【文档说明】中考数学复习题型突破六二次函数与几何综合类问题课件.pptx，共(107)页，5.205 MB，由小橙橙上传

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题型突破（六）二次函数与几何综合类问题题型解读二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起考查,解决这类问题需要用到数形结合思想,把“数”与“形”结合起来,互相渗透.存在探索型问题是指在给定条件下判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题,解决这

类问题的一般思路是先假设结论存在,然后在这个假设下进行演绎推理,若推出矛盾,即可否定假设;若推出合理,则可肯定假设.类型1二次函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(

1)求抛物线的对称轴;【分层分析】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-𝑏2𝑎.解:(1)抛物线y=ax2+4ax+m的对称轴为直线x=-2.类型1二次函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)

与x轴的一个交点为A(-1,0).(2)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;【分层分析】抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称.(2)∵该抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),且对称轴为直线x=-2,∴抛物

线与x轴的另一个交点B的坐标为(-3,0).类型1二次函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(3)点D是抛物线与y轴的交点,点C是

抛物线上的一个点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求D点坐标;【分层分析】以AB为一底的梯形ABCD中,AB∥CD,C,D关于抛物线的对称轴对称.由点D是抛物线与y轴的交点,可知D(0,m),由梯形的面积公式

可求出m的值,从而求出D点坐标.(3)由题意可知点D的坐标为(0,m),根据抛物线的对称性,可知点C的坐标为(-4,m),S梯形ABCD=12(AB+CD)×OD=12×(2+4)m=9,解得m=3,所以D点坐标为(0,3).图Z6-1①类型1二次函数与线段、周长有关的问题例

1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(4)在(3)的条件下,求此抛物线的解析式;(4)因为A(-1,0),B(-3,0),所以设抛物线的解析式

为y=a(x+3)(x+1),∵点D(0,3)在抛物线上,∴3=3a,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3.【分层分析】根据前面所求的A,B,D三点的坐标,用待定系数法求解析式.类型1二次函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0

)与x轴的一个交点为A(-1,0).(5)点E是第二象限内到x轴,y轴的距离比为5∶2的点,如果点E在(4)中的抛物线上,且点E与点A在此抛物线对称轴的同侧,求E点的坐标;(5)由点E是第二象限内到x轴,y轴的距离比为5∶2的点,设点E的坐标为(-2k,5k),∵点E在抛物

线y=x2+4x+3上,∴5k=4k2-8k+3,解得k=14或k=3,当k=14时,点E-12,54;当k=3时,点E(-6,15)(不符合题意,舍去).图Z6-1②【分层分析】由E点到坐标轴的距离特征设出点的坐标,代入抛物线的解析式求解.类型1二次函数与线段、周长有

关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(6)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-1③【分层分析】因为AE的长为定值,要使△APE的周长

最小,即要使PA+PE的值最小,由点A,B关于抛物线的对称轴对称,可知BE与抛物线的对称轴的交点即为点P,即可得PA+PE的值最小,即△APE的周长最小.类型1二次函数与线段、周长有关的问题(6)点A关于对称轴x=-2对称的点为点B,△PAE的周长=P

E+AP+AE=PE+PB+AE,AE的长为定值,要使△PAE的周长最小,即使PB+PE最小,根据两点之间线段最短,可知连接BE,BE与对称轴的交点即为点P,设过点B(-3,0)和点E-12,54的直线的解析式

为y=kx+b,由54=-12𝑘+𝑏,0=-3𝑘+𝑏解得𝑘=12,𝑏=32.∴直线BE的解析式为y=12x+32,当x=-2时,y=12,∴点P的坐标为-2,12.类型1二次函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与

x轴的一个交点为A(-1,0).(7)在y轴上是否存在点M,使MA+ME的和最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-1④【分层分析】点A关于y轴对称的点为点A',要使ME+AM=ME+MA'最小,根据两

点之间线段最短,可知连接EA',EA'与y轴的交点即为点M,进而可求得点M的坐标.类型1二次函数与线段、周长有关的问题(7)点A关于y轴对称的点为点A',要使ME+AM=ME+MA'最小,根据两点之间线段最短,可知连接EA',EA'与y轴的交点即为点M,

设过点A'(1,0)和点E-12,54的直线的解析式为y=mx+n,由54=-12𝑚+𝑛,0=𝑚+𝑛解得𝑚=-56,𝑛=56.∴直线A'E的解析式为y=-56x+56,当x=0时,y=56,∴点M的坐标为0,56.类型1二次

函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(8)在y轴上是否存在一点S,使得|SE-SA|的值最大?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.【分层分析】当A,E,S三点共线且S不在线段AE上时,

有|SE-SA|=AE,从而得到当点S在AE或EA的延长线上时满足条件,求出直线AE与y轴的交点坐标即可.图Z6-1⑤(8)设过点A(-1,0)和点E-12,54的直线的解析式为y=k1x+b1,由54=-12𝑘1+𝑏1,0=-𝑘1+𝑏1解得𝑘1=52,𝑏1=52.

∴直线AE的解析式为y=52x+52,当x=0时,y=52,∴点S的坐标为0,52.类型1二次函数与线段、周长有关的问题例1[2018·天水改编]已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0).(9)若点H是抛物线上位于AD下方的

一点,过点H作y轴的平行线,交AD于点K,设点H的横坐标为h,线段HK=d.①求d关于h的函数关系式;②求d的最大值及此时H点的坐标.【分层分析】①分别将x=h代入抛物线及直线AD的解析式中,得到点H,K的纵坐标,再由点H在点K的下方,表示出HK,可得到d关于h的函数关系式;②利用

二次函数的性质求最值,即可得d的最大值,进而求出H点的坐标.图Z6-1⑥类型1二次函数与线段、周长有关的问题(9)①设过A(-1,0),D(0,3)的直线的解析式为y=k2x+b2,则-𝑘2+𝑏2=0,𝑏2=3

,解得𝑘2=3,𝑏2=3,∴直线AD的解析式为y=3x+3,当x=h时,d=(3h+3)-(h2+4h+3)=-h2-h.②d=-h2-h=-h2+h+14+14=-h+122+14.当h=-12时,d有最

大值14.当h=-12时,y=h2+4h+3=54,所以H-12,54.类型1二次函数与线段、周长有关的问题针对训练1.[2018·怀化]如图Z6-2,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解

析式和直线AC的解析式.(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标.(3)试探究:在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件

的点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-2类型1二次函数与线段、周长有关的问题1.[2018·怀化]如图Z6-2,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛

物线的解析式和直线AC的解析式.图Z6-2解:(1)将点A(-1,0)和B(3,0)的坐标代入抛物线y=ax2+2x+c中,可得:𝑎-2+𝑐=0,9𝑎+6+𝑐=0,解得𝑎=-1,𝑐=3.∴抛物线的

解析式为y=-x2+2x+3.令x=0,则y=3,∴点C的坐标为(0,3).设直线AC的解析式为y=kx+b,则-𝑘+𝑏=0,𝑏=3,解得𝑘=3,𝑏=3.∴直线AC的解析式为y=3x+3.类型1二次函数与线段、周长有关的问题1.[2018·怀化]如图Z6-2,在平面直角坐标系

中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标.图Z6-2(2)如图,作点D关于y轴的对称点D1,连接BD1交y轴于点M,则点M为

所求.由抛物线解析式可得D点的坐标为(1,4),则D1的坐标为(-1,4).设直线BD1的解析式为y=k1x+b1,则3𝑘1+𝑏1=0,-𝑘1+𝑏1=4,解得𝑘1=-1,𝑏1=3,则直线BD1的解析

式为y=-x+3,令x=0可得y=3,则点M的坐标为(0,3).类型1二次函数与线段、周长有关的问题1.[2018·怀化]如图Z6-2,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0)

,B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(3)试探究:在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-2类型1二次函数与线段、周长有关的问题(3)存在.

