【文档说明】中考数学复习第四单元三角形直角三角形与勾股定理课件.pptx，共(45)页，1.414 MB，由小橙橙上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-257535.html

以下为本文档部分文字说明：

第20课时直角三角形与勾股定理定义有一个角是①的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角②(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的③(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边

的④判定(1)两个内角⑤的三角形是直角三角形(2)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形考点一直角三角形的概念、性质与判定考点聚焦直角互余一半互余一半（续表）常见结论(1)SRt△ABC=12ch=12ab,其中a,b为两直角边,c为斜边,h为斜边上的高;(2)Rt△ABC内切圆半径r=

𝑎+𝑏-𝑐2,外接圆半径R=𝑐2,即等于斜边的一半,其中a,b为两直角边,c为斜边勾股定理直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即⑥勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,那么这个三角形是⑦三角形勾股数满足关系式a2+b2=c2的3个正整数a,b

,c称为勾股数考点二勾股定理及逆定理a2+b2=c2直角互逆命题在两个命题中,如果第一个命题的⑧是第二个命题的结论,而第一个命题的⑨又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.互逆命题(1)把一个命题的条件

和结论互换就得到它的逆命题,所以每个命题都有逆命题.(2)原命题成立,其逆命题不一定成立互逆定理若一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理考点三互逆命题及互逆定理条件结

论定义在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称和术语的含义加以描述,做出明确的规定,也就是给它们下定义命题定义判断一件事情的句子叫做命题分类正确的命题称为⑩错误的命题称为⑪组成命题一般都由⑫和⑬两个部分组成定理根据已知的真命题,确定某个命题真实性的过程叫做⑭

.经过证明的真命题称为定理推论由一个定理直接推出的正确结论,叫做这个定理的推论,它和定理一样,可以作为进一步证明的依据考点四命题、定义、定理、公理真命题假命题条件结论证明题组一必会题对点演练1.[2018·滨州]在直角三角形中,若勾为

3,股为4,则弦为()A.5B.6C.7D.8A2.[2019·毕节]如图20-1,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为()A.3B.3C.5D.5图20-1B[答案]B[解析]∵152+82

=289,172=289,∴152+82=172,∴15,17,8能组成直角三角形,故选B.3.[八上P90复习题第1题改编]下列四组线段中,可以构成直角三角形的是()A.4,5,6B.15,17,8C.2

,3,4D.1,2,3[答案]54.[八下P88习题第1题改编]已知:如图20-2,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.若CE=5,则DF的长为.图20-2[解析]根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得

CE=DF=12AB.在△ABC中,∵∠ACB=90°,E是AB的中点,∴CE=12AB.∵D,F分别是AC,BC的中点,∴DF是△ABC的中位线.∴DF=12AB.∴CE=DF.故DF=5.[答案]1.6[解析]连接AD,由作法可知AD=BD,在Rt△ACD中,设CD=x,

则AD=BD=5-x,又已知AC=3,由勾股定理得CD2+AC2=AD2,即x2+32=(5-x)2,解得x=1.6.故答案为1.6.5.[2018·淮安]如图20-3,在Rt△ABC中,∠C=90°

,AC=3,BC=5,分别以A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是.图20-3题组二易错题【失分点】忽视直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要条件;运用勾股定理确定边长时忽视分类讨论造成漏解.[

答案]C6.[2018·黄冈]如图20-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=()A.2B.3C.4D.23图20-4[解析]在R

t△ABC中,CE为AB边上的中线,所以CE=12AB=AE,因为CE=5,AD=2,所以DE=3,因为CD为AB边上的高,所以在Rt△CDE中,CD=𝐶𝐸2-𝐷𝐸2=4,故选C.[答案]90°

或130°[解析]情况1:当∠ADB=90°时,∠ADC=90°;情况2:当∠BAD=90°时,∠ADC=∠BAD+∠B=90°+(180°-100°)÷2=130°.7.[2018·哈尔滨]在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点

D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为.[答案]1或98.[2018·云南]在△ABC中,AB=34,AC=5.若BC边上的高等于3,则BC边的长为.[解析]设BC边上的高为AD.当BC边上的高AD在△ABC的内部

时,如图①所示,在Rt△ABD中,由勾股定理得BD=𝐴𝐵2-𝐴𝐷2=(34)2-32=5,在Rt△ACD中,由勾股定理得CD=𝐴𝐶2-𝐴𝐷2=52-32=4,所以BC=5+4=9.当BC边上的高AD在△ABC的外部时,如图②所示,同理B

D=5,CD=4,所以BC=5-4=1.考向一直角三角形的性质例1[2019·株洲]如图20-5所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB,BC的中点.若EF=1,则AB=

