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华师大版初中数学中考总复习PPT全套精品课件1第10课时一次函数的图象与性质2第10课时┃一次函数的图象与性质考点1一次函数与正比例函数的概念一次函数一般地，如果y＝kx＋B(k，B是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数正比例函数特别地，当B＝0时，一次函数y＝kx＋B变为y＝kx(k

为常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数回归教材3第10课时┃一次函数的图象与性质考点2一次函数的图象和性质(1)正比例函数与一次函数的图象正比例函数的图象正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0，0)和点(1，k)的一条直线一次函数的图象一次函数y＝

kx＋B(k≠0)的图象是经过点(0，B)和－Bk，0的一条直线图象关系一次函数y＝kx＋B的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，B>0，向上平移B个单位；B<0，向下平移B个单位图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即

可4第10课时┃一次函数的图象与性质(2)正比例函数与一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质k>0________________________________y随x增大而增大y＝kx(k≠0)k<0_____________________

__________y随x增大而减小k>0b>0_______________________________k>0b<0_______________________________y随x增大而增大k<0b>0_________________

______________y＝kx＋b(k≠0)k<0b<0_______________________________y随x增大而减小一、三象限二、四象限一、二、三象限一、三、四象限一、二、四象限二、三、四象限5第10课时┃一

次函数的图象与性质考点3两条直线的位置关系1．直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，①若l1与l2相交，则________，求这两条直线的交点，只要解方程组y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2，得到的x、y的值就是两直线交点的横、纵坐标．②若

l1∥l2，则________．这两条直线中的一条可以通过上下平移(或左右平移)得到另一条．2．求直线y＝kx＋b与x轴交点坐标，只要设y＝0，求出对应的x的值；直线y＝kx＋b与y轴交点坐标为(0，b)．k1＝k2k1≠k26第10课时┃一次函数的图象与性质考点4由待定系数法求

一次函数的解析式因在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中有两个未知系数k和b，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，将其坐标代入得b1＝a1k＋b，b2＝a2k＋b，求出k，b的值即

可，这种方法叫做___________．待定系数法7第10课时┃一次函数的图象与性质考点5一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式(组)一次函数与一次方程一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的值为0时，相应的自变量的值为方程kx＋b＝0的根一次函

数与一元一次不等式一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的值大于(或小于)0，相应的自变量的值为不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解集一次函数与方程组两直线的交点坐标是两个一次函数解析式y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2所组成的关于x，y的方程组y＝k1x＋b1，y＝k

2x＋b2的解8探究一一次函数的图象与性质归类探究第10课时┃一次函数的图象与性质命题角度：1．一次函数的概念；2．一次函数的图象与性质．D例1[2013·莆田]如图10－1，一次函数y＝(m－2)x－1的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是()A．m＞0B．m＜0C．m＞2D．m＜2图10

－19第10课时┃一次函数的图象与性质解析∵一次函数y＝(m－2)x－1的图象经过第二、三、四象限，∴m－2＜0，解得m＜2.[方法点析]k和b的符号作用：k的符号决定函数的增减性，k>0时，y随x的增大而增大，k<0时，y随x的

增大而减小；b的符号决定图象与y轴交点在原点上方还是下方(上正，下负)．10第10课时┃一次函数的图象与性质探究二一次函数的图象的平移命题角度：1．一次函数的图象的平移规律；2．求一次函数的图象平移后对应的解析式．例2[2013·川汇区一模]在平面直角坐标系中，将直线y＝－2x

＋1的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的直线的解析式是()A．y＝－2x－2B．y＝－2x＋6C．y＝－2x－4D．y＝－2x＋4A11第10课时┃一次函数的图象与性质解析将直线y＝－2x＋1的图象向左平

移2个单位，再向上平移1个单位，得到的直线的解析式是：y＝－2(x＋2)＋1＋1＝－2x－2，即y＝－2x－2.[方法点析]直线y＝kx＋b(k≠0)在平移过程中k值不变．平移的规律是若上下平移，则直接在常数b后加上或减去平移的单位数；若向左(或向右)平移m个单位，则直线y＝kx＋b(k≠0)变

为y＝k(x＋m)＋b(或k(x－m)＋b)，其口诀是上加下减，左加右减．12第10课时┃一次函数的图象与性质探究三求一次函数的解析式命题角度：由待定系数法求一次函数的解析式．例3[2012·湘潭]已知一次函数y＝kx＋

b(k≠0)的图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．解析先根据一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(0，2)可知b＝2，再用k表示出函数图象与x轴的交点，利用三角形的面积公式求解即可．13第10

课时┃一次函数的图象与性质[方法点析]待定系数法求函数解析式，一般是先写出一次函数的一般式y＝kx＋b(k≠0)，然后将自变量与函数的对应值代入函数的解析式中，得出关于待定系数的方程或方程组，解这个方程(组)，从而写出函数的解析式．解将(0，2)代入解析式y＝kx＋

bk≠0中，得b＝2，所以一次函数y＝kx＋bk≠0的图象与x轴的交点的横坐标为－bk＝－2k，由题意可得12×－2k×2＝2，则k＝±1.所以一次函数的解析式为y＝x＋2或y＝－x

＋2.14例4[2012·湖州]一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图10－2所示．根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为____________．图10－2第10课时┃一次函数的图象与性质探究四一次函数与一次方程(组)，一元一次不等式(组)命题

角度：1．利用函数图象求二元一次方程(组)的解；2．利用函数图象解一元一次不等式(组)．x＝－115第10课时┃一次函数的图象与性质解析∵一次函数y＝kx＋b过点(2，3)，(0，1)，∴3＝2k＋b，1＝b，解得k＝1，b＝1，∴一次函数的解

析式为y＝x＋1.当y＝0时，x＋1＝0，x＝－1，∴一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点(－1，0)，∴关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝－1.16回归教材教材母题已知一次函数的图象如图10－3，写出这个函数的关系式．图10－3第10课

时┃一次函数的图象与性质待定系数法求“已知两点的一次函数的关系式”17解：由图象知，一次函数的图象经过(2，0)和(0，－3)，设一次函数的关系式为y＝kx＋b，将两点的坐标代入关系式得2k＋b＝0，b＝－3，解得k＝32，b＝－3.∴一次函数的关系式为y＝32x－

3.第10课时┃一次函数的图象与性质18中考预测如图10－4，直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)．(1)求直线AB的关系式；(2)若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．图10－4第10课时┃一次函数的图象与性质19第10课时┃一次函数的

图象与性质解(1)设直线AB的关系式为y＝kx＋b，∵直线AB过点A(1，0)、点B(0，－2)，∴k＋b＝0，b＝－2，解得k＝2，b＝－2，∴直线AB的关系式为y＝2x－2.(2)设点C的坐标为(x，y)，∵S△BOC＝2，

∴12·2·x＝2，解得x＝2，∴y＝2×2－2＝2，∴点C的坐标是(2，2)．2021第11课时一次函数的应用22第11课时┃一次函数的应用考点一次函数的应用回归教材1．建模思想：解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，再利用一次函

数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围．2．一次函数的最大(小)值：一次函数y＝kx＋b(k≠0)自变量x的范围是全体实数，图象是直线，因此没有最大值与最小值．3．实际问题中的一次函数：自变量的取值范围一般受到限制，其图象可能是线段或射线，根据函数图

象的性质，就存在最大值或最小值．常见类型：(1)求一次函数的解析式；(2)利用一次函数的图象与性质解决某些问题如最值等．23探究一利用一次函数进行方案选择归类探究第11课时┃一次函数的应用命题角度：1.求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大或最小值；2.利用一次函数进行方案选择．例

1[2013·山西]某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的关系如图11－1所示：24第11课时┃一次函数

的应用(1)填空：甲种收费方式的函数关系式是_____________；乙种收费方式的函数关系式是___________．(2)该校某年级每次需印制100～450(含100和450)份学案，选择哪种印刷方式较合算？图11－1y乙＝0.12xy甲＝0.1

x＋625第11课时┃一次函数的应用解析(1)设甲种收费的函数关系式y甲＝kx＋b，乙种收费的函数关系式是y乙＝k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；(2)由(1)的解析式分三种情况进行讨论，当y甲>y乙时，当y甲＝y乙

时，当y甲<y乙时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式．26第11课时┃一次函数的应用[方法点析]一次函数的方案决策题，一般都是利用自变量的取值不同，得出不同方案，并根据自变量的取值范围确定出最佳方案．27第11课时┃一次函数的应用探究二利用一次函数解决分段函

数问题命题角度：1.利用一次函数解决个税收取问题；2.利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题．例2[2013·衡阳]为响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的阶梯电价，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第

二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如折线图11－2，请根据图象回答下列问题：28第11课时┃一次函数的应用(1)当用电量是180千瓦时时，电费是________元；(2)第二档的用电量范围是_______________；(3)“基本电价”是_____元/千瓦时；(

4)小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？图11－20.6108180＜x≤45029第11课时┃一次函数的应用解析(1)通过函数图象可以直接得出用电量为180千瓦时，电费的数量；(2)从函数图象可以看出

第二档的用电范围；(3)用总费用÷总电量就可以求出基本电价；(4)结合函数图象可以得出小明家8月份的用电量超过450千瓦时，先求出直线BC的解析式就可以得出结论．30第11课时┃一次函数的应用[方法点析]此类问题多以分段函数的形式出现，正确理解分段函数是解决问题的关键，一般应从如下几方面入

手：(1)寻找分段函数的分界点；(2)针对每一段函数关系，求解相应的函数解析式；(3)利用条件求未知问题．解(4)设直线BC的解析式为y＝kx＋b，由图象，得364.5＝540k＋b，283.5＝450k＋b，解得k＝0.9，b＝－121.5，y＝0.9x－121.5.当y＝32

8.5时，x＝500.答：这个月他家用电500千瓦时．31第11课时┃一次函数的应用探究三利用一次函数解决其他生活实际问题命题角度：函数图象在实际生活中的应用．例3甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图11－3，线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与

时间x(小时)之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y(千米)与x(小时)之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：(1)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？(2)求线段CD对应的函数解析式；32第11课时┃一次函数的应用(3)轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求货车从甲地出发

后多长时间再与轿车相遇(结果精确到0.01)．图11－333第11课时┃一次函数的应用解析(1)根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米

，则此时货车距乙地的路程为300－270＝30(千米)；(2)设CD段的函数解析式为y＝kx＋b，将C(2.5，80)，D(4.5，300)两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；(3)设货车从甲地出发x小时后再与轿车相遇，根据轿车(x－4.5)小时行驶的路

程＋货车x小时行驶的路程＝300千米列出方程，解方程即可．34第11课时┃一次函数的应用(1)根据图象信息：货车的速度V货＝3005＝60(千米/时)．∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，∴轿车

到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60＝270(千米)，此时，货车距乙地的路程为：300－270＝30(千米)．答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米．(2)设CD段函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)(2.5≤x≤4.5)．∵点C(2.

5，80)，D(4.5，300)在其图象上，∴2.5k＋b＝80，4.5k＋b＝300，解得k＝110，b＝－195，∴CD段函数解析式为y＝110x－195(2.5≤x≤4.5)．(3)设轿车从甲地出发x小时后再与货车相遇．∴110(x－4.5)＋60x＝300，解得x≈4.68

.答：货车从甲地出发约4.68小时后再与轿车相遇．解35第11课时┃一次函数的应用[方法点析]结合函数图象及性质，弄清图象上的一些特殊点的实际意义及作用，寻找解决问题的突破口，这是解决一次函数应用题常见的思路．“图形信息”题是近几年的中考热点考题，解此类问题应做到三个方面：(1)看图找点；(2)

见形想式；(3)建模求解．36回归教材教材母题“分段函数”模型应用广第11课时┃一次函数的应用药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)

与服药后时间x(时)之间的函数关系如图11－4：图11－4(1)根据图象说出服药后多少时间血液中药物浓度最高．(2)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．37解：(1)由图象知，服

药后3小时血液中药物浓度最高．(2)当0≤t≤3时，函数为正比例函数，设关系式为y＝kx(k≠0)，将点(3，8)代入得，8＝3k，解得k＝83，函数关系式为y＝83x(0≤t≤3)．当3<t≤14时，一次函数的图象经过(3，8)，(14，0)，设一次函数的关系式为y＝kx＋b

.将点的坐标代入关系式，8＝3k＋b，0＝14k＋b，解得b＝11211，k＝－811.所以函数关系式为y＝－811x＋11211(3<t≤14)．第11课时┃一次函数的应用38[点析](1)分段函数中，自变量在不同的取值

范围内的关系式也不相同，在解决实际问题时，要特别注意相应自变量的变化范围；(2)数形结合寻找有用信息，结合待定系数法是求分段函数关系式的常用方法．第11课时┃一次函数的应用39中考预测小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的

时间与路程的关系如图11－5所示．放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是()图11－5A．14分钟B．17分钟C．18分钟D．20分钟第11课时┃一次函数的应用D4041第12课时反比例函数42第12课时┃反比

例函数考点1反比例函数的概念定义：形如________(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数．表达式：y＝kx或y＝kx－1或xy＝k(k≠0)．防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠

0；(3)函数y≠0.回归教材y＝kx43第12课时┃反比例函数考点2反比例函数的图象与性质(1)反比例函数的图象：反比例函数y＝kx(k≠0)的图象是________，且关于________对称．(2)反比例函数的性质：函数图象所在象限性质k>0一、三象限(x，y同号)在每个象限内，y随x

增大而减小y＝kx(k≠0)k<0二、四象限(x，y异号)在每个象限内，y随x增大而增大原点双曲线44第12课时┃反比例函数(3)反比例函数比例系数k的几何意义：推导：如图12－1，过双曲线上任一点作x轴，y轴的垂线PM，PN所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|y|·

|x|＝|xy|.∵y＝kx，∴xy＝k，∴S＝|k|.k的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|.规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线

，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数12|k|．图12－145第12课时┃反比例函数考点3反比例函数的应用求函数解析式的方法步骤利用待定系数法确定反比例函数：①根据两变量之间的反比例关系，设y＝kx；②代

入图象上一个点的坐标，即x，y的一对对应值，求出k的值；③写出关系式反比例函数与一次函数的图象的交点的求法求直线y＝k1x＋b(k≠0)和双曲线y＝k2x的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组46探究一反比例函数的概念归类探究第12课时┃反比例函数命题角度：1.反比例函数的概念；

2.求反比例函数的解析式．例1[2013·温州]已知点P(1，－3)在反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上，则k的值是()A．3B．－3C.13D．－13B解析把P(1，－3)代入y＝kx(k≠0)得k＝1×(－3)＝－3.故选择B.47第12

课时┃反比例函数探究二反比例函数的图象与性质命题角度：反比例函数的图象与性质．例2[2013·株洲]已知点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在反比例函数y＝6x的图象上，则y1，y2，y3的

大小关系是()A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1D48第12课时┃反比例函数解析方法一：分别把各点代入反比例函数求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．方法二：根据反比例

函数的图象和性质比较．[方法点析]比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．49第12课时┃反比例函数探究三与反比例函数的k有关的问题命题

角度：反比例函数中k的几何意义．例3[2013·永州]如图12－2，两个反比例函数y＝4x和y＝2x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为________．图12－2150第12课时┃反比例函数

[方法点析]利用反比例函数中k的几何意义时，要注意点的坐标与线段长之间的转化，并且利用解析式和横坐标，求各点的纵坐标是求面积的关键．51第12课时┃反比例函数探究四反比例函数的应用命题角度：1.反比例函数在实际生活中的应用；2.反比例函数与一次函数的综合运用．例4[

2012·重庆]已知：如图12－3，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y＝kx的图象交于一、三象限内的A，B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(2，m)，点B的坐标为(n，－

2)，tan∠BOC＝25.52第12课时┃反比例函数(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在x轴上有一点E(O点除外)，使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．图12－353第12课时┃反比例函数解析(1)过B点作BD⊥x轴，垂足为D，由B(n，－2)得BD

＝2，由tan∠BOC＝，解直角三角形求OD，确定B点坐标，得出反比例函数关系式，再由A，B两点横坐标与纵坐标的积相等求m的值，由“两点法”求直线AB的解析式；(2)点E为x轴上的点，要使得△BCE与△B

CO的面积相等，只需要CE＝CO即可，根据直线AB的解析式求CO的长，再确定E点坐标．2554第12课时┃反比例函数解(1)如图，过B点作BD⊥x轴，垂足为D，∵B(n，－2)，∴BD＝2.在Rt△OBD中，tan

∠BOC＝25，即BDOD＝25，解得OD＝5.又∵B点在第三象限，∴B(－5，－2)．将B(－5，－2)的坐标代入y＝kx中，得k＝xy＝10，∴反比例函数的解析式为y＝10x.55第12课时┃反比例函数[方法点析]此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角

形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路，在直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，常常采用分割法，把所求的图形分成几个三角形或四边形，分别求出面积后再相加．将A(2，m)代入y＝10x中，得m＝5，∴A(2，5)．将A(2，5)，

B(－5，－2)的坐标代入y＝ax＋b中，得2a＋b＝5，－5a＋b＝－2，解得a＝1，b＝3，则一次函数的解析式为y＝x＋3.(2)由y＝x＋3得C(－3，0)，即OC＝3.∵S△BCE＝S△BCO，∴CE＝OC＝3，∴OE＝6，即E(－6，0)．56回归

教材教材母题已知一次函数与反比例函数的图象交于点P(－2，1)、Q(1，m)．(1)求这两个函数的关系式；(2)在同一坐标系中画出这两个函数的图象，根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？反比例函数与一次函数巧结合第12课时┃反比例函数57解：(1

)设反比例函数的关系式为y＝kx，将P(－2，1)代入得，k＝－2，反比例函数的关系式为y＝－2x，所以Q(1，－2)，设一次函数的关系式为y＝kx＋b，将P(－2，1)，Q(1，－2)，代入得－2＝k＋b，1＝－2k＋

b，解得k＝－1，b＝－1，∴直线的关系式为y＝－x－1.(2)图象略，由图象知，当x<－2或x<0<1时，一次函数值大于反比例函数值．第12课时┃反比例函数58中考预测1．函数y＝1－kx的图象与直线y＝x没有交点，那么k的取值范围是()A．k>1B

．k<1C．k>－1D．k<－1第12课时┃反比例函数A592．图12－4中的曲线是反比例函数y＝n＋7x的图象的一支．(1)这个反比例函数的图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？(2)若一次函数y＝－23x＋4

3的图象与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，△AOB的面积为2，求n的值．图12－4第12课时┃反比例函数60第12课时┃反比例函数解(1)第四象限，n＜－7；(2)∵y＝－23x＋43的图象与x轴的交点的纵坐标是0，∴－23x＋43＝0