如图①,当△ACP是以点C为直角顶点时,易得直线CP的解析式为y=-13x+3.由𝑦=-13𝑥+3,𝑦=-𝑥2+2𝑥+3,得𝑥1=0,𝑦1=3,(舍)𝑥2=73,𝑦2=209,∴P点坐标为73,209.如图②,当△ACP是以点A为直角

顶点时,易得直线AP的解析式为y=-13x-13.由𝑦=-13𝑥-13,𝑦=-𝑥2+2𝑥+3,得𝑥1=-1,𝑦1=0,(舍)𝑥2=103,𝑦2=-139,∴P点坐标为103,-139.综上,符合条件的点P

的坐标为73,209或103,-139.类型1二次函数与线段、周长有关的问题2.[2018·齐齐哈尔]如图Z6-3①所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C.(1)求抛物线的解析式;

(2)点E在抛物线的对称轴上,求CE+OE的最小值;(3)如图②所示,M是线段OA上的一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P,N.①若以C,P,N为顶点的三角形与△APM相似,则△CPN的面积为;若点P恰好是线段MN的中点,

点F是直线AC上一个动点,在坐标平面内是否存在点D,使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎.图Z6-

3类型1二次函数与线段、周长有关的问题2.[2018·齐齐哈尔]如图Z6-3①所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C.(1)求抛物线的解析式;图Z6-3解:(1)将A(-4,0)代入y=x+c,得c=4.∴点C的坐标为(0,

4).将(-4,0)和(0,4)代入y=-x2+bx+c,得b=-3.∴抛物线的解析式为y=-x2-3x+4.类型1二次函数与线段、周长有关的问题2.[2018·齐齐哈尔]如图Z6-3①所示,直线y=x+c与x

轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C.(2)点E在抛物线的对称轴上,求CE+OE的最小值;图Z6-3(2)如图所示,作点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C',连接OC'交直线l于点E,连

接CE,此时CE+OE的值最小,且CE+OE=OC'.抛物线的对称轴为直线x=--32×(-1)=-32,则C'C=3,在Rt△C'CO中,由勾股定理,得OC'=𝐶𝐶'2+𝑂𝐶2=5.∴CE+OE的最小值为5.类型1二次函数与线段、周长有

关的问题2.[2018·齐齐哈尔]如图Z6-3①所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C.(3)如图②所示,M是线段OA上的一个动点,过点M

垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P,N.①若以C,P,N为顶点的三角形与△APM相似,则△CPN的面积为;图Z6-3(3)①由题意易知△APM为等腰直角三角形.设M(a,0),则N(a,-a

2-3a+4),P(a,a+4).当△AMP∽△CNP时,𝐴𝑀𝐶𝑁=𝑀𝑃𝑁𝑃,得4+𝑎-𝑎=𝑎+4-𝑎2-3𝑎+4-(𝑎+4),解得a=-4(舍去)或a=-3或a=0(舍去).∴CN=3,PN=3.∴△CPN的面积为

12·CN·PN=92.当△AMP∽△NCP时,𝐴𝑀𝑁𝐶=𝐴𝑃𝑁𝑃,得𝑎+4(-𝑎2-3𝑎+4-4)2+(-𝑎)2=2(4+𝑎)-𝑎2-3𝑎+4-(𝑎+4),解得a=0(舍去)或a=-2或a=-4(舍去).∴CN=

CP=22.∴△CPN的面积为12·CN·PC=4.故答案为92或4.类型1二次函数与线段、周长有关的问题2.[2018·齐齐哈尔]如图Z6-3①所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C.(3)如图②所示

,M是线段OA上的一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P,N.②若点P恰好是线段MN的中点,点F是直线AC上一个动点,在坐标平面内是否存在点D,使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.注

:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎.图Z6-3类型1二次函数与线段、周长有关的问题②存在.D1-2+322,322,D2-2-322,-322,D4(-4,3),D412,32.理由如下:当点P是线段

MN的中点时,-a2-3a+4=2(a+4),解得a=-4(舍去)或a=-1.∴M(-1,0),P(-1,3),N(-1,6).设F(f,f+4),过点M作AC的平行线,易知此直线的解析式为y=x+1.易知PM=3,当PM为菱形的边时,作PF=PM,过F作FD∥

PM,交直线y=x+1于点D,∴D(f,f+1).∴32=2(f+1)2,解得f=-2±322.则D1-2+322,322,D2-2-322,-322.∵PM=AM=3,∴当点F与点A重合时,过点F作DF∥PM(D

在x轴上方),且DF=PM,连接DP,可得出四边形DPMF为菱形.∴点D的坐标为(-4,3).当PM为菱形的对角线时,作PM的垂直平分线,交直线AC于点F,作点F关于PM的对称点D,连接MF,MD,PD,此时四边形DMFP为菱

形.将y=32代入直线AC的解析式可得x=-52,∴点F的坐标为-52,32.∵直线PM的解析式为x=-1,∴点D的坐标为12,32.综上所述,满足条件的点为D1-2+322,322,D2-2-322,-322,D3(-4,3),D412,

32.类型1二次函数与线段、周长有关的问题3.[2018·自贡]如图Z6-4,抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0),直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,点P(m,n)是线段AD上的动点(点P不与点A,D重合).(1)求直线AD及抛物线的解析式.(2)过

点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得以P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点R的坐标;

若不存在,说明理由.图Z6-4解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0),∴𝑎+𝑏-3=0,9𝑎-3𝑏-3=0,解得𝑎=1,𝑏=2,∴该抛物线的解析式为:y=x2+2x-3.当x=-2时,y=(-2)2+2×(-2)-3=-3

,∴D(-2,-3).设直线AD的解析式为y=kx+t,∴𝑘+𝑡=0,-2𝑘+𝑡=-3,解得𝑘=1,𝑡=-1,∴直线AD的解析式为y=x-1.类型1二次函数与线段、周长有关的问题3.[2018·自贡]如图Z6-4,抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,

0),直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,点P(m,n)是线段AD上的动点(点P不与点A,D重合).(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?图Z6-4(2)由题意得:P(m,m-

1),Q(m,m2+2m-3),-2<m<1.∴l=yP-yQ=(m-1)-(m2+2m-3)=-m2-m+2=-m+122+94.∵-2<-12<1,∴当m=-12时,PQ最长.类型1二次函数与线段、周长有关的问题3.[2018·自贡]如图Z6-4,抛

物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0),直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,点P(m,n)是线段AD上的动点(点P不与点A,D重合).(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得以P,Q

,D,R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.图Z6-4(3)在平面内存在整点R,使得以P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形,点R的坐标为:(-2,-1)或(-2,-2)或(-2,-4)或(-2,-5)或(0,-3)或(2,-1).提示:以P,Q,D

,R为顶点的四边形是平行四边形,可分如下情况讨论:分类一:PD是平行四边形的对角线.此时PQ∥RD且PQ=RD,点R在点D上方.∵D(-2,-3),要使R为整点,∴线段RD长必须是整数.又∵PQ=RD,∴线段PQ长必须是整数.由(2)知:PQ=-m2-m+2=-m+122+94,-2<m<1,∴0

<PQ≤94.∴PQ=1或2.∴此时R(-2,-2)或R(-2,-1).类型1二次函数与线段、周长有关的问题分类二:QD是平行四边形的对角线.此时PQ∥RD且PQ=RD,点R在点D下方,∴此时R(-2,-4)或R(

-2,-5).分类三:PQ是平行四边形的对角线.D(-2,-3),P(m,m-1),Q(m,m2+2m-3).设R(xR,yR),根据中点坐标公式:𝑥𝐷+𝑥𝑅2=m,𝑦𝐷+𝑦𝑅2=𝑦𝑃+𝑦𝑄2,解得x

R=2m+2,yR=m2+3m-1.∴R(2m+2,m2+3m-1).∵-2<m<1,要使R为整点,∴m=-1或0.∴此时R(0,-3)或R(2,-1).综上所述,在平面内存在整点R,点R的坐标为:(-2,-1)或(-2,-2)或(-2,-4)或(-2,-5)或(0,

-3)或(2,-1).类型2二次函数与面积的结合例2[2018·日照改编]如图Z6-5①,已知点(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(1)求抛物线解析式;【分层分析】由待定系数法求抛物线解析式.图Z6-5①解:(1)把A

(-1,0),B(3,0),C(0,1)分别代入y=ax2+bx+c,得𝑎-𝑏+𝑐=0,9𝑎+3𝑏+𝑐=0,𝑐=1,解得𝑎=-13,𝑏=23,𝑐=1,所以抛物线的解析式为y=-13x2+23x+1.类型2二次函数与面积的结合例2[2018

·日照改编]如图Z6-5①,已知点(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(2)在抛物线上存在点M,使得△MAB的面积与△ABC的面积相等,求点M的坐标;(2)当y=1时,-13x2+23x+1=1,解得

x1=0(舍去),x2=2;当y=-1时,-13x2+23x+1=-1,解得x3=1+7,x4=1-7.所以符合条件的M点是(2,1),(1+7,-1),(1-7,-1).【分层分析】使得△MAB的面积与△ABC的面积相等,只要高

相等,因为△ABC底边AB上的高为1,所以点M的纵坐标为1和-1时,满足条件,分别代入抛物线解析式求解即可.类型2二次函数与面积的结合例2[2018·日照改编]如图Z6-5①,已知点(-1,0),B(3,0),C(0,1

)在抛物线y=ax2+bx+c上.(3)设抛物线的顶点为D,求D点的坐标;(3)y=-13x2+23x+1=-13(x2-2x-3)=-13[(x-1)2-4]=-13(x-1)2+43,所以D点坐标为1,43.【分层分析】用配方法或顶点坐标公式求解.类型2

二次函数与面积的结合例2[2018·日照改编]如图Z6-5①,已知点(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(4)在(3)的条件下,连接CD,AC,BD,求四边形ACDB和△CBD的面积;(4)OA=1

