【文档说明】专题十三-以圆为背景的相似三角形的计算与证明课件.ppt，共(50)页，447.500 KB，由小橙橙上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-257608.html

以下为本文档部分文字说明：

专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析【例1】(2014玉林)如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E.(1)求

证：∠1＝∠2.(2)已知：OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求AG的长．典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析解(1)证明：连接OD，如图，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，即

∠2＋∠ODC＝90°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC，∴∠2＋∠C＝90°，∵OC⊥OB，∴∠C＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2.典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析(2)∵OF∶OB＝

1∶3，⊙O的半径为3，∴OF＝1，∵∠1＝∠2，∴EF＝ED，在Rt△ODE中，OD＝3，DE＝x，则EF＝x，OE＝1＋x，∵OD2＋DE2＝OE2，∴32＋x2＝(x＋1)2，解得x＝4，∴DE＝4，OE＝5

，∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE＝90°，∵∠OED＝∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴ODAG＝DEAE，即3AG＝43＋5，∴AG＝6.典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析探究提高本题考查了切线的性质：圆的切

线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析【例2】(2014咸宁)如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于

点C，AD⊥CD于点D.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若点E为的中点，AD＝，AC＝8，求AB和CE的长．AB︵325典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析解(1)证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切

于点C，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠DAC，即AC平分∠DAB.典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖

析(2)连接BC、OE，过点A作AF⊥BC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC＝ACAB，即3258＝8AB，解得：AB＝10，∴BC＝102－82＝AB2－AC2＝6，∵点E为的中

点，∴∠AOE＝90°，AB︵∴ADAC＝ACAB，即3258＝8AB，解得：AB＝10，∴BC＝102－82＝AB2－AC2＝6，典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析∴OE＝OA＝

12AB＝5，∴AE＝OA2＋OE2＝52，∵∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AFE∽△ACB，∴AEAB＝AFAC＝EFBC，∴5210＝AF8＝EF6，∴AF＝42，EF＝32，∵

∠ACF＝12∠AOE＝45°，∴OE＝OA＝12AB＝5，∴AE＝OA2＋OE2＝52，∵∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AFE∽△ACB，∴AEAB＝AFAC＝EFBC，∴5210＝AF8＝EF6，∴AF＝42，EF＝32，∵∠ACF＝12∠AOE

＝45°，∴OE＝OA＝12AB＝5，∴AE＝OA2＋OE2＝52，∵∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AFE∽△ACB，∴AEAB＝AFAC＝EFBC，∴5210＝AF8＝EF6，∴AF＝42，EF＝32，∵∠ACF＝12∠AOE＝45°，∴OE＝

OA＝12AB＝5，∴AE＝OA2＋OE2＝52，∵∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AFE∽△ACB，∴AEAB＝AFAC＝EFBC，∴5210＝AF8＝EF6，∴AF＝42，EF＝32，∵∠ACF＝12∠AOE＝45°，∴OE＝O

A＝12AB＝5，∴AE＝OA2＋OE2＝52，∵∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AFE∽△ACB，∴AEAB＝AFAC＝EFBC，∴5210＝AF8＝EF6，∴AF＝42，EF＝32，∵∠ACF＝12∠AOE＝45°，典

例精析∴△ACF是等腰直角三角形，∴CF＝AF＝42，∴CE＝CF＋EF＝72.∴△ACF是等腰直角三角形，∴CF＝AF＝42，∴CE＝CF＋EF＝72.专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析探究提高此题考查了切线的性质、相似三角

形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．典例精析专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练1.(2014荆门)如图，AB是半圆

O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE、AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是()A.∠ACD＝∠DABB.AD＝DEC.AD2＝BD·CDD.AD·AB＝AC·BD对点训练专题十三以圆为背景的

相似三角形的计算与证明B、∵AD＝DE，∴，∴∠DAE＝∠B，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；题型分类·对点训练解析如图，∠ADC＝∠ADB，A、∵∠ACD＝∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；AD︵＝DE︵C、∵AD2＝BD·CD，∴AD∶BD＝CD∶AD，又∵∠

ADC＝∠BDA，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；D、∵AD·AB＝AC·BD，∴AD∶BD＝AC∶AB，但∠ADC＝∠ADB不是夹角，故本选项错误．故选D.对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练1.(2014荆门)如图，AB是半圆O的直径，D

