【文档说明】中考数学复习题型突破四操作探究型问题课件.pptx，共(71)页，2.600 MB，由小橙橙上传

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题型突破（四）操作探究型问题题型解读操作探究型问题是指通过动手测量、作图(象)、取值、计算等实验,猜想获得数学结论的研究性活动,这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式,需要动手操作、合情猜想和验证.常见类型:(1)操作设计问题,(2)图形剪拼问题,(

3)操作探究问题,(4)数学建模问题.解题策略:运用观察、操作、联想、推理、概括等多种方法.类型1折叠剪拼操作探究型问题例1[2018·菏泽]问题情境:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图Z4-1①,将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.

并且量得AB=2cm,AC=4cm.操作发现:(1)将图①中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到如图②所示的△AC'D,过点C作AC'的平行线,与DC'的延长线交于点E,

则四边形ACEC'的形状是.图Z4-1解:(1)菱形.理由:由题意得∠CAC'=∠BAC=∠DC'A=∠α,∴C'E∥AC.又∵CE∥AC',∴四边形ACEC'是平行四边形.∵AC=AC',∴平行四边

形ACEC'是菱形.类型1折叠剪拼操作探究型问题(2)创新小组将图①中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使B,A,D三点在同一条直线上,得到如图③所示的△AC'D,连接CC',取CC'的中点F,连接AF并延长至点G,使FG=AF,连接CG,C'G,得到四边形A

CGC',发现它是正方形,请你证明这个结论.实践探究:(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A'点,A'C与BC'相交于点H,如图④所示,连接C

C',试求tan∠C'CH的值.图Z4-1类型1折叠剪拼操作探究型问题【分层分析】(1)将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD,这两个三角形全等吗?(2)△AC'D是由哪个三角形绕着哪个点,如何

旋转,旋转多少度得到?旋转角∠CAC'是多少度?(3)如何证明四边形ACEC'是平行四边形?如何证明是菱形?(4)将图①中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使B,A,D三点在同一条直线上,得到如图③所示的△AC'D,连接CC',取CC'的中点F,连接AF并延长至点G,使

FG=AF,连接CG,C'G,得到四边形ACGC',如何证明四边形ACGC'是菱形?类型1折叠剪拼操作探究型问题(5)在(4)的条件下,如何证明四边形ACGC'是正方形?(6)AB=2cm,AC=4cm,如何求∠ACB的度

数?(7)将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A'点,A'C与BC'相交于点H,如图④所示,连接CC',如何求BH,CH,C'H?(8)在Rt△CHC'中,如何求tan∠C'CH?(2)证明:由题意得CF=C'F,FG=AF,∴

四边形ACGC'是平行四边形.∵AC=AC',∴平行四边形ACGC'是菱形.∵B,A,D三点在同一条直线上,且∠BAC+∠DAC'=90°,∴∠CAC'=90°,∴菱形ACGC'是正方形.类型1折叠剪拼操作探究型问题例1[2018·菏泽]问题情境:在综

合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图Z4-1①,将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.并且量得AB=2cm,AC=4cm.操作发现:(2)创新小组将图①中的△ACD以点A为

旋转中心,按逆时针方向旋转,使B,A,D三点在同一条直线上,得到如图③所示的△AC'D,连接CC',取CC'的中点F,连接AF并延长至点G,使FG=AF,连接CG,C'G,得到四边形ACGC',发现它是正方形,请你证明这个结论.类型1折叠剪拼操作探究型问题例1[201

8·菏泽]问题情境:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图Z4-1①,将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.并且量得AB=2cm,AC=4cm.实践探究:(3)缜密小组在创新

小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A'点,A'C与BC'相交于点H,如图④所示,连接CC',试求tan∠C'CH的值.(3)∵A'B=2cm,A'C=4cm,∴sin∠A'CB=𝐴'𝐵𝐴'�

�=24=12,∴∠A'CB=30°.∴∠A'CB=∠DBC'=30°,∠BA'C=60°,∴∠A'HB=∠BHC=∠CHC'=90°.易得BC=23cm.在Rt△BHC中,∠BCH=30°,∴BH=12BC=3cm,HC=3cm,∴HC'=BC'-BH=

(4-3)cm,∴tan∠C'CH=𝐻𝐶'𝐻𝐶=4-33.类型1折叠剪拼操作探究型问题针对训练1.阅读理解:如图Z4-2①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美

筝形”.将一张如图Z4-2①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图Z4-2②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B'为点B的对应点,点D'为点D的对应点,连接EB',FD'相交于点O.图Z4-2类型1折叠剪拼操作探究型问题简单应用

:(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是;(2)当图③中的∠BCD=120°时,∠AEB'=;(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有个(包含四边形AB