,OB=3,OC=1,DE=43,OE=1,S四边形ACDB=S△AOC+S梯形COED+S△BDE=12×1×1+12×1+43×1+12×2×43=12+76+43=3+7+86=3.S△CBD=S四边形ACDB-S△ABC=3-12×4×1=1.图Z6-5②【分层分析】如图

Z6-5②,要求四边形ACDB和△CBD的面积,由于四边形ACDB是不规则图形,则可利用S四边形ACDB=S△AOC+S梯形COED+S△BDE计算.由于△CBD的底与高不容易计算,所以可利用S△CBD=S四边形ACDB-S△ABC计算.类型2二次函数与面积的结合例2[2018

·日照改编]如图Z6-5①,已知点(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(5)在直线BC上方的抛物线上求一点N,使△NBC面积为1;(5)∵B(3,0),C(0,1),∴直线BC的解析式为y=-13x+1,作NF⊥x轴,交直线BC于H,交x轴于F,设

Nx,-13x2+23x+1,易得Hx,-13x+1.∴NH=-13x2+23x+1--13x+1=-13x2+x.∴S△NBC=S△NHC+S△NHB=12NH(xB-xC)=12-13x2+x·(3-

0)=-12x2+32x.∵S△NBC=1,∴-12x2+32x=1,∴x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2.∴N11,43,N2(2,1).图Z6-5③【分层分析】作NF⊥x轴,交直线BC于H,交x轴于F,将S△NBC转化为S△NHC+S△NHB,列方程求解.

类型2二次函数与面积的结合例2[2018·日照改编]如图Z6-5①,已知点(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(6)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积最大.(6)由(5)同理可得S△PBC=-12x2+32x=-12x2-3x+94-

94=-12x-322+98,∵0<x<3,∴当x=32时,S△PBC值最大,此时y=-13x2+23x+1=-13×94+23×32+1=54.∴点P的坐标为32,54.【分层分析】要使△PBC面积最

大,可先把△PBC的面积用含字母的式子表示出来,再利用二次函数的性质讨论其最值,进而求得P点坐标.类型2二次函数与面积的结合1.[2018·宁夏]抛物线y=-13x2+bx+c经过点A(33,0)和点B(0,3),且这个抛物线的对称轴为直线l,顶点为C.(1)求抛物线的解析式;(2

)连接AB,AC,BC,求△ABC的面积.图Z6-6针对训练解:(1)由题意得𝑐=3,-9+33𝑏+𝑐=0,解得𝑏=233,𝑐=3.∴抛物线的解析式为y=-13x2+233x+3.类型2二次函数与面积的结合1.[2018·宁夏]抛物线y=-13x2+bx+c经过点A(33,0

)和点B(0,3),且这个抛物线的对称轴为直线l,顶点为C.(2)连接AB,AC,BC,求△ABC的面积.图Z6-6(2)如图,设直线AB交抛物线的对称轴l于点D,l与x轴交于点E,直线AB的解析式为y=kx+3,由题意可得33k+3=0,解得k

=-33,从而直线AB的解析式为y=-33x+3.∵y=-13x2+233x+3=-13(x-3)2+4,∴C(3,4).在y=-33x+3中,当x=3时,y=2,从而D(3,2),故CD=2.∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=12CD·OE+12CD·AE=12C

D·AO=12×2×33=33.类型2二次函数与面积的结合2.[2018·龙东]如图Z6-7,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),对称轴为直线x=-2,平行于x轴的直线与抛物线交于B,C两点,

点B在对称轴左侧,BC=6.(1)求此抛物线的解析式;(2)点P在x轴上,直线CP将△ABC面积分成2∶3两部分,请直接写出P点坐标.图Z6-7解:(1)∵点A(0,2)在抛物线y=x2+bx+c上,∴c=2,∵抛物线的对称轴为直线x=-2,∴-𝑏2×1=-2,∴b=4,

∴抛物线的解析式为y=x2+4x+2.类型2二次函数与面积的结合2.[2018·龙东]如图Z6-7,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),对称轴为直线x=-2,平行于x轴的直线与抛物线交于B,C两点,点B

在对称轴左侧,BC=6.(2)点P在x轴上,直线CP将△ABC面积分成2∶3两部分,请直接写出P点坐标.图Z6-7(2)点P的坐标为(-6,0)或(-13,0),理由如下:∵抛物线的对称轴为直线x=-2,BC∥x轴,且BC=6,∴点C的横坐标为6÷2-2=1,点B的横坐标为-2-6÷2=-

5,把x=1代入y=x2+4x+2得y=7,∴C(1,7),B(-5,7),∴△ABC中BC边上的高为7-2=5,AB=52,AC=5.∴S△ABC=12×6×5=15.设直线CP交AB于点Q,∵直线CP将△AB

C面积分成2∶3两部分,∴符合题意的点P有两个,对应的点Q也有两个.类型2二次函数与面积的结合①当AQ1∶BQ1=2∶3时,作Q1M1⊥y轴于M1,Q1N1⊥BC于N1,则AQ1=22,Q1M1=2,BQ1=32,Q1N1=3,Q1(-2,4),∵C(1,7)

,∴直线CQ1的解析式为y=x+6,令y=0,则x=-6,∴P1(-6,0);②当BQ2∶AQ2=2∶3时,作Q2M2⊥y轴于M2,Q2N2⊥BC于N2,则Q2=32,Q2M2=3,BQ2=22,Q2N2=2,Q2(-3,5),∵C(1,7),∴直线CQ

2的解析式为y=12x+132,令y=0,则x=-13,∴P2(-13,0).综上,点P的坐标为(-6,0)或(-13,0).类型2二次函数与面积的结合3.[2018·徐州]如图Z6-8,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x

2+6x-5的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其顶点为P,连接PA,AC,CP,过点C作y轴的垂线l.(1)求点P,C的坐标.(2)直线l上是否存在点Q,使△PBQ的面积等于△PAC的面积的

2倍?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-8解:(1)∵y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,∴顶点P的坐标为(3,4),令x=0,得y=-5,∴C的坐标为(0,-5).类型2二次函数与面积

的结合3.[2018·徐州]如图Z6-8,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+6x-5的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其顶点为P,连接PA,AC,CP,过点C作y轴的垂线l.(2)直线l上是否存在点Q,使△PBQ的面积等于△PAC的面

积的2倍?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-8类型2二次函数与面积的结合(2)设直线PA,PB分别交l于点M,N,过点C作CD⊥PM于D,过点Q作QE⊥PN于E,令y=-x2+6x-5=-(x-1)(x-5)=0,则A的坐标为(1,

0),B的坐标为(5,0),设PA的解析式为y=kx+b,将P(3,4),A(1,0)代入得3𝑘+𝑏=4,𝑘+𝑏=0,解得𝑘=2,𝑏=-2,∴PA的解析式为y=2x-2,令y=-5,则2x-2=-5,x=-32,∴M的坐标为-32,-5,CM=32,同理可得PB的解析式为y=

-2x+10,N的坐标为152,-5,∵S△PBQ=2S△PAC,而S△PBQ=12PB·QE,S△PAC=12PA·CD,由抛物线的对称性可得PA=PB,PM=PN,∴QE=2CD.如图①,当Q1在点N左边时,∵PM=PN,∴∠PMC=∠PNQ1,又∠MDC=∠NEQ1=90°,∴△MDC∽△

NEQ1,∴𝐶𝐷𝑄1𝐸=𝐶𝑀𝑄1𝑁=12,∴NQ1=2CM=3,∴点Q1的坐标为92,-5.类型2二次函数与面积的结合如图②,当Q2在点N右边时,∵PM=PN,∴∠PMC=∠PNC=∠ENQ2,又∠MDC=∠NEQ2=90°,

∴△MDC∽△NEQ2,∴𝐶𝐷𝑄2𝐸=𝐶𝑀𝑄2𝑁=12,∴NQ2=2CM=3,∴点Q2的坐标为212,-5.综上,存在点Q,点Q的坐标为92,-5或212,-5.类型2二次函数与面积的结合4.[2018·东营]如图Z6-9,抛物线y=a(x-1)·(x-3)(a>0)与x轴交于

A,B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长度.(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式.(3)在(2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否

存在一点P,使得四边形ABPC面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-9解:(1)由题可知当y=0时,a(x-1)(x-3)=0,解得:x1=1,x2=3,则A(1,0),B(3,0

),于是OA=1,OB=3.∵△OCA∽△OBC,∴OC∶OB=OA∶OC.∴OC2=OA·OB=3,即OC=3.类型2二次函数与面积的结合4.[2018·东营]如图Z6-9,抛物线y=a(x-1)·(x-3)(a>0)与x

轴交于A,B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OCA∽△OBC.(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式.图Z6-9(2)在Rt△BOM中,∵C是BM的中点,∴OC=BC,从而点C