、E是半圆上任意两点，连接AD、DE、AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是()A.∠ACD＝∠DABB.AD＝DEC.AD2＝BD·CDD.AD·AB＝AC·BD对点训练D专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训

练2.(2014内江)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为()A.2.5B.1.6C.1.5D.1对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练解析连接OD、OE，设AD＝x，

∵半圆分别与AC、BC相切，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∵∠C＝90°，OD＝OE，∴四边形ODCE是正方形，∴CD＝OD＝CE＝4－x，∴BE＝6－(4－x)＝x＋2，∵AC∥OE，∴∠A＝∠BO

E，∴△AOD∽OBE，∴ADOE＝ODBE，∴x4－x＝4－xx＋2，解得x＝1.6.故选B.对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练2.(2014内江)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝9

0°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为()A.2.5B.1.6C.1.5D.1对点训练B专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对

点训练3.(2014绵阳)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是()A.AQAP＝ACABB.ACOR＝OQABC.AQAB＝BPBCD

.ACAP＝OROP对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练解析(1)连接AQ，如图1，∵BP为半圆O的切线，AB为半圆O的直径，∴∠ABP＝∠ACB＝90°，∵OQ⊥BC，∴∠OQB＝90°，∴∠OQB＝∠OBP＝90°，又∵∠BOQ＝∠POB，∴△O

QB∽△OBP，∴OQOB＝OBOP，∵OA＝OB，∴OQOA＝OAOP，又∵∠BOQ＝∠POB，∴△OQB∽△OBP，∴OQOB＝OBOP，∵OA＝OB，∴OQOA＝OAOP，对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练∵∠AOQ＝∠POA，∴△OAQ∽△O

PA，∴∠OAQ＝∠OPA，∵∠OQB＝∠ACB＝90°，∴AC∥OP，∴∠CAP＝∠APO，∴∠CAP＝∠OAQ，∴∠CAQ＝∠BAP，∵∠ACQ＝∠ABP＝90°，∴△ACQ∽△ABP，∴AQAP＝ACAB

，故A正确．对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练(2)如图1，∵△OBP∽△OQB，∴BPQB＝OPOB，∴BPBC＝OPAB，∵AQ≠OP，∴BPBC≠AQAB，故C不正确．(2

)如图1，∵△OBP∽△OQB，∴BPQB＝OPOB，∴BPBC＝OPAB，∵AQ≠OP，∴BPBC≠AQAB，故C不正确．对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练(3)连接OR，如图2，∵OQ⊥BC，∴BQ＝CQ，∵AO＝BO，∴OQ＝12AC，∵OR＝12AB

，∴OQAC＝12，ABOR＝2，∴OQAC≠ABOR，∴ACOR≠OQAB，故B不正确．∵AO＝BO，∴OQ＝12AC，∵OR＝12AB，∴OQAC＝12，ABOR＝2，∴OQAC≠ABOR，∴ACOR≠OQAB，故B不正确．∵AO＝BO，∴OQ＝12AC，∵OR＝12AB，∴OQA

C＝12，ABOR＝2，∴OQAC≠ABOR，∴ACOR≠OQAB，故B不正确．对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练(4)如图2，∵OQOB＝OBOP，且AC＝2OQ，AB＝2OB，OB＝OR，∴ACAB＝OROP，∵AB≠A

P，∴ACAP≠OROP，故D不正确．故选A.(4)如图2，∵OQOB＝OBOP，且AC＝2OQ，AB＝2OB，OB＝OR，∴ACAB＝OROP，∵AB≠AP，∴ACAP≠OROP，故D不正确．故选A.对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练3.