，∴x＝2，∴B点坐标为(2，0)．又∵△AOB的面积是2，∴A点纵坐标是2，代入y＝－23x＋43，可得A点横坐标是－1，∴n＋7＝－2，∴n＝－9.6162第13课时二次函数的图象及其性质(一)63第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)考点1二次函

数的概念定义：一般地，如果______________(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．回归教材y＝ax2＋bx＋c64第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)考点2二次函数的图象及画法图象二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是以_______________

_____为顶点，以直线___________为对称轴的抛物线用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的步骤(1)用配方法化成____________________的形式；(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图y＝a(x－h)2＋k

－b2a，4ac－b24ax＝－b2a65第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)考点3二次函数的性质二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)函数a>0a<0图象开口方向抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸对称轴直线x＝－b2a直线x＝－b

2a顶点坐标－b2a，4ac－b24a－b2a，4ac－b24a增减性在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>－b2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y

随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>－b2a时，y随x的增大而减小，简记左增右减66第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)函数a>0a<0最值抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y最小值＝4ac－b2

4a抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝4ac－b24a二次项系数a的特性a的大小决定抛物线的开口大小；a越大，抛物线的开口越小，a越小，抛物线的开口越大常数项c的意义c

是抛物线与y轴交点的纵坐标，即x＝0时，y＝c67第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)考点4用待定系数法求二次函数的解析式方法适用条件及求法一般式若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y＝ax

2＋bx＋c，将已知三个点的坐标代入，求出a，b，c的值顶点式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式交点式若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标

为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式68探究一二次函数的定义

归类探究第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)命题角度：1．二次函数的概念；2．二次函数的形式．例1下列函数中，是二次函数的是()A．y＝8x2－1B．y＝8x－1C．y＝8xD．y＝8x2＋1A69解析A

．符合二次函数的一般形式，是二次函数，正确；B．是一次函数，错误；C．是反比例函数，错误；D．自变量x在分母中，不是二次函数，错误．[方法点析]利用二次函数的定义判定，二次函数中自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0.第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)70探究二二次函数的图象与性质命题角

度：1.二次函数的图象及画法；2.二次函数的性质．例2[2012·烟台]已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而减

小．则其中说法正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个A第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)71解析①∵2>0，∴图象的开口向上，故本说法错误；②图象的对称轴为直线x＝3，故本说法错误；③其图象顶点坐标为(3，1)，故本说法错误；④当x<3

时，y随x的增大而减小，本说法正确．综上所述，说法正确的只有④，共1个．故选A.[方法点析](1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法：①配方法；②顶点公式法，顶点坐标为(－b2a，4ac－b24a)．(2)画抛物线y＝ax2＋bx＋c的草图

，要确定五个方面，即①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y轴交点；⑤与x轴交点．第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)72第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)探究三二次函数的解析式的求法命题角度：1.一般式，顶点式，交点式；2.用待定系数法求

二次函数的解析式．例3[2013·湖州]已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标．73第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)解(1)解法一：∵抛物线y＝－x2＋bx＋

c经过点A(3，0)，B(－1，0)，∴－9＋3b＋c＝0，－1－b＋c＝0.解得b＝2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.解法二：抛物线的解析式为y＝－(x－3)(x＋1)，即y＝－x2＋2x＋3.(2)解法一：∵y＝－x2＋2x＋3

＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．解法二：∵x＝－22×（－1）＝1，y＝4×（－1）×3－224×（－1）＝4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．74第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)[方法点析](1)当已知抛物线上三点求二次函

数的解析式时，一般采用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)当已知抛物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求解析式时，一般采用顶点式y＝a(x－h)2＋k；(3)当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的解析式时，一般采用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．75回归教材教

材母题求图象满足下列条件的二次函数关系式：抛物线的顶点为(1，－2)，且过点(2，3)．一题多解提能力第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)76解法1：设抛物线的关系式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，根据顶点坐标有：－b2a＝1，4ac－b2

4a＝－2，又因为图象经过(2，3)，所以4a＋2b＋c＝3，于是得方程组－b2a＝1，4ac－b24a＝－2，4a＋2b＋c＝3，解方程组得a＝5，b＝－10，c＝3.所以二次

函数的关系式为y＝5x2－10x＋3.第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)77解法2：因为抛物线的顶点坐标为(1，－2)，所以设抛物线的关系式为y＝a(x－1)2－2，将点(2，3)代入得3＝a×(2－1)2－2，解得

a＝5，所以二次函数的关系式为y＝5(x－1)2－2，即y＝5x2－10x＋3.第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)78中考预测1．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛

物线的函数关系式为____________________．2．如图13－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A(－1，0)、B(2，0)，交y轴于C(0，－2)，求二次函数的关系式．图13－1第13课时┃二次函数的图象及其性质(一

)y＝－x2＋4x－379第13课时┃二次函数的图象及其性质(一)解解法1：设该二次函数的关系式为：y＝a(x＋1)(x－2)，将x＝0，y＝－2代入，得－2＝a(0＋1)(0－2)，解得a＝1，∴抛物线的关系式为y＝(x＋1)(

x－2)，即y＝x2－x－2；解法2：设二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将A(－1，0)、B(2，0)、C(0，－2)的坐标代入，得a－b＋c＝0，4a＋2b＋c＝0，c＝－2，解方程组得

a＝1，b＝－1，c＝－2，∴二次函数的关系式为y＝x2－x－2.8081第14课时二次函数的图象及其性质(二)82第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)考点1二次函数与一元二次方程的关系抛物线y＝ax2＋b

x＋c与x轴的交点个数判别式Δ＝b2－4ac的符号方程ax2＋bx＋c＝0有实根的个数2个Δ>0_____________实根1个Δ＝0_____________实根没有Δ<0_____________实根没有两个不相等两个相等83第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)考点2二次函数y

＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征a>0开口向上aa<0开口向下b＝0对称轴为y轴ab>0(b与a同号)对称轴在y轴左侧bab<0

(b与a异号)对称轴在y轴右侧c＝0经过原点c>0与y轴正半轴相交cc<0与y轴负半轴相交84第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)项目字母字母的符号图象的特征b2－4ac＝0与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac>0与x轴有两个不同交点b2－4ac

b2－4ac<0与x轴没有交点当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0特殊关系若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>085第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)考点3二次函数图象的平移将抛物线y＝

ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图14－1：图14－1[注意]确定抛物线平移后的解析式

最好利用顶点式，利用顶点的平移来研究图象的平移．86第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)考点4求二次函数的最值1．如果自变量的取值范围是全体实数，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c在______________处取得最大值(或最小值)，即当x＝－b2a时，y最值＝4ac－b24a，具体

求法：①配方法：将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k的形式，其图象的顶点坐标为________．当a＞0时，y有________，当x＝h时，___________；当a＜0时，y有____

____，当x＝h时，___________．②公式法：直接由顶点坐标公式－b2a，4ac－b24a求解．当a＞0时，y有最小值，即当x＝－b2a时，y最小＝4ac－b24a.当a＜0时，y有最大值，即当x＝－b2a时，y最大＝4ac－b24a.y最大＝k图象顶点(h，k)最

小值y最小＝k最大值87第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)2．如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，往往既有最大值，又有最小值，其最值求法有两种：①可先看x＝－b2a是否满足x1≤x≤x2，若x＝

－b2a在此范围内，当a＞0时，y最小值＝________，y的最大值取y1(与x1对应)、y2(与x2对应)中的________；当a＜0时，y最大值＝________，y的最小值取y1、y2中的________．若x＝－b2a不

在此范围内，不论a为何值，y的最大值取y1、y2中的________，y的最小值取y1、y2中的________．②图象法：画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x1≤x≤x2)的图象(注意自变量取x1≤x≤x2)，这时根据函数的图象解答

，函数的最大、最小值可以从图象中读出．较小值较大值较小值4ac－b24a4ac－b24a较大值88探究一二次函数与一元二次方程归类探究第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)命题角度：1．二次函数与一元二次方程之间

的关系；2．图象法解一元二次方程；3．二次函数与不等式(组)．例1[2013·苏州]已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是()A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，

x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3B89解析∵二次函数的解析式是y＝x2－3x＋m(m为常数)，∴该抛物线的对称轴是x＝32.又∵二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，∴根据抛

物线的对称性可知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2，0)，∴关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根分别是x1＝1，x2＝2.故选B.第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)90探究二二次函数的图象的平移命题角度：1.二次函数的图象的平移规律；2.利用平

移求二次函数的图象的解析式．例2[2013·雅安]将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为()A．y＝(x－2)2B．y＝(x－2)2＋6C．y＝x2＋6D．y＝x2D第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)解析抛物线y

＝(x－1)2＋3向左平移1个单位所得直线解析式为y＝(x－1＋1)2＋3，即y＝x2＋3；再向下平移3个单位为y＝x2＋3－3，即y＝x2.故选D.91第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)例3[2013·聊城]如图14－2，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2经过平移得到

抛物线y＝12x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为()A．2B．4C．8D．16图14－2B解析过点C作CA⊥y轴，∵抛物线y＝12x2－2x＝12(x2－4x)＝12(x2－4x＋4)－2＝12(x－2)2－2，∴顶点坐标为C(2，－2)，对称轴与两段抛物线所围成的阴

影部分的面积为：2×2＝4，故选：B.92[方法点析]二次函数的平移，先把y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k，由x－h＝0得x＝h，当h>0向右移，h<0向左移，k>0向上移，k<0向下移．第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)93第14课时┃二次

函数的图象及其性质(二)探究三二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系命题角度：1.二次函数的图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，与坐标轴的交点情况与a，b，c的关系；2.图象上的特殊点与a，b，c的关系．C例4[2013·广安]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图14－3

所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc>0，②2a＋b＝0，③b2－4ac<0，④4a＋2b＋c>0，其中正确的是()A．①③B．只有②C．②④D．③④图14－394第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)解析由抛物线开口向

上，得到a大于0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b小于0.又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc小于0，选项①错误；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2－4ac大于0，选项③错误；由x＝2时对应的函数值大于0，将x＝2代入抛物线解析式可得出4a

＋2b＋c大于0，得到选项④正确，最后由对称轴为直线x＝1，利用对称轴公式得到b＝－2a，得选项②正确，所以正确结论的序号为②④.95第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)变式题[2013·烟台]如图14－4是二次

函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为x＝－1，且过点(－3，0)．下列说法：①abc＜0；②2a－b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－5，y1)，52，y2是抛物线上两点，则y1＞y2.其中说法正确的是()A

．①②B．②③C．①②④D．②③④图14－4C96第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)解析∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0.∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0.∵二次函数图象的对称轴是直线x＝－1

，∴－b2a＝－1，∴b＝2a＞0，∴abc＜0，∴①正确；2a－b＝2a－2a＝0，∴②正确；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为x＝－1，且过点(－3，0)．∴与x轴的另一个交点的坐标是(1，0)，∴把x＝2代

入y＝ax2＋bx＋c，得y＝4a＋2b＋c＞0，∴③错误；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，∴点(－5，y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3，y1)，根据当x＞－1时，y随x的增大而增大，∵52＜3，∴y2＜y1，∴④正确．97第14课时┃二次函数的图

象及其性质(二)[方法点析]二次函数的图象特征主要从开口方向、与x轴有无交点，与y轴的交点及对称轴的位置，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入，根据图象确定y的符号．98第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)探究四二次函数的图象与性质的综合运用命题角度

：二次函数的图象与性质的综合运用．例5[2013·内江]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1<x2)两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根．(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值；(2)

若∠ADC＝90°，求二次函数的解析式．图14－599解(1)因为x2＋4x－5＝0的两根是x1＝－5，x2＝1，所以A，B两点的坐标为A(－5，0)，B(1，0)，所以抛物线的对称轴为x＝－2.根据二次函数

图象与一元二次方程解的关系，可设二次函数的解析式为y＝a(x2＋4x－5)(a＞0)，则C，D的坐标分别为C(0，－5a)，D(－2，－9a)，从而可画出大致图象，如图：第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)100第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)所以S△ABC＝12AB·

OC＝15a.设AC与抛物线的对称轴交于点E，则由三角形相似可求得E点的坐标为(－2，－3a)，所以S△ADC＝S△AED＋S△DEC＝12(9a－3a)×3＋12(9a－3a)×2＝15a.所以S△ABC∶S△ACD＝1.(2)当∠ADC＝90°时，△ADC是直角三角形，

依勾股定理得AC2＝AD2＋DC2.因为AC2＝52＋(5a)2，AD2＝32＋(9a)2，DC2＝22＋(9a－5a)2，所以52＋(5a)2＝32＋(9a)2＋22＋(9a－5a)2，解得a＝±66(负值不合题意，

舍去)．所以二次函数的解析式为y＝66(x2＋4x－5)＝66x2＋263x－566.101第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)[方法点析](1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是

研究利用二次函数的性质解决问题的关键．(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式．(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一

点的坐标．102103第15课时二次函数的应用104第15课时┃二次函数的应用考点1二次函数的应用二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最

值确定最大利润、最节省方案等问题．回归教材105考点2建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求

二次函数的解析式是解题关键．在研究几何问题时，注意点的坐标与线段长度互化．第15课时┃二次函数的应用106探究一利用二次函数解决抛物线形问题归类探究命题角度：1.利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等抛物线形问题；2.利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．例1[2013·哈尔

滨]某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽度为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图15－1所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB＝8米，设抛物线解析式为y＝ax2－4.第

15课时┃二次函数的应用107解析(1)根据y轴为抛物线的对称轴，AB＝8，可得B(4，0)，把B点坐标代入抛物线所对应的函数解析式即可求得a的值；(2)根据(1)求得a的值，求出解析式，把C点坐标代入求得m的值，然后根据D，C关于原点对称求出D

点坐标，然后根据S△BCD＝S△BOD＋S△BOC求出面积即可．第15课时┃二次函数的应用(1)求a的值；(2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．图15－1

108第15课时┃二次函数的应用解(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知OB＝4，∴B(4，0)，把B点坐标代入解析式得16a－4＝0，解得a＝14.(2)过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，∵a＝14，∴y＝14x2－4.令x＝－1，∴m＝14×(－1)2－4

＝－154，∴C－1，－154.∵点C关于原点的对称点为D，∴D点的坐标为1，154.则CE＝DF＝154，S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝12OB·DF＋12OB·CE＝12×4×154＋12×4×154＝15，∴△BCD的面积为15平方米．109[方法点析

]利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．第15课时┃二次函数的应用110探究二二次函数在营销问

题方面的应用命题角度：二次函数在销售问题方面的应用．例2[2013·盐城]水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买

88千克．(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图15－2所示的一次函数关系．①求y与x之间的函数关系式；第15课时┃二次函数的应用111②

请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额)图15－2第15课时┃二次函数的应用112解析(1)设现在实际购进这种水果每千克x元，根据原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克列出关于x的一元一次方程，解方程即可；(2)

①设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将(25，165)，(35，55)代入，运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为W元，根据利润＝销售收入－进货金额得到W关于x的函数关系式为W＝－11(x－30)2＋1100，再根据二次

函数的性质即可求解．第15课时┃二次函数的应用113解(1)设现在实际购进这种水果每千克a元，根据题意，得80(a＋2)＝88a，解之得a＝20.答：现在实际购进这种水果每千克20元．(2)①∵y是x的一次函数，设函数关系式为y＝kx＋b，将(

25，165)，(35，55)分别代入y＝kx＋b，得25k＋b＝165，35k＋b＝55.解得k＝－11，b＝440，∴y＝－11x＋440.②设最大利润为W元，则W＝(x－20)(－11x＋

440)＝－11(x－30)2＋1100.∴当x＝30时，W最大值＝1100.答：将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润1100元．第15课时┃二次函数的应用114第15课时┃二次函数的应用[方法点析]二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二

次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题．115探究三二次函数在几何图形中的应用命题角度：1.二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往是涉及最大面积，最小距离等；2.在写函数解析式时，要注意自变量的取值范围

．例3[2013·聊城]已知在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；(2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？第15课时┃二次函

数的应用116第15课时┃二次函数的应用(3)当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．图15－3解(1)依题意得：y＝12x(20－x)＝－12x2＋10x(0<x<20)，解方程48＝－12x2＋10x，得x1＝12，x2＝

8，∴当△ABC的面积为48时，BC的长为12或8.(2)由(1)得y＝－12x2＋10x＝－12(x－10)2＋50，∴当x＝10即BC＝10时，△ABC的面积最大，最大面积是50.117第15课时┃二次函数的应用(3

)△ABC的周长存在最小的情形，理由如下：由(2)可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10，过点A作直线l平行于BC，作点B关于直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点A′，再连接A′B，AB′，A′B′，则由对称性得：A

′B′＝A′B，AB′＝AB，∴A′B＋A′C＝A′B′＋A′C＝B′C.当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：L＝AB＋AC＋BC＝AB′＋AC＋BC＞B′C＋BC，当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时，L＝AB＋AC

＋BC＝A′B′＋A′C＋BC＝B′C＋BC，因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小．这时由作法可知：BB′＝20，∴B′C＝202＋102＝105，∴L＝105＋10.因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为105＋10.118[方法点析]构造二次函数在几何图形

中的应用，主要是求几何图形的面积最大值的问题，求解这类问题，只要能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解．第15课时┃二次函数的应用119回归教材教材母题某商

人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．(1)写出每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2

)每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？如何定价利润最大第15课时┃二次函数的应用120解：(1)根据题意得，y＝(x－8)[100－10(x－10)]，整理得y＝－10x2＋280x－1600.(2)配方得y＝－10(x－14)2＋360，所以当x＝14时有最大值，即售价为14元时利

润最大．第15课时┃二次函数的应用[点析]根据问题情景建立函数关系式，然后根据二次函数的最值求最大利润时自变量的值．121中考预测某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的

各项支出共4800元．设公司每日租出x辆时，日收益为y元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)(1)公司每日租出x辆时，每辆车的日租金为______________元(用含x的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？(3)当每日租出多少辆

时，租赁公司日收益不盈也不亏？第15课时┃二次函数的应用(1400－50x)122解(2)y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50x2＋1400x－4800＝－50(x－14)2＋5000.当x＝

14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000.∴当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5000元．(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y＝0.即－50(x－14)2＋5000＝0，解得x1＝24，x2＝4.∵x＝24不合题意，舍去．∴当每日租出4辆时，租赁公司日收

益不盈也不亏．第15课时┃二次函数的应用123124第16课时几何初步及平行线、相交线125第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点1三种基本图形——直线、射线、线段直线公理经过两点有且只有________条直线线段公理两点之间，________最短两点间的距离连接两点间的线段的_____

___，叫做这两点间的距离回归教材长度一线段126第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点2角定义1有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两边角的概念定义2一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫做角角的分类角按照