的横坐标为32.又OC=3,点C在x轴下方,∴C32,-32.设直线BM的解析式为y=kx+b,因其过点B(3,0),C32,-32,则有3𝑘+𝑏=0,32𝑘+𝑏=-32.∴𝑘=33,𝑏=-3,∴直线BM的解析式为:y=33x-3.又点C32,-32在抛物线上,代入抛物线解析式

,解得a=233.∴抛物线的解析式为:y=233x2-833x+23.类型2二次函数与面积的结合4.[2018·东营]如图Z6-9,抛物线y=a(x-1)·(x-3)(a>0)与x轴交于A,B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OCA∽△O

BC.(3)在(2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-9(3)点P存在.设点P坐标为x,233x2-833x+23,其中32<x

<3.过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q,则Qx,33x-3,PQ=-233x2+33x-33.当△BCP面积最大时,四边形ABPC的面积最大.S△BCP=12PQ·(3-x)+12PQ·x-32=12PQ·3-x+x-32=34PQ=-32x2+934x-9

34.∴当x=94满足32<94<3时,S△BCP有最大值,则四边形ABPC的面积最大,此时点P的坐标为94,-583.类型3二次函数与三角形的结合例3[2017·攀枝花改编]如图Z6-10①,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于

点C(0,3).(1)求抛物线的解析式,并求A点的坐标.图Z6-10①解:(1)由题意得:32+3𝑏+𝑐=0,𝑐=3,解得𝑏=-4,𝑐=3.∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.令y=0,得x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,∴A(1,0)

.【分层分析】把B(3,0),C(0,3)的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c,得关于b,c的方程组,求出b,c,得到解析式,令y=0,即可求得点A的坐标.类型3二次函数与三角形的结合例3[2017·攀枝花改编]如图Z6-10①,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(

3,0),与y轴交于点C(0,3).(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求证:△CFE是等腰直角三角形.(2)证明:由题意OB=OC,∴∠OCB=45°,∵F,E在直线y=x+m上,∴∠C

FE=45°,∠CEF=90°,∴在△CFE中,∠BCO=∠CFE=45°,∴△CFE为等腰直角三角形.【分层分析】求出∠OCB和∠CFE的度数,即可证明△CFE是等腰直角三角形.图Z6-10②类型3二次函数与三角形

的结合例3[2017·攀枝花改编]如图Z6-10①,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(3)在第(2)问的条件下求PE+EF的最大值.【分层分析】方法1:(代

数法)过P作PG∥CF交CB于点G,易知△CFE和△GPE均为等腰直角三角形,设xP=t,线段EF,PE的长用含t的代数式表示,利用二次函数求最值.方法2:(几何法)以BC为对称轴将△FCE对称得到△F'CE,作PH⊥CF'于H,PE+EF=P

F'=2PH=2(yC-yP)=2(3-yP),当yP最小时,PE+EF取最大值.图Z6-10③类型3二次函数与三角形的结合(3)方法1(代数法):如图①,过P作PG∥CF交CB于点G,∵△CFE为等腰直角三角形

,∴△GPE为等腰直角三角形,由题意易得F(0,m),∴EF=22CF=22(3-m),PE=22PG,由B(3,0),C(0,3)得直线BC的解析式为y=-x+3.设P点横坐标为t(1<t<3),则PE=22PG=22(-t+3-t-m)=

22(-m-2t+3),∵t2-4t+3=t+m,∴m=t2-5t+3.∴PE+EF=22(-m-2t+3)+22(3-m)=22(-2t-2m+6)=-2(t+m-3)=-2(t2-4t)=-2(t-2)2+42,∴当t=2时,PE+EF取最

大值42.方法2(几何法):∵△CEF为等腰直角三角形,以BC为对称轴将△FCE对称得到△F'CE,如图②,易得CF'∥x轴,作PH⊥CF'于H点,则PE+EF=PF'=2PH.又PH=yC-yP=3-yP.∴当yP最小时,PE+EF取最大

值,∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),∴当yP=-1时,(PE+EF)max=2×(3+1)=42.类型3二次函数与三角形的结合例3[2017·攀枝花改编]如图Z6-10①,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y

轴交于点C(0,3).(4)点D为抛物线对称轴上一点.当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,求点D的坐标.【分层分析】分类讨论:满足条件的D点有两个:D在直线BC的上方与D在直线BC的下方,由勾股定理得

到关于所求D点的纵坐标的方程,即求出D1和D2的坐标.图Z6-10④类型3二次函数与三角形的结合(4)由(1)知对称轴为直线x=2,设D(2,n),如图③.当△BCD是以BC为直角边的直角三角形,且D在BC上方D1位置时,由勾股定理得C𝐷12+

BC2=B𝐷12,即(2-0)2+(n-3)2+(32)2=(3-2)2+(0-n)2,解得n=5;当△BCD是以BC为直角边的直角三角形,且D在BC下方D2位置时,由勾股定理得B𝐷22+BC2=C𝐷22

,即(2-3)2+(n-0)2+(32)2=(2-0)2+(n-3)2,解得n=-1.∴点D的坐标为(2,5)或(2,-1).类型3二次函数与三角形的结合例3[2017·攀枝花改编]如图Z6-10①,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两

点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(5)点D为抛物线对称轴上一点.若△BCD是锐角三角形,求点D的纵坐标的取值范围.【分层分析】以BC为直径作圆,则圆与对称轴的交点(设为D3,D4)与点B,C构成的三角形是直角三角形,由

已知条件求得D3,D4的坐标,结合(4),求得点D的纵坐标的取值范围.图Z6-10⑤类型3二次函数与三角形的结合(5)当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,D点坐标为(2,5)或(2,-1).如图④,以BC的中点T32,32为圆心,12BC长为半径作☉T,与直线x=2交于D3和D4两点,

由直径所对的圆周角是直角得∠CD3B=∠CD4B=90°,设D(2,m),由DT=12BC=322得32-22+32-m2=3222,解得m=3±172,∴D32,3+172,D42,3-172,又由(4)得D1(2,5),D2(2,-1),∴若△BCD是锐角三角形,则D点在线段D1D3或D2D

4上(不与端点重合),∴点D的纵坐标的取值范围是-1<yD<3-172或3+172<yD<5.类型3二次函数与三角形的结合针对训练1.[2018·临沂]如图Z6-11,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2,点B

的坐标为(1,0),抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点.(1)求抛物线的解析式.(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点.过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE=12DE.①求点P的坐标.②在直线PD上是否存在点M,使△ABM为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点M的坐标;

若不存在,请说明理由.图Z6-11类型3二次函数与三角形的结合1.[2018·临沂]如图Z6-11,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2,点B的坐标为(1,0),抛物线y=-x

2+bx+c经过A,B两点.(1)求抛物线的解析式.图Z6-11解:(1)在Rt△ABC中,由点B的坐标可知OB=1.∵OC=2OB,∴OC=2,C(-2,0),则BC=3.又∵tan∠ABC=2,∴AC=2BC=6,则点A的坐标为(-2,6).把点A,B的坐标代入抛物

线的解析式y=-x2+bx+c中,得-1+𝑏+𝑐=0,-4-2𝑏+𝑐=6,解得:𝑏=-3,𝑐=4.故该抛物线的解析式为y=-x2-3x+4.类型3二次函数与三角形的结合1.[2018·临沂]如图Z6-11,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=

2,点B的坐标为(1,0),抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点.(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点.过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE=12DE.①求点P的坐标.图Z6-11(2)①由点A(-2,6)和点B(1,0)的坐标求得直线AB的解析式为y=-2

x+2.如图①,设点P的坐标为(m,-m2-3m+4),则点E的坐标为(m,-2m+2),点D的坐标为(m,0).则PE=-m2-m+2,DE=-2m+2,由PE=12DE,得:-m2-m+2=12(-

2m+2),解得:m=±1.又∵-2<m<1,∴m=-1,∴点P的坐标为(-1,6).①类型3二次函数与三角形的结合1.[2018·临沂]如图Z6-11,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC

=2,点B的坐标为(1,0),抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点.(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点.过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE=12DE.②在直线PD上是否存在点M,

使△ABM为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-11②存在.设点M的坐标为(-1,n).如图②,以AB为直角边,分别以A,B为直角顶点作直角三角形ABM交PD于点M1,M2.当M1A⊥AB时,由B𝑀1

2=A𝑀12+AB2,得:(-1-1)2+n2=(-2+1)2+(6-n)2+(-2-1)2+(6-0)2,解得:n=132.故此时,点M的坐标为-1,132.②类型3二次函数与三角形的结合当M2B⊥AB时,由A𝑀22=B𝑀22+AB2,得:(-2+1)2

+(6-n)2=(-1-1)2+n2+(-2-1)2+(6-0)2,解得:n=-1.故此时,点M的坐标为(-1,-1).如图③,以AB为直径作圆交直线PD于M3,M4,此时△ABM是以AB为斜边的直角三角形.由AB2=AM2+BM2

