0)稳定裕度(开环频率指标)机械工程控制基础1稳定裕度的定义的几何意义,gKcω剪切频率相角裕度)(180cjG+=1)(=cjωGgω相位交界频率

h幅值裕度1()ggKGj=−=180)(gjωG的物理意义,gK系统在方面的稳定储备量gK幅值相角一般要求oo6030−=2gK5.5系统的相对稳定性机械工程控制基础2稳定裕度的计算)(180cjG+=解法I：由幅相曲线求,gK。例3)10)(2(100)110

)(12(5)(++=++=sssssssG，求,gK。(1)令1)(=cjωG2222102100++=ccc1000]400104[242=++ccc9.2=c试根得)9.2(180j+=109.2arctan29.2arctan901

80−−−==−−=5.181.164.55905.5系统的相对稳定性机械工程控制基础1()ggKGj=(2.1)令−=180)(gj10arctan2arctan90gg−−−==−+90tan2011

022ggg可得=+9010arctan2arctangg202=g47.4=g)dB6.7(4.210010247.42222==++=gggg5.5系统的相对稳定性机械工程控制基础1()ggKGj=(2.2)将G(j)分解为实部、虚部形式)10)(2(100)

(jjjjG++=令0)](Im[==YGjG)100)(4()20(1001200222++−−−=jYXjGG+=47.420==g得4167.0)(−=gXG代入实部4.24167.01==4167.0)(=gG5.5系统的相对稳定

性机械工程控制基础1(4.47)gKGj=)110)(12(5)(++=ssssG由L():1)(=cjG16.310==c得4.24167.01==解法II：由Bode图求,gK210125ccc==)(180cjG+=)16.3(180j+=1016.3ar

ctan216.3arctan90180−−−==−−=8.14541.1767.57909.25.1847.4102==g5.5系统的相对稳定性机械工程控制基础)(180cjG+=解.作L()求c法I:25.26=c5.128

.4arctan58.4arctan28.4arctan905.28.4arctan180−−−−+==−−−−+=3.20218.434.67905.62180例4，求,gK)15.12)(15)(12()15.2(6)(++++=

ssssssG8.45.226==c法II:1)(=cjG8.45.226==ccccc5.2261125.26==5.5系统的相对稳定性机械工程控制基础1()ggKGj

=求g=+−+−+905.2215.22arctan55.12155.12arctan22gggggg整理得135.35.23005.125222222222=++++=ggggg

−=−−−−=1805.12arctan5arctan2arctan905.2arctan)(gggggj=−++905.2arctan2arctan5arctan5.12arctangggg

=−+901arctanBABA1=BA05.31275.4924=−−gg解出)s/rad(4.7=g机械工程控制基础稳定裕度的概念(开环频率指标)稳定裕度的定义稳定裕度计算方法的几何意义

,gKcω截止频率相角裕度)(180cjG+=1)(=cjωGgω相角交界频率h幅值裕度1()ggKGj=−=180)(gjωG的物理意义,gK稳定裕度的意义)(180)(ccLj+=1()180()gggK

Gjj=−=