大小可以分为平角、周角、________、钝角、________角的大小比较(1)度量法；(2)叠合法角的度量单位及换算1°＝60′，1′＝60″角平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成相等的两个角，这条射线叫做这个角的平分线直角锐角127第16课时┃几何初步

及平行线、相交线考点3几何计数1数直线的条数过任意三个不在同一直线上的n个点中的两个点可以画___________条直线2数线段的条数线段上共有n个点(包括两个端点)时，共有线段____________条3数角的个数从一点出发

的n条射线可组成____________个角4数直线交点的个数n条直线最多有____________个交点5数直线分平面的份数平面内有n条直线，最多可以把平面分成____________部分n（n－1）2n（n－1）2n（n－1）2n（n－1

）2n2＋n＋22128第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点4互为余角、互为补角互为余角定义如果两个角的和等于90°，则这两个角互余性质同角(或等角)的余角________互为补角定义如果两个角的和等于180°，则这两个角互补性

质同角(或等角)的补角________拓展一个角的补角比这个角的余角大90°相等相等129第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点5邻补角、对顶角邻补角定义若两角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两

个角，互为邻补角定义若两角有一个公共顶点，且两角的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角对顶角性质对顶角相等130第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点6“三线八角”的概念同位角如果两个角在截线l的同侧，且在被截直线a，b的同一方向

叫做同位角(位置相同)．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角内错角如果两个角在截线l的两旁(交错)，在被截直线a，b之间叫做内错角(位置在内且交错)．∠2和∠8，∠3和∠5是内错角同旁内角如果两个角在截线l的同侧，在被截直线a，b之间叫做同旁内角．∠5和∠2，∠3和∠8

是同旁内角131第16课时┃几何初步及平行线、相交线考点7平行平行线的定义在同一平面内，_______的两条直线叫做平行线平行公理经过直线外一点，有且只有____条直线与这条直线______平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也

互相________同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行平行线的判定同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等平行线的性质两直线平行，同旁内角互补平行不相交一平行132第16课时

┃几何初步及平行线、相交线考点8垂直垂直如果两条直线相交成________，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，互相垂直的两条直线的交点叫做________垂直的性质在同一平面内，过一点有且只有________条直线与已知直线垂直垂线段

定义从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做________性质垂线段________点到直线的距离直线外一点到这条直线的________的长度，叫做点到直线的距离垂线段直角垂足一垂线段最

短133例1[2012·北京]如图16－1，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM等于()A．38°B．104°C．142°D．144°图16－1探究一线与角的概念和基本性质归类探究第16课时┃几何初步及平行线、相交线命题角

度：1.线段、射线和直线的性质及计算；2.角的有关性质及计算．C134第16课时┃几何初步及平行线、相交线解析根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算．∵∠BOD＝

76°，∴∠AOC＝∠BOD＝76°.∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM＝12∠AOC＝12×76°＝38°，∴∠BOM＝180°－∠AOM＝180°－38°＝142°.故选C.135例2[2013·重庆]如图16－2，直线a、b、c、d，已知c⊥a，

c⊥b，直线b、c、d交于一点，若∠1＝50°，则∠2等于()A．60°B．50°C．40°D．30°图16－2第16课时┃几何初步及平行线、相交线探究二直线的位置关系命题角度：1.直线平行与垂直的判定及简单应用；2.角度的有关计算.B136第16课时┃几何初步及平行线、相交线解

析先判断a∥b，再由平行线的性质，可得出∠2的度数．∵c⊥a，c⊥b，∴a∥b.∴∠1＝∠2＝50°.故选B.[方法点析]计算角度问题时，要注意挖掘图形中的隐含条件(三角形内角和、互为余角或补角、平行线的性质、垂直

)及角平分线知识的应用．137第16课时┃几何初步及平行线、相交线探究三度、分、秒的计算命题角度：1．互为余角的计算；2．互为补角的计算；3．角度的有关计算．例3(1)[2013·湖州]把15°30′化成度的形式，则15°30′＝________度；(2)[2013·义乌]把角度化为度、分的形式

，则20.5°＝20°________；(3)一个角的补角是36°5′，则这个角是_________．143°55′15.530′138第16课时┃几何初步及平行线、相交线解析(1)根据度、分、秒之间的换算关系，进行运算．(2)注意角的度数之间的进率是60而不是10，这是容易出错的

地方．(1)∵30′＝0.5°，∴15°30′＝15.5°.(2)1°＝60′，可得0.5°＝30′，20．5°＝20°30′.(3)180°－36°5′＝143°55′.[方法点析](1)此题考查了度、分、秒的换算，1°＝60′，1′＝60″.

(2)此类题是进行度、分、秒的加法、减法计算，相对比较简单．两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度；度数乘一个数，则用度、分、秒分别乘这个数，秒的结果满60则转化为分，分的结果满60则转化为度．139第16课时┃几何初步

及平行线、相交线探究四平行线的性质和判定的应用命题角度：1.平行线的性质；2.平行线的判定；3.平行线的性质和判定的综合应用．例4[2013·常德]如图16－3，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得

到的关系中任选一个加以证明．图16－3140第16课时┃几何初步及平行线、相交线解①∠APC＝∠PAB＋∠PCD；②∠APC＝360°－(∠PAB＋∠PCD)；③∠APC＝∠PAB－∠PCD；④∠APC＝∠PCD－∠PAB.如证明①∠APC＝∠PAB＋∠PCD.证明：过P点

作PE∥AB，所以∠A＝∠APE.又因为AB∥CD，所以PE∥CD，所以∠C＝∠CPE，所以∠A＋∠C＝∠APE＋∠CPE，∴∠APC＝∠PAB＋∠PCD.同理可证明其他的结论.141第16课时┃几何初步及平行线、相交线[方

法点析]平行线的性质与判定的综合运用，是解决与平行线有关的问题的常用方法．先由“形”得到“数”，即应用特征得到角相等(或互补)，再利用角之间的关系进行计算，得到新的关系．然后再由“数”到“形”得到一组新的平行．142回归教材第16课时┃几何初步及平行线、相交线教材母题三角尺与直

尺构成的特殊角想一想：用一副三角尺还可以画出哪些特殊的角？解：除了直接可画出30°、45°、60°和90°的角之外，还可以画出15°、75°、105°、135°等角度．[点析]用30°、45°、60°和90°这些基本角度求和或求差就能得到其他的一些特殊

的角度．近几年的中考题中用这两个三角尺及直尺作文章的题相当多，甚至也溶入了压轴题里面．143第16课时┃几何初步及平行线、相交线中考预测C1．如图16－4，把一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1＝20°，那么∠2的度数是()A．15°B

．20°C．25°D．30°2．把一把直尺与一块三角板如图16－5放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为()A．125°B．120°C．140°D．130°图16－4图16－5D144145第17课时三角形146第17课时┃三角形考点1三角形的分类1．按角分：三角形直

角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形2．按边分：三角形不等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形147第17课时┃三角形考点2三角形中的重要线段重要线段交点位置中线三角形的三条中线的交点在三角形的______部角平

分线三角形的三条角平分线的交点在三角形的______部高________三角形的三条高的交点在三角形的内部；__________三角形的三条高的交点是直角顶点；________三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部钝角内内锐角直角148第17课时┃三角形考点3三角形的中位

线1．定义：连接三角形两边的______的线段叫三角形的中位线．2．中位线定理：三角形的中位线______于第三边，并且等于它的______．一半中点平行149第17课时┃三角形考点4三角形的三边关系1．定理：三角

形的两边之和________第三边．2．推理：三角形的两边之差________第三边．3．三角形的稳定性：三条线段组成三角形后，形状无法改变是稳定性的体现．小于大于150第17课时┃三角形考点5三角形的内角和定理及推理定理三角形的内角和等于________1.三角形的一个外角等于和

它___________________的和2.三角形的一个外角大于任何一个和它_________的内角3.直角三角形的两个锐角________推论4.三角形的外角和为________拓展在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直

角360°180°不相邻的两个内角不相邻互余151例1[2012·长沙]现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是()A．1B．2C．3D．4探究一三角形

三边的关系归类探究第17课时┃三角形命题角度：1.利用三角形的三边关系判断三条线段能否组成三角形；2.利用三角形的三边关系求字母的取值范围；3.三角形的稳定性．B152第17课时┃三角形解析四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；只有3，7

，9和4，7，9能组成三角形．故选B.153第17课时┃三角形探究二三角形的重要线段的应用命题角度：1.三角形的中线、角平分线、高线；2.三角形的中位线．例2[2013·昆明]如图17－1，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的

中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°图17－1C154第17课时┃三角形解析由题意得，∠AED＝180°－∠A－∠ADE＝70°.∵点D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝70°.155例3[2012·梧州]如图17－2，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是()A．10°B．12°C．15°D．18°图17－2第17课时┃三角形探究三三角形内角

与外角的应用命题角度：1.三角形内角和定理；2.三角形内角和定理的推论．A156第17课时┃三角形[方法点析]综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系．得到结论．解析∵AD⊥BC，∠C＝36°

，∴∠CAD＝90°－36°＝54°.∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝128°，∴∠CAE＝∠BAC＝×128°＝64°，∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝64°－54°＝10°.157158第1课时实数159第1课时┃实数考点1实数的概念及分类1．按定义分类：实数

分数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数负整数有理数整数正整数零负分数正分数回归教材160第1课时┃实数2．按正负分类：实数正实数

正有理数正无理数负实数负有理数负无理数[注意](1)任何分数都是有理数，如227，－311等；(2)0既不是正数，也不是负数，但0是自然数．负分数零正整数正分数负整数161第1课时┃实数考点2实数的有关概念1．数轴：规定了________、____

____和__________的直线．数轴上的点与实数________对应．2．相反数：a的相反数为________，0的相反数是0.3．倒数：________是1的两个数互为倒数.0没有倒数，倒数等于本身的数是1或－1.一一原点正方向单位长度乘积－a162第1课时┃实数4．绝对值：数轴上表

示数a的点与原点的________，记作|a|，|a|＝a（a>0），0（a＝0），－a（a<0）.5．科学记数法：把一个数写成a×10n(其中1≤|a|＜10，n为整数)的形式．设这个数为m，①当|m|≥10时，n等于原数的整数位数减1.②当|m|≤1时，|n|等于原数最左边非零数字前

所有零的个数．距离163第1课时┃实数6．近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位．有计数单位的近似数，由近似数的位数和后面的单位共同确定．如3.618万，数字8实际上是十位上的数字，即精

确到十位．164第1课时┃实数考点3非负数1．常见非负数：绝对值：|a|________0；实数的平方：a2________0；算术平方根：a________0(a≥0)．2．非负数的性质：若几个非负数的和等于零，则这几个数都为0

.≥≥≥165第1课时┃实数考点4实数的运算内容提醒运算法则在实数范围内，加、减、乘、除(除数不为零)、乘方都可以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方运算性质有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算运算顺序先算乘方、开方，再算乘除，最后算

加减，有括号的要先算括号内的，若没有括号，在同一级运算中，要从左至右依次进行运算(1)零指数、负整数指数的意义，防止以下错误：①3－2＝－19②2a－2＝－12a2(2)遇到绝对值一般要先去掉绝对值符号，再进行计算.(3)无论何种运算，都要注意先定符号后运算－19；166第1课时┃实数考

点5实数的大小比较代数比较规则正数________零，负数______零，正数________一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而________几何比较规则在数轴上表示的两个实数，________的数总是大于_____

___的数左边大于小于大于小右边167第1课时┃实数考点6比较实数大小的常用方法差值比较法设a，b是任意两实数，则a－b______0⇔a>b；a－b<0⇔a______b；a－b＝0⇔a______b商值比较法设a，b是两

正实数，则ab>1⇔a______b；ab＝1⇔a______b；ab<1⇔a______b绝对值比较法设a，b是两负实数，则|a|>|b|⇔a______b；|a|＝|b|⇔a______b；|a|<|b|⇔a______b其他方法除此之外，还有平方法、倒数法等方法＞＞＜＝＞＝＜＜＝168探

究一实数的概念及分类归类探究第1课时┃实数命题角度：1．有理数、无理数的概念；2．实数的分类．B例1[2013·毕节]实数327，0，－π，16，13，0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0)，其中无理数有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个169第1课时┃实数解析无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数都是有理数，而无限不循环小数是无理数．无理数有：－π，0.1010010001

…(相邻两个1之间依次多一个0)．共有2个．[方法点析]对无理数的判定，不能只被表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如327＝3是有理数；用三角函数符号表示的数也不一

定就是无理数，如sin30°、tan45°就是有理数．一个数是不是无理数的关键在于不同形式表示的数的最终结果是不是无限不循环小数．170第1课时┃实数探究二实数的有关概念命题角度：1．数轴、相反数、倒数等概念；2．绝对值的概念及计算．例2填空题：(1)相反数等于它本身的数是_

_______．(2)倒数等于它本身的数是________．(3)平方等于它本身的数是________．(4)平方根等于它本身的数是________．(5)绝对值等于它本身的数是________．非负数0±10或10171第1课时┃实数解析解决这类题最好的

方法是借助于方程来求解，可避免出错．设这个数为x，则：(1)－x＝x，x＝0；(2)1x＝x，∴x2＝1，∴x＝±1；(3)x2＝x，x2－x＝0，x＝0或x＝1；(4)±x＝x，x2＝x，x＝0或x＝1(不合题意，舍去)；(5)|x|＝x，x≥0.172第1课时┃实数[方法点析](1)求一个数

的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出．(2)一个负数的绝对值等于它的相反数；反过来，一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数．(3)解绝对值和数轴有关问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．173第1课时┃实

数探究三科学记数法命题角度：用科学记数法表示数．例3[2013·邵阳]据邵阳市住房公积金管理会议透露，今年我市新增住房公积金11.2亿元，其中11.2亿元可用科学记数法表示为()A．11.2×108元B．1.12×109元C．0

.112×1010元D．112×107元B174第1课时┃实数解析1亿＝108，11.2亿＝1.12×109.[方法点析]带有计数单位的数，一般要把计数单位化去，再用科学记数法表示．175第1课时┃实数探究四实数的运算命题角度：1．实数

的加、减、乘、除、乘方、开方运算；2．实数的运算在实际生活中的应用．例4[2013·南充]计算：(－1)2013＋(2sin30°＋12)0－38＋13－1.解原式＝－1＋1－2＋3＝

1.176第1课时┃实数[方法点析](1)在进行实数的混合运算时，首先要明确与实数有关的概念、性质、运算法则和运算律，要弄清按怎样的运算顺序进行．中考中常常与绝对值、锐角三角函数、二次根式结合在一起考查．(2)要注意零指

数幂和负整数指数幂的意义．负整数指数幂的运算a－p＝1ap(a≠0，且p是正整数)，零指数幂的运算a0＝1(a≠0)．177第1课时┃实数探究五实数的大小比较命题角度：1．利用实数的大小比较法则比较大小；2．实数的

大小比较常用方法．例5实数a在数轴上的位置如图1－1所示，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是()图1－1A．a＜1＜－aB．a＜－a＜1C．1＜－a＜aD．－a＜a＜1A178第1课时┃实数解析互为相反数的两数所表示的点关于原点对

称，所以a，－a所表示的点关于原点对称，故a＜1＜－a.[方法点析]两个实数的大小比较方法有：(1)正数大于零，负数小于零；(2)利用数轴；(3)差值比较法；(4)商值比较法；(5)倒数法；(6)取特殊值法(适合于含字母的

客观题)；(7)计算器比较法等．179第1课时┃实数探究六实数与数轴命题角度：1．实数与数轴上点的一一对应关系；2．数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合；3．数轴与实数大小比较、实数运算结合；4．利用数轴进行代数

式的化简．180第1课时┃实数例6[2013·淮安]如图1－2，数轴上A、B两点表示的数分别为2和5.1，则A、B两点之间表示整数的点共有()图1－2A．6个B．5个C．4个D．3个C解析根据2比1大比2小，5.1比5大比6小，即可得出A、B两点之间表示整数的点的个数．∵1＜2＜2，5＜5.1＜

6，∴A、B两点之间表示整数的点有2，3，4，5，共有4个．181第1课时┃实数[方法点析](1)实数与数轴上的点一一对应；(2)把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题．182第1课时┃实数探究七创新应用题命题角度

：1．探究数字规律；2．探究图形与数字的变化关系．例7[2013·湖州]将连续的正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是________．第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列…第1行13610152128第2行259142027第3行48131926…第4行712

1825…第5行111724…第6行1623…第7行22……………x…85183第1课时┃实数解析第1行的第1列与第2列差个2，第2列与第3列差个3，第3列与第4列差个4，…，第6列与第7列差个7；第2行的第1列与第2列差个3，第2列与第

3列差个4，第3列与第4列差个5，…，第5列与第6列差个7；第3行的第1列与第2列差个4，第2列与第3列差个5，第3列与第4列差个6，第4列与第5列差个7；……第7行的第1列与第2列差个8，是30；第2列与第3列差个9，是39；第3列

与第4列差个10，是49；第4列与第5列差个11，是60；第5列与第6列差个12，是72；第6列与第7列差个13，是85.[方法点析]此类实数规律性的问题的特点是给定一列数或等式或图形，要求适当地进行计算，必要的观察、猜想、归纳、验证，利用从特殊到一般的数学思想，

分析特点，与自然数结合，探索规律，总结结论．184回归教材第1课时┃实数教材母题将下列各数按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来：22，5，－π2，0，－1.6.实数大小比较有窍门185第1课时┃实数[解析]本题的关键是比较两

组数的大小：(1)22与5，(2)－π2与－1.6，只要将它们适当地变形就很容易比较它们的大小．(1)22＝22×2＝8，显然22>5；(2)1.6－π2＝3.2－π2，因为π<3.2，所以3.2－π2>0，所以1.6>π2，即－π2>－1.6，所以所给数的大小关系为：－1.6<－π2<0<5<2

2.解：－1.6<－π2<0<5<22.186第1课时┃实数[点析]实数大小比较的常用方法有：①二次根式被开方数大小比较法；②求近似值法；③差值法；④平方法．中考预测1．估计6＋1的值在()A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间

D．5到6之间2．在实数0，－π，3，－4中，最小的数是()A．0B．－πC.3D．－43．写出一个大于2且小于4的无理数：________．4．比较大小：7________3.(填写“<”或“>”)BDπ<187188第2课

时整式及因式分解189第2课时┃整式及因式分解考点1整式的概念整式容单项式多项式定义数与字母的__________的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式几个单项式的______叫做多项式次数一个

单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数系数单项式中的数字因数叫做单项式的系数项多项式中每个单项式叫做多项式的项和乘积回归教材190第2课时┃整

式及因式分解考点2同类项、合并同类项1．同类项：所含字母________，并且相同字母的指数也________的项叫做同类项，几个常数项也是同类项．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．防错提