,得:(-2-1)2+(6-0)2=(-2+1)2+(6-n)2+(-1-1)2+n2,解得:n=±11+3.故此时,点M的坐标为(-1,11+3),(-1,-11+3).综上所述,符合条件的点M的坐标分别为-1,132,(-1,-1),(-1,11+3),(-1,-11+3).②③类型3

二次函数与三角形的结合2.[2018·德阳]如图Z6-12,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,点A在x轴上,点B在y轴上,点C(3,1),二次函数y=13x2+bx-32的图象经过点C.(1)求二次函数的解析式,并把解析式化成y=a(x-h)2+k的形

式.(2)把△ABC沿x轴正方向平移,当点B落在抛物线上时,求△ABC扫过区域的面积.(3)在抛物线上是否存在异于点C的点P,使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?如果存在,请求出所有符合条件的

点P的坐标;如果不存在,请说明理由.图Z6-12解:(1)∵点C(3,1)在二次函数的图象上,∴1=13×32+3b-32,解得b=-16,∴二次函数的解析式为y=13x2-16x-32,化成y=a(x-h)2+k的形式为y=13x

-142-7348.类型3二次函数与三角形的结合2.[2018·德阳]如图Z6-12,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,点A在x轴上,点B在y轴上,点C(3,1),二次函数y=13x2+bx-3

2的图象经过点C.(2)把△ABC沿x轴正方向平移,当点B落在抛物线上时,求△ABC扫过区域的面积.图Z6-12(2)如图,作CK⊥x轴于K,设△ABC平移后为△EDH.∵∠ABO+∠BAO=90°,∠BAO+∠CAK=90°,∴∠ABO=∠CAK.∵AB=AC,

∠AOB=∠AKC=90°,∴△ACK≌△BAO,∴OA=CK=1,AK=OB=2,即B(0,2),∴当点B平移到抛物线上的点D时,设D(m,2),由2=13m2-16m-32,解得m1=-3(不合题意,舍去),m2=72.而AB=AC

=22+12=5,∴△ABC扫过的面积=S四边形AEDB+S△ABC=72×2+12×5×5=9.5.类型3二次函数与三角形的结合2.[2018·德阳]如图Z6-12,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,点A在x轴上,点B在y轴上,点C(3,1),二次函数y=13x2+bx-

32的图象经过点C.(3)在抛物线上是否存在异于点C的点P,使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?如果存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.图Z6-12(3)①当∠BAP=90°时,作PF⊥x轴于F,易证△ACK≌△APF,可得点P(-1,-1),

当x=-1时,y=13×(-1)2-16×(-1)-32=-1,∴点P(-1,-1)在抛物线上;②当∠ABP=90°时,过点P作PG⊥y轴,同理可得点P(-2,1),当x=-2时,y=13×(-2)2-16×(-2)-32≠1,

此时点P(-2,1)不在抛物线上.综上所述,符合条件的点P有一个,P点坐标为(-1,-1).类型3二次函数与三角形的结合3.[2018·雅安]如图Z6-13,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与

y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D,连接AD.(1)求点A,B,C的坐标;(2)若点P是直线AD上方抛物线上一点,求△PAD面积的最大值.(3)如图②,过点A作AE与抛物线交于点E,且AB平分∠DAE,在x轴上是否存在点M,使得△AEM为等腰三角形?若存在,求出

点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-13解:(1)因为抛物线与x轴交于A,B两点,所以当y=0时,得-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,因为点A在点B左侧,所以A(-1,0),B(3,0),因为抛物线与y轴交于点C,当x=0时,y=

3,所以C(0,3).类型3二次函数与三角形的结合3.[2018·雅安]如图Z6-13,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D,连接AD.(2)若点P是直

线AD上方抛物线上一点,求△PAD面积的最大值.图Z6-13(2)由(1)可知A(-1,0),B(3,0),所以对称轴为直线x=1,因为C(0,3),且CD∥x轴,所以D(2,3),设直线AD的表达式为y=kx+b,则2𝑘+𝑏=3,-𝑘+𝑏=0,解得𝑘=1,𝑏

=1,所以直线AD的表达式为y=x+1,过点P作PQ∥y轴交AD于点Q,设P(a,-a2+2a+3)(-1<a<2),则Q(a,a+1),所以PQ=-a2+2a+3-(a+1)=-a2+a+2,所以S△PAD=S△PAQ+S△PDQ=12×3·PQ=32(-a2+a+2)=-32a-122+

278,当a=12时,S△PAD取得最大值278,所以S△PAD的最大值为278.类型3二次函数与三角形的结合3.[2018·雅安]如图Z6-13,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D,

连接AD.(3)如图②,过点A作AE与抛物线交于点E,且AB平分∠DAE,在x轴上是否存在点M,使得△AEM为等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-13(3)分别过点D,E作DH⊥x轴,EF⊥x轴,垂足分

别为H,F,因为A(-1,0),D(2,3),所以AH=DH=3,所以∠DAH=45°,因为AB平分∠DAE,所以∠EAF=∠DAH=45°,所以AF=EF,设E(m,-m2+2m+3)(m>3),则m+1=m2-2m-3

,解得m1=4,m2=-1(舍去),所以E(4,-5),所以AE=52.①当AE=AM时,可得AM=52,因为A(-1,0),所以M1(-52-1,0),M2(52-1,0);②当EA=EM时,可得EM=52,所以点F为点A和点M的中点,所以M3(9,0);③当AM=E

M时,点M与点F重合,所以M4(4,0).综上所述,符合条件的点M有4个:M1(-52-1,0),M2(52-1,0),M3(9,0),M4(4,0).类型4二次函数与四边形的结合例4[2017·岳阳改编](1)已知抛物线y=23x2+bx+c经过点B(3,0),C(0,-2),求抛物

线的解析式;解:(1)将B3,0,C0,-2的坐标代入y=23x2+bx+c,得6+3𝑏+𝑐=0,𝑐=-2,解得:𝑏=-43,𝑐=-2,∴抛物线的解析式为y=23x2-43x-2.【分层分析】把B(3,0),C(0,-2)的坐标代入抛物线解析

式y=23x2+bx+c,得关于b,c的方程组,求出b,c.类型4二次函数与四边形的结合例4[2017·岳阳改编](2)如图Z6-14①,在(1)的条件下,直线l:y=-23x-23交y轴于点E,且与抛物线

交于A,D两点.P为抛物线上一动点(不与A,D重合).当点P在直线l下方时,过点P作PM∥x轴交l于点M,PN∥y轴交l于点N.设点P的横坐标为a,求M,N的坐标(用字母a表示);(2)∵P点横坐标为a,∴Pa,2

3a2-43a-2,∵PM∥x轴,PN∥y轴,M,N在直线AD上,∴N𝑎,-23𝑎-23,M-𝑎2+2𝑎+2,23𝑎2-43𝑎-2.【分层分析】由二次函数求P点坐标,P点与N点横坐标相同,代入一次函数解析式求N点纵坐标,P点与M

点纵坐标相同,代入一次函数解析式求M点横坐标.图Z6-14①类型4二次函数与四边形的结合例4[2017·岳阳改编](3)在(2)的条件下,求PM+PN的最大值;(3)PM+PN=(-a2+2a+2-a)+-23𝑎-23-

23𝑎2-43𝑎-2=-53a2+53a+103=-53𝑎-122+154,∴当a=12时,PM+PN的最大值是154.类型4二次函数与四边形的结合例4[2017·岳阳改编](4)如图Z6-14②,在(1)的条件下,直线l:y=

-23x-23交y轴于点E,且与抛物线交于A,D两点.P为抛物线上一动点(不与A,D重合).设F为直线l上的点,以E,C,P,F为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,求出点F的坐标;若不能,请说明理由.【分层分析】分类讨论:①以CE为边的平

行四边形,根据CE=PF,列方程;②以CE为对角线的平行四边形,连接PF交CE于G,CG=GE,PG=FG,列方程.图Z6-14②类型4二次函数与四边形的结合(4)∵直线y=-23x-23交y轴于点E,∴E0,-23,∴CE=43,设Fm,-23m-23.①当EC

为边时,有Pm,23m2-43m-2,EC=PF,即-23m2+23m+43=43,解得:m=0或m=1或m=1±172,其中m=0时不成立,舍去;②当EC为对角线时,如图,PF中点即为EC中点,设EC中点为

G,则G0,-43,可得P-m,23m-2,∵点P在抛物线上,所以23m2+43m-2=23m-2,解得:m=0或m=-1,其中m=0时不成立,舍去.综上所述,F点的坐标为:1,-43,(-1,0),1+172,-3+173,1-172,-3

-173.类型4二次函数与四边形的结合针对训练1.[2018·通辽]如图Z6-15,抛物线y=ax2+bx-5与坐标轴交于A(-1,0),B(5,0),C(0,-5)三点,顶点为D.(1)请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)连接BC与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段

