【文档说明】中考数学复习课件-圆的有关概念与性质.pptx，共(129)页，2.792 MB，由小橙橙上传

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第五章圆圆的有关概念与性质A组2016—2020年山东中考题组考点一圆的有关概念和垂径定理1.(2020聊城,9,3分)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点M,连接OC,DB.如果OC∥DB,OC=2,那么

图中阴影部分的面积是()A.πB.2πC.3πD.4π3答案B连接OD,BC,由垂径定理易知DM=CM,∠COB=∠BOD,∵OC∥BD,∴∠COB=∠OBD,∴∠BOD=∠OBD,∴OB=OD=DB,∴△BOD是等边三角形,∴∠BOD=60°,∴∠BOC=60°,∵DM=CM,∴

S△OBC=S△OBD,∵OC∥DB,∴S△OBD=S△CBD,∴S△OBC=S△DBC,∴图中阴影部分的面积==2π.故选B.260π(23)360思路分析连接OD,BC,根据垂径定理得到DM=CM,∠

COB=∠BOD,进一步推出△BOD是等边三角形,得到∠BOC=60°,然后根据扇形的面积公式即可得到结论.2.(2020滨州,9,3分)在☉O中,直径AB=15,弦DE⊥AB于点C,若OC∶OB=3∶5,则DE的长为()A.6B.9C.12D.15答案C连接OD.由已知得BO=7.

5,∵OC∶OB=3∶5,∴CO=4.5,∴DC==6,又∵DE⊥AB于点C,∴DE=2DC=12.22-DOCO3.(2018菏泽,6,3分)如图,在☉O中,OC⊥AB,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是()A.64°B.58°C.32°D.2

6°答案D由垂径定理得=,又∠ADC=32°,∴∠BOC=2∠ADC=64°,∴∠OBA=90°-64°=26°.AC︵BC︵4.(2019东营,16,4分)如图,AC是☉O的弦,AC=5,点B是☉O上的一个动点,且∠ABC=45°,若点M、N分别是AC、BC的中点,则MN的最大值是.答案522解

析易知MN为△ABC的中位线,∴MN=AB,∴当AB取得最大值时,MN就取得最大值.当AB是直径时,AB最大,连接AO并延长交☉O于点B',连接CB',∵AB'是☉O的直径,∴∠ACB'=90°.∵∠ABC=45°,AC=5,∴∠A

B'C=45°,∴AB'===5,125222∴MN最大=AB'=.12522思路分析由三角形中位线定理得MN=AB,将求MN的最大值转化为求AB的最大值,当AB是直径时,AB最大,即可求出MN的最大值.12考点二圆心角、

圆周角、弧、弦之间的关系1.(2019菏泽,6,3分)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且BC平分∠ABD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论不一定成立的是()A.OC∥BDB.AD⊥OCC.△CEF≌△BEDD.AF=FD答案C由

圆周角定理的推论和角平分线得∠ADB=90°,∠OBC=∠DBC,由等腰三角形的性质得∠OCB=∠OBC,故∠DBC=∠OCB,所以OC∥BD,选项A成立;由OC∥BD,∠BDA=90°得AD⊥OC,选项B成立;由垂径定理

得AF=FD,选项D成立;由条件推不出△CEF与△BED全等,选项C不成立,故选C.2.(2019滨州,6,3分)如图,AB为☉O的直径,C,D为☉O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为()A.60°B.50°C

.40°D.20°答案B连接AD,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠BCD=40°,∴∠A=∠BCD=40°,∴∠ABD=90°-40°=50°.3.(2017青岛,6,3分)如图,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为()A.100°B.

110°C.115°D.120°答案B连接AC.∵∠AED=20°,∴∠ACD=∠AED=20°.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=20°+90°=110°.故选B.4.(2019威海,12,3分)如图,☉P与x轴交于点A(-5,0),B(1

,0),与y轴的正半轴交于点C,若∠ACB=60°,则点C的纵坐标为()A.+B.2+C.4D.2+21332322答案B连接PA、PB、PC,过点P分别作PF⊥AB,PE⊥OC,垂足为F,E.由题意可知四边形PFOE为矩形,∴PE=OF,PF=OE.∵∠ACB=60°,∴∠APB=120°.∵P

A=PB,∴∠PAB=∠PBA=30°.∵PF⊥AB,∴AF=BF=3.∴PE=OF=2.∵tan30°=,cos30°=,∴PF=,AP=2.∴OE=,PC=2.在Rt△PEC中,CE==2,∴OC=CE+EO=2+,即点C的纵坐标为2+.PFAFAFAP33332

2-PCPE22323考点三圆内接三角形、四边形1.(2020泰安,8,4分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=BC,∠BAC=30°,AD是直径,AD=8,则AC的长为()A.4B.4C.D.238333答案B连接CD,∵AD是直径,∴∠ACD=90°.∵AB=BC,∠BAC=30°,∴∠