CD).拓展提升:当图③中的∠BCD=90°时,连接AB',请探求∠AB'E的度数,并说明理由.图Z4-2解:简单应用:(1)因为平行四边形和菱形中不一定有直角,矩形两条邻边不一定相等,所以一定为“完美筝形”的是正方形.类型1折叠剪拼操作探究型问题1.阅读理解:如图Z4-

2①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图Z4-2①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图Z4-2②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B'为点B的

对应点,点D'为点D的对应点,连接EB',FD'相交于点O.简单应用:(2)当图③中的∠BCD=120°时,∠AEB'=;图Z4-2(2)在题图③中,因为∠BCD=120°,∠BCE=∠ECF=∠FCD,所以∠BCE=∠ECF=∠FCD=40°.又因为∠B=90°,所以∠BEC=50°,所

以∠B'EC=50°,所以∠AEB'=180°-50°-50°=80°.类型1折叠剪拼操作探究型问题1.阅读理解:如图Z4-2①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么

我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图Z4-2①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图Z4-2②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B'为点B的对应点,点D'为点D的对应点,连接EB',FD'相交于点O.简单应用:(3)当图②中

的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有个(包含四边形ABCD).图Z4-2类型1折叠剪拼操作探究型问题(3)当题图②中的四边形AECF为菱形时,对应题图③中的“完美筝形”有5个.理由如下:根据题意得:BE=B'E,BC=B'C,∠B=∠C

B'E=90°,CD=CD',FD=FD',∠D=∠CD'F=90°,∴四边形EBCB'、四边形FDCD'是“完美筝形”;∵四边形ABCD是“完美筝形”,∴AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,∴CD'=CB',∠CD'O=∠CB'O=90°,∴∠OD'E=∠

OB'F=90°,∵四边形AECF为菱形,∴AE=AF,CE=CF,AE∥CF,AF∥CE,∴D'E=B'F,∠AEB'=∠CB'E=90°,∠AFD'=∠CD'F=90°,在△OED'和△OFB'中,∠𝐸𝑂𝐷'=∠

𝐹𝑂𝐵',∠𝑂𝐷'𝐸=∠𝑂𝐵'𝐹,𝐷'𝐸=𝐵'𝐹,∴△OED'≌△OFB'(AAS),∴OD'=OB',OE=OF,∴四边形CD'OB'、四边形AEOF是“完美筝形”;∴包含四边形ABCD,对应图③中的“完美筝形”有5个;故答案为5.类型1折叠剪拼操作探究型问

题1.阅读理解:如图Z4-2①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图Z4-2①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图Z4-2②所示形状,

再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B'为点B的对应点,点D'为点D的对应点,连接EB',FD'相交于点O.拓展提升:当图③中的∠BCD=90°时,连接AB',请探求∠AB'E的度数,并说明理由.图Z4-2类型1折叠剪拼操作探究型问题拓

展提升:∠AB'E=45°.理由如下:∵∠BCD=90°,∴四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,∵∠EB'F=90°,∴∠BAD+∠EB'F=180°,∴A,E,B',F四点共圆.易证AE=AF,∴𝐴𝐸=𝐴𝐹,∴

∠AB'E=∠AB'F=12∠EB'F=45°.类型1折叠剪拼操作探究型问题2.[2018·齐齐哈尔]综合与实践折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中

数学的学习.在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.实践

操作如图①,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B'落在矩形ABCD所在平面内,B'C和AD相交于点E,连接B'D.图Z4-3类型1折叠剪拼操作探究型问题解决问题(1)在图①中,①B'D和AC的位置关系为;②将△AEC剪下后展开,得到

的图形是.(2)若图①中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC),如图②所示,(1)中结论①和结论②是否成立?若成立,请挑选其中的一个结论加以证明;若不成立,请说明理由.(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片,发现所得图形是轴对称图形,沿对称轴再次折叠后,得到的仍是轴对称图形

,则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为.拓展应用(4)在图②中,若∠B=30°,AB=43,当△AB'D恰好为直角三角形时,BC的长度为.图Z4-3互相平行菱形类型1折叠剪拼操作探究型问题2.[2018·齐齐哈尔]综合与实践折纸是一项有趣的

活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我

们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.实践操作如图①,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B'落在矩形ABCD所在平面内,B'C和AD相交于点E,连接B'D.图Z4-3类型1折叠

剪拼操作探究型问题解决问题(2)若图①中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC),如图②所示,(1)中结论①和结论②是否成立?若成立,请挑选其中的一个结论加以证明;若不成立,请说明理由.图Z4-3(2)结论仍成立,选择结论①证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠

ACB,∵将△ABC沿AC翻折至△AB'C,∴∠ACB'=∠ACB,∴∠DAC=∠ACB',∴AE=CE,又∵B'C=BC=AD,∴B'E=ED,∴∠CB'D=∠ADB',∵∠AEC=∠B'ED,∠A

CB'=∠CAD,∴∠ADB'=∠DAC,∴B'D∥AC.选择结论②证明如下:如图所示,设点E的对应点为F,将△AEC剪下后展开可得到四边形AECF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴CF∥AE,∴∠DAC=∠ACF,由折叠可得,∠ACE=∠ACF

,CE=CF,AE=AF,∴∠DAC=∠ACE,∴AE=CE,∴AE=CF=CE=AF,∴四边形AECF是菱形.类型1折叠剪拼操作探究型问题2.[2018·齐齐哈尔]综合与实践折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、

飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开

始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.实践操作如图①,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B'落在矩形ABCD所在平面内,B'C和AD相交于点E,连接B'D.(3)小红沿对角线折

叠一张矩形纸片,发现所得图形是轴对称图形,沿对称轴再次折叠后,得到的仍是轴对称图形,则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为.图Z4-31∶1或3∶1类型1折叠剪拼操作探究型问题2.[2018·齐齐哈尔]综合与实践折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸

,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩

一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.实践操作如图①,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B'落在矩形ABCD所在平面内,B'C和AD相交于点E,连接B'D.图Z4-3类型1折叠剪拼操作探究型问题拓展应用(4)在图

②中,若∠B=30°,AB=43,当△AB'D恰好为直角三角形时,BC的长度为.图Z4-3(4)∵AD=BC,BC=B'C,∴AD=B'C,∵AC∥B'D,∴四边形ACDB'是等腰梯形,∵∠B=30°,∴∠AB'C=∠CD

A=30°,∵△AB'D是直角三角形,∴分以下几种情况:①当∠B'AD=90°,AB>BC时,如图①,设∠ADB'=∠CB'D=y,则∠AB'D=y-30°,∴y-30°+y=90°,解得y=60°,∴∠AB'D=y-30°=30°,∵AB'=AB=43,∴AD=33×43=4,∴BC=4.②

当∠ADB'=90°,AB>BC时,如图②,∵AD=BC,BC=B'C,∴AD=B'C,∵AC∥B'D,∴四边形ACB'D是等腰梯形,∵∠ADB'=90°,∴四边形ACB'D是矩形,∴∠ACB'=90°,∴∠ACB=90°,∵∠B=30°,AB=43,∴BC=32AB=32×43=6

.类型1折叠剪拼操作探究型问题③当∠B'AD=90°,AB<BC时,如图③,∵AD=BC,BC=B'C,∴AD=B'C,∵∠B=30°,∴∠AB'C=30°,∵AB'=43,∠B'AD=90°,∴AE=4,BE'=2AE=

8,∴AE=EC=4,∴CB'=12,∴BC=12.④当∠AB'D=90°时,如图④,∵AD=BC,BC=B'C,∴AD=B'C,∵AC∥B'D,∴四边形ACDB'是等腰梯形,∵∠AB'D=90°,∴四边形ACDB'是矩形,∴∠BAC=∠B'AC=90°,∵∠B=30°,AB=43,∴BC=AB

÷32=8.∴BC的长为4或6或8或12.类型1折叠剪拼操作探究型问题3.[2018·德州]再读教材:宽与长的比是5-12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.下面,我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金

矩形.(提示:MN=2)第一步,在矩形纸片一端,利用图Z4-4①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步,如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图③中所示的AD处.第四步,展平纸片

,按照所得的点D折出DE,使DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形.类型1折叠剪拼操作探究型问题问题解决:(1)图③中AB=(保留根号);(2)如图③,判断四边形BADQ的形状,并说明理由;(3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.实际操作:(4)结合图④,请在矩形B

CDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.图Z4-45类型1折叠剪拼操作探究型问题3.[2018·德州]再读教材:宽与长的比是5-12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑为取得最佳

的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.下面,我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示:MN=2)第一步,在矩形纸片一端,利用图Z4-4①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步,如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧

矩形的对角线AB,并把AB折到图③中所示的AD处.第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,使DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形.类型1折叠剪拼操作探究型问题问题解决:(2)如图③,判断四边形BADQ的形状,并说明理由;图Z4-4(2)四边形BADQ是菱形.