BC上的一个动点(点P不与B,C两点重合),过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.①是否存在点P,使四边形PEDF为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.②过点F作FH⊥BC于点H,求△PFH周长的最大值.图Z6-15解:(1)y=x2-

4x-5,D(2,-9).类型4二次函数与四边形的结合1.[2018·通辽]如图Z6-15,抛物线y=ax2+bx-5与坐标轴交于A(-1,0),B(5,0),C(0,-5)三点,顶点为D.(2)连接BC与抛物线的对称轴

交于点E,点P为线段BC上的一个动点(点P不与B,C两点重合),过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.①是否存在点P,使四边形PEDF为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.图Z6-15类型4二次函数与四边形的结合(2)①存在.设直线BC的解析式为y

=kx+b(k≠0),把B(5,0),C(0,-5)分别代入,得5𝑘+𝑏=0,𝑏=-5,解得𝑘=1,𝑏=-5,∴直线BC的解析式为y=x-5.当x=m时,y=m-5,∴P(m,m-5).当x=2时,y=2-5

=-3,∴E(2,-3).∵PF∥DE∥y轴,∴F点的横坐标为m,此时它的纵坐标为m2-4m-5,∴F(m,m2-4m-5).∴PF=(m-5)-(m2-4m-5)=-m2+5m.∵E(2,-3),D(2,-9),∴DE=-3-(-9)=6.连接DF,如图,∵PF∥DE,∴当

PF=DE时,四边形PEDF为平行四边形,即-m2+5m=6,解得m1=2(舍去),m2=3,当m=3时,y=3-5=-2,此时P(3,-2),∴存在点P(3,-2),使四边形PEDF是平行四边形.类型4二次函数与四边形的结合

1.[2018·通辽]如图Z6-15,抛物线y=ax2+bx-5与坐标轴交于A(-1,0),B(5,0),C(0,-5)三点,顶点为D.(2)连接BC与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点(点P不与B,C两点重合),过点P作P

F∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.②过点F作FH⊥BC于点H,求△PFH周长的最大值.图Z6-15②由题意可得在Rt△BOC中,OB=OC=5,∴BC=𝑂𝐵2+𝑂𝐶2=52.∴C△BOC=OB+

OC+BC=10+52.∵PF∥DE∥y轴,∴∠FPE=∠DEC=∠OCB,∵FH⊥BC,∴∠FHP=∠BOC=90°,∴△PFH∽△CBO,∴𝐶△𝑃𝐹𝐻𝐶△𝐵𝐶𝑂=𝑃𝐹𝐵𝐶,即C△PFH=10+5252(-m2+5m)=(2+1)(-m2+5m),∵0

<m<5,∴当m=-52×(-1)=52时,C△PHF最大=252+254.类型4二次函数与四边形的结合2.[2018·衡阳]如图Z6-16,已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A,B,抛物线经过A,B两

点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.(1)若抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.①求点M,N的坐标.②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由.(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物

线,使得以B,P,D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.图Z6-16类型4二次函数与四边形的结合2.[2018·衡阳]如图Z6-16,已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A,B,抛物线经过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点

P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.(1)若抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.①求点M,N的坐标.②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由.图Z6-16解:(1)①∵y=-

2x2+2x+4,∴y=-2x-122+92,∴M12,92.当x=12时,y=-2x+4=3.∴N点的坐标为12,3.②设P点的坐标为(t,-2t+4),则点D的坐标为(t,-2t2+2t+4).∴PD=-2t2+2t+4-(-2t+4)=

-2t2+4t,如果四边形MNPD为菱形,则PD=MN,∴-2t2+4t=92-3,解得t1=12(舍去),t2=32,∴P点的坐标为32,1,∴PN=(32-12)2+(3-1)2=5≠32=MN,∴不存在点P

使得四边形MNPD为菱形.类型4二次函数与四边形的结合2.[2018·衡阳]如图Z6-16,已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A,B,抛物线经过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.(2)当点P

的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B,P,D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.图Z6-16类型4二次函数与四边形的结合(2)∵PD∥OB,∴∠BP

D=∠ABO.如图①,当BD1⊥PD1时,∠BD1P=90°,∴∠BD1P=∠AOB.∴△BD1P∽△AOB.∵点P的横坐标为1,∴BD1=1,点D1的坐标为(1,4).由题意可知,B,D1关于直线x=12对称,∴经过

B,D1,A的抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4.如图②,当BD2⊥AB时,∠D2BP=90°,∴∠D2BP=∠AOB.∴△D2BP∽△AOB.∴𝐵𝑃𝑂𝐵=𝑃𝐷2𝐴𝐵.把x=1代入y=-2x+4中,得y=2,把x=0代入y=-2x+

4中,得y=4,∴P的坐标为(1,2),B的坐标为(0,4).①②类型4二次函数与四边形的结合令-2x+4=0,则x=2,∴A的坐标为(2,0).∴OA=2,OB=4,BP=(0-1)2+(4-2)2=5,AB=42+22=25.∴54=

𝑃𝐷225.∴PD2=52.∴CD2=2+52=92.∴点D2的坐标为1,92.设经过B,D2,A的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,将B(0,4),D21,92,A(2,0)的坐标代入可得𝑐=4,𝑎+𝑏+𝑐=92,4𝑎+2𝑏+𝑐=0,解得𝑎

=-52,𝑏=3,𝑐=4.∴抛物线的解析式为y=-52x2+3x+4.综上所述,满足条件的抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4或y=-52x2+3x+4.②类型4二次函数与四边形的结合3.如图Z6-17,在平面直角坐标系中,二次函数y=x

2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,-3),点P是直线BC下方抛物线上的动点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)连接PO,PC,并将△POC沿y轴对折,得到四边形POP'C,那么是否存在点P,使得四边形POP'C为菱

形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.图Z6-17解:(1)将B,C两点的坐标代入y=x2+bx+c,得3𝑏+𝑐=-9,𝑐=-3,解

得𝑏=-2,𝑐=-3.∴这个二次函数的解析式为:y=x2-2x-3.(2)假设抛物线上存在点P(x,x2-2x-3),使得四边形POP'C为菱形.如图①,连接PP'交CO于点E.∵四边形POP'C为菱形,∴PC=PO,PE⊥CO,∴OE=EC=32,∴P点的纵坐标为-32

,即x2-2x-3=-32,解得x1=2+102,x2=2-102(不合题意,舍去).∴存在点P2+102,-32,使得四边形POP'C为菱形.类型4二次函数与四边形的结合3.如图Z6-17,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图

象与x轴交于A,B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,-3),点P是直线BC下方抛物线上的动点.(2)连接PO,PC,并将△POC沿y轴对折,得到四边形POP'C,那么是否存在点P,使得四边形POP'C为菱形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;图Z6

-17(3)如图②,过点P作y轴的平行线交BC于点Q,交OB于点F,设P(x,x2-2x-3).由x2-2x-3=0得点A的坐标为(-1,0).∵B点的坐标为(3,0),C点的坐标为(0,-3),∴直线BC的解析式为:y=x-3,∴Q点的坐标为(x,x-3),∴AB=4,CO=3,BO=3

,PQ=-x2+3x.∴S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=12AB·CO+12PQ·BF+12PQ·FO=12AB·CO+12PQ·(BF+FO)=12AB·CO+12PQ·BO=12×4×3+12(-x2+3x)×3=-32x2+92x+6=-32𝑥-

322+758.∴当x=32时,四边形ABPC的面积最大,此时P点的坐标为32,-154,四边形ABPC的最大面积为758.类型4二次函数与四边形的结合3.如图Z6-17,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2

+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,-3),点P是直线BC下方抛物线上的动点.(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.图Z6-17类型4二次函数与四边形的结合4

.[2017·威海]如图Z6-18,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3).点M,N为抛物线上的动点,过点M作MD∥y轴,交直线BC于点D,交x轴于点E.(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达

式;(2)过点N作NF⊥x轴,垂足为点F.若四边形MNFE为正方形(此处限定点M在对称轴的右侧),求该正方形的面积;(3)若∠DMN=90°,MD=MN,求点M的横坐标.图Z6-18解:(1)∵抛物线y=ax2+bx

+c经过点A(-1,0),B(3,0),∴设抛物线的函数表达式为y=a(x+1)(x-3),将C(0,3)代入上式,得3=a(0+1)(0-3),解得a=-1.∴所求函数表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x

2+2x+3.类型4二次函数与四边形的结合4.[2017·威海]如图Z6-18,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3).点M,N为抛物线上的动点,过点M作MD∥y轴,交直线BC于点D,