ACB=∠BAC=30°,∴∠B=180°-30°-30°=120°,∴∠D=180°-∠B=60°,∴∠CAD=30°,∵AD=8,∴CD=AD=4,∴AC===4.1222-ADCD228-43思路分析连

接CD,由等腰三角形的性质得∠ACB=∠BAC=30°,进而求得∠B,根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°-∠B=60°,求得∠CAD=30°,根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论.2.(2019德州,9,4分)如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O

的距离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是()A.130°B.140°C.150°D.160°答案B连接OA,OD,由题意得OA=OB=OC=OD,作出圆O,如图所示,四边形ABCD为圆O的内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°,∵∠ABC

=40°,∴∠ADC=140°,故选B.思路分析根据线段的等量关系,构造以O为圆心的圆,得四边形ABCD为圆内接四边形,从而解决问题.3.(2018烟台,10,3分)如图,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠C

DE的度数为()A.56°B.62°C.68°D.78°答案C由∠AIC=124°,知∠IAC+∠ICA=180°-∠AIC=180°-124°=56°,∵点I是△ABC的内心,∴点I是△ABC三个内角的平分线的交点,∴∠BAC+∠BCA=56°×2=112°,∴∠ABC=180°-(

∠BAC+∠BCA)=180°-112°=68°.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠ABC+∠ADC=180°,又∠ADC+∠CDE=180°,∴∠CDE=∠ABC=68°.4.(2020聊城,14,3分)如图,在☉O

中,四边形OABC为菱形,点D在上,则∠ADC的度数是.AmC︵答案60°解析∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠B+∠D=180°,∵四边形OABC为菱形,∴∠B=∠AOC,∴∠D+∠AOC=180°,又∵∠AOC=2∠D

,∴3∠D=180°,∴∠ADC=60°.思路分析根据菱形的性质得出∠B=∠AOC,根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D=180°,即可得出∠D+∠AOC=180°,根据圆周角定理得出3∠D=180°,即可求

得∠ADC=60°.5.(2016潍坊,21,8分)正方形ABCD内接于☉O,如图所示,在劣弧上取一点E,连接DE、BE,过点D作DF∥BE交☉O于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点G.求证:(1)四边形EB

FD是矩形;(2)DG=BE.AB︵证明(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠BCD=90°,∴∠BED=∠BAD=90°,∠BFD=∠BCD=90°,又∵DF∥BE,∴∠EDF+∠BED=180°,∴∠EDF=90°,∴四边形EBFD是

矩形.(2)∵正方形ABCD内接于☉O,∴所对圆心角∠AOD的度数是90°,∴∠AFD=45°,又∵∠GDF=90°,∴∠DGF=∠DFG=45°,∴DG=DF,又∵在矩形EBFD中,BE=DF,∴DG=BE.AD︵思路分析(1)要证明四边形EBFD是矩形,需证明四边形EBFD的

三个角是直角,先根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等及正方形的性质,得到∠BED=∠BFD=90°,再根据两直线平行,同旁内角互补求得第三个角是直角即可.(2)根据圆周角与它所对弧的关系求得∠AFD=45°,则△DFG为等腰直角三角形,则DF=DG,再根

据矩形的对边相等得到DF=BE,从而BE=DG.B组2016—2020年全国中考题组考点一圆的有关概念和垂径定理1.(2020海南,10,3分)如图,已知AB是☉O的直径,CD是弦,若∠BCD=36°,则∠ABD等于()A.54°B.56°C.64°D.66°答

案A根据圆周角定理的推论得∠BCD=∠A,∵∠BCD=36°,∴∠A=36°,根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-36°=54°,故选A.2.(2019内蒙古赤峰,10,3分)如图,AB是☉O的

弦,OC⊥AB交☉O于点C,点D是☉O上一点,∠ADC=30°,则∠BOC的度数为()A.30°B.40°C.50°D.60°答案D∵∠ADC=30°,∴∠AOC=2∠ADC=60°.∵AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,∴=.∴∠BOC=∠AOC=60°.A

C︵BC︵思路分析由圆周角定理得∠AOC=2∠ADC=60°,然后根据垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求得∠BOC的度数.3.(2019广西梧州,11,3分)如图,在半径为的☉O中,弦AB与CD交于点E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,则CD的长是()A.2B

.2C.2D.413610113答案C连接OB,OD,OE,过O分别作OF⊥AB于F,OG⊥DC于G,∴AF=FB=AB=×6=3,DC=2DG.在Rt△OFB中,OF===2.又EF=AF-AE=3-1=2=OF,

∴△OEF为等腰直角三角形,∴∠OEF=45°,OE=2,121222-OBFB13-92∴∠OEG=75°-45°=30°.在Rt△OEG中,OG=OE=×2=.在Rt△OGD中,DG==,∴DC=2DG=2,故选C.12122222(13)-