理由如下:∵四边形ACBF是矩形,∴BQ∥AD,∴∠BQA=∠QAD.由折叠得:∠BAQ=∠QAD,AB=AD,∴∠BQA=∠BAQ,∴BQ=AB,∴BQ=AD.又∵BQ∥AD,∴四边形BADQ是平行四边形.∵AB=AD,∴四边形B

ADQ是菱形.类型1折叠剪拼操作探究型问题3.[2018·德州]再读教材:宽与长的比是5-12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄

金矩形的设计.下面,我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示:MN=2)第一步,在矩形纸片一端,利用图Z4-4①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步,如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图③中所示的AD处.第四步,展平纸

片,按照所得的点D折出DE,使DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形.类型1折叠剪拼操作探究型问题问题解决:(3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.图Z4-4(3)图④中的黄金矩形有矩形BCDE,矩形MNDE,以黄金矩形B

CDE为例,理由如下:∵AD=5,AN=AC=1,∴CD=AD-AC=5-1,又∵BC=2,∴𝐶𝐷𝐵𝐶=5-12.故矩形BCDE是黄金矩形.类型1折叠剪拼操作探究型问题3.[2018·德州]再读教材:宽与长的比是5-12(约为0.

618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.下面,我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示:MN=2)第一步,在矩形纸片一端,利用图Z4-4①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步

,如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图③中所示的AD处.第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,使DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形.类型1折叠剪拼操作探究型问题实际操作:(4)结合图④,请在矩形BCD

E中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.图Z4-4(4)如图,在矩形BCDE上添加线段GH,使四边形GCDH为正方形,此时四边形BGHE为所要作的黄金矩形.长GH=5-1,宽B

G=3-5.𝐵𝐺𝐺𝐻=3-55-1=5-12.类型1折叠剪拼操作探究型问题4.[2017·南京]折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步,对折矩形纸片ABCD(AB>BC)(图①),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片

展平(图②).第二步,如图③,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB,PC,得到△PBC.(1)说明△PBC是等边三角形.图Z4-5解:(1)由折叠,PB=PC,BP=BC,∴PB=PC=BC,∴△PBC是等边三角形.类型

1折叠剪拼操作探究型问题【数学思考】(2)如图④,小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现,在矩形ABCD中把△PBC经过图形变换,可以得到图⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变换的过程.(3)已知矩形一边长为3cm,另一边长为acm.对于每一个确定的a的

值,在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围.【问题解决】(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为cm.图Z4-5类型1折叠剪拼操作探究型问题【数学思考】(2

)如图④,小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现,在矩形ABCD中把△PBC经过图形变换,可以得到图⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变换的过程.图Z4-5(2)本题答案不唯一.例如:如图①,以点B

为中心,在矩形ABCD中把△PBC沿逆时针方向旋转适当的角度,得到△P1BC1;再以点B为位似中心,将△P1BC1放大,使C1的对应点C2落在CD上,得到△P2BC2.类型1折叠剪拼操作探究型问题【数学思考】(3)已知矩形一边长为3cm,另一边长为acm.

对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围.图Z4-5(3)当等边三角形的边长为3cm,高为acm时,则a=332,当等边三角形的边长为acm,高为3

cm时,则a=23,然后分0<a≤332,332<a<23,a≥23画出示意图如图②.类型1折叠剪拼操作探究型问题【问题解决】(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为cm.(4)165提示:当4cm长的直

角边与正方形的边重合时,边长为4cm,正方形的面积为16cm2;当直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合,另外两个顶点在边上时,如图③,∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠C=∠D=90°.∵∠BFE=90°,∴∠BFC+∠EFD=90

°,∵∠BFC+∠CBF=90°,∴∠EFD=∠CBF,∴△BCF∽△FDE,∴BC∶DF=BF∶EF.设BC=a,由BF=4,得CF=16-𝑎2,则DF=a-16-𝑎2,可知a∶(a-16-𝑎2)=4∶1,解得a=165(负值舍去).因为165<4,所以边长的最小值为165cm.例2从

三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图Z4-6①,在△

ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.(3)如图②,△ABC中,AC=2,BC=2,CD是△ABC的完美

分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.解:(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°,∴∠ACD=∠A=40

°,∴△ACD为等腰三角形,∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC,∴CD是△ABC的完美分割线.类型2分割与拼接操作探究型问题图Z4-6类型2分割与拼接操作探究型问题【分层分析】(1)什么叫完美分割线?(2)根据完美分割线的定义如

何证明①△ABC不是等腰三角形,②△ACD是等腰三角形,③△BDC∽△BCA?(3)要求∠ACB的度数,分三种情形讨论即可.①当AD=CD时,②当AD=AC时,③当AC=CD时.(4)设BD=x,利用△BCD∽△B

AC,得𝐵𝐶𝐵𝐴=𝐵𝐷𝐵𝐶,如何列出方程求解?类型2分割与拼接操作探究型问题例2从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段

叫做这个三角形的完美分割线.(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.(2)①当AD=CD时,如图①,∠ACD=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.②当

AD=AC时,如图②,∠ACD=∠ADC=180°-48°2=66°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.③当AC=CD时,如图③,∠ADC=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∵

∠ADC>∠BCD,矛盾,舍去.∴∠ACB=96°或114°.例2从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把