醒：(1)同类项与系数无关，也与字母的排列顺序无关，如－7xy与yx是同类项．(2)只有同类项才能合并，如x2＋x3不能合并．相同相同191第2课时┃整式及因式分解考点3整式的运算类别法则整式的加减整式的加减实质就是____________．一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号

，再合并同类项同底数幂相乘am·an＝________(m，n都是整数)幂的乘方(am)n＝________(m，n都是整数)积的乘方(ab)n＝anbn(n为整数)幂的运算同底数幂相除am÷an＝________(a≠0，m，n都为整数)

am－n合并同类项am＋namn192第2课时┃整式及因式分解类别法则单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc整式的乘法多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋

na＋nb单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式平方差公式(a＋b)(a－b)＝________完全平方公式(a±b)2＝____________乘法公式常用恒等变形(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab(2)(a

－b)2＝(a＋b)2－4aba2±2ab＋b2a2－b2193第2课时┃整式及因式分解考点4因式分解的概念因式分解：把一个多项式化为几个__________的形式，像这样的式子变形，叫做多项式的因式分解．注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形；(2)因式分解的结

果必须是几个整式的积的形式；(3)因式分解与整式乘法互为逆运算．整式的积194第2课时┃整式及因式分解考点5因式分解的基本方法公因式一个多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式提取公因式法ma＋mb＋

mc＝____________平方差公式a2－b2＝____________完全平方公式a2＋2ab＋b2＝________a2－2ab＋b2＝________运用公式法二次三项式x2＋(p＋q)x＋pq＝____________因式分解的一般步骤(1)提(提取公因式)；(2)套(套公式法

).一直分解到不能再分解为止(x＋p)(x＋q)m(a＋b＋c)(a＋b)(a－b)(a－b)2(a＋b)2195探究一同类项归类探究第2课时┃整式及因式分解命题角度：1．同类项的概念；2．由同类项的概念通过列方程组求解同类项的指数的字母的值．例1[2013·凉山州]如果单项

式－xa＋1yb与12y3x2是同类项，那么a，b的值分别为()A．a＝2，b＝3B．a＝1，b＝2C．a＝1，b＝3D．a＝2，b＝2C196第2课时┃整式及因式分解解析根据同类项的定义(所含字母相同，相同字母的指数相同)列出方程

，则a＝1，b＝3.[方法点析](1)同类项必须符合两个条件：第一，所含字母相同；第二，相同字母的指数相同，两者缺一不可．(2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程(组)是解此类题的一般方法．197第2课时┃整式及因式分解探究二整式的运算命题角度：1．整

式的加、减、乘、除运算；2．乘法公式．例2[2013·泸州]下列各式计算正确的是()A．(a7)2＝a9B．a7·a2＝a14C．2a2＋3a3＝5a5D．(ab)3＝a3b3D198第2课时┃整式及因式分解解析A．利用幂的乘方运算法则计算得到结果；B.利用同底数

幂的乘法法则计算得到结果；C.原式不能合并；D.利用积的乘方运算法则计算得到结果．例3[2013·娄底]先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝－1，y＝33.解原式＝x2－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2.当x＝－1，y＝33时，－

x2＋3y2＝－(－1)2＋3×332＝－1＋1＝0.199第2课时┃整式及因式分解[方法点析](1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想．(2)在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否

符合乘法公式的条件．200第2课时┃整式及因式分解探究三因式分解命题角度：1．因式分解的概念；2．提取公因式法因式分解；3．运用公式法因式分解：(1)平方差公式；(2)完全平方公式．例4[2013·恩施州]把x2y－2y2x＋y3分解因式正确的是()A．y(x2

－2xy＋y2)B．x2y－y2(2x－y)C．y(x－y)2D．y(x＋y)2C201第2课时┃整式及因式分解[方法点析](1)分解因式的步骤：一提(提公因式)、二套(套公式)、三验(检验是否分解彻底)．(2)注意一些常见的恒等变形

：如y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方式及其特点．解析首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次分解即可．x2y－2y2x＋y3＝y(x2－2yx＋y2)＝y(x－y)2.202第2课时┃整式及因式分解探究四整式运算与因式分解

的应用命题角度：1．整式的规律性问题；2．利用整式验证公式或等式；3．新定义运算；4．利用因式分解进行计算与化简；5．利用几何图形验证因式分解公式．203第2课时┃整式及因式分解例5[2013·滨州]观察下列各式的

计算过程：5×5＝0×1×100＋25，15×15＝1×2×100＋25，25×25＝2×3×100＋25，35×35＝3×4×100＋25，……请猜测，第n个算式(n为正整数)应表示为___________________________________________

_____________________________________.[10(n－1)＋5]×[10(n－1)＋5]＝100n(n－1)＋25或5(2n－1)×5(2n－1)＝100n(n－1)＋25204第2课时┃整式及因式分解解析根据数字变化规律得出个位

是5的数字与本身乘积等于十位数乘十位数字加1再乘100再加25，即[10(n－1)＋5]×[10(n－1)＋5]＝100n(n－1)＋25或5(2n－1)×5(2n－1)＝100n(n－1)＋25.[

方法点析]解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述．205回归教材教材母题1．已知a＋b＝3，ab＝2，求a2＋b2的值．第2课时┃整式及因式分解完全平

方公式大变身解：由a＋b＝3，得(a＋b)2＝9，所以a2＋2ab＋b2＝9，则a2＋b2＝9－2ab＝5.2062．已知a－b＝1，a2＋b2＝25，求ab的值．解：由a－b＝1，得(a－b)2＝1，所以a2－2ab＋b2＝

1，则2ab＝a2＋b2－1＝24，所以ab＝12.第2课时┃整式及因式分解[点析]完全平方公式的一些主要变形有：4ab＝(a＋b)2－(a－b)2，(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，

a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，a2＋b2＝(a－b)2＋2ab，这些变形都可以通过完全平方公式变形而来，常根据这些变形进行整体代换求值．207中考预测1．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2＝()A．10B．6C．5D．32．整式A与m2－2mn＋n2的和是(m＋n

)2，则A＝________．3．已知x＋y＝－5，xy＝6，则x2＋y2＝________．4．已知a＋b＝2，ab＝－1，则3a＋ab＋3b＝______，a2＋b2＝________．5．已知ab＝－1，a＋b＝2，则式子ba＋ab＝________.第2课时┃整式及因式分解C4mn13

56－6208209第3课时分式210第3课时┃分式考点1分式的概念回归教材定义形如________(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式有意义的条件分母不为0分式的概念值为0的条件分子为0，但分母不为0AB211第3课时┃分式考点2分式的基本性质分式的基本性质AB＝A×MB×M，

AB＝A÷MB÷M(M是不为零的整式)约分把分式的分子与分母中的公因式约去，叫做分式的约分通分利用分式的基本性质，使________和________同时乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母化成同分母的分式

，这样的分式变形叫做分式的通分分母分子212第3课时┃分式考点3分式的运算同分母分式相加减分母不变，把分子相加减，即ac±bc＝________分式的加减异分母分式相加减先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即ab±cd＝________±________＝ad±bcbd乘法法则

分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即ab×cd＝________分式的乘除除法法则分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即ab÷cd＝________×________＝adbc(b≠0,c≠0,d≠0

)dca±bcadbdbcbdacbdab213第3课时┃分式法则分式的乘方是把分子、分母各自乘方分式的乘方公式abn＝________(n为整数)在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，如果有括号，先算括号里面的

分式的混合运算法则说明(1)实数的各种运算律也符合分式的运算；(2)分式运算的结果要化成最简分式anbn214探究一分式的有关概念归类探究第3课时┃分式命题角度：1.分式的概念；2.使分式有(无)意义、值为0(正或负)的条件．例1

(1)[2013·成都]要使分式5x－1有意义，则x的取值范围是()A．x≠1B．x＞1C．x＜1D．x≠－1(2)[2013·温州]若分式x－3x＋4的值为0，则x的值是()A．x＝3B．x＝0C．x＝－3D．x＝－4AA215第3课时┃分式[方法点

析](1)分式有意义的条件是分母不为零；分母为零时分式无意义．(2)分式的值为零的条件是：分式的分子为零，且分母不为零．(3)分式的值为正的条件是：分子与分母同号；分式的值为负的条件是：分子与分母异号．分式的值为正(负)经常与不等式组结合考查．解析(1)∵分式有意义，∴x

－1≠0，∴x≠1.(2)分式值为0的条件为x－3＝0，x＋4≠0，解得x＝3.216第3课时┃分式探究二分式的基本性质的运用命题角度：1.利用分式的基本性质进行变形；2.利用分式的基本性质进行约分和通

分．例2[2012·义乌]下列计算错误的是()A.0.2a＋b0.7a－b＝2a＋b7a－bB.x3y2x2y3＝xyC.a－bb－a＝－1D.1c＋2c＝3cA217第3课时┃分式[方法点析](1)在应用分式基本性质

进行变形时，要注意“都”“同一个”“不等于0”这些字眼的意义，否则容易出现错误．(2)在进行通分和约分时，如果分式的分子或分母是多项式时，则先要将这些多项式进行因式分解．解析利用分式的加减运算法则与约分的性质，即可求得答案，注意排除法在解选择题

中的应用．选项A的计算结果为2a＋10b7a－10b，故本选项错误．218第3课时┃分式探究三分式的化简与求值命题角度：1.分式的加、减、乘、除、乘方运算法则；2.分式的混合运算及化简求值．例3[2013·江西]先化简，再求值：x2－4x＋42x÷x2－2xx2＋1，在0，1，2

三个数中选一个合适的，代入求值．原式＝（x－2）22x·x2x（x－2）＋1＝x－22＋1＝x2.当x＝1时，原式＝12.解219第3课时┃分式[方法点析]分式化简求值题的一般解题思路为：(1)利用因式分解、通分、约分等相关知识对原复杂的分式进行化

简；(2)选择合适的字母取值代入化简后的式子计算得结果．注意字母取值时一定要使原分式有意义，而不是只看化简后的式子．220第3课时┃分式探究四分式的创新应用命题角度：1.探究分式中的规律问题；2.有条件的分式化简．例4[2012·凉山州]对于正数x，规定f(x

)＝11＋x，例如：f(4)＝11＋4＝15，f14＝11＋14＝45，则f(2012)＋f(2011)＋…＋f(2)＋f(1)＋f12＋…＋f12011＋f12012

＝__________.2011.5221第3课时┃分式解析∵当x＝1时，f(1)＝12；当x＝2时，f(2)＝13；当x＝12时，f12＝23；当x＝3时，f(3)＝14；当x＝13时，f13＝34，…∴f(2)＋f12＝1，f(3)＋f13＝1，

…，∴f(n)＋…＋f(1)＋…＋f1n＝f(1)＋(n－1)，∴f(2012)＋f(2011)＋…＋f(2)＋f(1)＋f12＋…＋f12012＝f(1)＋(2012－1)＝1

2＋2011＝2011.5.222第3课时┃分式[方法点析]此类问题一般是通过观察计算n＝1，2，3时的结果变化规律，类比猜想一般性的结论，再利用这个结论写出相应的结果，当然有时还可以用分式的性质及运算予以证明．223回归教材教材母题计算：(1)1x3－1x2＋

1x·x3；(2)12x－1x＋y·x＋y2x－x－y.分式化简有高招第3课时┃分式224解：(1)原式＝1x3·x3－1x2·x3＋1x·x3＝1－x＋x2.(2)原式＝12x－1x＋y·x＋y2x＋1x＋y·(x＋y)＝12x－12x＋1

＝1.[点析]分式的混合运算要注意运算的顺序，但是要根据分式的特点灵活使用，可以根据运算律使运算更简便．第3课时┃分式2252．[2012·铜仁]化简：1x＋1－1x－1÷2x2－1.解原式＝1x＋1－1x－1×（x＋1）（x－1）2＝x－1

2－x＋12＝－1.中考预测1．[2012·枣庄]化简1－1m＋1(m＋1)的结果是________．m解析根据分配律，原式＝m＋1－1＝m.第3课时┃分式226227第4课时数的开方及二次根式228第4课时┃数的开方及二次根式考点1平方根、算术平方根与立方根平方根一个

数x的______等于a，那么x叫做a的平方根，记作±a算术平方根一个正数x的________等于a，则x叫做a的算术平方根，记作a.0的算术平方根是0数的开方立方根一个数x的________等于a，那么x叫做a的立方根立方平方平方回归教材229第4课时┃数的开方及二次根式考点2二次根

式的有关概念定义形如a(________)的式子叫做二次根式二次根式防错提醒a中的a可以是数或式，但a一定要大于或等于0最简二次根式同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数不含分母a≥0230第4课时┃数的开

方及二次根式考点3二次根式的性质两个重要的性质(a)2＝a(a________)a2＝a＝（a≥0）（a<0）积的算术平方根ab＝a·b(a________，b________)二次根式的性质商的算术平方根ba＝ba(a________

，b________)≥0a－a≥0≥0>0≥0231第4课时┃数的开方及二次根式考点4二次根式的运算二次根式的加减先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并二次根式的乘法a·b＝ab(a____

____，b________)二次根式的除法ba＝ba(a________，b________)≥0≥0≥0>0232第4课时┃数的开方及二次根式考点5把分母中的根号化去常用形式及方法(1)1a＝1·aa·a＝aa；(2)1a＋b＝a＋ba＋b233探究一求平方根、算术平方根与立方根归类探究

第4课时┃数的开方及二次根式命题角度：1.平方根、算术平方根与立方根的概念；2.求一个数的平方根、算术平方根与立方根．例1(1)[2013·资阳]16的平方根是()A．4B．±4C．8D．±8(2)(－2)2的算术平方根是()A．2B．±

2C．－2D.2BA234第4课时┃数的开方及二次根式解析16的平方根是±4，(－2)2的算术平方根是2.[方法点析](1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和0，立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方

根与它本身同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化简，再进行开方运算．235第4课时┃数的开方及二次根式探究二二次根式的有关概念命题角度：1．二次根式的概念；2．最简二次根式的概念．例2[2012·广州

]若代数式xx－1有意义，则实数x的取值范围是()A．x≠1B．x≥0C．x＞0D．x≥0且x≠1D236第4课时┃数的开方及二次根式解析由题意得x≥0且x－1≠0，解得x≥0且x≠1，故选D.[方法点析]此类有意义的条件问题主要是根据：①二次

根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．237第4课时┃数的开方及二次根式探究三二次根式的化简与计算命题角度：1.二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方根，商的算术平方根；2.二次根式的加、减、乘、

除运算．例3[2013·济宁]计算：(2－3)2012·(2＋3)2013－2－32－(－2)0.238第4课时┃数的开方及二次根式解析由根据零指数幂、绝对值、整数指数幂、二次根式的混合运算，分别进行计算，再把所得的结果

合并即可．解(2－3)2012·(2＋3)2013－2－32－(－2)0＝[(2－3)(2＋3)]2012·(2＋3)－3－1＝1.[方法点析]利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后

进行运算；在中考中，二次根式常与零指数幂、负整数指数幂结合在一起考查．239第4课时┃数的开方及二次根式解原式＝a－2a（a＋2）－a－1（a＋2）2÷a－4a＋2＝a－4a（a＋2）2×a＋2a－4＝1a（a＋2）.当a＝2－1时，原式＝1（2－1）（2－1＋2）＝1

（2－1）（2＋1）＝1.例4[2013·德州]先化简，再求值：(a－2a2＋2a－a－1a2＋4a＋4)÷a－4a＋2，其中a＝2－1.240第4课时┃数的开方及二次根式[方法点析]此类分式与二次根式综

合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母不含根号的数或者是最简二次根式．241第4课时┃数的开方及二次根式探究四二次根式的大小比较命题角度：1.二次根式的大小比较方法；2.利用计算器进行二次根式的大小比较．解析先比较3与2的大小．例5比较大小

：－37与－215.解∵－37＝－32×7＝－63，－215＝－22×15＝－60，且63＞60，∴63＞60，∴37＞215，即－37＜－215.242第4课时┃数的开方及二次根式[方法点析]比较两个二次根式大小时要注意：(1)

负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．243第4课时┃数的开方及二次根式探究五二次根式的大小比较命题角度：1.二次根式的非负性的意义；2.利用二次根式的非负性进行化简．例6[2013·凉山州]若实数x，y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x，

y的值为边长的等腰三角形的周长为________．20解析根据题意得x－4＝0，y－8＝0，解得x＝4，y＝8.(1)若4是腰长，则三角形的三边长为4，4，8，不能组成三角形；(2)若4是底边

长，则三角形的三边长为：4，8，8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20.244第4课时┃数的开方及二次根式[方法点析](1)常见的非负数有三种形式：|a|，a，a2.(2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．245回归教材

教材母题数a、b在数轴上的位置如图4－1所示，化简（a＋1）2＋（b－1）2－（a－b）2.图4－1二次根式化简中的整体思想第4课时┃数的开方及二次根式246[点析]根据数轴化简二次根式，关键是根据数轴上点的位置确定数的正负

和大小，然后根据a2＝a化简．解：由数轴知，a＋1<0，b－1>0，a＋b<0.原式＝－(a＋1)＋(b－1)＋(a－b)＝－2.第4课时┃数的开方及二次根式247中考预测1．实数a、b在数轴上的位置如图4－2所示，且a>

b，则化简a2－a＋b的结果为()图4－2A．2a＋bB．－2a＋bC．bD．2a－b2．实数a在数轴上的位置如图4－3所示，则（a－4）2＋（a－11）2化简后为()图4－3A.7B.－7C.2a－15D.无法确定第4课时┃数的开方

及二次根式AC248第4课时┃数的开方及二次根式3．实数a、b在数轴上的位置如图4－4所示，则（a＋b）2＋a的化简结果为________．图4－4－b249250第5课时一次方程(组)及其应用251第5课时┃一次方程(组)及其应用考点

1等式的概念与等式的性质等式的概念表示相等关系的式子，叫做等式性质1如果a＝b，那么a±c＝b±c等式的性质性质2如果a＝b，那么ac＝bc，ac＝bc(c≠0)回归教材252第5课时┃一次方程(组)及其应用考点2方程的概念1．方程的概念：含有未知数的________叫做方程．2．方程的解

：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，也叫它的根．3．解方程：求方程解的过程叫做解方程．等式253第5课时┃一次方程(组)及其应用考点3一元一次方程的解法一元一次方程的定义：只含有________个未知数，且未知数的最高次数是__

______次的整式方程，叫做一元一次方程．一元一次方程的一般形式______________．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意别漏乘．(2)去括号：注意括

号前的系数与符号．1一ax＋b＝0(a≠0)254第5课时┃一次方程(组)及其应用(3)移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号．(4)合并同类项：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以x的系数，得x＝ba的

