【文档说明】中考数学总复习第四单元图形的初步认识与三角形-特殊三角形课件.pptx，共(35)页，1.272 MB，由小橙橙上传

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第18课时特殊三角形考点一等腰三角形课前双基巩固考点聚焦定义有①相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形,有②条对称轴定理1等腰

三角形的两个底角相等(简称③)定理2等腰三角形的顶角平分线、底边上的④、底边上的高重合(简称三线合一)判定(1)在△ABC中,AB=AC⇒△ABC是等腰三角形(定义);(2)在△ABC中,∠B=∠C⇒△ABC是等腰三角形两边1等边对等角中线考点二等边三角形

课前双基巩固定义三边都相等的三角形叫做等边三角形性质(1)等边三角形的三个角都⑤,并且每一个角都等于⑥;(2)等边三角形是轴对称图形,有⑦条对称轴判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形相等60°3考点三直角三角形课前双

基巩固定义有一个角等于⑧的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角互余;(2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于⑨;(3)直角三角形斜边上的中线等于⑩判定(1)如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形;(2)一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直

角三角形拓展(1)SRt△ABC=12ch=12ab,其中a,b为两直角边,c为斜边,h为斜边上的高;(2)Rt△ABC的内切圆半径r=a+b-c2,外接圆半径R=c2,即外接圆半径等于斜边的一半90°斜边的一半斜边的一半考

点四勾股定理及其逆定理课前双基巩固勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么勾股定理的逆定理逆定理如果三角形的三边a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形用途(1)判断某三角形是不是直角三角形;(2)证明两条线段垂直;(3)解决生活中的实际问题勾股数能构

成直角三角形的三条边长的三个正整数,称为勾股数a2+b2=c2a2+b2=c2课前双基巩固对点演练题组一必会题1.已知等腰三角形的一个底角的度数为70°,则另外两个内角的度数分别是()A.55°,55°B.70°,40°C.55°,55°或70°,40°D.以上都不对2.若等腰三角形的两边长分别为

4cm和8cm,则它的周长为()A.16cmB.17cmC.20cmD.16cm或20cmBC课前双基巩固3.下列四组线段中,能构成直角三角形的是()A.a=1,b=2,c=3B.a=2,b=3,c=4C.a=2,b=4,c=5D.a=3,b=4,c=5

4.如图18-1,线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,∠A=50°,则∠BDC=()A.50°B.100°C.120°D.130°5.在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠A=30°,BC=2,则AC=.图18-1DB23课

前双基巩固题组二易错题6.某等腰三角形的三边长分别为x,3,2x-1,则该三角形的周长为.【失分点】求解等腰三角形的有关问题忘记分类讨论;分类讨论时忘记三角形三边关系;“三线合一”与腰上的高、中线混淆;等腰三角形或等边三

角形的判定方法选择有误.[答案]11或8[解析]当x=3时,此时2x-1=5,∵3+3>5,∴能组成三角形,此时三角形的周长为3+3+5=11;当x=2x-1时,此时x=1,∵1+1<3,∴不能组成三角形;当2x-1=3时,此时

x=2,∵3+2>3,∴能组成三角形,此时三角形的周长为3+3+2=8.综上,三角形的周长为11或8.课前双基巩固7.如图18-2所示,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,垂足为D,∠A=40°,则∠DBC=.图18-2[答案]20°[解析]∵在

△ABC中,AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠ACB=(180°-40°)÷2=70°.又∵BD⊥AC,∴∠DBC=90°-∠ACB=90°-70°=20°.课前双基巩固8.如图18-3,△ABC中,

∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,连接CE交AD于点H,则图中的等腰三角形有个.图18-3[答案]4[解析]∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°,∵AD是角平分线,∴∠CAD=∠BAD=30°,∴AD=BD.∴△

ABD是等腰三角形.∵AD是角平分线,∠ACB=90°,DE⊥AB,∴CD=ED,∴AC=AE,∴△CDE,△ACE是等腰三角形.又△CEB也是等腰三角形,显然图中有4个等腰三角形.高频考向探究探究一与等腰三角形有关的计算例1(1)[2018·宿迁]若

实数m,n满足等式|m-2|+𝑛-4=0,且m,n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是()A.12B.10C.8D.6[答案]B[解析]∵|m-2|+𝑛-4=0,∴m-2=0,n-4=0,解得m=2,n=4.当m=2作腰时,三边为2,2,4,不符合三边关系定理;当n=4作

腰时,三边为2,4,4,符合三边关系定理,周长为2+4+4=10.课前双基巩固例1(2)[2018·成都]等腰三角形的一个底角为50°,则它的顶角的度数为.80°[方法模型]在等腰三角形中进行边或角的计算时,往往要分类讨论:当等腰三角形的边不确定时,要利用三边关系确定腰或

底;当等腰三角形的角不确定时,要利用三角形的内角和来确定顶角和底角.高频考向探究拓考向1.等腰三角形的周长为16,其一边长为6,那么它的底边长为()A.4或6B.4C.6D.5[答案]A[解析]此题分为两种情况:6是等腰