这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(3)如图②,△ABC中,AC=2,BC=2,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.类型2分割与拼接操作探究型问题图Z4-6(3)由已知AC=AD=2,∵△BCD∽△BAC,∴𝐵𝐶𝐵�

�=𝐵𝐷𝐵𝐶,设BD=x,∴(2)2=x(x+2),∵x>0,∴x=3-1,∵△BCD∽△BAC,∴𝐶𝐷𝐴𝐶=𝐵𝐷𝐵𝐶=3-12,∴CD=3-12×2=6-2.类型2分割与拼接操作探究型问题针对训练1.[2018·扬州]问题呈现如图Z4-7①,在边长为1的正方形网

格中,连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan∠CPN的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点M,N,可得MN∥EC,

则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.图Z4-7类型2分割与拼接操作探究型问题问题解决(1)直接写出图①中tan∠CPN的值为;(2)如图②,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值.思维拓展(3)如图③,AB⊥BC,AB=4

BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到N,使BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN的度数.图Z4-7解:(1)由勾股定理得:DM=22,MN=2,DN=10.∵(22)2+(2)2=(10)2,∴DM2+MN2=D

N2,∴△DMN是直角三角形.∵MN∥EC,∴∠CPN=∠DNM.∵tan∠DNM=𝐷𝑀𝑀𝑁=222=2,∴tan∠CPN=2.类型2分割与拼接操作探究型问题1.[2018·扬州]问题呈现如图Z4-7①,在边长为1的正方形网格中,连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan∠C

PN的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点M,N,可得MN∥EC,则∠D

NM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.图Z4-7类型2分割与拼接操作探究型问题问题解决(2)如图②,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值.图Z4-7(2)如图,取格点D,连接CD,DM.∵CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM.易得△DCM是等腰

直角三角形,∴∠DCM=45°,∴cos∠CPN=cos∠DCM=22.类型2分割与拼接操作探究型问题1.[2018·扬州]问题呈现如图Z4-7①,在边长为1的正方形网格中,连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan∠CPN的值.方法归

纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点M,N,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.图Z4-7类型2分割与拼接

操作探究型问题思维拓展(3)如图③,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到N,使BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN的度数.图Z4-7(3)构造如

下图所示网格,取格点Q,连接AQ,QN.易得PC∥QN,∴∠CPN=∠ANQ,∵AQ=QN,∠AQN=90°,∴∠ANQ=∠QAN=45°,∴∠CPN=45°.类型2分割与拼接操作探究型问题2.[2017·随州]如图Z4-8,分别是可活动的菱形和平行

四边形学具,已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等.(1)在一次数学活动中,某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合,摆拼成如图Z4-9①所示的图形,AF经过点C,连接DE交AF于点M,观察发现:点M是DE的中点.下面是两位

学生有代表性的证明思路:思路1:不需作辅助线,直接证三角形全等;思路2:不证三角形全等,连接BD交AF于点H.……请参考上面的思路,证明点M是DE的中点(只需用一种方法证明);图Z4-8图Z4-9类型2分割与拼接操作探究型

问题解:(1)思路1:证明:∵四边形ABEF和四边形ABCD分别为平行四边形和菱形,∴EF=AB,EF∥AB,DC∥AB,DC=AB,∴EF∥DC,EF=DC,∴∠CDM=∠FEM,又∠DMC=∠EMF,∴△DMC≌

△EMF(AAS),∴DM=EM,∴点M是DE的中点.思路2:证明:∵四边形ABCD是菱形,∴DH=HB.∵四边形ABEF是平行四边形,∴HM∥BE,∴𝐷𝐻𝐻𝐵=𝐷𝑀𝑀𝐸,∴DM=EM,∴点M是DE的中点.类型2分割与拼接操作

探究型问题(2)如图②,在(1)的条件下,当∠ABE=135°时,延长AD,EF交于点N,求𝐴𝑀𝑁𝐸的值;(3)在(2)的条件下,若𝐴𝐹𝐴𝐵=k(k为大于2的常数),直接用含k的代数式表示AMMF的值.图Z4-9类型2分割与拼接操作探究型问题2

.[2017·随州]如图Z4-8,分别是可活动的菱形和平行四边形学具,已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等.(2)如图②,在(1)的条件下,当∠ABE=135°时,延长AD,EF交于点N,求𝐴𝑀𝑁𝐸的值;图Z4-8图Z4-9(2)如图,过点M作MG∥NE交AN于点G,∵点M是

DE的中点,∴在△DNE中,NE=2MG,又∠ABE=135°,∴∠NAF=∠NFA=45°,∴EN⊥AN,∴MG⊥AN,在Rt△AMG中,AM=2MG,∴𝐴𝑀𝑁𝐸=2𝑀𝐺2𝑀𝐺=22.类型2分割与拼接操作探究型问题2.[2017·随州]如图Z4-8,分别是可活动