形式．255第5课时┃一次方程(组)及其应用考点4二元一次方程(组)的有关概念1．二元一次方程：含有________个未知数，并且含有未知数的项的次数都是________的整式方程．2．二元一次方程的解：一般地，使二元一次

方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．3．二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．4．二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．注意：二元一次方程组的解应写成x＝a，y＝b的

形式．1两256第5课时┃一次方程(组)及其应用考点5二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法有：代入法、加减消元法．257第5课时┃一次方程(组)及其应用考点6一次方程(组)的应用列方程(组)解应用题的一般步骤1.审审清

题意，分清题中的已知量、未知量2.设设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数3.列根据题意寻找等量关系列方程4.解解方程(组)5.验检验方程(组)的解是否符合题意6.答写出答案(包括单位)258第5课时┃一次方程(组)及其应

用考点7常见的几种方程类型及等量关系基本量之间的关系路程＝速度×时间相遇问题全路程＝甲走的路程＋乙走的路程追及问题若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程行程问题水流问题v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水基本量之间的

关系工作效率＝工作总量工作时间工程问题其他常用关系量(1)甲、乙合做的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率；(2)通常把工作总量看作“1259探究一等式的概念及性质归类探究第5课时┃一次方程(组)及其应用命题角度：1.等式及方程的概念；2.等式的性质．260第5课时┃一次方程(组)及其应用解

析依题意有A＝B＋C，A＋B＝3C，两个等式相加2A＋B＝B＋4C，A＝2C.例1如图5－1①，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．请你判断：1个砝码A与________个砝码C的

质量相等．图5－12261第5课时┃一次方程(组)及其应用探究二一元一次方程的解法命题角度：1．一元一次方程及其解的概念；2．解一元一次方程的一般步骤．例2[2011·滨州]依据下列解方程0.3x＋0.50.2＝2x－13的过程，请在前面

的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．262第5课时┃一次方程(组)及其应用解：原方程可变形为3x＋52＝2x－13；(_________________)去分母，得3(3x＋5)＝2(2x－1)；(__________)去括号，得9x＋15＝4x

－2；(_________________________)(______)得，9x－4x＝－15－2；(___________)合并得，5x＝－17；(____________)(_________

_)，得x＝－175(___________).等式性质2分式的基本性质等式性质2去括号法则或乘法分配律移项等式性质1合并同类项系数化为1263第5课时┃一次方程(组)及其应用探究三二元一次方程(组)的有关概念命题角度：1．二元一次方程(组)的概念；2．二元一次方程(组)的解的概念

．例3[2013·台州]已知关于x，y的方程组mx＋ny＝7，2mx－3ny＝4的解为x＝1，y＝2，求m，n的值．264第5课时┃一次方程(组)及其应用探究四二元一次方程组的解法命题角度：1．代入消元法；2．加减消元法．例4[2013·黄冈]解方程组：

2（x－y）3－（x＋y）4＝－112，3（x＋y）－2（2x－y）＝3.265第5课时┃一次方程(组)及其应用解原方程组整理得5y－x＝3，①5x－11y＝－1，②由①得x＝5y－3，③将③代入②得25y－15－11y＝－1，14y＝14，y＝1，将y＝1代入③得

x＝2，∴原方程组的解为x＝2，y＝1.[方法点析](1)在二元一次方程组中，若一个未知数能很好地表示出另一个未知数时，一般采用代入法．(2)当两个方程中的同一个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为1时，一般采用加减消元法．266第5课时┃一次方程(组)及其应用探究五利用一

次方程(组)解决生活实际问题命题角度：1．利用一元一次方程解决生活实际问题；2．利用二元一次方程组解决生活实际问题．例5[2013·长沙]为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共

需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．267第5课时┃一次方程(组)及其应用(1)求1号线、2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？(2)除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网

每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？解析(1)假设1号线，2号线每千米的平均造价分别是x亿元，y亿元，根据“修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元”

分别得出等式求出即可；(2)根据(1)中所求得出建91.8千米的地铁线网每千米的造价，进而求出即可．268第5课时┃一次方程(组)及其应用[方法点析]用方程或方程组解决实际问题，关键是先分析出实际问题中的等量关系，一个方程需要一个等量关系，方

程组则需要两个等量关系．解(1)设1号线，2号线每千米的平均造价分别是x亿元，y亿元，由题意得24x＋22y＝265，x－y＝0.5，解得x＝6，y＝5.5.答：1号线，2号线每千米的平均造价分别是6亿元和5.5亿元．(2)由

(1)得出91.8×6×1.2＝660.96(亿元)．答：还需投资660.96亿元．269回归教材第5课时┃一次方程(组)及其应用教材母题某市为更有效地利用水资源，制定了用水收费标准：如果一户三口之家每月用水量不超过Mm3，按每立方米水1.30元收费；如果

超过Mm3，超过部分按每立方米水2.90元收费，其余仍按每立方米1.30元计算．小红一家三人，1月份共用水12m3，支付水费22元．问该市制定的用水标准M为多少？小红一家超标使用了多少立方米的水？节约用水从我

做起270第5课时┃一次方程(组)及其应用[点析]列方程解应用题充满了时代的气息，经常和时事热点接轨，这类问题都可以通过方程的思想解决．解：∵1.3×12＝15.6＜22，∴M＜12.由已知可列方程：2.9(12－M)＋

1.3M＝22，解得M＝8.12－M＝4.答：该市制定的用水标准M为8m3，小红一家超标使用了4m3的水．271第5课时┃一次方程(组)及其应用中考预测为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水

价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？272第5课时┃一次方程(组)及其应用解设该市规定的每户每月标准用水量为x吨，∵12×1.5＝18＜20，∴x＜12.从而可得方程：1.5x＋2.5(12－x)＝20，解得x＝10.

答：该市规定的每户每月标准用水量为10吨．[点评]本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解题关键是判断出x的范围，根据等量关系得出方程．273274第6课时一元二次方程及其应用275第6课时┃一元二次方程及其应用考点1一元二次方程的概念及一般形式含有___

__个未知数，并且未知数的最高次数是_____的整式方程．一般形式：______________________．注意：在一元二次方程的一般形式中要注意强调a≠0.回归教材ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一2276第6课时┃一元二次方程及其应用考点2一

元二次方程的四种解法直接开平方法适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程基本思想把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0因式分解法方法规律常用的方法主要是运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式等因式分解277第6课时┃一

元二次方程及其应用求根公式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0,且b2－4ac≥0时，则x1，2＝______________公式法公式法解方程的一般步骤(1)将方程化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；

(2)确定a，b，c的值；(3)若b2－4ac≥0，则代入求根公式，得x1，x2；若b2－4ac<0，则方程无实数根定义通过配成完全平方的形式解一元二次方程配方法配方法解方程的步骤①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的另一边；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把方程整理成(x＋

a)2＝b的形式；⑤运用直接开平方法解方程－b±b2－4ac2a278第6课时┃一元二次方程及其应用考点3〈选学〉一元二次方程的根的判别式根的判别式定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac.也把

它记作Δ＝b2－4ac判别式与根的关系(1)b2－4ac>0⇔方程有____________的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔方程有___________的实数根；(3)b2－4ac<0⇔方程有___

_________的实数根；一元二次方程根的判别式防错提醒在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件没有两个不相等两个相等279第6课时┃一元二次方程及其应用考点4〈选学〉

一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.误区警示：利用一元二次方程根与系数的关系时，要注意判别式Δ≥0.280第6课时┃一元二次方程及其应用考点5一元二次方程的应用应用类型等量关系增长率问题(1

)增长率＝增量÷基础量；(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b；当m为平均下降率时，则a(1－m)n＝b利率问题(1)本息和＝本金＋利息；(2)利息＝本金×利率×期数销售利润问题(1)毛利润＝售出价

－进货价；(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用；(3)利润率＝利润÷进货价281探究一一元二次方程的有关概念归类探究第6课时┃一元二次方程及其应用命题角度：1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方程的解的概念．例1[2013·牡丹江]若关于

x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值是()A．2018B．2008C．2014D．2012A282第6课时┃一元二次方程及其应用解析∵x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋5

＝0的一个根，∴a·12＋b·1＋5＝0，∴a＋b＝－5，∴2013－a－b＝2013－(a＋b)＝2013－(－5)＝2018.283第6课时┃一元二次方程及其应用探究二一元二次方程的解法命题角度：1．直接开平方法；2．配方法；3．公式法；4．

因式分解法．例2解方程：2x－3＝3xx－3.284第6课时┃一元二次方程及其应用解析可用因式分解法或公式法．285第6课时┃一元二次方程及其应用[方法点析]利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默

认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失去一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．286第6课时┃一元二次方程及其应用探究三(选讲)一元二次方程根的判别式命题角度：1．判别一元二次方程根的情况；2．求一元二次方程字母系数的取值范围．例3[2013·北京]已

知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．287第6课时┃一元二次方程及其应用解析(1)根据方程有两个不相等的实数根，得到根的

判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；(2)找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意的k值．解(1)根据题意得：Δ＝4－4(2k－4)＝20－8k＞0，解得k＜52；(2)由k为正整数，得到k＝1或2，利用

求根公式表示出方程的解为x＝－1±5－2k.∵方程的解为整数，∴5－2k为完全平方数，则k的值为2.288第6课时┃一元二次方程及其应用[方法点析](1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大

于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个含条隐件．289第6课时┃一元二次方程及其应用探究四(选讲)一元二次方程根与系数的关系命题角度：1．利用根与系数的关系计算两根之和与两根之积；2．利用根与系数的关系求有关两根的

代数式的值；3．利用根与系数的关系求方程中未知系数的值．例4[2013·荆州]已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0.(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1－x2|＝2，求k的值．290第

6课时┃一元二次方程及其应用解析(1)确定判别式的范围即可得出结论；(2)根据根与系数的关系表示出x1＋x2，x1x2，继而根据题意可得出方程，解出即可．291第6课时┃一元二次方程及其应用探究五一元二次方程的应用命题角

度：1．用一元二次方程解决变化率问题；2．用一元二次方程解决商品销售问题．例5[2013·淮安]小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件

，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？292第6课时┃一元二次方程及其应用解析根据一次性购买多于10件，那

么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出方程，解出即可．293回归教材教材母题某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？(精确到0.1%)第6课时┃一元二次方程及其应

用变化率问题巧把握解：设平均每月增长的百分率为x，根据题意得，50000(1＋x)2＝60000.解方程，1＋x＝±1.2，x＝－1±1.2，x1＝－1－1.2(舍去)，x2＝－1＋1.2≈0.095，所以增长率为9.5%.294第6课时┃一元二次方程及其应用

[点析]变化率问题弄清楚变化前的数量a和变化后的数量b，然后根据公式a(1＋x)2＝b或a(1－x)2＝b列方程求解．295中考预测1．为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元，已知2011年至2013年的

教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该市要投入的教育经费为________万元．2．据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人

数逐年递增，请解答下列问题：(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？第6课时┃一元二次方程及其应用30

00296第6课时┃一元二次方程及其应用解(1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x，根据题意，得：5000(1＋x)2＝7200，解得：x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．即年平均

增长率为20%.(2)7200×(1＋20%)＝8640.答：(1)这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%；(2)2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．297298第7课时分式方程及其应用299第7课时┃分式方程

及其应用考点1分式方程1．分式方程：分母里含有________的方程叫做分式方程．2．增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为________，因此解分式方程要验根，其方法是把根代入最简公分母中看分母是不是为

________．零未知数零300第7课时┃分式方程及其应用考点2分式方程的解法1．基本思想：把分式方程转化为整式方程，即分式方程――→去分母换元整式方程．2．直接去分母法：方程两边同乘各分式的________

，约去分母，化为整式方程，再求根验根．公分母301第7课时┃分式方程及其应用考点3分式方程的应用列分式方程解应用题的步骤跟其他解应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题

意．302探究一分式方程的概念归类探究第7课时┃分式方程及其应用命题角度：1．分式方程的概念；2．分式方程的增根：分式方程的分母等于零的根．例1[2013·威海]若关于x的方程x－1x－5＝m10－2x无解，则m＝________．－8解析分式方程去分母，得2(x－1)＝－m，将x＝5代入，得m

＝－8.303第7课时┃分式方程及其应用探究二分式方程的解法命题角度：1．去分母法；2．换元法．例2[2013·资阳]解方程：xx2－4＋2x＋2＝1x－2.解方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得x＋2(x－2)＝x＋2，解这个方程

，得x＝3.经检验，x＝3是原方程的解304第7课时┃分式方程及其应用[方法点析]解分式方程常见的误区：(1)忘记验根；(2)去分母时漏乘不含分母的项；(3)去分母时，没有注意符号的变化．305第7课时┃分式方程及其应用探究三分式方程的应

用命题角度：1．利用分式方程解决生活实际问题；2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．例3[2013·湘西]吉首城区某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时

到达(两条道路路程相同)，已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．图7－1306第7课时┃分式方程及其应用解设骑自行车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h.根据题意得20x－202x＝12，解得x＝20.经检验，x＝20是

原方程的解．答：骑自行车学生的速度为20km/h.307308第8课时一元一次不等式(组)及其应用309第8课时┃一元一次不等式(组)及其应用考点1不等式不等式一般地，用不等号连接的式子叫做不等式不等式的概念不等式的解使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．一个不等式的所有解组成的____

____，称为不等式的解集性质1如果a＞b，那么a±c＞b±c性质2如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc，ac＞bc不等式的基本性质性质3如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，ac＜bc回归教材集合310第8课

时┃一元一次不等式(组)及其应用考点2一元一次不等式1．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形式为ax＋b>0或ax＋b<0(a≠0)．2．解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合

并同类项；(5)系数化为1.311第8课时┃一元一次不等式(组)及其应用考点3一元一次不等式组一元一次不等式组的概念含有相同未知数的若干个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组不等式组的解集的求法解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分就

得到不等式组的解集x>a，x>bx>b同大取大x<a，x<bx<a同小取小x>a，x<ba<x<b大小小大中间找不等式组的解集情况(假设a<b)x<a，x>b无解大大小小解不了312第8课时┃一元一次不等式(组)及其应用考点4利用不等式

(组)解决日常生活中的实际问题方法：分析题目中的不等量关系，能准确分析题意，列出不等量关系式，然后根据不等式(组)的解法求解．注意：列不等式(组)解应用题的步骤大体与列方程(组)解应用题相同，应紧紧抓住“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于

”、“不超过”、“大于”、“小于”等关键词．313探究一不等式的概念及性质归类探究第8课时┃一元一次不等式(组)及其应用命题角度：1．不等式、不等式的解和解集等概念；2．不等式的性质．C例1[2013·绵阳]设“”、“”、“”分别表示三种不

同的物体，现用天平秤两次，情况如图8－1所示，那么、、这三种物体按质量从大到小排列应为()图8－1A.、、B.、、C.、、D.、、314第8课时┃一元一次不等式(组)及其应用[方法点析](1)运用不等式的性质时，应注意不等式的两边同时乘或者除以一个负数，不等式的方向要改变．(2)生

活中的跷跷板、天平等问题，常借助不等式(组)来求解，注意数与形的有机结合．解析设、、的质量为a，b，c，由图形可得a＋c＞2a，①a＋b＝3b，②由①得c＞a，由②得a＝2b，故可得c＞a＞b.315第8课时

┃一元一次不等式(组)及其应用探究二一元一次不等式命题角度：1．一元一次不等式的概念；2．一元一次不等式的解法．例2[2013·巴中]解不等式2x－13－9x＋26≤1，并把解集表示在数轴上．解析首先两边同时乘6去分母，再利用乘法分配律去括号、移项、合并同类项，最后把x的系数

化为1即可．316第8课时┃一元一次不等式(组)及其应用解去分母，得2(2x－1)－(9x＋2)≤6，去括号，得4x－2－9x－2≤6，移项，得4x－9x≤6＋2＋2，合并同类项，得－5x≤10，把x的系数化为1，得x≥－2.

317第8课时┃一元一次不等式(组)及其应用探究三一元一次不等式组命题角度：1．一元一次不等式组的概念和解集；2．一元一次不等式组的解法．例3[2013·遂宁]解不等式组：3（x＋2）＞x＋8，x4≥x－13，并把它的解集在数轴上表示出来．318第8课时┃一元一次不等

式(组)及其应用解3（x＋2）＞x＋8，①x4≥x－13，②由①得x＞1，由②得x≤4，∴这个不等式组的解集是1＜x≤4.将不等式①和②的解集表示在数轴上，如图．319第8课时┃一元一次不等式(组)及其应用探究四与不等式(组)的解集有

关的问题命题角度：1．求不等式组的整数解；2．根据解的情况求相关字母的值．例4[2013·荆门]若关于x的一元一次不等式组x－2m<0，x＋m>2有解，则m的取值范围为()A．m＞－23B．m≤23C．m＞23D．m≤

－23C320第8课时┃一元一次不等式(组)及其应用解析先求出两个不等式的解集，再根据有解列出不等式组求解即可．x－2m＜0，①x＋m＞2，②解不等式①，得x＜2m，解不等式②，得x＞2－m，∵不等式组有解，∴2m＞2－m，∴m＞23.[方法点析]已知不等式

组有解或给定解集求字母(或有关字母代数式)的值，一般先求出已知不等式(组)的解集(用所求有关字母的式子表示)，再结合有解或给定的解集，得出等量关系或者不等关系．321第8课时┃一元一次不等式(组)及其应用探究五一元一次不等式(组)的应用命题角度：1

.利用一元一次不等式(组)解决商品销售问题；2.通过列不等式(组)解决门票的销售、原料的加工等方面的问题；3.利用不等关系确定取值范围，讨论方案的可行性；4．利用不等关系讨论哪种方案更合算．322第8课

时┃一元一次不等式(组)及其应用例5[2013·天津]甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计

购物x元，其中x＞100.(1)根据题意，填写下表(单位：元)；累计购物花费实际花费130290…x在甲商场127…在乙商场126…(2)当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？(3)当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？323第8课时┃一元一次不等式(组)及

其应用324第8课时┃一元一次不等式(组)及其应用解(1)2710.9x＋102780.95x＋2.5(2)根据题意得0.9x＋10＝0.95x＋2.5，解得x＝150，∴当x＝150时，小红在甲、乙两商场的

实际花费相同．(3)由0.9x＋10＜0.95x＋2.5，解得x＞150，∴当小红累计购物大于150元时，选择甲商场实际花费少；当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少．325第8课时┃一元一次不等式(组)及其应用[方法点析]1)解决实际问题时，要

注意题中表示不等关系的关键词，如“不少于”“不超过”“不高于”等．(2)所求的结果应符合生活实际．(3)以图表、信息的形式出现的实际问题，常用方程和不等式的方法解决．解决问题的关键要分析图表、信息，找出相等关系和不等关系，达到求解的目的．326回