(2)1111思路分析连接OB,OD,OE,过O分别作OF⊥AB于F,OG⊥DC于G.由垂径定理可知,FB=AB=3,CD=2DG,根据勾股定理可求出OF=2,再得出EF=2,从而可得∠OEF=45°,结合∠DEB=75°可得∠OEG=30°,进而求出

OG=OE=,再由勾股定理得出DG的长,由CD=2DG即可得解.12122方法总结本题考查垂径定理、勾股定理以及直角三角形中30°角的性质,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.4.(2020四川成都,13,4分)如图,A,B,C是☉O上的三个点,∠AOB=50°,∠B

=55°,则∠A的度数为.答案30°解析如图所示,设AC与OB交于点D.∵∠AOB与∠ACB所对的弧为同弧,∴∠ACB=∠AOB=×50°=25°,又∵∠B=55°,∴∠CDB=180°-∠ACB-∠B=100°,∴∠ODA=∠CDB=100°,∴∠A=180°-∠AOD-∠ODA=30°.12

125.(2019江苏苏州,17,3分)如图,扇形OAB中,∠AOB=90°.P为上的一点,过点P作PC⊥OA,垂足为C,PC与AB交于点D.若PD=2,CD=1,则该扇形的半径长为.AB︵答案5解析

连接OP,设该扇形的半径为r.∵∠AOB=90°,OA=OB,∴∠OAB=45°.∵PC⊥OA,∴∠PCA=90°.∴CA=CD=1.在Rt△POC中,∠PCO=90°,∴OP2-OC2=PC2,即r2-(r-1)2=32.解得r=5.考点二圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系1.(2020福

建,9,4分)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=CD,A为的中点,∠BDC=60°,则∠ADB等于()A.40°B.50°C.60°D.70°BD︵答案A连接OA,OB,OC,∵AB=CD,A为的中点,∴

==.∵∠BDC=60°,∴∠BOC=2×60°=120°,∴∠AOB=(360°-120°)÷3=80°.∴∠ADB=40°.BD︵AB︵CD︵AD︵方法指导圆中,弧所对的圆心角度数与弧的度数相同,弧所对的圆周角度数是弧的度数的一半.2.(2020河北,14,2分)有一题目:“已知:点

O为△ABC的外心,∠BOC=130°,求∠A.”嘉嘉的解答为:画△ABC以及它的外接圆O,连接OB,OC,如图所示.由∠BOC=2∠A=130°,得∠A=65°.而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全,∠A还应有另一个

不同的值.”下列判断正确的是()A.淇淇说的对,且∠A的另一个值是115°B.淇淇说的不对,∠A就得65°C.嘉嘉求的结果不对,∠A应得50°D.两人都不对,∠A应有3个不同值答案A若点A在弦BC的下方,此时∠A所对的弧所对的圆心角是360°-130°=230°,根据圆

周角定理得∠A=115°,故选A.3.(2019广西柳州,6,3分)如图,A,B,C,D是☉O上的点,则图中与∠A相等的角是()A.∠BB.∠CC.∠DEBD.∠D答案D∠A所对的弧为,而所对的圆周角有∠A和∠D,因此∠A=∠D.故选D.BC︵BC︵4.(2019广西贵港,9,3分)如图,

AD是☉O的直径,=,若∠AOB=40°,则圆周角∠BPC的度数是()A.40°B.50°C.60°D.70°AB︵CD︵答案B在☉O中,=,∠AOB=40°,∴∠AOB=∠COD=40°.∴∠BOC=180°-∠AOB-∠COD=180

°-40°-40°=100°.∴在☉O中,∠BPC=∠BOC=×100°=50°.故选B.AB︵CD︵12125.(2018四川自贡,9,4分)如图,若△ABC内接于半径为R的☉O,且∠A=60°,连接OB、OC,则边BC的长为(

)A.RB.RC.RD.R32223答案D作OH⊥BC于H.∠BOC=2∠A=120°,因为OH⊥BC,OB=OC,所以BH=HC,∠BOH=∠HOC=60°,在Rt△BOH中,BH=OB·sin60°=R,所以BC=2BH=

R.3236.(2019湖南株洲,16,3分)如图所示,AB为☉O的直径,点C在☉O上,且OC⊥AB,过点C的弦CD与线段OB相交于点E,满足∠AEC=65°,连接AD,则∠BAD=度.答案20解析连接OD,如图.∵OC⊥AB,∴∠COE=90°,∵∠AEC=65°,∴∠OCE=90°-6

5°=25°,∵OC=OD,∴∠ODC=∠OCE=25°,∴∠DOC=180°-25°-25°=130°,∴∠BOD=∠DOC-∠COE=40°,∴∠BAD=∠BOD=20°.故答案为20.12考点三