交x轴于点E.(2)过点N作NF⊥x轴,垂足为点F.若四边形MNFE为正方形(此处限定点M在对称轴的右侧),求该正方形的面积;图Z6-18(2)由(1)知,抛物线的对称轴为x=-22×(-1)=1.如图①,设M点的坐标为(m,-m2+2m+3),∴ME=|-m2+2m+3|.∵M,N关于直线

x=1对称,且点M在对称轴右侧,∴N点横坐标为2-m.∴MN=2m-2.∵四边形MNFE为正方形,∴ME=MN.∴|-m2+2m+3|=2m-2.分两种情况:①-m2+2m+3=2m-2.解得m1=5,m2=-5(不符合题意,舍去).当m=5时,正方形的面积为(25-2)2=24-85.②m

2-2m-3=2m-2.解得m3=2+5,m4=2-5(不符合题意,舍去).当m=2+5时,正方形的面积为[2(2+5)-2]2=24+85.综上所述,正方形的面积为24-85或24+85.类型4二次函数与

四边形的结合4.[2017·威海]如图Z6-18,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3).点M,N为抛物线上的动点,过点M作MD∥y轴,交直线BC于点D,交x轴于点E.(3)若∠DMN=90°,MD=MN,求点M的横坐标.图Z

6-18(3)设直线BC的函数表达式为y=kx+n.把B(3,0),C(0,3)代入表达式,得3𝑘+𝑛=0,𝑛=3,解得𝑘=-1,𝑛=3.∴直线BC的函数表达式为y=-x+3.设点M的坐标为(a,-a2+2a+3),则点D的坐标为(a,-a+3),∴DM=|-a2

+3a|,∵DM∥y轴,DM⊥MN,∴MN∥x轴.∴M,N关于x=1对称.∴N点的横坐标为2-a.∴MN=|2a-2|,∵DM=MN,∴|-a2+3a|=|2a-2|.分两种情况:①如图②,-a2+3a=2a-2,解得a1=2,a2=-1.②如图③,-a2+

3a=2-2a,解得a3=5+172,a4=5-172.综上所述,M点的横坐标为a1=2,a2=-1,a3=5+172,a4=5-172.类型5二次函数与圆的结合例5[2017·绵阳改编](1)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标

是(2,1),并且经过点(4,2).求抛物线的解析式.解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k,因为抛物线的顶点坐标是(2,1),所以y=a(x-2)2+1,又抛物线经过点(4,2),所以2=a(4-2)2+1,解

得a=14,所以抛物线的解析式是y=14(x-2)2+1=14x2-x+2.【分层分析】根据抛物线的顶点坐标为(2,1),可设抛物线为y=a(x-2)2+1,将(4,2)代入可得a的值.类型5二次函数与圆的结合例5[2017·绵阳改编](2)在(1)的条件下,直线y=1

2x+1与抛物线交于B,D两点,求B,D两点的坐标.(2)联立𝑦=14𝑥2-𝑥+2,𝑦=12𝑥+1,消去y,整理得x2-6x+4=0,解得x1=3-5,x2=3+5,代入直线的解析式,解得y1

=52-52,y2=52+52,所以B3-5,52-52,D3+5,52+52.【分层分析】联立抛物线和直线的解析式,得方程组,解方程组即可.图Z6-19①类型5二次函数与圆的结合例5[2017·绵阳改编](3

)在(2)的条件下,求BD的长度.(3)利用两点间距离公式,可算出BD=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2=5.【分层分析】构造直角三角形,由勾股定理得出两点间的距离公式AB=(𝑥𝐴-𝑥𝐵

)2+(𝑦𝐴-𝑦𝐵)2,套公式求出BD.类型5二次函数与圆的结合例5[2017·绵阳改编](4)以BD为直径作圆,圆心为点C,求证:圆C与x轴相切.(4)证明:因为点C是BD的中点,所以点C的纵坐标为52-52+52+522=52,因为半径r=𝐵𝐷2=52,∴圆心C

到x轴的距离等于半径r,所以圆C与x轴相切.【分层分析】利用中点坐标公式求出C点的纵坐标,得出点C到x轴的距离,进而根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判定.图Z6-19②类型5二次函数与圆的结合例5[2017·绵阳改编](5)圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1).直线

m上每一点的纵坐标都等于1.过点B作BE⊥m,垂足为E,再过点D作DF⊥m,垂足为F.求BE∶MF的值.【分层分析】方法一:连接BM和DM,通过证明△BME∽△MDF,得出𝐵𝐸𝑀𝐹=𝐸𝑀𝐷𝐹,进一步可得关于t的方程,解方程

可得t的值.由t值可求得BE∶MF的值.方法二:过点C作CH⊥m于H,连接CM,利用圆的性质、线段间的关系、勾股定理等求得CM,CH,MH,MF的值,利用点B,E的坐标求得BE,从而可得𝐵𝐸𝑀𝐹的值.图Z6-19③类型5二次

函数与圆的结合(5)方法一:连接BM和DM,因为BD为直径,所以∠BMD=90°,所以∠BME+∠DMF=90°,又因为BE⊥m于点E,DF⊥m于点F,所以∠BME=∠MDF,所以△BME∽△MDF,所以𝐵𝐸𝑀𝐹=𝐸𝑀𝐷𝐹,∵BE=32-52,

MF=3+5-t,EM=t-(3-5),DF=32+52,∴32-52(3+5)-𝑡=𝑡-(3-5)32+52,化简得(t-3)2=4,解得t=5或t=1,因为点M在对称轴右侧,所以t=5,所以𝐵𝐸𝑀�

�=5+12.方法二:过点C作CH⊥m,垂足为H,连接CM,由(4)知CM=r=52,CH=r-1=32,由勾股定理,得MH=2,又HF=3+5-(3-5)2=5,所以MF=HF-MH=5-2,又BE=

52-52-1=32-52,所以𝐵𝐸𝑀𝐹=5+12.类型5二次函数与圆的结合针对训练1.[2018·广州]已知抛物线y=x2+mx-2m-4(m>0).(1)证明:该抛物线与x轴总有两个不同的交点.(2)设该抛物线与x轴的两个

交点分别为A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,A,B,C三点都在☉P上.①试判断:不论m取任何正数,☉P是否经过y轴上某个定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由.②若点C关于直线x=-𝑚2的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,△BDE的周长

记为l,☉P的半径记为r,求𝑙𝑟的值.解:(1)证明:令y=0,则x2+mx-2m-4=0.∵Δ=m2-4(-2m-4)=m2+8m+16=(m+4)2,又m>0,∴(m+4)2>0.∴此方程总有两个不相等的实数根,∴抛物线与x轴总有两个不同的交点.类型5二次函数与圆的结合1.[20

18·广州]已知抛物线y=x2+mx-2m-4(m>0).(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,A,B,C三点都在☉P上.①试判断:不论m取任何正数,☉P是否经过y轴上某个定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由.(2)①经过.

如图,设☉P经过y轴上的另一个交点F,连接BF,AF.令y=0,则x2+mx-2m-4=0.(x-2)(x+m+2)=0.x1=2,x2=-m-2.又m>0,点A在点B的右侧.∴A(2,0),B(-m-2

,0).∵当x=0时,y=-2m-4,∴C(0,-2m-4).则AO=2,BO=m+2,CO=2m+4.∵∠BCO=∠BAF,∠CBO=∠AFO,∴△BCO∽△FAO.∴𝐹𝑂𝐵𝑂=𝐴𝑂𝐶𝑂,∴𝐹𝑂𝑚+2=2

2𝑚+4.∴FO=1,点F(0,1).∴不论m取任何正数,☉P经过y轴上一定点,该定点的坐标为(0,1).类型5二次函数与圆的结合1.[2018·广州]已知抛物线y=x2+mx-2m-4(m>0).(2)设该抛物线与x轴

的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,A,B,C三点都在☉P上.②若点C关于直线x=-𝑚2的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,△BDE的周长记为l,☉P的半径记为r,求𝑙𝑟的值.②如图,∵点C(0

,-2m-4)关于直线x=-𝑚2的对称点为点E,∴E(-m,-2m-4),又B(-m-2,0),D(0,1),∴BD2=(m+2)2+12=m2+4m+5,DE2=(2m+5)2+m2=5m2+20m+25,BE2=22+(2m+4)

2=4m2+16m+20.∴BD2+BE2=DE2.∴∠DBE=90°,∴DE是☉P的直径.∵BD2=m2+4m+5,BE2=4m2+16m+20,∴𝐵𝐷2𝐵𝐸2=14.∴𝐵𝐷𝐵𝐸=12.设BD=

a,则BE=2a,DE=5a.∴𝑙𝑟=3𝑎+5𝑎5𝑎2=10+655.类型5二次函数与圆的结合2.[2018·遵义]在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C(0,2)和点D(4,-2),点E是直线y=-13x+2与二次函数图象在第一象限内的

交点.(1)求二次函数的解析式及点E的坐标;(2)如图Z6-20①,若点M是二次函数图象上的点,且在直线CE的上方,连接MC,OE,ME,求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标;(3)如图②,经过A,B,C三点的圆交y轴于点F,求点F的坐标.图Z6-20解:(1