归教材教材母题课外阅读课上，老师将43本书分给各个小组，每组8本，还有剩余；每组9本，却又不够．问有几个小组？“分配”中的不等关系第8课时┃一元一次不等式(组)及其应用解：设有x个小组，根据题意得8x<43，9x>43，解得439<x<438

，取整数x＝5.答：有5个小组．327中考预测暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周(7天)不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成，哥哥平均每天比弟弟多编2个．求：(1)哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？(答案取整数)(2)若弟弟先工作2

天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？第8课时┃一元一次不等式(组)及其应用328第8课时┃一元一次不等式(组)及其应用解(1)设弟弟每天编x个，则哥哥每天编(x＋2)个，那么7x<28，7（x＋2）

>28，解得2<x<4.∵x取整数，∴x＝3.∴哥哥平均每天编5个，弟弟平均每天编3个．(2)设哥哥工作m天，两人所编数量相同，则3(m＋2)＝5m，得m＝3.若弟弟先工作2天，则哥哥工作3天时，两兄弟所编中国结数量相同．329330第9课时平面直角坐标系与函数331第9

课时┃平面直角坐标系与函数考点1平面直角坐标系坐标轴上的点x轴、y轴上的点不属于任何象限对应关系坐标平面内的点与有序实数对是________对应的(1)各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限⇔x>0，y>0；点P(x,y)在第二象限⇔x<0，y>0；点P(x,y)在第三象限⇔x<0，y<

0；点P(x,y)在第四象限⇔x>0，y<0平面内点P(x，y)的坐标的特征(2)坐标轴上点的坐标的特征点P(x,y)在x轴上⇔___________________；点P(x,y)在y轴上⇔____________________；点P(x,y)既在x轴上，又在y

轴上⇔x，y同时为零，即点P的坐标为(0,0)回归教材x＝0，y为任意实数一一y＝0，x为任意实数332第9课时┃平面直角坐标系与函数考点2平面直角坐标系内点的坐标特征(1)平行于x轴平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上的点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数平行于坐标轴的直线上的点的坐标的特征(

2)平行于y轴平行于y轴(或垂直于x轴)的直线上的点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数(1)第一、三象限的平分线上的点第一、三象限的平分线上的点的横、纵坐标________各象限的平分线上的点的坐标特征(2)第二、四象限的平分线上的点第二、四象

限的平分线上的点的横、纵坐标___________互为相反数相等333第9课时┃平面直角坐标系与函数考点3点到坐标轴的距离到x轴的距离点P(a，b)到x轴的距离等于点P的____________________，即b到y轴的距离点P(a，b)

到y轴的距离等于点P的_____________________，即a横坐标的绝对值纵坐标的绝对值334第9课时┃平面直角坐标系与函数考点4平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标点的平移在平面直角坐标系中

，将点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，可以得到对应点______________(或____________)；将点(x，y)向上(或向下)平移b个单位长度，可以得到对应点____________或

____________用坐标表示平移图形的平移对于一个图形的平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化，反过来，从图形上点的坐标的某种变化也可以看出对这个图形进行了怎样的平移关于x轴点P(x，y)关于x轴对称的点P1的坐标为___

________关于y轴点P(x，y)关于y轴对称的点P2的坐标为___________某点的对称点的坐标关于原点点P(x，y)关于原点对称的点P3的坐标为___________规律可简记为：谁对称谁不变，另一个变号，原点对称都变号(x＋a，y)(x－a，y)(x，y＋b)(x，y

－b)(x，－y)(－x，y)(－x，－y)335第9课时┃平面直角坐标系与函数考点5函数的有关概念1．常量与变量：在某一变化过程中，始终保持______的量叫做常量，数值发生________的量叫做变量，如s＝vt，当v一定时，v是常量，s，t都

是变量．2．函数的概念：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值y都有唯一确定的值与之对应，我们称x是自变量，y是x的函数．3．自变量的取值范围：(1)解析式有意义的条件；(2)实际问题有意义的条件．变化不变336第9课时┃平面直角坐标系

与函数4．函数值：对于一个函数，如果当自变量x＝a时，因变量y＝b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值．5．函数的三种表示法：________法、________法、________法．6．函数的图象：一般地，对于一个函数，如果自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由

这些点组成的图形，就是这个函数的图象．描点法画函数图象的一般步骤：(1)________；(2)________；(3)________．解析式列表图象列表描点连线337探究一坐标平面内点的坐标特征归类探究第9课时┃平面直角坐标系与函数命题角度：1.四个象限内点的坐标特

征；2.坐标轴上的点的坐标特征；3.平行于x轴，平行于y轴的直线上的点的坐标特征；4.第一、三，第二、四象限的平分线上的点的坐标特征．例1[2012·扬州]在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限，则m的取值范围是________．m>2338第9

课时┃平面直角坐标系与函数[方法点析]此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的符号特征，建立不等式组或者方程(组)，把点的问题转化为不等式组或方程(组)来解决．解析由第一象限内点的坐标的特点可得m>0，m－2>0，解得m＞2.339第9课时

┃平面直角坐标系与函数探究二关于x轴，y轴及原点对称的点的坐标特征命题角度：1.关于x轴对称的点的坐标特征；2.关于y轴对称的点的坐标特征；3.关于原点对称的点的坐标特征．例2[2013·淄博]如果m是任意实数，则点P(m－4，m＋1)一定不在()A．第一象限B．第二

象限C．第三象限D．第四象限D340第9课时┃平面直角坐标系与函数解析因为m代表任何实数，所以对于m的取值应进行讨论．为了分类，可令m－4＝0，m＋1＝0，分别解得m＝4和m＝－1.分三种情况讨论：当m<－1时，m－4<0，m＋1<0，此时点P在第

三象限；当－1<m<4时，m－4<0，m＋1>0，此时点P在第二象限；当m>4时，m－4>0，m＋1>0，此时点P在第一象限，所以点P一定不在第四象限．341第9课时┃平面直角坐标系与函数探究三坐标系中的图形的平移与旋转命题角度：1．坐标系中的图形平移的坐标变化与作图；2．坐标系中的图

形旋转的坐标变化与作图．C342第9课时┃平面直角坐标系与函数解析∵A点坐标为(2，4)，A1(－2，1)，∴点P(2.4，2)平移后的对应点P1为(－1.6，－1)．∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，∴P2点的坐标为(1.6，1)．[方法点析]

求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质；二是利用图形的全等关系；三是确定变换前后点所在的象限.．343第9课时┃平面直角坐标系与函数探究四函数的概念及函数自变量的取值范围命题角度：1．常量与变量，函数的概

念；2．函数自变量的取值范围．例4[2013·常德]函数y＝x＋3x－1中自变量的取值范围是()A．x≥－3B．x≥3C．x≥0且x≠1D．x≥－3且x≠1D解析依题意，得x＋3≥0，x－1≠0，所以x≥－3，且x≠1.3

44第9课时┃平面直角坐标系与函数探究五函数图象命题角度：1．画函数图象；2．函数图象的实际应用．例5万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地．假设轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州

出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间(卸货、装货、加燃料等)，又顺水航行返回万州，若该轮船从万州出发所用的时间为x(小时)，轮船距万州的距离为y(千米).345第9课时┃平面直角坐标系与函数解析本题考查一次函数的图象分析，难度中等．由题意，轮船先从万州逆水航行到朝天门，速

度小于静水速度，图象平缓一些，轮船距万州的距离逐渐增大，停留一段时间，距离没有变化，图象平行于横轴，又从朝天门顺水航行返回万州，轮船距万州的距离逐渐减小，速度大于静水速度，图象陡一些，因此图象分为三段，平缓—平—陡，故选C.C则下列各图中，能够反映y与x

之间函数关系的大致图象是()图9－2346第9课时┃平面直角坐标系与函数[方法点析]观察图象时，首先弄清横轴和纵轴所表示的意义．弄清哪些是自变量，哪些是因变量，然后分析图象的变化趋势，结合实际问题的意义进行判断．347回归教材第9课时┃平面直角坐标系与函数教材母题贴近生活的

函数图象小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．图9－3描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分)之间的函数关系，你能根据图象说出小明散步过程中的一

些具体信息吗？图9－3348第9课时┃平面直角坐标系与函数[点析]抓住关键词：离家的距离和时间．这个图象表示的是离家的距离与时间的函数关系，图象上升时表示离家越远，图象水平时表示与家的距离没变，图象下降时表示离家越来越近．解：小明步行3分钟

，到了离家250米的公共阅报栏看了5分钟报纸，继续向前走了2分钟，到了离家450米的地方往回走，走了6分钟回到了家里．349第9课时┃平面直角坐标系与函数中考预测2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童

童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家．其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离．下图能反映y与x的函数关系式的大致图象是()图9－

4A350第9课时┃平面直角坐标系与函数解析时间x＝0时，童童还在家里，所以图象必过原点；匀速步行前往，说明y逐步变大，是正比例函数；等轻轨车，x变化，而y不变化，图象是水平线段；乘轻轨车匀速前往奥体中心，速

度比步行时大，在相同时间内，函数值变化量比步行时大，所以图象是比步行时k值大的一次函数，这样，就基本可以确定答案为A.351352第18课时全等三角形353第18课时┃全等三角形考点1全等图形及全等三角形回归教材1．全等图形：能够完全重合的两个图形就是________．2．全等三角

形：能够完全重合的两个三角形就是全等三角形．全等图形354第18课时┃全等三角形考点2全等三角形的性质性质1全等三角形的对应边________性质2全等三角形的对应角________性质3全等三角形的对应边上的高________性质4全等三角形的对应边上的中线_______

_性质5全等三角形的对应角平分线________相等相等相等相等相等355第18课时┃全等三角形考点3全等三角形的判定对应相等的元素三角形是否全等两边及其夹角一定(SAS)两边一角两边及其中一边的对角不一定两角及其夹边一定(ASA)两角一边两角及其中一角

的对边一定(AAS)三角不一定一般三角形三边一定(SSS)直角三角形斜边、直角边一定(HL)356第18课时┃全等三角形对应相等的元素三角形是否全等总结判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等常见结论(1)有两边和其中一边上的中线对应相等

的两个三角形全等；(2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；(3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等；(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；(5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等；(6)有两边和第三边上的高对应相

等的锐角(或钝角)三角形全等357第18课时┃全等三角形考点4利用“尺规”作三角形的类型1已知三角形的三边，求作三角形2已知三角形的两边及其夹角，求作三角形3已知三角形的两角及其夹边，求作三角形4已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形5已知直角三角形一条直角边和斜边，求作三角形358

第18课时┃全等三角形考点5角平分线的性质性质角平分线上的点到角两边的________相等判定角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的_________上平分线距离359探究一全等三角形性质与判定的综合

应用归类探究第18课时┃全等三角形命题角度：1.利用SSS、ASA、AAS、SAS、HL判定三角形全等；2.利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题．例1[2013·北京]如图18－1，已知D

是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE.求证：BC＝AE.图18－1360第18课时┃全等三角形解析根据两直线平行，内错角相等求出∠CAB＝∠ADE，然后利用“角边角”证明△ABC和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．361第18课时┃全等三角形[方法

点析]1．解决全等三角形问题的一般思路：①先用全等三角形的性质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条件；②再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题．即由已知条件(包含全等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关系；2．轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等；3．利用全等三角形性质

求角的度数时注意挖掘条件，例如对顶角相等、互余、互补等．362第18课时┃全等三角形探究二全等三角形开放性问题命题角度：1.三角形全等的条件开放性问题；2.三角形全等的结论开放性问题．例2[2012·义乌]如图18－2，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点

E、F，连接CE、BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是________．(不添加辅助线)图18－2DE＝DF363第18课时┃全等三角形解析由已知可证∠EDC＝∠BDF，又D

C＝DB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE＝DF或(CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB)．364第18课时┃全等三角形[方法点析]全等三角形开放试题，常见的类型有条件开放型、结论开放型及策略开放型三种．

注意挖掘题目中隐含的条件，例如公共边、公共角、对顶角等．365第18课时┃全等三角形探究三利用全等三角形设计测量方案命题角度：利用全等三角形的性质与判定解决实际问题．例3[2012·柳州]如图18－3，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只

需测出其长度的线段是()A．POB．PQC．MOD．MQ图18－3B解析要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长．故选B.366第18课时┃全等三角形探究四角平分线命题角度：1．角平分线的性质；2．角平分线的判定．例4[2013·湘西州]

如图18－4，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADE的面积．图18－4367第18课时┃全等三角形解析(1)根据角平分线

性质得出CD＝DE，代入求出即可；(2)证Rt△ACD≌Rt△AED，得出S△ACD＝S△AED，求出△ACD的面积即可．368回归教材教材母题“生长图形”的全等第18课时┃全等三角形如图18－5，△ABD、△ACE都是等边三角形，求证：CD＝BE.(提示：找

出分别以CD、BE为边的两个全等三角形)图18－5369证明：∵△ABD和△ACE均是等边三角形，∴AB＝AD，AC＝AE.又∵∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，故△BAE≌△DAC，

∴CD＝BE.第18课时┃全等三角形370如图18－6，在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列

结论：①BG＝CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM＝∠ABC.其中正确结论的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个图18－6中考预测第18课时┃全等三角形A371第18课时┃全等三角形解析由边角边的判定，可以得到△AEC≌△ABG，得出BG＝EC，∴①BG＝CE正确；由∠1＝

∠2，∠3＝∠4，∠2＋∠4＝90°，得∠1＋∠3＝90°.∵∠5＝∠1＋∠3＝90°，∴BG⊥CE，∴②BG⊥CE正确；过点G作GN⊥AM于N,过点E作EP⊥AM交AM的延长线于点P.由△AGN≌△CAH，得NG＝AH，由△AEP≌△BAH，得

EP＝AH.进一步，可以得NG＝EP.再可以证明△EPM≌△GNM，得EM＝MG，∴③AM是△AEG的中线正确；由上述分析得④∠EAM＝∠ABC正确.372373第19课时等腰三角形374第19课时┃等腰三角形考点1等腰三角形的概念与性质定义有_______相等的三角

形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底轴对称性等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴定理1等腰三角形的两个底角相等(简称为：____________)性质定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线

合一”回归教材两边1等边对等角中线375第19课时┃等腰三角形(1)等腰三角形两腰上的高相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等(3)等腰三角形两底角的平分线相等(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半(5)

等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高拓展(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高376第19课时┃等腰三角形考点2等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角

所对的边也相等(简写成：______________)(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形拓展(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形等

角对等边377第19课时┃等腰三角形考点3等边三角形定义三边相等的三角形是等边三角形等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______性质等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴(1)三个

角都相等的三角形是等边三角形判定(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形3相等60°378第19课时┃等腰三角形考点4线段的垂直平分线定义经过线段的中点且与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线性

质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_______________上垂直平分线相等379探究一等腰三角形的性质的运用归类探究第19课时┃等腰三角形命题角度：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形“三线合一”

的性质．例1如图19－1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.求证：EF＝ED.图19－1380第19课时┃等腰三角形解析根据等腰三角形三线合一，确定AD⊥BC.又因为EF⊥AB，然后根据角平分线上

的点到角的两边的距离相等可证明结论．[方法点析](1)等腰三角形的性质揭示了三角形中边与角的转化关系，由两边相等转化为两角相等，是证明两角相等的常用方法；(2)等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两个角相等以

及两条直线互相垂直的重要依据．证明∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED.381第19课时┃等腰三角形探究二等腰三角形的判定命题角度：等腰三角形的判

定．例2[2011·扬州]已知：如图19－2，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．图19－2382第19课时┃等腰三角形解析(1)利用△

BDC≌△CEB证明∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，证明结论．383第19课时┃等腰三角形解(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB

.∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)．∴∠EBC＝∠DCB,∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．(2)点O在∠BAC的平分线上．理由如下：连接AO.∵△BDC≌

△CEB，∴DB＝EC.∵OB＝OC，∴OD＝OE.又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO(HL)．∴∠DAO＝∠EAO.∴点O是在∠BAC的平分线上．384第19课时┃等腰三角形[方法点析]要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等

，而得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等．385第19课时┃等腰三角形探究三等腰三角形的多解问题命题角度：1．遇到等腰三角形

的问题时，注意边有腰与底边之分，角有底角和顶角之分；2．遇到等腰三角形的高线问题要考虑高在形内和形外两种情况．例3[2013·毕节]已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为()A．16B．20或16C．20D．12C386第19课时┃等腰三角形[点

析]因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况，故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况．解析因为已知长度为4和8两边，没有明确哪条边是底边哪条边是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．①当4为底时，其他两边长都为8，长为4、

8、8的三条线段可以构成三角形，周长为20；②当4为腰时，其他两边长分别为4和8，∵4＋4＝8，∴不能构成三角形，故舍去．∴答案只有20.387第19课时┃等腰三角形探究四等边三角形的判定与性质命题角度：等边三角形的判定与性质的综合．例4如图19－3，在等边三角形ABC中，D、E分别

是BC、AC上的点，且CD＝AE，AD与BE相交于点P.(1)求证：∠ABE＝∠CAD；(2)若BH⊥AD于点H，求证：PB＝2PH.图19－3388第19课时┃等腰三角形解析(1)欲证∠ABE＝∠CAD，可以通过证明△A

BE≌△CAD得出；(2)欲证PB＝2PH，因为BH⊥AD于点H，在Rt△PBH中根据含30°的直角三角形的性质由∠BPH＝60°即可得到答案．证明(1)∵等边△ABC，∴AC＝AB，∠C＝∠CAB.∵CD＝AE，∴△CAD

≌△ABE.∴∠CAD＝∠ABE.(2)∵∠BPH＝∠BAD＋∠ABP＝∠BAD＋∠CAD＝60°，且BH⊥AD于点H，∴∠EBH＝30°.∴在Rt△PBH中，PB＝2PH.389第19课时┃等腰三角形[方法点析]等边三角形中隐含

着三边相等和三个角都是60°等条件，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．390第19课时┃等腰三角形探究五等腰三角形的创新应用命题角度：等腰三角形性质“等边对等角”与“等腰三角形的三线合一”的运用．例5如图19－4，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC

＝120°，点A的坐标是(1，0)，点B、C在y轴上，在x轴上是否存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形？如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图19－4391第19课时┃等腰三角形解析先由等腰三角形三线合一的性质得出OB＝OC，∠OAB＝∠OAC＝

60°，再取∠BPA＝BAP＝60°，所以PB＝AB＝PC＝AC，从而根据等腰三角形的定义得出△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．392第19课时┃等腰三角形解在x轴上存在点P(－1，0)，P(3，0)使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．理由如下：