圆内接三角形、四边形1.(2020辽宁营口,7,3分)如图,AB为☉O的直径,点C,点D是☉O上的两点,连接CA,CD,AD,若∠CAB=40°,则∠ADC的度数是()A.110°B.130°C.140°D.160°答案B连接CB,∵AB是☉O的直径,∴

∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-∠CAB=50°.∵四边形ADCB是圆内接四边形,∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.故选B.2.(2020陕西,9,3分)如图,△ABC内接于☉O,∠A=50°.E是边BC的中点,连接OE并延长,交☉O于点D,连接BD,则∠D的大小为()A.55°B

.65°C.60°D.75°答案B连接CD.由四边形ABDC是圆内接四边形可知,∠A+∠BDC=180°.∵∠A=50°,∴∠BDC=130°.∵E为BC的中点,∴=,∴BD=CD,∴∠ODB=∠BDC=65°.故选B.BD︵C

D︵12解后反思①由点A,B,C,D都在圆上,且∠A=50°,可联想到圆内接四边形的性质,从而可知∠A与∠BDC的数量关系.②由弦的中点可联想垂径定理,从而知∠ODB与∠BDC的数量关系.3.(2019甘肃兰州

,6,4分)如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=40°,则∠C=()A.110°B.120°C.135°D.140°答案D由圆的内接四边形的性质可得∠A+∠C=180°,∴∠C=180°-40°=140°,故选D.4.(2019江苏镇江,15

,3分)如图,四边形ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径,=.若∠C=110°,则∠ABC的度数为()A.55°B.60°C.65°D.70°DC︵CB︵答案A连接AC,∵四边形ABCD是半圆的内接四边形,∴∠DAB=180°-∠DCB=70°.∵=,∴∠C

AB=∠DAB=35°,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-∠CAB=55°,故选A.DC︵CB︵125.(2018安徽,20,10分)如图,☉O为锐角△ABC的外接圆,半径为5.(1)用尺规作图作出∠B

AC的平分线,并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.BC︵解析(1)尺规作图如图所示.(2)连接OE交BC于M,连接OC.因为∠BAE=∠C

AE,所以=,易得OE⊥BC,所以EM=3.Rt△OMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.BE︵EC︵Rt△EMC中,CE2=EM2+MC2=9+21

=30,所以弦CE的长为.30思路分析对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由∠BAE=∠CAE可得=,可推出OE⊥BC,最后利用勾股定理求出CE.BE︵EC︵知识拓展(1)三角形的外心是三角形的外接圆的圆心,是

三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.(2)三角形的内心是三角形的内切圆的圆心,它是三个角的平分线的交点,它到三角形三条边的距离相等.6.(2019辽宁大连,23,10分)如图1,四边形ABCD内接于☉O,A

C是☉O的直径,过点A的切线与CD的延长线相交于点P,且∠APC=∠BCP.(1)求证:∠BAC=2∠ACD;(2)过图1中的点D作DE⊥AC,垂足为E(如图2).当BC=6,AE=2时,求☉O的半径.解析(1)证明:∵AC是☉

O的直径,∴∠ABC=90°,∵PA是☉O的切线,∴PA⊥AC,∴∠PAC=90°,∴∠APC=90°-∠ACD,∵∠BCD=∠APC,∴∠BCD=90°-∠ACD,∴∠ACB=∠BCD-∠ACD=90°-2∠ACD,∴∠BAC=90°-∠ACB=90°-(90°-2∠ACD)=2∠ACD.(2

)连接DO并延长,与BC交于点F,如图.∵∠AOD=2∠ACD,∠BAC=2∠ACD,∴∠AOD=∠BAC,∴DF∥AB,∴∠DFC=∠ABC=90°,∴DF⊥BC,∴BF=FC=3,∵DE⊥AC,∴∠DEO=∠DFC=90°,∵∠DO

E=∠COF,OD=OC,∴△DOE≌△COF,∴DE=FC=3,在Rt△DOE中,OD2=DE2+OE2,即OD2=32+(OD-2)2,解得OD=,即☉O的半径为.134134C组教师专用题组考点一圆的有关概念和垂径定

理1.(2017四川阿坝州,7,4分)如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为()A.2cmB.cmC.2cmD.2cm353答案D如图,过点O作OD⊥AB,交AB于点D,连接OA,∵OA=2OD=2cm,∴AD===(cm

),∵OD⊥AB,∴AB=2AD=2cm.22-OAOD222-1332.(2017四川雅安,15,3分)☉O的直径为10,弦AB长为6,点P是弦AB上一点,则OP的取值范围是.答案4≤OP≤5解析如图,连接OA,作OM⊥AB于M,∵☉O的直径为10,∴OA=5,∴OP的最大值为5,∵OM⊥AB于