)因为二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C(0,2)和点D(4,-2),所以2=𝑐,16𝑎+53×4+𝑐=-2,解得𝑎=-23,𝑐=2,二次函数解析式为y=-23x2+53x+2,与y=-13x+2联立,解得x1=0(舍去),x2=3,此时,y=1,故

E(3,1).类型5二次函数与圆的结合2.[2018·遵义]在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C(0,2)和点D(4,-2),点E是直线y=-13x+2与二次函数图象在第一象限内

的交点.(2)如图Z6-20①,若点M是二次函数图象上的点,且在直线CE的上方,连接MC,OE,ME,求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标;图Z6-20(2)S四边形COEM=S△COE+S△CME,S△COE=12·CO·|xE|,因为C(0,2),E(3,1),所以S△COE=3,

S△CME=12·CE·h,其中h为点M到CE的距离,因为M在抛物线上运动,因此当平行于CE的直线l'与抛物线相切于点M时,h最大,从而面积最大,设l':y=-13x+b,与y=-23x2+53x+2联立,消去y得-13x+b=-23x2+53x+2,令Δ=0,可得b=72,此

时点M坐标为32,3,过点M作MN∥y轴,交CE于点N,在y=-13x+2中,令x=32,得y=32,∴N32,32,所以S△CME=12·MN·|xC-xE|=94,所以S四边形COEM=S△COE+S△CME=214.类型5二次函数与圆的结合2.[

2018·遵义]在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C(0,2)和点D(4,-2),点E是直线y=-13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点.(3)如图②,经过A,B,C三点的圆交y轴于点F,求点F的坐标.图Z6-20(3)在y=-23x2+53x+

2中,令y=0,得x1=5+734,x2=5-734,∴OA=73-54,OB=5+734,连接BF,AC,因为∠ACO=∠ABF,∠AOC=∠FOB,所以△AOC∽△FOB,则𝑂𝐴𝑂𝐹=𝑂𝐶𝑂𝐵,所以73-54𝑂𝐹=25+73

4,解得OF=32,所以F0,-32.类型5二次函数与圆的结合3.[2017·株洲]已知二次函数y=-x2+bx+c+1.(1)当b=1时,求这个二次函数图象的对称轴.(2)若c=-14b2-2b,问:b为何值时,二次函数的图象与x轴相切?(3)若二次函数的图

象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,与y轴的正半轴交于点M,以AB为直径的半圆恰好经过点M,二次函数图象的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别相交于点D,E,F,且满足𝐷𝐸𝐸𝐹=13,求二次函数的表达式.图Z6-21解:(1)二次函数图象的对称轴为直线

x=-𝑏2𝑎,由于a=-1,b=1,所以x=12.类型5二次函数与圆的结合3.[2017·株洲]已知二次函数y=-x2+bx+c+1.(2)若c=-14b2-2b,问:b为何值时,二次函数的图象与x轴

相切?(2)图象与x轴相切就是图象与x轴只有一个交点,即-x2+bx+-14b2-2b+1=0有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4×(-1)×-14b2-2b+1=0,∴-8b+4=0,解得b=12.类型5二次

函数与圆的结合3.[2017·株洲]已知二次函数y=-x2+bx+c+1.(3)若二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,与y轴的正半轴交于点M,以AB为直径的半圆恰好经过点M,二次函数图象的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别相交于点D

,E,F,且满足𝐷𝐸𝐸𝐹=13,求二次函数的表达式.图Z6-21(3)∵以AB为直径的半圆经过点M,∴∠AMB=90°,易证△AOM∽△MOB,∴MO2=AO·OB,∴(c+1)2=|x1|·|x2|=|-c-1|,

解得c=0或c=-1(舍去)或c=-2(舍去),∴y=-x2+bx+1,∴x1·x2=-1,x1+x2=b,设A(m,0)(m<0),则B-1𝑚,0,b=𝑚2-1𝑚,对称轴为直线x=𝑏2=𝑚2-12𝑚,∵直线AM经过点A(m,0),M(0

,1),∴直线AM的解析式为yAM=-1𝑚x+1,∵直线BM经过点B-1𝑚,0,M(0,1),∴直线BM的解析式为yBM=mx+1,∵xE=𝑚2-12𝑚,∴yE=𝑚2+12,DE=𝑚2+12,∵xF=𝑚2-12𝑚,∴yF=𝑚2+12𝑚2,∴DF=𝑚2+12�

�2.∵𝐷𝐸𝐸𝐹=13,∴𝐷𝐸𝐷𝐹=14,∴𝑚2+12𝑚2+12𝑚2=14,∴m2=14(m<0),解得m=-12,∴b=𝑚2-1𝑚=32,∴y=-x2+32x+1.类型5二次函数与圆的结合4.[2018·威

海]如图Z6-22,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),线段BC的中垂线与对称轴l交于点D,与x轴交于点F,与BC交于点E.对称轴l与x轴交于点H.(1)求抛物线的

函数表达式.(2)求点D的坐标.(3)点P为x轴上一点,☉P与直线BC相切于点Q,与直线DE相切于点R,求点P的坐标.(4)点M为x轴上方抛物线上的点,在对称轴上是否存在一点N,使得以D,P,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,则直接写

出N点坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-22类型5二次函数与圆的结合4.[2018·威海]如图Z6-22,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),线段BC的中垂线与对称轴l交于点D,与x轴交于点F,与BC交于点E

.对称轴l与x轴交于点H.(1)求抛物线的函数表达式.图Z6-22解:(1)∵抛物线过点A(-4,0),B(2,0),∴设抛物线表达式为y=a(x+4)(x-2).又∵抛物线过点C(0,4),将点C坐标代入,得4=a(0+4)(0-2),解得a=-12.∴抛物线的函数表达式

为y=-12(x+4)(x-2),即y=-12x2-x+4.类型5二次函数与圆的结合4.[2018·威海]如图Z6-22,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),线段BC的中垂线与对称轴l交于点D,与x轴交于点F,

与BC交于点E.对称轴l与x轴交于点H.(2)求点D的坐标.图Z6-22(2)∵对称轴是直线x=-4+22=-1,∴点D在对称轴x=-1上.设D点的坐标为(-1,m).过点C作CG⊥l,垂足为G,连接DC,DB.∵DE为BC中垂线,∴DC=DB.在Rt△DCG和

Rt△DBH中,DC2=12+(4-m)2,DB2=m2+(2+1)2,∴12+(4-m)2=m2+(2+1)2,解得m=1.∴点D坐标为(-1,1).类型5二次函数与圆的结合4.[2018·威海]如图Z6-22,抛物线y

=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),线段BC的中垂线与对称轴l交于点D,与x轴交于点F,与BC交于点E.对称轴l与x轴交于点H.(3)点P为x轴上一点,☉P与直线BC相切于点Q,与直线DE相切于点R

,求点P的坐标.图Z6-22(3)∵点B坐标为(2,0),点C坐标为(0,4).∴BC=22+42=25,tan∠CBF=2.∵EF为BC中垂线,∴BE=12BC=5.在Rt△BEF和Rt△BOC中,cos∠CBF=𝐵𝐸𝐵𝐹=𝐵𝑂𝐵𝐶,即5𝐵𝐹=225,∴BF=5,∴OF

=3,F(-3,0).类型5二次函数与圆的结合设☉P的半径为r,☉P与直线BC和EF都相切,有两种情况:①当圆心P1在直线BC左侧时,连接P1Q1,P1R1,则P1Q1=P1R1=r1.∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°,∴四边形P1Q1ER1为正

方形.易得Rt△FP1R1∽Rt△P1BQ1,∴𝐹𝑃1𝑃1𝐵=𝑃1𝑅1𝐵𝑄1=𝑃1𝑄1𝐵𝑄1=tan∠CBF=2.设P1(n1,0),则𝑛1+32-𝑛1=2,解得n1=13.∴P1的坐标为13,0.②

当圆心P2在直线BC右侧时,连接P2Q2,P2R2,则四边形P2Q2ER2为正方形.同理可得Rt△FP2R2∽Rt△P2BQ2,∴𝐹𝑃2𝑃2𝐵=𝑃2𝑅2𝐵𝑄2=𝑃2𝑄2𝐵𝑄2=tan∠CBF=2.设P2(n2,0),则𝑛2+3𝑛2-2=

2,解得n2=7.∴P2的坐标为(7,0).综上所述,符合条件的点P的坐标是13,0或(7,0).类型5二次函数与圆的结合4.[2018·威海]如图Z6-22,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-4,0),B

(2,0),与y轴交于点C(0,4),线段BC的中垂线与对称轴l交于点D,与x轴交于点F,与BC交于点E.对称轴l与x轴交于点H.(4)点M为x轴上方抛物线上的点,在对称轴上是否存在一点N,使得以D,P,M,N为顶点的四边

形是平行四边形?若存在,则直接写出N点坐标;若不存在,请说明理由.图Z6-22(4)存在.N1-1,4718,N2-1,8318,N3-1,-4718.