(2014绵阳)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是()A.AQAP＝ACABB.ACOR＝OQABC.AQA

B＝BPBCD.ACAP＝OROP对点训练A专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练4.(2014南宁)如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、B

C相切于点E、F，与AB分别交于点G、H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为________．对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练解析如图，连接OE、OF，由切线的性质可得OE＝OF，∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，∴OECF是正方形，∵S△AB

C＝12×AC×BC＝12×AC×OE＋12×BC×OF，∴OE＝OF＝a＝EC＝CF，BF＝BC－CF＝12a，GH＝2OE＝a，∵由切割线定理可得，BF2＝BH·BG，∴14a2＝BH(BH＋a)，∴BH＝－1＋22a或BH＝－1－22a(舍去)，∵S△ABC＝12×AC×B

C＝12×AC×OE＋12×BC×OF，∴OE＝OF＝a＝EC＝CF，BF＝BC－CF＝12a，GH＝2OE＝a，∵由切割线定理可得，BF2＝BH·BG，∴14a2＝BH(BH＋a)，∴BH＝－1＋22a或BH＝－1－22a(舍去)，对点训练专题十三以圆为背景的

相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练∵OE∥DB，OE＝OH，∴△OEH∽△BDH，∴OEOH＝BDBH，∴BH＝BD，∴CD＝BC＋BD＝a＋－1＋22a＝1＋22a.∴OE＝OF＝a＝EC＝CF，BF＝BC－C

F＝12a，GH＝2OE＝a，∵由切割线定理可得，BF2＝BH·BG，∴14a2＝BH(BH＋a)，∴BH＝－1＋22a或BH＝－1－22a(舍去)，∴OE＝OF＝a＝EC＝CF，BF＝BC－CF＝12a，GH＝2OE

＝a，∵由切割线定理可得，BF2＝BH·BG，∴14a2＝BH(BH＋a)，∴BH＝－1＋22a或BH＝－1－22a(舍去)，∴OEOH＝BDBH，∴BH＝BD，∴CD＝BC＋BD＝a＋－1＋22a＝1＋22a.对点训练专题十三以圆为背景的相

似三角形的计算与证明题型分类·对点训练4.(2014南宁)如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别交于点G、H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为________．对

点训练∴OEOH＝BDBH，∴BH＝BD，∴CD＝BC＋BD＝a＋－1＋22a＝1＋22a.专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练5.(2013广安)雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生准

备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，请作出所有不同方案的示意

图，并求出相应半圆的半径(结果保留根号)．对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练解根据勾股定理，斜边AB＝42＋42＝42，①如图1、图2，直径在直角边BC或AC上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两

边相切，∴r4＝4－r42，解得r＝42－4；②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴4－r4＝r4，解得r＝2.作出图形如图所示：解根据勾股定理，斜边AB＝42＋42＝42，①如图1、图2，直

径在直角边BC或AC上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴r4＝4－r42，解得r＝42－4；②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴4－r4＝r4，解得r＝2.作出图形如图所示：解根据勾股定理，斜边AB＝42＋42＝42，

①如图1、图2，直径在直角边BC或AC上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴r4＝4－r42，解得r＝42－4；②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴4－r4＝r4，解得r＝2.作出图形如图所示：解根据勾股

定理，斜边AB＝42＋42＝42，①如图1、图2，直径在直角边BC或AC上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴r4＝4－r42，解得r＝42－4；②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴4－r4＝r4，解得r＝2.作出图形如图所示：对点训练专题十

三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴r4＝4－r42，解得r＝42－4；②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴4－r4＝r4，解得r＝2.作出图形如图所示：∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴r4＝

4－r42，解得r＝42－4；②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴4－r4＝r4，解得r＝2.作出图形如图所示：∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴r4＝4－r42，解得r＝42－4；②如图3，直径在斜边AB上时，∵

半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴4－r4＝r4，解得r＝2.作出图形如图所示：对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练6.(2014陕西)如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB＝6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A

，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)求AC的长．对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练解(1)证明：连接OD，∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD，∵AC⊥BD，∴OD∥AC，∴∠2＝∠3，∵

OA＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，即AD平分∠BAC.(2)∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴ODAC＝BOBA，∴4AC＝610，解得：AC＝203.对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练7.(20

14资阳)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD.(1)求证：△CDE∽△CAD；(2)若AB＝2，AC＝22，求AE的长．对点训练专题十三以圆为背景的相似三

角形的计算与证明题型分类·对点训练解(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠B＋∠BAD＝90°，∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，即∠BAD＋∠CAD＝90°，∴∠B＝∠CAD，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵∠ODB＝∠CDE，∴∠B＝∠CDE，