三角形的底边或6是等腰三角形的腰.然后进一步根据三角形的三边关系分析能否构成三角形.当腰为6时,则底边为4,此时三边满足三角形三边关系;当底边为6时,则另两边长为5,5,此时三边满足三角形三边关系.故选A.高频考向探究2.如果等腰三角形的一个外角为140°

,那么底角为()A.40°B.60°C.70°D.40°或70°[答案]D[解析]题目没有明确此外角的位置,要分这个外角的邻补角是顶角和底角两种情况讨论.∵外角为140°,∴与它相邻的内角是180°-140°=40°.(1)当40

°是顶角时,底角是(180°-40°)÷2=70°;(2)当40°是底角时,底角是40°.故选D.高频考向探究3.[2018·绍兴]数学课上,张老师举了下面的例题:例1等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)例2等腰三角形AB

C中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:变式等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题.(2)解(1)后,小敏发现,∠

A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.解:(1)当∠A为顶角时,∠B=50°,当∠A为底角时,若∠B为顶角,则∠B=20°,若∠B为底

角,则∠B=80°,∴∠B=50°或20°或80°.高频考向探究3.[2018·绍兴]数学课上,张老师举了下面的例题:例1等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)例2等腰三角形A

BC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:变式等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个

不同的度数时,请你探索x的取值范围.(2)分两种情况:①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,∴∠B的度数只有一个.②当0<x<90时,若∠A为顶角,则∠B=180-𝑥2°,若∠A为底角,则∠B=x°或∠B=(

180-2x)°,当180-𝑥2≠180-2x且180-𝑥2≠x且180-2x≠x,即x≠60时,∠B有三个不同的度数.综上①②,当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.高频考向探究探究二等腰三角形的性质与判定6年3考例2[20

17·北京]如图18-4,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.求证:AD=BC.图18-4证明:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=12(180°-∠A)=12×(180°-36°)=72°.又∵BD平分∠AB

C,∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=12×72°=36°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°,∴∠C=∠BDC,∠A=∠ABD,∴AD=BD=BC,即AD=BC.高频考向探究[方法模型]等腰三角形是轴对称图形,它的定义既可以作为性质,又可以作为判

定方法.要证明一个三角形是等腰三角形必须得到两边相等,而得到两边相等的方法主要有:(1)通过等角对等边得到两边相等;(2)通过三角形全等得到两边相等;(3)利用垂直平分线的性质得到两边相等.高频考向探究明考向1.[2017·河北10题]如图18-5,码头A在码头B的正西方

向,甲、乙两船分别从A,B同时出发,并以等速驶向某海域,甲的航向是北偏东35°,为避免行进中甲、乙相撞,则乙的航向不能是()A.北偏东55°B.北偏西55°C.北偏东35°D.北偏西35°D图18-5高频考

向探究2.[2013·河北8题]如图18-6,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为()A.40海里B.60海里C.70海

里D.80海里[答案]D[解析]由题意知,MN=2×40=80(海里).∵∠M=70°,∠N=40°,∴∠NPM=180°-∠M-∠N=180°-70°-40°=70°,∴∠NPM=∠M,∴NP=MN=80海里.故选D.图18-6高频考向探究3.[2014·河北23(2)题]如图

18-7,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE,连接BD,CE交于点F.求∠ACE的度数.图18-7解:∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE,∴AC=AE,∠CAE=100°,∴∠ACE=12(180°

-∠CAE)=12×(180°-100°)=40°.高频考向探究探究三等边三角形的性质与判定6年1次单独考,1次涉及例3如图18-8,O是等边三角形ABC内的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC

,连接OD.(1)求证:△COD是等边三角形;(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?图18-8解:(1)证明:∵△ADC是由△BOC旋转所得,∴△BOC≌△ADC,∴OC=CD.又∵∠OCD=60°,∴△CO

D是等边三角形.高频考向探究例3如图18-8,O是等边三角形ABC内的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;图18-8(2)△AOD是直角三角形.理由:∵△COD是等边三角形,∴

∠COD=∠CDO=60°.∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°且∠AOB=110°,∠BOC=150°,∴∠AOD=40°.由(1)知∠ADC=∠BOC=150°,∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150

°-60°=90°,∴△AOD是直角三角形.高频考向探究例3如图18-8,O是等边三角形ABC内的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰

三角形?图18-8(3)∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α,∠ADO=∠ADC-∠CDO=α-60°,∠OAD=180°-∠ADO-∠AOD=180°-(α-60°)-(190°-

α)=50°.若∠ADO=∠AOD,则α-60°=190°-α,解得α=125°;若∠ADO=∠OAD,则α-60°=50°,解得α=110°;若∠OAD=∠AOD,则50°=190°-α,解得α=140°.∴当α=125°或110°或140

°时,△AOD是等腰三角形.高频考向探究明考向[2016·河北16题]如图18-9,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有()A.1个B.