的菱形和平行四边形学具,已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等.(3)在(2)的条件下,若𝐴𝐹𝐴𝐵=k(k为大于2的常数),直接用含k的代数式表示AMMF的值.图Z4-8图Z4-9(3)𝐴𝑀

𝑀𝐹=𝑘+2𝑘-2.类型2分割与拼接操作探究型问题3.[2017·镇江]【回顾】如图Z4-10,△ABC中,∠B=30°,AB=3,BC=4,则△ABC的面积等于.【探究】图Z4-11①是同学们熟悉的一副三角尺,一个含30°的角,较短的直角边长为a;另一个含有45°的角,

直角边长为b.小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD(如图②),用了两种不同的方法计算它的面积,从而推出sin75°=6+24;小丽用两副这样的三角尺拼成一个矩形EFGH,如图③,也推出sin75°=6+24.请你写出小明或小丽推出sin75°

=6+24的具体说理过程.图Z4-10图Z4-113类型2分割与拼接操作探究型问题【应用】在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=75°,BC=6,CD=5,AD=10.(如图Z4-12)(1)点E在AD上,设t=BE+CE,求t2的最小值.(2)点F在AB上,将△BCF沿CF翻折,点

B落在AD上的点G处,点G是AD的中点吗?说明理由.图Z4-12类型2分割与拼接操作探究型问题3.[2017·镇江]【探究】图Z4-11①是同学们熟悉的一副三角尺,一个含30°的角,较短的直角边长为a;另一个含有45°的角,直角

边长为b.小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD(如图②),用了两种不同的方法计算它的面积,从而推出sin75°=6+24;小丽用两副这样的三角尺拼成一个矩形EFGH,如图③,也推出sin75°=6+24.请你写出小明或小丽推出sin75°=6+

24的具体说理过程.图Z4-11类型2分割与拼接操作探究型问题【探究】以题中图②推导如下:设图形内部四边形的顶点为P,Q,M,N.由拼图知,四边形PQMN是矩形.过A作AK⊥BC,K为垂足(如图①),在Rt△ABP中,∠APB=90°

,∠ABP=30°,AP=a.∴AB=2a,BP=3a.在Rt△BCQ中,∠BQC=90°,∠CBQ=45°.∴BQ=CQ=b,BC=2b.在Rt△ABK中,∠AKB=90°,∠ABK=75°,AB=2a.∴AK=sin75°×AB=2a·sin75°

.∴S平行四边形ABCD=BC·AK=22ab·sin75°.又∵S平行四边形ABCD=2S△ABP+2S△BCQ+S矩形PQMN=3a2+b2+(3a-b)(b-a)=(3+1)ab,∴22ab·sin75°=(3+1)ab.∴sin75°=(3+1)𝑎

𝑏22𝑎𝑏=6+24.类型2分割与拼接操作探究型问题以题中图③推导如下:设图形内部四边形的顶点为P,Q,M,N.由拼图知,四边形PQMN是平行四边形.过N作NK⊥PQ,K为垂足(如图②).在Rt△PNE中,∠PEN=90°,∠PNE=30°,PE=a,∴PN=2a,N

E=3a.在Rt△PFQ中,∠PFQ=90°,∠FQP=45°,∴PF=QF=b,PQ=2b.在Rt△PNK中,∠PKN=90°,∠NPK=75°,PN=2a.∴NK=sin75°×PN=2a·sin75°.∴S平行四边形PQMN=PQ·NK=22ab·sin

75°.∵S矩形EFGH=2S△PNE+2S△PFQ+S平行四边形PQMN=3a2+b2+22ab·sin75°,又∵矩形EFGH的面积=FG·EF=(3a+b)(a+b)=3a2+b2+(3+1)ab,∴3a2+b2+22ab·sin75°=3a2+b

2+(3+1)ab.∴sin75°=(3+1)𝑎𝑏22𝑎𝑏=6+24.类型2分割与拼接操作探究型问题【应用】在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=75°,BC=6,CD=5,AD=10.(如图Z4-12)(1)点E在AD上,设t=BE+CE,求t2的最

小值.图Z4-12【应用】(1)作点C关于AD的对称点M,连接CM交AD于点H,连接BM交AD于点E.则CM⊥AD(如图③).此时t=BE+EC最小,最小值等于BM的长.在Rt△CDH中,∠CHD=90°,∠D=75°,CD=5,∴CH=CD·

sin75°=5(6+2)4.在Rt△BCM中,∠BCM=90°,MC=2HC=5(6+2)2,BC=6,∴BM2=BC2+MC2=62+5(6+2)22=86+253.即t2的最小值等于86+253