.图20-5[答案]4[解析]因为Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,所以AB=2CM,又因为E,F分别为MB,BC的中点,所以EF为中位线,所以CM=2EF,从而AB=4EF=4.例2如图20-6所示,AD,BE分别为△ABC的边B

C,AC上的高,G是AB的中点,GF⊥DE,求证:DF=FE.图20-6证明:连接DG,GE.∵AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的高,∴∠ADB=∠AEB=90°.∵G是AB的中点,∴DG=12AB,

GE=12AB,∴DG=GE.∵GF⊥DE,∴DF=FE.【方法点析】在直角三角形中,有斜边中点时常连接直角顶点与斜边上的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证题.1.如图20-7,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平

分线交BC于D,DE是AB的垂直平分线,垂足为E.若BC=3,则DE的长为()A.1B.2C.3D.4|考向精练|图20-7[答案]A[解析]由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°,再由直角三角形的性质求解.∵DE垂直平分AB,∴DA

=DB,∴∠B=∠DAB.∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠DAB,∵∠C=90°,∴3∠CAD=90°,∴∠CAD=30°,∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,CD⊥AC,∴CD=DE=12BD.∵BC=3,∴CD=DE=1.故选A.2.[2019·枣庄]把两个同样大小含45°角的三角尺

按如图20-8所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=2,则CD=.图20-8[答案]6−2[解析]在等腰直角三角形ABC中,∵AB=2,∴BC=22,过点A作AM⊥BD于点M,则AM=

MC=12BC=2,在Rt△AMD中,AD=BC=22,AM=2,∴MD=6,∴CD=MD-MC=6−2.考向二勾股定理及逆定理的运用微专题角度1勾股定理的运用图20-9例3在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路

,请你按照他们的解题思路完成解答过程.图20-10解:在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,设BD=x,则CD=14-x,由勾股定理得:AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,故152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.∴AD=1

2.∴S△ABC=12BC·AD=12×14×12=84.角度2勾股定理逆定理的运用例4[2019·益阳]已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两

弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形[答案]B[解析]如图所示,AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△AB

C是直角三角形,且∠ACB=90°,故选:B.|考向精练|1.如果直角三角形的三条边长分别为2,4,a,那么a的取值可以有()A.0个B.1个C.2个D.3个[答案]C[解析]∵题中没有规定哪条边为斜边,∴a2=42+22或a2=42-22,且

a>0,∴有两解,故选C.2.数学文化勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图20-11,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大的正方形内.若知道图中阴影部分的面积

,则一定能求出()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和图20-11[答案]C[解析]如图,设直角三角形的斜边长为c,较长直角边为b,较短直角边为

a,由勾股定理得,c2=a2+b2,阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c),较小两个正方形重叠部分的一边长为a-(c-b),另一边长为a,则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c),∴知道图中阴影部分的面积,则一定能求出较小两个正方形重叠部分

的面积,故选C.3.[2019·巴中]如图20-12,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP.若AP=6,BP=8,CP=10,则S△ABP+S△BPC=.图20-12[答案]163+24[解析]将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP',连接P

P',所以BP=BP',∠PBP'=60°,所以△BPP'是等边三角形,其边BP为8,所以S△BPP'=163,因为PP'=8,P'C=PA=6,PC=10,所以PP'2+P'C2=PC2,所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C=24,所以

S△ABP+S△BPC=S△BPP'+S△PP'C=163+24.4.如图20-13,在矩形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C’处,BC’交AD于点E,则线段DE的长为.图20-13[解析]设ED=x,则AE=6

-x.∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∴∠EDB=∠DBC.由题意得∠EBD=∠DBC,∴∠EDB=∠EBD,∴EB=ED=x.由勾股定理得BE2=AB2+AE2,即x2=32+(6-x)2,解得x=154,∴

ED=154.[答案]1545.[2019·宿迁]如图20-14,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是.图20-14[解析]如图,过点B作BC1⊥AN,垂足为C1,BC2⊥

AM,交AN于点C2.在Rt△ABC1中,AB=2,∠A=60°,∴∠ABC1=30°,∴AC1=12AB=1,由勾股定理得:BC1=3.在Rt△ABC2中,AB=2,∠A=60°,∴∠AC2B=30°,∴AC2=4,由勾股定理得:BC2

=23.当△ABC是锐角三角形时,点C在C1C2(不与点C1,C2重合)上移动,此时3<BC<23.故答案为:3<BC<23.[答案]3<BC<236.[2018·荆门]如图20-15,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的