①∵AB＝AC＝2，AO⊥BC，∠BAC＝120°，∴OB＝OC，∠OAB＝∠OAC＝12∠BAC＝60°，∴取A(1，0)关于y轴的对称点P(－1，0)，则PB＝AB，PC＝AC，∠BPA＝∠BAP＝60°，∴PB＝AB＝PC＝AC，

∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．②∵P(3，0)，A(1，0)，∴BA＝AP＝AC＝2.又∵∠BAP＝∠CAP，∴△BAP≌△CAP.∴BP＝CP.∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形.393回归教材教材母题等腰三角形的周长为16，其中

一条边的长是6，求另两条边的长．等腰三角形与一次函数巧结合第19课时┃等腰三角形394解：分两种情况：①若6是底边长，则两腰的和为16－6＝10，所以腰长是5，即另两条边的长是5，5；②若6是一腰的长，则另一腰的长也是6，则底边长为16－2×6

＝4，即另两边为6和4.经检验这两种情况均能构成三角形．故此等腰三角形的另两边长为5和5、或4和6.第19课时┃等腰三角形[点评]在等腰三角形中，如没指明腰和底，或没指明顶角或底角，一般情况下都要进行分类讨论，再根据“两边之和

大于第三边”或“三角形的内角和为180°”把不合题意的情况排除即可．395中考预测若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为________________．第19课时┃等腰三角形50°或80°396397第20课时直角三角形与勾股定理398第20课时┃直角三角形与勾股定理考点1直角三角形的概念

、性质与判定定义有一个角是________的三角形叫做直角三角形(1)直角三角形的两个锐角互余(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于_______________性质(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于_______________(1)两个内角互余的三角形是

直角三角形判定(2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形拓展(1)SRt△ABC＝12ch＝12ab，其中a，b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；(2)Rt△ABC内切圆半径r＝a＋b－c2，外接圆半径R＝c2，即等于

斜边的一半回归教材直角斜边的一半斜边的一半399第20课时┃直角三角形与勾股定理考点2勾股定理及逆定理勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足：___________，那么这个三角形是直角三角形勾

股定理的逆定理用途(1)判断一个三角形是否为直角三角形；(2)证明两条线段垂直；(3)解决生活实际问题勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数a2＋b2＝c2400第20课时┃直角三角形与勾股

定理考点3互逆命题、互逆定理及其关系互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其中一个叫做_________，那么另一个叫做它的_________互逆定理若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是

这个定理的___________，称这两个定理为互逆定理逆定理原命题逆命题401第20课时┃直角三角形与勾股定理考点4命题、定义、定理、公理定义在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出

明确的规定，也就是给它们下定义定义判断一件事情的句子叫做命题正确的命题称为________分类错误的命题称为________命题组成每个命题都由______和______两个部分组成公理公认的真命题称

为________定理除公理以外，其他真命题的正确性都需要经过推理的方法证实，推理的过程称为________．经过证明的真命题称为________定理真命题假命题条件结论公理证明402例1[2013·鄂

州]著名画家达·芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图20－1所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB＝20cm，则画出的圆的半径

为________cm.图20－1探究一直角三角形性质归类探究第20课时┃直角三角形与勾股定理命题角度：1．直角三角形两锐角互余；2．直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．10403解析连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是

OP长．连接OP，∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，∴OP＝12AB.∵AB＝20cm，∴OP＝10cm.第20课时┃直角三角形与勾股定理404例2[2013·衢州]如图20－2，将一个有45°角的三角板

的直角顶点放在一张宽为3cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为()A．3cmB．6cmC．32cmD．62cm图20－2探究二利用勾股定理求线段的长度命题角度：1.利用勾股

定理求线段的长度；2.利用勾股定理解决折叠问题．D第20课时┃直角三角形与勾股定理405[方法点析]勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平

方关系的问题．第20课时┃直角三角形与勾股定理解析过点C作CD⊥AD，∴CD＝3cm.在直角三角形ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6(cm)．又图中三角板是有45°角的三角板，∴AB＝AC＝6cm，∴B

C2＝AB2＋AC2＝62＋62＝72，∴BC＝6cm，故选D.406第20课时┃直角三角形与勾股定理探究三利用勾股定理解决生活中的实际问题命题角度：1.求最短路线问题；2.求有关长度问题．例3[2013·安顺]如图20－3，有两

棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行()A．8米B．10米C．12米D．14米图20－3B407第20课时┃直角三角形与勾股定理解析根据“两点之间线段最短”可知，小

鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．如图，设大树高为AB＝10米，小树高为CD＝4米，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形．连接AC，∴EB＝4米，EC＝8米，AE＝AB－EB＝10－4＝6(米)．在Rt△

AEC中，AC＝AE2＋EC2＝10米．故选B.408第20课时┃直角三角形与勾股定理[方法点析]用勾股定理可以帮助我们解决生活中的许多实际问题，其关键是把实际问题转化到一个相应的数学模型中，即将实际问题转化到直角三角形中，再运用勾股定理来解决．4

09第20课时┃直角三角形与勾股定理探究四勾股定理逆定理的应用命题角度：勾股定理逆定理的应用．例4[2012·广西]已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有()A．②B．①②C．①③D．②③D410第20课时

┃直角三角形与勾股定理解析根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．①∵22＋32＝13≠42，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角

三角形，故不符合题意；②∵32＋42＝52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；③∵12＋(3)2＝22，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．故构成直角三角形的有②③.故选D.411第20课时┃直角三角形与勾股定理[方法点析]判断三个正数能否成为直角三角

形的三边长，判断的主要方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．412回归教材教材母题巧用勾股定理探求面积关系第20课时┃直角三角形与勾股定理如图20－4，已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积．如图20－4，

已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积．图20－4413解：根据题意，阴影部分的面积为[12×π×622＋12×π×822＋12×6×8]－12×π×1022＝24.第20

课时┃直角三角形与勾股定理中考预测1．如图20－5，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△

AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为________．图20－5312414第20课时┃直角三角形与勾股定理解析第1个三角形的面积为12，第2个三角形的面积为12×(2)2＝1，第3个三角形的面积为12×22＝2，第4个三角形的面积为12×

(8)2＝4，第5个三角形的面积为12×42＝8，故这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为12＋1＋2＋4＋8＝312.415第20课时┃直角三角形与勾股定理2．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学

知识和人文价值．图20－6是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn.设第一个正方形的边长为1.

请解答下列问题：(1)S1＝________；(2)通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn＝____________________________.图20－61＋38·34n－1(n为整数)1＋3

8416417第21课时相似三角形及其应用418第21课时┃相似三角形及其应用考点1相似图形的有关概念相似图形形状相同的图形叫做相似图形定义如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似相似多边形相似比相似多边形对应边的比称为相似比(一般用k表示)相似三角形两个三角形的对

应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比k＝1时，两个三角形全等回归教材419第21课时┃相似三角形及其应用考点2比例线段定义防错提醒比例线段对于四条线段a，b，c，d，如果________(或a∶b＝c∶d)，那么这四

条线段叫做成比例线段，简称比例线段求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位黄金分割在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果BCAC＝ACAB，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的

黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为________一条线段的黄金分割点有______个ab＝cd0.618两420第21课时┃相似三角形及其应用考点3相似三角形的判定判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形____

____判定定理2如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似判定定理3如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的____________相等，那么这两个三角形相似判定定理4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应____________，那

么这两个三角形相似拓展直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似相等相似比夹角421第21课时┃相似三角形及其应用考点4相似三角形的性质(1)相似三角形周长的比等于相似比(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方三角

形(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比(1)相似多边形周长的比等于相似比相似多边形(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方422第21课时┃相似三角形及其应用考点5位似位似图形定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平

行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心位似与相似的关系位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行位似图形的性质(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________；(2)位似图形对应点的连线或延长线相

交于_____点；(3)位似图形对应边______(或在一条直线上)；(4)位似图形对应角相等以坐标原点为中心的位似变换在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________位似作

图形(1)确定位似中心O；(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)；(3)按照相似比取点；(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形k或－k相似比一平行423第21课时┃相似三角形及其应用考点6相似三角形的性质几何图形

的证明与计算常见问题证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积等建模思想建立相似三角形模型相似三角形在实际生活中的应用常见题目类型(1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解；(2)计算从底部能直接测量的物体的高度；(3)计算从底部不能直接测量的物体的高度；(4)计算不

能直接测量的河的宽度424探究一比例线段归类探究第21课时┃相似三角形及其应用命题角度：1.比例线段；2.黄金分割在实际生活中的应用；3.平行线分线段成比例定理．例1[2013·上海]如图21－1，已知在△ABC中，点D、E、F分别

是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于()A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2∶5图21－1A425解析先由AD∶DB＝3∶5，求得BD∶AB的长，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例

定理，可得CE∶AC＝BD∶AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF∶CB＝CE∶AC，则可求得答案．具体解题过程如下：∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8，∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8

.故选A.第21课时┃相似三角形及其应用426探究二相似三角形的性质及其应用命题角度：1.利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2.利用相似三角形性质探求比值关系．例2如图21－2，△ABC是一张锐角

三角形硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.(1)求证：AMAD＝HGBC；(2)求矩

形EFGH的周长．图21－2第21课时┃相似三角形及其应用427解(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH.∴∠AHG＝∠ABC.又∵∠HAG＝∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴AMAD＝HGBC.(2)由(1)得

AMAD＝HGBC.设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.可得30－x30＝2x40，解得x＝12，2x＝24.所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．第21课时┃相似三角形及其应用解析(1)证明△AHG∽△ABC，

根据相似三角形对应高的比等于相似比，证明结论．(2)设HE＝x，则HG＝2x，利用第一问中的结论求解．428第21课时┃相似三角形及其应用变式题如图21－3，一个人拿着一把刻有厘米刻度的小尺，站在离电线杆约20m的地方，他把手臂向前

伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知臂长约40cm，你能根据以上数据求出电线杆的高度吗？图21－3解析运用的是相似三角形的对应高的比等于相似比，来求出电线杆的高度，注意单位的转化．429第21课时┃相似三角形及其应用解根据题意，得△AOB∽△DOC，所以

CD∶AB＝20∶0.4，即CD∶0.12＝20∶0.4，解得CD＝6m.故电线杆的高度为6m.430例3[2013·巴中]如图21－4，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(

2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，图21－4求AE的长．第21课时┃相似三角形及其应用探究三三角形相似的判定方法及其应用命题角度：1．利用两个角判定三角形相似；2．利用两边及夹角判定三角形相似；3．利用三边判定三角形相似.431第21课时┃相似三角形及其应用解(1)证明：在

ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC.∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C.在△ADF与△DEC中，∠AFD＝∠C，∠ADF＝∠DEC，∴△ADF∽△DEC.(2)

在ABCD中，CD＝AB＝8，由(1)知△ADF∽△DEC，∴ADDE＝AFCD，∴DE＝AD·CDAF＝63×843＝12.在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝DE2－AD2＝122－（63）2＝6.432第21课时┃相似三角形及其

应用[方法点析]判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定

理及相似三角形的“传递性”．433第21课时┃相似三角形及其应用探究四位似命题角度：1.位似图形及位似中心定义；2.位似图形的性质应用；3.利用位似变换在网格纸里作图．例4[2013·孝感]在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(

－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为12，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是()A．(－2，1)B．(－8，4)C．(－8，4)或(8，－4)D．(－2，1)或(2，－1)D434第21课时┃相似三角形及其应用解析根据题意画出相

应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可．[方法点析]利用位似将图形放大或缩小的作图步骤：第一步：在原图上选取关键点若干个，并在原图外任取一点P；第二步：以点P为端点向各关键点作射线；第三步：分别在射

线上取关键点的对应点，满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点．即可得到符合要求的新图形．435第21课时┃相似三角形及其应用探究五相似三角形与圆命题角度：1.圆中的相似计算；2.圆中的相似证明．例5[2013·

黄冈]如图21－5，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB.(1)求证：DC为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．图21－5436第21课时┃相似三角形及其应用解(1)证

明：连接OC.∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.又∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴OC⊥CD.即DC为⊙O的切线．(2)连接BC.∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC＝ACAB，即AC2

＝AD·AB.又⊙O的半径为3，∴AB＝6.又∵AD＝4，∴AC＝26.437回归教材教材母题找出图21－6中所有的相似三角形．图21－6“直角三角形斜边上的高”的模型作用第21课时┃相似三角形及其应用438解：因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以∠ACD＝∠B，∠

BCD＝∠A，所以△ACD∽△ABC，△BCD∽△BAC，△ACD∽△CBD.第21课时┃相似三角形及其应用中考预测1．如图21－7，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有________．①∠A＋∠B＝

90°，②AB2＝AC2＋BC2，③ACAB＝CDBD，④CD2＝AD·BD.图21－7①②④4392．如图21－8，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水

平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝________m.图21－85.5第21课时┃相似三角形及其应用440第21课时┃

相似三角形及其应用解析∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BCEF＝DCDE.∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝8m，∴BC0.2＝80.4，∴BC＝4m，∴AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5(m)

．故答案为5.5.441442第22课时锐角三角函数443第22课时┃锐角三角函数考点1锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b∠A的正弦∠A的余弦∠A的正切sinA＝∠A的对边斜边＝________cosA＝∠A的邻边斜边＝________tan

A＝∠A的对边∠A的邻边＝________它们统称为∠A的锐角三角函数回归教材abacbc444考点2特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°45°60°第22课时┃锐角三角函数331232221223212

3445考点3解直角三角形解直角三角形的定义在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形解直角三角形的常用关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则：(1

)三边关系：a2＋b2＝________；(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝________；(3)边与角之间的关系：sinA＝cosB＝________，cosA＝sinB＝________，tanA＝________；(

4)sin2A＋cos2A＝1(5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1(0°＜∠A＜90°)解直角三角形的题目类型(1)已知斜边和一个锐角；(2)已知一直角边和一个锐角；(3)已知斜边和一直角边；(4)已知两条直角边第22课时┃锐角三角函数abc290°ac

bc446探究一求三角函数值归类探究命题角度：1.正弦值的计算；2.余弦值的计算；3.正切值的计算．例1[2013·杭州]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝32；②cosB＝12；③tan

A＝33；④tanB＝3，其中正确的结论是________(只需填上正确结论的序号)．第22课时┃锐角三角函数②③④447探究二特殊锐角的三角函数值的应用命题角度：1.30°、45°、60°的三角函数值；2.已知特殊三角函数值，求角度．例2[2013·孝感]式子2cos30°－t

an45°－（1－tan60°）2的值是()A．23－2B．0C．23D．2第22课时┃锐角三角函数B解析将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案．具体解析过程如下：原式＝2×32－1－(3－1)＝3－1－3＋1＝0.故选

B.448探究三解直角三角形命题角度：1.利用三角函数解直角三角形；2.将斜三角形或不规则图形化归为直角三角形．例3[2013·常德]如图22－1，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝13，AD＝1.(1)求BC的长；(2)求tan∠DAE的值．图2

2－1第22课时┃锐角三角函数449第22课时┃锐角三角函数解(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC.在Rt△ABD中，∵sinB＝ADAB＝13，又AD＝1，∴AB＝3，∴BD＝32－12＝22.在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴CD＝A

D＝1，∴BC＝22＋1.(2)∵AE是BC边上的中线，∴DE＝22＋12－1＝2－12.∴tan∠DAE＝2－121＝2－12.450[方法点析]利用三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形，是解直角三角形常用的方法．第22课时┃锐角三角函数451回归教材教材母题如图22－2，在所

示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是(3，y)，且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是43，求：(1)y的值；(2)角α的正弦值．图22－2直角坐标系中的锐角三角函数第22课时┃锐角三角函数452第22课时┃锐角三角函数解：(1)如图22－3

，过P点作PA⊥x轴，则tanα＝PAOA，所以y3＝43，所以y＝4.(2)根据勾股定理得OP＝OA2＋PA2＝32＋42＝5，所以sinα＝PAOP＝45.图22－3453中考预测在平面直角坐标系xOy中，已知

点A(2，1)和点B(3，0)，则sin∠AOB的值等于()A.55B.52C.32D.12第22课时┃锐角三角函数A454455第23课时解直角三角形的应用456第23课时┃解直角三角形的应用考点解直角三

角形的应用常用知识1．仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角．2．俯角：视线在水平线下方的叫俯角．3．坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________．4．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.i＝tanα，坡度

越大，α角越大，坡面越陡．5．方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．回归教材h∶l457探究一利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题归类探究命题角度：1.计算某些建筑物的高度(或宽度)；2.将实际问题转化为直角三角形问题．例1[2013·宜宾]宜宾是国家

级历史文化名城，大观楼是标志性建筑之一(如图23－1①)，喜爱数学实践活动的小伟查资料得知：大观楼始建于明代(据说是唐代韦皋所建)，后毁于兵火，乾隆乙酉年(1765年)重建，它是我国目前现存最高大、最古老的楼阁之一．小伟决定用自己所学习的知识测量大观楼的高度，第23

课时┃解直角三角形的应用458如图②，他利用测角仪站在B处测得大观楼最高点P的仰角为45°，又前进12米到达A处，在A处测得P的仰角为60°.请你帮助小伟算算大观楼的高度．(测角仪高度忽略不计，3≈1.7，结果保留整数

)图23－1第23课时┃解直角三角形的应用459解设OP＝x米，由题意得：∠POB＝90°，∠B＝45°，AB＝12，∴∠OPB＝∠B＝45°，∴OP＝OB＝x，∴OA＝x－12.在Rt△OAP中，tan60°＝OPOA＝xx－12＝3，∴x＝18＋63，∴x≈28.答：大

观楼的高度约为28米．第23课时┃解直角三角形的应用460变式题[2013·泸州]如图23－2，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°；在A、C之间选择一点B(A、B、C三点在同一直线上)，用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且A、

B间的距离为40m.(1)求点B到AD的距离；(2)求塔高CD(结果用根号表示)．图23－2第23课时┃解直角三角形的应用461解(1)过点B作BE⊥AD于点E，∵AB＝40m，∠A＝30°，∴BE＝12AB＝20m，即点B到AD的距离

为20m.(2)在Rt△ABE中，∵∠A＝30°，AB＝40，∴∠ABE＝60°，AE＝203.∵∠DBC＝75°，∴∠EBD＝180°－60°－75°＝45°，∴DE＝EB＝20m，则AD＝AE＋DE＝203＋20＝20(3＋1)

．在Rt△ADC中，∠A＝30°，∴DC＝AD2＝103＋10.答：塔高CD为(103＋10)m.第23课时┃解直角三角形的应用462第23课时┃解直角三角形的应用[方法点析]在实际测量高度、宽度、距离等问题中

，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：①不同地点看同一点；②同一地点看不同点；③利用反射构造相似．图23－3图23－4图23－5463探究二利用直角三角形解决航海问题命题角度：1.利用直角三角形解决方位角问题；2.将实

际问题转化为直角三角形问题．第23课时┃解直角三角形的应用例2[2013·烟台]如图23－6，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于A地北偏西30°方向上

，A地位于B地北偏西75°方向上，A，B两地之间的距离为12海里．求A、C两地之间的距离．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，结果精确到0.1海里)图23－6464解析过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，根据题

意可得∠ACB和∠ABC的度数，然后根据三角形外角定理求出∠DAB的度数，已知AB＝12海里，可求出BD、AD的长度．在Rt△CBD中，解直角三角形求出CD的长度，继而可求出A、C之间的距离．第23课时┃解直角三角形的应用465第23课时┃解直角三角形的应用解过点B作BD⊥CA

，交CA的延长线于点D.由题意，得∠ACB＝60°－30°＝30°，∠ABC＝75°－60°＝15°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°.在Rt△ADB中，AB＝12，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝ABcos45°＝62.在Rt△BCD中，CD＝BDtan30°＝66.∴AC＝66－62≈6.