点M,∴AM=BM,∵AB=6,∴AM=3,在Rt△AOM中,OM==4,OM的长即为OP长的最小值,∴4≤OP≤5.22-OAAM3.(2020宁夏,12,3分)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径

几何?”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小.用锯去锯这木材,锯口深ED=1寸,锯道长AB=1尺(1尺=10寸).这根圆柱形木材的直径是寸.答案26解析由垂径定理可知OE垂直平分AB,∴AD=5寸,设半径OA=x

寸,则OD=(x-1)寸.在Rt△AOD中,AD2+OD2=OA2,∴52+(x-1)2=x2,解得x=13,∴直径为26寸.考点二圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系1.(2016广西南宁,9,3分)如图,点A,B,C,P在☉O上,CD⊥

OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40°,则∠P的度数为()A.140°B.70°C.60°D.40°答案B∵∠DCE=40°,CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠DOE=180°-40°=140°,∴∠P=∠AOB=70°.故选B

.122.(2020浙江杭州,9,3分)如图,已知BC是☉O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合),BD与OA交于点E.设∠AED=α,∠AOD=β,则()A.3α+β=180°B.2α+β

=180°C.3α-β=90°D.2α-β=90°答案D如图,连接AB,则∠DBA=∠DOA=β,∠DEA=∠DBA+∠OAB=α.∵OA=OB,∠BOA=90°,∴∠OAB=45°,∴α=β+45°,∴2α-β=90°,故选D.121212思路分析连接AB,利用一条弦所对的圆周角等于圆心角的一

半,可得到∠DBA=β,利用三角形外角的性质,可得∠DBA+∠OAB=α,再证明∠OAB=45°,进而可得α和β之间的关系式.12方法总结圆中求角度的问题,优先考虑运用圆周角定理及其推论,因此先要找出图形中的圆心角或圆周角,再看所求角与这些特殊角之间的关系.此外还应注意题干

中的一些隐含条件,一般会涉及等腰三角形的性质,三角形内角和定理,三角形外角的性质等.3.(2018青岛,5,3分)如图,点A、B、C、D在☉O上,∠AOC=140°,点B是的中点,则∠D的度数是()A.70°B.55°C.35.5°D.

35°AC︵答案D如图,连接OB.∵点B是的中点,∴=,∴∠AOB=∠AOC=×140°=70°,∴∠D=∠AOB=×70°=35°.AC︵AB︵BC︵121212124.(2018江苏盐城,7,3分)如图

,AB为☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ADC=35°,则∠CAB的度数为()A.35°B.45°C.55°D.65°答案C由“同弧所对的圆周角相等”得∠ABC=∠ADC=35°,再由“直径所对的圆周角为直角”得∠ACB=90°,所以∠CAB=90°-∠ABC=90°-35°=55°.5.

(2019陕西,9,3分)如图,AB是☉O的直径,EF、EB是☉O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF.若∠AOF=40°,则∠F的度数是()A.20°B.35°C.40°D.55°答案B连接OE.∵EF=EB,∴∠EO

F=∠EOB.∵∠AOF=40°,∴∠BOF=180°-∠AOF=140°,∴∠EOF=∠EOB=×(360°-140°)=110°.∵OE=OF,∴∠F=∠OEF=(180°-∠EOF)=35°,故选B.12126.(2018福建,

24,12分)已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,AC是☉O的直径,DE⊥AB,垂足为E.(1)延长DE交☉O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB;(2)过点B作BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB=,DH=1,

∠OHD=80°,求∠BDE的大小.3图1图2解析(1)证明:∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°.又∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.∴∠DEA=∠ABC,∴BC∥DF,∴∠F=∠PBC.∵四边形BCDF是圆内接四边形,∴∠F+∠DCB=180°,又∵∠PCB+∠

DCB=180°,∴∠F=∠PCB,∴∠PBC=∠PCB,∴PC=PB.(2)连接OD,∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°,又∵BG⊥AD,∴∠AGB=90°,∴∠ADC=∠AGB,∴BG∥DC.由(1)知BC∥DE,∴四边形DHBC为平

行四边形,∴BC=DH=1.在Rt△ABC中,AB=,tan∠ACB==,∴∠ACB=60°,∠CAB=30°.3ABBC3从而BC=AC=OD,∴DH=OD.在等腰△DOH中,∠DOH=∠OHD=80°,∴∠ODH

=20°.设DE交AC于N.∵BC∥DE,∴∠ONH=∠ACB=60°.∴∠NOH=180°-(∠ONH+∠OHD)=40°,∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40°,∴∠CBD=∠OAD=20°.∵BC∥DE,∴∠BDE=∠