2个C.3个D.3个以上图18-9高频考向探究[答案]D[解析]如图,在OA,OB上截取OE=OF=OP,作∠MPN=60°.∵OP平分∠AOB,∴∠EOP=∠POF=60°,∵OP=OE=OF,∴△OPE,△OPF是等边三角形,∴EP=OP,∠EPO=∠OE

P=∠PON=∠MPN=60°,∴∠EPM=∠OPN,在△PEM和△PON中,∠𝑃𝐸𝑀=∠𝑃𝑂𝑁,𝑃𝐸=𝑃𝑂,∠𝐸𝑃𝑀=∠𝑂𝑃𝑁,∴△PEM≌△PON,∴PM=PN,∵∠MPN=60°,∴△PNM是等边三角形,∴只要∠MPN=60°,△PNM就

是等边三角形,故这样的三角形有无数个.故选:D.高频考向探究探究四直角三角形的性质【方法指导】熟知并掌握直角三角形的性质,尤其是直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半.若题

目中出现含有30°角的直角三角形,要想到30°角所对的直角边等于斜边的一半.高频考向探究例4在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=12BC,则△ABC的顶角的度数为.[答案]30°或90°或150°[解析]分两种情况:(1)BC为腰;(2)BC为底.(1)当B

C为腰时,设BC=AC.∵AD⊥BC于点D,AD=12BC,∴AD=12AC,∴∠ACD=30°.如图①,若AD在△ABC内部,则顶角∠C=30°.如图②,若AD在△ABC外部,则顶角∠ACB=180°-30°=150°.(2)当BC为底时,如图③,∵AD⊥BC于点D,AD=12BC,∴AD=

BD=CD,∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD,∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°,∴顶角∠BAC=90°,综上所述,等腰三角形ABC的顶角度数为30°或90°或150°.高频考向探究明考向[2016·河北19题节选]如图18-10,已知∠AOB=7°,一条光线从点A发出后射向OB边

.若光线与OB边垂直,则光线沿原路返回到点A,此时∠A=90°-7°=83°.当∠A<83°时,光线射到OB边上的点A1后,经OB反射到线段AO上的点A2,易知∠1=∠2.若A1A2⊥AO,光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A,此时∠A=°.图18-10[答案]76[解析]∵A1A2⊥AO,∠

AOB=7°,∴∠1=∠2=90°-7°=83°,∴∠AA1A2=180°-83°-83°=14°,∠A=90°-∠AA1A2=76°.高频考向探究探究五勾股定理及其逆定理的应用例5(1)[2018·大连模拟]如图18-11,将△ABC放在

正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1),点A,B,C恰好在网格图中的格点上,那么△ABC中BC边上的高是()A.102B.104C.105D.5[答案]A[解析]根据图形可得:AB=AC=12+22=5,BC=12+32=10,得出∠BAC=90°.设△ABC中BC边上的高是

x,则AC·AB=BC·x,即5×5=10·x,解得x=102.故选A.图18-11高频考向探究例5(2)[2017·十堰]如图18-12,已知圆柱的底面直径BC=6π,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行

,从点C爬到点A,然后再沿另一面爬回点C,则小虫爬行的最短路程为()A.32B.35C.65D.62[答案]D[解析]要求最短路程,首先要把圆柱的侧面展开,展开图如图所示,点A,C的最短距离为线段AC的长.在Rt△ADC中,∠ADC=90°,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长

,AD=3,∴AC=32,∴从点C爬到点A,然后再沿另一面爬回点C,则小虫爬行的最短路程为2AC=62.图18-12高频考向探究[方法模型]在直角三角形中求边的长度时,勾股定理是最常用的方法之一,若已知两边求一边,直接利用勾股

定理即可;若已知一边求其他两边,需指明三边之间存在的另一个数量关系,然后利用勾股定理求值或构建方程求解.证明一个三角形为直角三角形,可以证明一个内角等于90°,也可以利用勾股定理的逆定理进行证明.高频考向探究拓考向[2018·荆门]如图18

-13,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边三角形BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=3,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最

小值.图18-13解:(1)证明:在Rt△ABC中,∠BAC=30°,E为AB边的中点,∴BC=EA,∠ABC=60°.∵△DEB为等边三角形,∴DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°,∴∠DEA=120°,∠DBC=120°,∴∠DEA=∠DBC,∴△ADE≌△CDB.高频考向探究[

2018·荆门]如图18-13,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边三角形BDE,连接AD,CD.(2)若BC=3,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.图18-13高

频考向探究(2)如图,作点E关于直线AC的对称点E',连接BE'交AC于点H.则点H即为符合条件的点.由作图可知:EH+BH=BE',AE'=AE,∠E'AC=∠BAC=30°,∴∠EAE'=60°,∴△EAE'为等边三角形,∴EE'=EA=12AB,∴∠AE'B=

90°.在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=3,∴AB=23,AE'=AE=3,∴BE'=𝐴𝐵2-𝐴𝐸'2=(23)2-(3)2=3,∴BH+EH的最小值为3.