.类型2分割与拼接操作探究型问题【应用】在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=75°,BC=6,CD=5,AD=10.(如图Z4-12)(2)点F在AB上,将△BCF沿CF翻折,点B落在AD上的点G处,点G是AD的中点吗?说明理由.图Z4-12【应用】(2)点G不是AD的中

点.理由如下:假设G是AD的中点,则GD=5.设DH=x,则GH=5-x.由翻折知GC=BC=6.∴在Rt△GHC中,HC2=GC2-GH2=36-(5-x)2,在Rt△DHC中,HC2=DC2-DH2=25-x2,∴36-(5-x)2=25-x2.解得x=75.∴在Rt△DHC中,HC

2=DC2-DH2=25-752=57625.∴HC=245.∴在Rt△DHC中,sin∠CDH=𝐶𝐻𝐶𝐷=2425.这与已知sin∠CDE=sin75°=6+24相矛盾.所以假设G是AD的中点不成立,即G不是AD

的中点.类型3平移旋转操作探究型问题例3数学活动课上,某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD(∠BAD=120°)进行探究:将一块含60°角的直角三角板如图Z4-13放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60°角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB

,AD于点E,F(不包括线段的端点).(1)初步尝试如图①,若AD=AB,求证:①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;(2)类比发现如图②,若AD=2AB,过点C作CH⊥AD于点H,求证:AE=2FH;(3)深入探究如图③,若AD=3AB,探究得𝐴𝐸+3𝐴𝐹

𝐴𝐶的值为常数t,则t=.图Z4-13类型3平移旋转操作探究型问题【分层分析】(1)将一块含60°角的直角三角板如图Z4-13放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60°角的顶点始终与点C重合,在这里所起的作用是什么?(2)如何证明△ABC,△ACD都是等边三角形?你能进一步证明

∠BCE=∠ACF吗?(3)如何证明△BCE≌△ACF,得到BE=AF?(4)如图②,为了证明△ACE∽△HCF你能找到什么条件?𝐴𝐸𝐹𝐻=𝐴𝐶𝐶𝐻成立吗?为什么?(5)如图③中,作CN⊥AD于

N,CM⊥BA于M,CM与AD交于点H.如何证明△CFN∽△CEM,得𝐶𝑁𝐶𝑀=𝐹𝑁𝐸𝑀?(6)由AB·CM=AD·CN,AD=3AB,推出CM=3CN,所以设CN=a,FN=b,则CM=3a,EM=3b,如何求出AC?图Z4-

13类型3平移旋转操作探究型问题例3数学活动课上,某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD(∠BAD=120°)进行探究:将一块含60°角的直角三角板如图Z4-13放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且

60°角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包括线段的端点).(1)初步尝试如图①,若AD=AB,求证:①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;图Z4-13解:(1)证

明:①∵四边形ABCD是平行四边形,∠BAD=120°,∴∠D=∠B=60°,∵AD=AB,∴△ABC,△ACD都是等边三角形,∴∠B=∠CAD=60°,∠ACB=60°,BC=AC,∵∠ECF=60°,∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°,∴∠BCE=∠AC

F.在△BCE和△ACF中,∠𝐵=∠𝐶𝐴𝐹,𝐵𝐶=𝐴𝐶,∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐹,∴△BCE≌△ACF.②∵△BCE≌△ACF,∴BE=AF,∴AE+AF=AE+BE=AB=AC.类型3平移旋转操作探究型问

题例3数学活动课上,某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD(∠BAD=120°)进行探究:将一块含60°角的直角三角板如图Z4-13放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60°角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包

括线段的端点).(2)类比发现如图②,若AD=2AB,过点C作CH⊥AD于点H,求证:AE=2FH;图Z4-13(2)证明:设DH=x,由题意得CD=2x,CH=3x,∴AD=2AB=4x,∴AH=AD-DH=3x,∵CH⊥AD,∴AC=𝐴𝐻2+𝐶𝐻2=23x,∴AC2+

CD2=AD2,∴∠ACD=90°,∴∠BAC=∠ACD=90°,∴∠CAD=30°,∴∠ACH=60°,∵∠ECF=60°,∴∠HCF=∠ACE,∴△ACE∽△HCF,∴𝐴𝐸𝐹𝐻=𝐴𝐶𝐶𝐻=2,∴AE=2FH.类型3平移旋转操作探究型问题例

3数学活动课上,某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD(∠BAD=120°)进行探究:将一块含60°角的直角三角板如图Z4-13放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60°角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包括线段的端

点).(3)深入探究如图③,若AD=3AB,探究得𝐴𝐸+3𝐴𝐹𝐴𝐶的值为常数t,则t=.图Z4-13类型3平移旋转操作探究型问题(3)如图,作CN⊥AD于N,CM⊥BA于M,CM与AD交于点H.∵∠ECF+∠EAF=