CBD=20°.12一题多解(1)证明:易证DF∥BC,从而CD=BF,且==1,∴PB=PC.(2)连接OD,设∠BDE=x,则∠EBD=90°-x,易证四边形BCDH为平行四边形,∴BC=DH=1,∵AB=,∴∠CAB=30°,AC=2,∴∠

ADB=∠ACB=60°,∵OD=OA=1=DH,∴∠ODH=180°-2∠OHD=180°-2×80°=20°,∴∠OAD=∠ODA=∠ADB-(∠ODH+x)=60°-(20°+x)=40°-x.又∵∠AOD=2∠ABD,∴180°-2(

40°-x)=2(90°-x),解得x=20°,即∠BDE=20°.PCPBCDBF37.(2019吉林长春,18,7分)如图,四边形ABCD是正方形,以边AB为直径作☉O,点E在BC边上,连接AE交☉O于点

F,连接BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE≌△BCG;(2)若∠AEB=55°,OA=3,求的长.(结果保留π)BF︵解析(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,AB为直径,F为☉O上的一点,∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°,∴∠BAF+∠ABF=

90°,∠ABF+∠EBF=90°,∴∠EBF=∠BAF.在△ABE和△BCG中,∴△ABE≌△BCG(ASA).(2)连接OF,∵∠ABE=∠AFB=90°,∠AEB=55°.∴∠BAE=90°-55°=35°,∴∠BOF=2∠BAE=70°.∵OA=3,∴的长==π.,,,

BAFEBFABBCABEBCG===BF︵70π318076思路分析(1)要证△ABE≌△BCG,根据正方形的性质,已经有一组边和一组直角对应相等,再根据直径所对的圆周角是直角,同角的余角相等得到∠BAF=∠EBF,最后利用ASA证明即可;(2)要

求弧长,必须求出弧所在圆的半径和弧所对的圆心角度数,本题半径已知,通过连接OF,构造出圆心角,把它转移到同弧所对的圆周角来计算即可.考点三圆内接三角形、四边形1.(2019贵州铜仁,13,4分)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠A=100°,则∠DCE的度数为.答案100°解析∵

四边形ABCD为☉O的内接四边形,∴∠A+∠DCB=180°,又∠DCB+∠DCE=180°,∴∠DCE=∠A=100°.2.(2018四川内江,24,6分)已知△ABC的三边a、b、c满足a+b2+|c-6|+28=4+10b,则△

ABC的外接圆半径=.-1a答案258解析∵a+b2+|c-6|+28=4+10b,∴(a-1-4+4)+(b2-10b+25)+|c-6|=0,∴(-2)2+(b-5)2+|c-6|=0,∴-2=0,b-5=0

,c-6=0,解得a=5,b=5,c=6,∴AC=BC=5,AB=6,作CD⊥AB于点D,则AD=3,CD=4,设△ABC的外接圆的半径为r,则OC=r,OD=4-r,OA=r,∴32+(4-r)2=r2,解得r=.-1

a-1a-1a-1a258设计意图本题巧妙地把外接圆与非负数性质结合起来,先用非负数的性质求出三边长,再用勾股定理把外接圆的半径与三角形的边长联系起来,难度不大,但需要一定的思维能力.3.(2018江苏扬州,15,3分)如图

,已知☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则AB=.答案22解析在优弧上任取一点D,∵∠ACB=135°则∠ADB=45°,∴∠AOB=90°,∴△OAB为等腰直角三角形,∵OA=OB=2,∴AB=

2.AB︵24.(2017安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD于BC,过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO,求证:CO平分∠BCE.

不平行证明(1)∵∠B=∠D,∠B=∠E,∴∠D=∠E.∵CE∥AD,∴∠E+∠DAE=180°.∴∠D+∠DAE=180°.∴AE∥DC.∴四边形AECD是平行四边形.(5分)(2)过点O作OM⊥EC,ON⊥BC,垂足分别为M、N.∵四边形

AECD是平行四边形,∴AD=EC.又AD=BC,∴EC=BC,∴OM=ON,∴CO平分∠BCE.(10分)思路分析(1)根据“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等”可推出∠E=∠B,再由∠D=∠B,CE

∥AD可推出AE∥DC,问题得证;(2)作OM⊥CE,ON⊥BC,垂足分别为M、N,由已知及(1)得出CE=BC,再根据“同一个圆内等弦对应的弦心距相等”可得OM=ON,从而由角平分线的判定定理可得结论.解题关键抓住“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等及同圆内等弦对应的弦心距相等”是解决本题

的关键.A组2018—2020年模拟·基础题组时间:30分钟分值:40分一、选择题(每小题3分,共15分)1.(2020临沂平邑一模,9)如图,AB是☉O的直径,若∠AOC=140°,则∠D的度数是()A