中点,以BE为边作等边三角形BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=3,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.图20-15解:(1)证明:在Rt△ABC中,∠BAC=30°,E为AB边的中点,∴B

C=EA,∠ABC=60°.∵△DEB为等边三角形,∴DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°,∴∠DEA=120°,∠DBC=120°,∴∠DEA=∠DBC,∴△ADE≌△CDB.6.[2018·荆门]如图20-15,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为A

B边的中点,以BE为边作等边三角形BDE,连接AD,CD.(2)若BC=3,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.图20-15(2)如图,作点E关于直线AC的对称点E',连接BE'交AC于点H,则点H即为符合条件的点.由作图可知:EH+BH=BE',AE'=A

E,∠E'AC=∠BAC=30°,∴∠EAE'=60°,∴△EAE'为等边三角形,∴EE'=EA=12AB,∴∠AE'B=90°.在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=3,∴AB=23,AE'=AE=3,∴BE'=𝐴𝐵2-𝐴𝐸'2=(

23)2-(3)2=3,∴BH+EH的最小值为3.考向三勾股定理的实际应用例5有一圆柱形油罐,如图20-16所示,从A点开始环绕油罐建梯子,正好到A点的正上方B点,问梯子最短需多少m(已知:油罐的底面周长是

12m,高AB是5m).图20-16解:假设将圆柱体的侧面沿AB剪开,铺平得四边形AA'B'B为长方形(如图所示),AB=A'B'=5,AA'=BB'=12,∠BAA'=∠A'=∠A'B'B=∠B=90°,因此沿AB'建梯子,则最省材料,

梯子最短.在Rt△AA'B'中,AB'=𝐴𝐴'2+𝐴'𝐵'2=122+52=13(m).答:梯子最短需13m.【方法点析】运用转化思想求几何体表面上两点之间的最短距离时,一般先把立体图形展开成平面图形,然

后再利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离.|考向精练|1.[2018·黄冈]如图20-17,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯

上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm(杯壁厚度不计).图20-17[答案]20[解析]如图为圆柱侧面展开图的一部分,点E与点A关于直线l对称,连接EB,EB长即为蚂蚁爬行的最短距离,过点B作BC⊥AE于点

C,则Rt△EBC中,BC=32÷2=16(cm),EC=3+14-5=12(cm),所以EB=𝐸𝐶2+𝐵𝐶2=20(cm).2.[2019·南京]无盖圆柱形杯子的展开图如图20-18所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的

部分至少有cm.[答案]5[解析]由题意可得:杯子内的木筷长度最多为:122+92=15(cm),则木筷露在杯子外面的部分长度至少为:20-15=5(cm).故答案为5.图20-183.如图20-19所示,木长二丈(1丈=10尺),它的一

周是三尺,生长在木上的葛藤缠木七周,上端恰好与木齐,问葛藤长是多少.解:如图所示,一条直角边(即高)长二丈,即20尺,另一条直角边长7×3=21(尺),因此葛藤长为202+212=841=29(尺).图20-194.如图20-20

所示,一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从A点爬到B点,那么沿哪条路爬最近?你能帮它找出来吗?(这个长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C为5cm,点D离点E也为5cm)解:①把长方体的右侧面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图①.则AD=AE+ED=15cm,BD

=20cm,AB=𝐴𝐷2+𝐵𝐷2=25(cm).图20-20②把长方体的上底面剪开与前面这个侧面所在平面形成一个长方形,如图②.则AE=10cm,BE=BC+CE=25cm,AB=𝐴𝐸2+𝐵𝐸2=529(cm).③把长方体的下底面剪开与右侧面所在平面形成一个长方

形,如图③.则AC=AE+CE=30cm,BC=5cm,AB=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=537(cm).因为25<529<537,所以沿图①所示的路线爬最近.考向四定义、命题、定理[答案]如果m是有理数,那么它是整数[解析]两个命题,如果第一个

命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.例6[2017·常德]命题:“如果m是整数,那么它是有理数”,则它的逆命题为.|考向精练|1.[2017·衡阳]下列命

题是假命题的是()A.不在同一直线上的三点确定一个圆B.角平分线上的点到角两边的距离相等C.正六边形的内角和是720°D.角的边画得越长,角就越大[答案]D[解析]角的大小与所画的边的长短无关,所以D是假命题,故选D.2.[2019·常州]判

断命题“如果n<1,那么n2-1<0”是假命题,只需举出一个反例.反例中的n可以为()A.-2B.-12C.0D.12[答案]A[解析]当n=-2时,满足n<1,但n2-1=3>0,所以判断命题“如果n<1,那么n2-1<0”是假命题,举例n=-2.故选A.