180°,∴∠AEC+∠AFC=180°,∵∠AFC+∠CFN=180°,∴∠CFN=∠AEC,∵∠M=∠CNF=90°,∴△CFN∽△CEM,∴𝐶𝑁𝐶𝑀=𝐹𝑁𝐸𝑀,∵AB·CM=AD·CN,AD=3AB,∴CM=3CN,𝐶𝑁𝐶𝑀

=𝐹𝑁𝐸𝑀=13.设CN=a,FN=b,则CM=3a,EM=3b,∵∠MAH=60°,∠M=90°,∴∠AHM=∠CHN=30°,∴HC=2a,HM=a,HN=3a,∴AM=33a,AH=233a,∴AC

=𝐴𝑀2+𝐶𝑀2=2213a,AE+3AF=(EM-AM)+3(AH+HN-FN)=EM-AM+3AH+3HN-3FN=3AH+3HN-AM=1433a,∴𝐴𝐸+3𝐴𝐹𝐴𝐶=1433𝑎2213𝑎=7.故答案为7.类型3平移旋转操作探究型问题针对训练1.[2

018·广东]已知Rt△OAB,∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜边OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°,如图①,连接BC.(1)填空:∠OBC=°.(2)如图①,连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度.(3)如图②,点M,N同时从点O出

发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒,设运动时间为x秒,△OMN的面积为y,求当x为何值时,y取得最大值?最大值为多少?图Z4-14解:(1)

由旋转性质可知:OB=OC,∠BOC=60°,∴△OBC是等边三角形,∴∠OBC=60°.故答案为60.1.[2018·广东]已知Rt△OAB,∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜边OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°,如图①,连接BC.(2)如图①,连接AC,作OP⊥A

C,垂足为P,求OP的长度.类型3平移旋转操作探究型问题(2)∵OB=4,∠ABO=30°,∴OA=12OB=2,AB=3OA=23.∵△BOC是等边三角形,∴∠OBC=60°,∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°,∴AC=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=27,BC∥OA,∴S△AOC=12·OA·A

B=12×2×23=23.∴OP=2𝑆△𝐴𝑂𝐶𝐴𝐶=4327=2217.图Z4-14类型3平移旋转操作探究型问题1.[2018·广东]已知Rt△OAB,∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜边OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°,如图①,连接BC.(3)如图②,点

M,N同时从点O出发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒,设运动时间为x秒,△O

MN的面积为y,求当x为何值时,y取得最大值?最大值为多少?图Z4-14类型3平移旋转操作探究型问题(3)①当0<x≤83时,M在OC上运动,N在OB上运动,此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E,如图①,则

NE=ON·sin60°=32x,∴S△OMN=12·OM·NE=12×1.5x×32x,∴y=338x2.∴x=83时,y有最大值,最大值=833.②当83<x<4时,M在BC上运动,N在OB上运动.作MH⊥OB于H,如图②.则BM

=8-1.5x,MH=BM·sin60°=32(8-1.5x),∴y=12·ON·MH=-338x2+23x.当x=83时,y取最大值833.③当4≤x≤4.8时,M,N都在BC上运动,作OG⊥BC于G,如图③.MN=12-2.5x,OG=AB=23,∴y=12·MN·OG=123

-532x,当x=4时,y有最大值,最大值=23.综上所述,y有最大值,最大值为833.类型3平移旋转操作探究型问题2.[2017·烟台]【操作发现】(1)如图Z4-15①,△ABC为等边三角形,先将三角板中的60°角与∠A

CB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°).旋转后三角板的一直角边与AB交于点D.在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=30°,连接AF,EF.①求∠EAF的度数.②DE与

EF相等吗?请说明理由.图Z4-15类型3平移旋转操作探究型问题解:(1)①由旋转的性质可知:∠FCA=∠DCB.∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC,∠B=∠CAB=60°.在△CFA和△CDB中,A

C=CB,∠FCA=∠DCB,CF=CD,∴△CFA≌△CDB.∴∠FAC=∠B=60°.∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=60°+60°=120°.②∵∠DCE=30°,∠FCD=60°,∴∠FCE=∠DCE=30°.在△FCE和△DCE中,CF=DC,∠FCE=∠DCE,CE=CE,∴△FCE≌

△DCE.∴DE=EF.类型3平移旋转操作探究型问题【类比探究】(2)如图②,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的90°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大

于0°且小于45°).旋转后三角板的一直角边与AB交于点D.在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=45°,连接AF,EF.请直接写出探究结果:①∠EAF的度数;②线段AE,ED,DB之间的数量关系.图Z4-15(2)①∠FAE=90°.②DB2+AE2=ED

2.