.20°B.30°C.40°D.70°答案A∵∠AOC=140°,∴∠BOC=40°,∴∠D=∠BOC=20°.122.(2020济宁嘉祥一模,9)如图,O为圆心,AB是直径,C是半圆上的点,D是上的点.若∠BOC=40°,则∠D的大小为()A.110°B.120°C.13

0°D.140°AC︵答案A∵∠BOC=40°,OB=OC,∴∠B=70°,∴∠D=180°-70°=110°.3.(2020菏泽郓城一模,6)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的

长度是()A.3cmB.cmC.2.5cmD.cm65答案D连接AB,∵AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,BD=8cm,∴BE=BD=4cm,在Rt△ABE中,根据勾股定理得,AE2+BE2=AB2,即AB==2cm,∵OF⊥BC,∴BF=FC,又∵O是AC的中点,∴OF=AB=cm.1

22224+5125思路分析先根据垂径定理和勾股定理得出AB的长,再利用三角形中位线定理得出OF的长即可.方法规律求线段的长,要把已知的线段与未知的线段联系起来,一般是用勾股定理、相似三角形或三角函数.4.(2019聊城临清模拟,10)如图,在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A,B

,C三点,已知点A的坐标是(-2,3),点C的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是()A.(0,0)B.(-1,1)C.(-1,0)D.(-1,-1)答案B如图,线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线的交点

M,即为这条圆弧所在圆的圆心.∴这条圆弧所在圆的圆心坐标是(-1,1),故选B.5.(2019聊城东阿二模,8)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交AC于D,交BC于E,连接AE,DE,则下列结论中不一

定正确的是()A.AE⊥BCB.BE=ECC.ED=ECD.∠BAC=∠EDC答案D∵AB为☉O的直径,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴BE=CE,∠BAE=∠CAE,∴=,∴ED=EC,∴∠EDC=∠C=∠A

BC,无法证得∠BAC=∠EDC,故选D.BE︵DE︵二、填空题(每小题3分,共12分)6.(2020菏泽东明一模,12)如图,CD是☉O的直径,弦AB⊥CD于点H,若∠D=30°,CH=1cm,则AB=cm.答案23解析连接BC.易知∠D=∠B=30°.∵CD是

☉O的直径,弦AB⊥CD于点H,∴BH=AB,在Rt△CHB中,∠B=30°,CH=1cm,∴=tan30°,即BH=cm,∴AB=2cm.12CHBH33思路分析连接BC.利用圆周角定理的推论知∠D=∠B,然后根据已知条

件“CD是☉O的直径,弦AB⊥CD于点H”,利用垂径定理知BH=AB,最后再由直角三角形CHB中∠B的正切函数求得BH的长度,从而求得AB的长度.127.(2020青岛模拟,13)如图,已知AB、CD是

☉O的直径,=,∠AOE=32°,那么∠COE的度数为度.AE︵AC︵答案64解析∵=,∴∠AOE=∠COA,又∵∠AOE=32°,∴∠COA=32°,∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°.AE︵AC︵8.(2019淄博博山一模,14)如图,AB是半圆O的直径,E是半圆上一点

,且OE⊥AB,点C为的中点,则∠A=°.BE︵答案22.5解析连接OC,∵OE⊥AB,∴∠EOB=90°,∵点C为的中点,∴∠BOC=45°,∴∠BAC=×45°=22.5°.BE︵129.(2020滨州惠民一模,16)如图,BD是☉O的直径,A是☉O外一点,点C在☉O上,

∠CAB=90°,若BD=6,AB=4,∠ABC=∠CBD,则弦BC的长为.答案26解析连接CD,如图.∵BD是☉O的直径,∴∠BCD=90°,∴∠CAB=∠DCB,又∵∠ABC=∠CBD,∴△ABC∽△CBD,∴=,∴

BC2=AB·BD=4×6=24,∴BC==2.ABBCBCBD246三、解答题(共13分)10.(2020临沂四模,23)如图,A、B是☉O上的两点,∠AOB=120°,C是的中点,求证:四边形OACB

是菱形.AB︵证明连接OC,如图,∵C是的中点,∠AOB=120°,AB︵∴∠AOC=∠BOC=60°,又∵OA=OC=OB,∴△OAC和△OBC都是等边三角形,∴AC=OA=OB=BC,∴四边形OACB

是菱形.11.(2018济南历城一模,21)某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面.若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16

cm,水最深地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.解析如图,设O为圆形截面的圆心,过O作OC⊥AB于D,交于C,连接OB.∵OC⊥AB,AB=16cm,∴BD=AB=×16=8(cm),由题意,得CD=

4cm.设圆形截面的半径为xcm,则OD=(x-4)cm,在Rt△BOD中,由勾股定理,得OD2+BD2=OB2,∴(x-4)2+82=x2,解得x=10.答:这个圆形截面的半径为10cm.AB︵1212