∴∠CDE＝∠CAD，∵∠ECD＝∠DCA，∴△CDE∽△CAD.对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练(2)∵AB＝2，∴OA＝1，在Rt△AOC中，AC＝22，∴OC＝OA2＋AC2＝3

，∴CD＝OC－OD＝3－1＝2，∵△CDE∽△CAD，∴CDCE＝CACD，即2CE＝222，∴CE＝2，∴AE＝AC－CE＝22－2＝2.(2)∵AB＝2，∴OA＝1，在Rt△AOC中，AC＝22，∴OC＝OA2＋AC2＝3，∴CD＝OC－OD＝3－1＝2，∵△CDE∽

△CAD，∴CDCE＝CACD，即2CE＝222，∴CE＝2，∴AE＝AC－CE＝22－2＝2.(2)∵AB＝2，∴OA＝1，在Rt△AOC中，AC＝22，∴OC＝OA2＋AC2＝3，∴CD＝OC－OD＝3－

1＝2，∵△CDE∽△CAD，∴CDCE＝CACD，即2CE＝222，∴CE＝2，∴AE＝AC－CE＝22－2＝2.(2)∵AB＝2，∴OA＝1，在Rt△AOC中，AC＝22，∴OC＝OA2＋AC2＝3，∴

CD＝OC－OD＝3－1＝2，∵△CDE∽△CAD，∴CDCE＝CACD，即2CE＝222，∴CE＝2，∴AE＝AC－CE＝22－2＝2.对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练8.(2014宜昌)已知：如图，

四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE＝3EB.(1)求证：△ADE∽△CDF；(2)当CF∶FB＝1∶2时，求⊙O与平行四边形ABCD的面积之比．对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题

型分类·对点训练解(1)证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC＝90°，∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC，∴∠EDC＝90°，∴∠ADF＝∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠C

DF，∵∠A＝∠C，∴△ADE∽△CDF.对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练(2)∵CF∶FB＝1∶2，∴设CF＝x，FB＝2x，则BC＝3x，∵AE＝3EB，∴设EB＝y，则AE＝3y，AB＝4y，∵四边形A

BCD是平行四边形，∴AD＝BC＝3x，AB＝DC＝4y，∵△ADE∽△CDF，∴AEAD＝CFCD，∴3y3x＝x4y，∵x、y均为正数，∴x＝2y，∴BC＝6y，CF＝2y，对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练由勾股定理得：DF＝DC2

－CF2＝（4y）2－（2y）2＝23y，∴S⊙O＝π·(12DC)2＝π(2y)2＝4πy2，S四边形ABCD＝BC·DF＝6y·23y＝123y2，∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为：4πy2∶123y2＝π∶33.由勾股定理得：DF

＝DC2－CF2＝（4y）2－（2y）2＝23y，∴S⊙O＝π·(12DC)2＝π(2y)2＝4πy2，S四边形ABCD＝BC·DF＝6y·23y＝123y2，∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为：4πy2∶123y2＝π∶33.由勾股定

理得：DF＝DC2－CF2＝（4y）2－（2y）2＝23y，∴S⊙O＝π·(12DC)2＝π(2y)2＝4πy2，S四边形ABCD＝BC·DF＝6y·23y＝123y2，∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为：4πy2∶123y2＝π∶33.由勾股定理得：DF＝DC2－C

F2＝（4y）2－（2y）2＝23y，∴S⊙O＝π·(12DC)2＝π(2y)2＝4πy2，S四边形ABCD＝BC·DF＝6y·23y＝123y2，∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为：4πy2∶123y2＝π∶33.对点训练在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，专题十三以圆为背景的相似

三角形的计算与证明题型分类·对点训练9.(2014呼和浩特)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM.(1)求证：∠ACM＝∠ABC；(2)延长BC到D，使BC＝CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED＝2，求△ACE的外接圆的半径

．对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练解(1)证明：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，又∵CM是⊙O的切线，∴OC⊥CM，∴∠ACM＋∠ACO＝90°，∵CO＝AO，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠ACM＝∠A

BC.对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练(2)∵BC＝CD，AO＝BO，∴OC∥AD，又∵OC⊥CE，∴AD⊥CE，∴△ACE是直角三角形，∴△ACE的外接圆的直径是AC，∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠ACE＋∠ECD＝90°，∴△ABC∽△CDE，∴A

BCD＝BCED，∵⊙O的半径为3，∴AB＝6，∴6CD＝BC2，∴BC2＝12，∴BC＝23，∴AC＝AB2－BC2＝36－12＝26，∴△AEC的外接圆的半径为6.∴△ABC∽△CDE，∴ABCD＝BCED，∵⊙O的半径为

3，∴AB＝6，∴6CD＝BC2，∴BC2＝12，∴BC＝23，∴AC＝AB2－BC2＝36－12＝26，∴△AEC的外接圆的半径为6.∴△ABC∽△CDE，∴ABCD＝BCED，∵⊙O的半径为3，∴AB＝6，∴6CD＝BC2，∴BC2＝1

2，∴BC＝23，∴AC＝AB2－BC2＝36－12＝26，∴△AEC的外接圆的半径为6.∴△ABC∽△CDE，∴ABCD＝BCED，∵⊙O的半径为3，∴AB＝6，∴6CD＝BC2，∴BC2＝12，∴BC＝23，∴AC＝AB2－BC2＝36－12＝26，∴△AEC的

外接圆的半径为6.对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练10.(2014株洲)如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ＝QB＝1，动点A在圆O的上半圆运动(

含P、Q两点)，以线段AB为边向上作等边三角形ABC.对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练(1)当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积(图1)；(2)设∠AOB＝α，

当线段AB、与圆O只有一个公共点(即A点)时，求α的范围(图2，直接写出答案)；(3)当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度(图3)．对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与

证明题型分类·对点训练解(1)连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如答图1所示．∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵OQ＝QB＝1，∴OA＝1，∴AB＝OB2－OA2＝22－12＝3，∵△ABC是等边三角形，∴A

C＝AB＝3，∠CAB＝60°，∵sin∠HAB＝BHAB，∴BH＝AB·sin∠HAB＝3×32＝32，∴S△ABC＝12AC·BH＝12×3×32＝334，即△ABC的面积为334.解(1)连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如答图1所示．∵AB

与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵OQ＝QB＝1，∴OA＝1，∴AB＝OB2－OA2＝22－12＝3，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝3，∠CAB＝60°，∵sin∠HAB＝BH

AB，∴BH＝AB·sin∠HAB＝3×32＝32，∴S△ABC＝12AC·BH＝12×3×32＝334，即△ABC的面积为334.解(1)连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如答图1所示．∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵OQ＝QB＝1，∴OA＝1，∴A

B＝OB2－OA2＝22－12＝3，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝3，∠CAB＝60°，∵sin∠HAB＝BHAB，∴BH＝AB·sin∠HAB＝3×32＝32，∴S△ABC＝12AC·BH＝12×3×32

＝334，即△ABC的面积为334.解(1)连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如答图1所示．∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵OQ＝QB＝1，∴OA＝1，∴AB＝OB2－OA2＝22－12＝3，∵△ABC是等边三角形，∴

AC＝AB＝3，∠CAB＝60°，∵sin∠HAB＝BHAB，∴BH＝AB·sin∠HAB＝3×32＝32，∴S△ABC＝12AC·BH＝12×3×32＝334，即△ABC的面积为334.对点训练如答图1所示.专题十三以圆为背景的相似三角形

的计算与证明题型分类·对点训练∵OQ＝QB＝1，∴OA＝1，∴AB＝OB2－OA2＝22－12＝∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝3，∠CAB＝60°，∵sin∠HAB＝BHAB，∴BH＝AB·sin∠HAB＝3×32＝32，∴S△ABC＝12AC·

BH＝12×3×32＝334，即△ABC的面积为34示．∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵OQ＝QB＝1，∴OA＝1，∴AB＝OB2－OA2＝22－12＝∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝3，∠CAB＝60°，∵sin∠HAB＝BHAB，∴BH＝AB·

sin∠HAB＝3×32＝32，∴S△ABC＝12AC·BH＝12×3×32＝334，即△ABC的面积为34对点训练与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，＝QB＝1，∴OA＝1，∴AB＝OB2－OA2＝22－1