思路分析设O为圆形截面的圆心,过O作OC⊥AB于D,交于C,连接OB,由垂径定理可得出BD的长,设圆形截面的半径为xcm,在Rt△BOD中利用勾股定理列方程即可得出x的值.AB︵B组2018—2020年模拟·提升题组时间:25分钟分值:30分一、

选择题(每小题3分,共6分)1.(2019济宁梁山一模,10)如图所示,一动点从半径为2的☉O上的A0点出发,沿着射线A0O方向运动到☉O上的点A1处,再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到☉O上的点A2处;接着又从A2点出发,沿着射线

A2O方向运动到☉O上的点A3处,再向右沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到☉O上的点A4处;……,按此规律运动到点A2018处,则点A2018与点A0间的距离是()A.0B.2C.2D.43答案C如图

,由题意得,A0A1=4,A0A2=2,A0A3=2,A0A4=2,A0A5=2,A0A6=0,A0A7=4,…∵2018÷6=336……2,∴按此规律运动到点A2018处,A2018与A2重合,∴A0A2018=A0A2=2.3332.(2020德州宁津一模,12

)如图,A,B是半径为1的☉O上两点,且OA⊥OB,点P从点A出发,在☉O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动,回到点A运动结束,设运动时间为x(单位:s),弦BP的长为y,那么下列图象中可能表示y与x函数关系的是()A.①B.③C.②或④D.①或③答案D当点P顺时针运

动时,图象是③;当点P逆时针运动时,图象是①,故图象可能为①③.故选D.思路分析本题没告诉点P的运动方向,所以要分两种情形讨论.特别注意几个特殊点.当点P顺时针运动时,图象是③,当点P逆时针运动时,图象是①,由此即可解决问题.二、填空题(每小

题3分,共6分)3.(2020济宁汶上期末,14)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为.答案215解析作OH⊥CD于H,连接OC,如图,∵OH⊥CD,∴HC=HD,∵AP=2,BP=6,∴AB=8,∴OA=4,∴

OP=OA-AP=2,在Rt△OPH中,∵∠OPH=∠APC=30°,∴OH=OP=1,在Rt△OHC中,∵OC=4,OH=1,∴CH==,∴CD=2CH=2.1222-OCOH1515思路分析作OH⊥CD于H,连接OC,根据垂径定理得HC=HD,再利用AP=2,BP

=6可计算出半径OA=4,则OP=OA-AP=2,在Rt△OPH中,∠OPH=30°,可计算出OH=OP=1,在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=,所以CD=2CH=2.1215154.(2020临沂蒙阴

期末,16)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若∠CDB=30°,☉O的半径为5cm,则圆心O到弦CD的距离为.答案2.5cm解析∵CD⊥AB,∴∠OEC=90°,在Rt△COE中,∠COB=2∠C

DB=2×30°=60°,∴OE=OC=×5=2.5cm,即圆心O到弦CD的距离为2.5cm.1212三、解答题(共18分)5.(2020日照期末,20)如图,已知四边形ABCD内接于☉O,A是的中点,AE⊥AC于A,与☉O及CB的延长线交于点F、E,且

=.(1)求证:△ADC∽△EBA;(2)如果AB=8,CD=5,求tan∠CAD的值.BDC︵BF︵AD︵解析(1)证明:∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠CDA+∠ABC=180°.∵∠ABE+∠ABC=180°,∴∠CDA=∠ABE.∵=,∴∠BAE=∠DCA.∴△ADC∽△EBA.(2)∵A

是的中点,∴=,∴AB=AC=8.BF︵AD︵BDC︵AB︵AC︵∵△ADC∽△EBA,∴∠CAD=∠AEC,=,即=,∴AE=,∴tan∠CAD=tan∠AEC===.DCABACAE588AE645ACAE8645586

.(2020日照校级模拟,21)如图,在△ABD中,AB=AD,以AB为直径的圆交AD于点E,交BD于点F,过点D作DC∥AB交AF的延长线于点C,连接CB.(1)求证:四边形ABCD为菱形;(2)若AE=7,BF=2,求

半圆的半径和菱形ABCD的面积.解析(1)证明:∵AB是直径,∴∠AFB=90°,∴AC⊥BD,∵AB=AD,∴BF=DF,∵DC∥AB,∴∠CDF=∠ABF,在△CFD和△AFB中,∴△CFD≌△AFB(ASA),∴CF=AF,∴四边形ABCD为菱形.(2)

∵BF=2,∴BD=4,,,,CDFABFDFBFCFDAFB===连接BE,则∠AEB=90°,设菱形的边长为2r,则DE=AD-AE=2r-7,∵BD2-DE2=AB2-AE2,∴42-(2r-7)2=(2r)2-72,解得r=4或r=-(舍去),∴半圆的半径为4,B

E===,∴菱形ABCD的面积为AD·BE=8×=8.1222-ABAE228-7151515