2＝3，ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝3，∠CAB＝60°，n∠HAB＝BHAB，∴BH＝AB·sin∠HAB＝3×32＝32，BC＝12AC·BH＝12×3×32＝334，即△ABC的面积为334.B作BH⊥AC，垂足为H，如答图1所，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，1，∴AB＝OB2－O

A2＝22－12＝3，，∴AC＝AB＝3，∠CAB＝60°，H＝AB·sin∠HAB＝3×32＝32，3×32＝334，即△ABC的面积为334.专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练(2)①当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α＝0°；②当线

段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，线段A1B与圆O只有一个公共点，此时OA1⊥BA1，OA1＝1，OB＝2，∴cos∠A1OB＝OA1OB＝12，∴∠A1OB＝60°，∴当线段AB与圆O只有一个公共点(

即A点)时，α的范围为：0°≤α≤60°.对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练(3)连接MQ，如图3所示．∵PQ是⊙O的直径，∴∠PMQ＝90°，∵OA⊥PM，∴∠PNO＝90°，∴∠

PNO＝∠PMQ，∴△PDO∽△PMQ，∴PNPM＝NOMQ＝POPQ，∵PO＝OQ＝12PQ，∴PN＝12PM，ON＝12MQ.同理：MQ＝12AO，BM＝12AB.∴△PDO∽△PMQ，∴PNPM＝NOMQ＝POPQ，∵PO＝OQ＝12PQ，∴PN＝12PM，ON＝12MQ.同理：MQ＝12

AO，BM＝12AB.对点训练∴△PDO∽△PMQ，∴PNPM＝NOMQ＝POPQ，∵PO＝OQ＝12PQ，∴PN＝12PM，ON＝12MQ.同理：MQ＝12AO，BM＝12AB.专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练∵AO＝1，∴MQ＝12，∴

ON＝14，∴PN＝NM＝154，∴PM＝152，∵∠ANM＝90°，AN＝AO－ON＝34，∴AM＝AN2＋NM2＝（34）2＋（154）2＝62.∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC，∠CAB＝60°，∵AO＝1，∴MQ＝12，∴ON＝14，∴PN＝NM＝15

4，∴PM＝152，∵∠ANM＝90°，AN＝AO－ON＝34，∴AM＝AN2＋NM2＝（34）2＋（154）2＝62.∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC，∠CAB＝60°，∵AO＝1，∴MQ＝12，∴ON＝14，∴PN＝NM＝154，∴PM＝152，∵∠ANM＝90°，AN＝AO

－ON＝34，∴AM＝AN2＋NM2＝（34）2＋（154）2＝62.∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC，∠CAB＝60°，∵AO＝1，∴MQ＝12，∴ON＝14，∴PN＝NM＝154，∴PM＝152，∵∠ANM＝90°，AN＝AO－ON＝34，

∴AM＝AN2＋NM2＝（34）2＋（154）2＝62.∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC，∠CAB＝60°，∵AO＝1，∴MQ＝12，∴ON＝14，∴PN＝NM＝154，∴PM＝152，∵∠ANM＝90°，AN＝AO－ON＝34，∴AM＝AN2＋NM2＝（34）2＋（154）2＝62.

∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC，∠CAB＝60°，对点训练专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·对点训练∵BM＝12AB，∴AM＝BM，∴CM⊥AB，∵AM＝62，∴BM＝62，AB＝6，∴AC＝6，∴CM＝AC2－AM2

＝（6）2－（62）2＝322.即CM的长度为322.∵BM＝12AB，∴AM＝BM，∴CM⊥AB，∵AM＝62，∴BM＝62，AB＝6，∴AC＝6，∴CM＝AC2－AM2＝（6）2－（62）2＝322.即CM的长度为322.∵BM＝12AB，∴AM＝B

M，∴CM⊥AB，∵AM＝62，∴BM＝62，AB＝6，∴AC＝6，∴CM＝AC2－AM2＝（6）2－（62）2＝322.即CM的长度为322.对点训练∵BM＝12AB，∴AM＝BM，∴CM⊥AB，∵AM＝62，∴BM＝62，AB＝6，∴AC＝6，∴CM＝AC2－AM2

＝（6）2－（62）2＝322.即CM的长度为322.