2(海里)．答：A、C两地之间的距离约为6.2海里．466探究三利用直角三角形解决坡度问题命题角度：1.利用直角三角形解决坡度问题；2.将实际问题转化为直角三角形问题．第23课时┃解直角三角形的应用例3[2013·广安]如图23－7，广安市防洪指挥部发现渠江边一

处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i＝1∶2.图23－7467第23课时┃解直角三角形的应

用(1)求加固后坝底增加的宽度AF的长；(2)求完成这项工程需要土石多少立方米？解析(1)分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H.在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度(即坝高)及坡比，即可求出FG的长，同理可在Rt△ADH中求出AH的长，由AF＝FG＋GH－A

H求出AF的长．(2)已知梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘坝长即为所需的土石的体积．468解(1)分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，又∵

DH∥EG且DH⊥AB，故四边形EGHD是矩形，∴ED＝GH.在Rt△ADH中，AH＝DH÷tan∠DAH＝8÷tan45°＝8(米)．在Rt△FGE中，i＝1∶2＝EGFG，∴FG＝2EG＝16米，∴AF＝FG＋GH－AH＝16＋2－8＝10(

米)．(2)加宽部分的体积V＝S梯形AFED×坝长＝12×(2＋10)×8×400＝19200(立方米)．答：(1)加固后坝底增加的宽度AF为10米．(2)完成这项工程需要土石19200立方米.第23课时┃解直角三角形的

应用469回归教材教材母题勾股定理的实际应用第23课时┃解直角三角形的应用如图23－8，一个古代棺木被探明位于点A地下24米处．由于点A地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距离点A8米的点B挖掘．考古人员应以与地面形成多大的角度进行挖掘

才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？(角度精确到1′，距离精确到0.1米)图23－8470解：设棺木所在地点为C，在Rt△ABC中，BC＝AB2＋AC2＝82＋242≈25.3(米)．tan∠ABC＝ACAB＝248＝3，故∠ABC≈71°

34′.答：考古人员应以与地面形成约71°34′的角度挖掘约25.3米才能沿最短路线挖到棺木．第23课时┃解直角三角形的应用471中考预测第23课时┃解直角三角形的应用钓鱼岛是中国固有领土，为测量钓鱼岛东西两端A、B的距离，如图23－9，

我勘测飞机在距海平面垂直高度为1公里的点C处，测得端点A的俯角为45°，然后沿着平行于AB的方向飞行3.2公里到点D，并测得端点B的俯角为37°.求钓鱼岛两端A、B的距离．(结果精确到0.1公里，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，

2≈1.41)图23－9472第23课时┃解直角三角形的应用解过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于点F，∵AB∥CD，∴四边形ABFE为矩形，∴EF＝AB，AE＝BF＝1.在Rt△AEC中，∵∠C＝45°，∴CE＝AE＝1.在Rt△BFD中，

∵∠BDF＝37°，∴DF＝BFtan∠BDF＝10.75≈1.33，∴AB＝EF＝CD－CE＋DF＝3.2－1＋1.33＝3.53≈3.5(公里).473474第24课时多边形与平行四边形475第24课时┃多边形与平行四边形考点1多边形多边形的定义在同一平面内，不在同一

直线上的一些线段__________相接组成的图形叫做多边形内角和n边形内角和为___________外角和任意多边形的外角和为360°多边形对角线n边形共有________条对角线不稳定性n边形具有不稳定性(n>3)多边形的

性质拓展n边形的内角中最多有_____个是锐角定义各个角________，各条边________的多边形叫正多边形正多边形对称性正多边形都是________对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形回归教材n（n－3）2首尾顺次轴(n－2)·180°3

相等相等476第24课时┃多边形与平行四边形考点2平面图形的镶嵌1．定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫多边形覆盖平面或平面镶嵌问题．2．平面镶嵌的条件：在同一顶点的几个角的和等于360°.3．常

见形式(1)可以铺满地板的同一种正多边形有：正三角形、正方形、正六边形．(2)也可用多种正多边形铺地板．477第24课时┃多边形与平行四边形考点3平行四边形的概念与性质定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形性

质(1)平行四边形的两组对边分别________；(2)平行四边形的两组对边分别________；(3)平行四边形的两组对角分别________；(4)平行四边形的对角线互相________；(5)平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角

线的交点总结若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为对称中心，且这条直线等分平行四边形的面积平行相等平分相等478第24课时┃多边形与平行四边形考点4平行四边形的判定序号方法1定义法2两

组对角分别________的四边形是平行四边形3两组对边分别________的四边形是平行四边形4一组对边平行且________的四边形是平行四边形5对角线互相________的四边形是平行四边形平分

相等相等相等479第24课时┃多边形与平行四边形考点5平行四边形的面积1．公式：平行四边形的面积＝底×高．2．拓展：同底(等底)等高(同高)的平行四边形面积相等．3．两条平行线的距离：在两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线上的距离叫做两条平行线的距离．

4．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．480例1[2013·娄底]一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．探究一多边形的内角和与外角和归类探究第24课时┃多边形与平行四边形

命题角度：1．n边形的内角和定理的应用；2．n边形的外角和定理的应用．6解析设该多边形的边数为n，则(n－2)×180＝2×360，解得n＝6.481第24课时┃多边形与平行四边形[方法点析]如果已知n边形的内角和，那么可

以求出它的边数n；对于多边形的外角和等于360°，应明确两点：(1)多边形的外角和与边数n无关；(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果．482第24课时┃多边形与平行四边形探究二平行四边形的性质命题角度：1.平行四边形对边的

特点；2.平行四边形对角的特点；3.平行四边形对角线的特点．例2[2013·徐州]如图24－1，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交AB于点E，BF平分∠ABC交CD于点F.(1)求证：DE＝BF；(2)连接EF，写出

图中所有的全等三角形．(不要求证明)图24－1483第24课时┃多边形与平行四边形解(1)证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，∠ADC＝∠CBA.∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠ADE＝12∠ADC，∠CBF

＝12∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，∴△ADE≌△CBF(ASA)．∴DE＝BF.证法二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.∴∠CDE＝∠AED.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD.同理CF＝CB.又AD＝CB，AB＝C

D，∴AE＝CF，∴DF＝BE.∴四边形DEBF是平行四边形．∴DE＝BF.(2)△ADE≌△CBF；△DEF≌△BFE.484第24课时┃多边形与平行四边形[方法点析]平行四边形的性质的应用，主要是利用平行四边形的边与边(对边平行且

相等)，角与角(对角相等)及对角线(互相平分)之间的特殊关系进行证明或计算．485第24课时┃多边形与平行四边形探究三平行四边形的判定命题角度：1.从对边判定四边形是平行四边形；2.从对角判定四边形是平行四边

形；3.从对角线判定四边形是平行四边形．例3[2013·无锡]如图24－2所示，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”作

为结论构成命题．图24－2486第24课时┃多边形与平行四边形(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．(命题请写成“如果…，那么….”的形式)解(1)是真命题

．证明如下：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.又∵∠AOB＝∠COD，AO＝CO，∴△ABO≌△CDO.∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．(2)假命题：①四边形ABCD中，如果AB∥CD，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形；②四边形ABCD中，AC交

BD于O，如果AO＝CO，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形．反例：487第24课时┃多边形与平行四边形[方法点析]判别一个四边形是不是平行四边形，要根据具体条件灵活选择判别方法．凡是可以用平行四边形

知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．488回归教材第24课时┃多边形与平行四边形教材母题平行四边形的存在性已知：如图24－3，线段BC和线段BC外一点A.求作：以A为一顶点，以线段BC为一边的平行四边形．图24－3489第24课

时┃多边形与平行四边形[解析]如果连接AB，那么平行四边形的两边已经确定，根据平行四边形的对边相等就可以确定另一个顶点．解：作法：1.连接AB；2．分别以A、C为圆心，以BC、AB为半径作弧，两弧相交于点D；3．连接AD、CD.那么四边形ABCD就是所求的平行四边形．如

果连接AC，同理可作四边形AEBC，它也是所求的平行四边形，也就是说此题有两解．490第24课时┃多边形与平行四边形中考预测如图24－4所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上

，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A、B，且18a＋c＝0.(1)求抛物线的解析式；(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．①移动开始后第t秒时，设△P

BQ的面积为S，试写出S与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．491第24课时┃多边形与平行四边形②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理

由．图24－4492第24课时┃多边形与平行四边形解(1)由题意可知A(0，－12)，∴c＝－12，18a＋c＝0，∴a＝23.∵AB∥OC，且AB＝6，∴抛物线的对称轴是x＝－b2a＝3，∴b＝－4，∴抛物线的解析式为y

＝23x2－4x－12.493第24课时┃多边形与平行四边形(2)①S＝12·2t·(6－t)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9(0＜t＜6)．②当t＝3时，S取最大值为9.这时点P的坐标为(3，－12)，点Q的坐标为(6，－6)．若以P、B、Q、R为顶点

的四边形是平行四边形，有以下三种情况：(Ⅰ)当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标为(3，－18)，将(3，－18)代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是(3，－18)．(Ⅱ)当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标为(3，－6)，将(

3，－6)代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R(3，－6)不满足条件．(Ⅲ)当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标为(9，－6)，将(9，－6)代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R(

9，－6)不满足条件.综上所述，点R的坐标为(3，－18)．494495第25课时矩形、菱形、正方形496第25课时┃矩形、菱形、正方形考点1矩形矩形定义有一个角是________的平行四边形叫做矩形矩形是一个轴对称图形

，它有两条对称轴对称性矩形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点定理(1)矩形的四个角都是______角；(2)矩形的对角线互相平分并且______矩形的性质推论在直角三角形中，斜边上的中线等于________的一半(1)定义法(2

)有三个角是直角的四边形是矩形矩形的判定(3)对角线______的平行四边形是矩形拓展(1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形；(2)矩形的面积等于两邻边的积回归教材斜边直角直相等相等497第25课时┃矩形、菱形、正方形考点2菱形菱形定义有一组__

______相等的平行四边形是菱形菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴对称性菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点菱形的性质定理(1)菱形的四条边________；(2)菱形的两条对角线互相____

____平分，并且每条对角线平分___________菱形的判定(1)定义法；(2)四条边________的四边形是菱形；(3)对角线互相________的平行四边形是菱形菱形面积(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高

；(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的________一半邻边相等垂直一组对角相等垂直498第25课时┃矩形、菱形、正方形考点3正方形正方形的定义有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形(1)正方形对边_____

_(2)正方形四边______(3)正方形四个角都是______(4)正方形对角线相等，互相__________，每条对角线平分一组对角正方形的性质(5)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点(1)有一组邻边相等的矩形是正方形正方形的判定(2)有一个角是直角的

菱形是正方形平行相等直角垂直平分499第25课时┃矩形、菱形、正方形判定正方形的思路图：500第25课时┃矩形、菱形、正方形考点4中点四边形定义顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四

边形顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是________顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是________顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是________顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是_______

_顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是_______常见结论顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是_______菱形矩形正方形菱形菱形矩形501探究一矩形的性质及判定的应用归类探究第25课

时┃矩形、菱形、正方形命题角度：1.矩形的性质；2.矩形的判定．例1[2013·白银]如图25－1，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(1

)线段BD与CD有何数量关系，为什么？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．图25－1502第25课时┃矩形、菱形、正方形解(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.又E是AD的中点，∴AE＝DE.∴△AFE

≌△DCE.∴AF＝CD.又AF＝BD，∴BD＝CD.(2)△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩

形．503第25课时┃矩形、菱形、正方形探究二菱形的性质及判定的应用命题角度：1.菱形的性质；2.菱形的判定．例2[2013·泰安]如图25－2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF.(1)证明：∠BAC＝∠DAC，

∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．图25－2504第25课时┃矩形、菱形、正方形解(1)∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC.∴∠BAC

＝∠DAC.∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF.∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB＝∠AFD.又∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE.所以∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE.(2)∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝C

D.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD.所以四边形ABCD是菱形．(3)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF.∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°

.∴∠EFD＝∠BCD.505第25课时┃矩形、菱形、正方形[方法点析]在证明一个四边形是菱形时，要注意判别的条件是平行四边形还是任意四边形．若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明．506第25课时┃矩形、菱形、正方形探究三正方形的性质

及判定的应用命题角度：1.正方形的性质；2.正方形的判定．B507第25课时┃矩形、菱形、正方形解析∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，∴∠ADB＝∠CGE＝45°，∠GDT＝∠BDC＝45°，∠DTG＝180°－∠GDT－∠CG

E＝180°－45°－45°＝90°，∴△DGT是等腰直角三角形．∵两正方形的边长分别为4，8，∴DG＝8－4＝4，∴GT＝22×4＝22.508第25课时┃矩形、菱形、正方形探究四特殊平行四边形的综合应用命题角度：1.矩形、菱形、正方形的性质的综合应用；2.矩形、菱形、正方形的关

系转化．例4[2013·梅州]如图25－4，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若四边形BECF为正方形，求∠A

的度数．图25－4509第25课时┃矩形、菱形、正方形解(1)证明：∵BC的垂直平分线EF交BC于点D，∴BF＝FC，BE＝EC.又∵∠ACB＝90°，∴EF∥AC.∴BE∶AB＝DB∶BC.∵D为BC中点，∴DB∶BC＝1∶2，∴BE∶A

B＝1∶2，∴E为AB中点，即BE＝AE.∵CF＝AE，∴CF＝BE，∴CF＝FB＝BE＝CE，∴四边形BECF是菱形．(2)如图，∵四边形BECF为正方形，∴∠BEC＝90°.又AE＝CE，∴∠A＝45°.510第25课

时┃矩形、菱形、正方形探究五中点四边形命题角度：1.对角线相等的四边形的中点四边形；2.对角线互相垂直的四边形的中点四边形．例5[2013·恩施]如图25－5所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，E、F

、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH为菱形．图25－5511第25课时┃矩形、菱形、正方形证明连接AC、BD.∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，∴EH∥BD，FG∥BD，EH＝FG＝12BD，HG＝12AC.∴

四边形EFGH是平行四边形．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴BD＝AC，∴EH＝HG，∴平行四边形EFGH是菱形．[方法点析]依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、

相等且垂直)有关．512回归教材教材母题第25课时┃矩形、菱形、正方形四边形中的图形变换如图25－6，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是另一个正方形A′B′C′O的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，那么正方形A′B

′C′O绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的四分之一．想一想，这是为什么？图25－6513第25课时┃矩形、菱形、正方形解：如图25－7，由旋转知，∠AOM＝∠BON，∠BOM＝∠CON，

OA＝OB＝OC，从而得出△AOM≌△BON，△BOM≌△CON，所以S四边形MONB＝S△AOM＋S△BOM＝14S四边形ABCD.图25－7514中考预测第25课时┃矩形、菱形、正方形如图25－8，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点(G与B、C两点不重

合)，E、F是AG上的两点(E、F与A、G两点不重合)，若AF＝BF＋EF，∠1＝∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论．图25－8解根据题目条件可判断DE∥BF.证明如下：∵四边形A

BCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＋∠2＝90°.∵AF＝AE＋EF，又AF＝BF＋EF，∴AE＝BF.∵∠1＝∠2，∴△ABF≌△DAE(S.A.S.)．∴∠AFB＝∠DEA，∠BAF＝∠ADE.∴∠ADE＋∠2＝∠BAF＋∠2＝90°，∴∠AED＝∠BFA＝∠

DEG＝90°.∴DE∥BF.515516第26课时梯形517第26课时┃梯形考点1梯形的有关概念定义一组对边________，另一组对边________的四边形叫梯形等腰梯形两腰相等的梯形叫等腰梯形梯形直角梯形有一个角是直角的

梯形叫直角梯形不平行平行518第26课时┃梯形考点2等腰梯形轴对称性等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴性质定理1等腰梯形同一底上的两________相等等腰梯形的性质性质定理2等腰梯形的对角线________判定方法(1

)定义法；(2)同一底上的两个角________的梯形是等腰梯形等腰梯形的判定判定步骤(1)先判定它是梯形；(2)再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”或“对角线相等”来判定它是等腰梯形相等底角相等519第26课时┃梯形考点3梯形中

常用的辅助线辅助线添加方法及目的图形平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形作两高从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形平移对角线移动一条对角线，即过底的一端作对角线的平行线，可以借助所得到的平行四边形来

研究梯形520第26课时┃梯形辅助线添加方法及目的图形延长两腰延长梯形的两腰交于一点，得到两个三角形，如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的等腰三角形连接中点并延长连接梯形一顶点与一腰的中点并延长与另一底的延长线

相交，可得一个三角形，将梯形的面积转化为三角形的面积，将梯形的上下底转移到同一直线上521探究一梯形的基本概念及性质归类探究第26课时┃梯形命题角度：1.梯形的定义及分类；2.梯形的角度及面积的计算．例1在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，∠B＝30

°，AD＝CD＝6，则AB的长度为()A．9B．12C．18D．6＋33C522第26课时┃梯形[方法点析]梯形问题通常通过添加辅助线将其转化为三角形或特殊四边形来解决．常用添加辅助线的方法有：(1)平移一腰；(2)过同一底上的两个顶点作高；(3)平移对角线；(4)延长两腰．解析过

点C作CE∥AD交AB于点E，∵AB∥CD，CE∥AD，AD＝CD＝6，∴四边形AECD为菱形，∴AE＝CE＝AD＝6.由CE∥AD得∠CEB＝∠A＝60°.在△ECB中，∠CEB＝60°，∠B＝30°，∴∠ECB＝90°.根据“直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的

一半”得EB＝2CE＝12，故AB＝6＋12＝18.523第26课时┃梯形探究二等腰梯形的性质命题角度：1.等腰梯形两腰的大小关系，两底的位置关系；2.等腰梯形在同一底上的两个角的大小关系；3.等腰梯形的对角线的关系．例2

[2011·南充]如图26－1所示，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，点E、F在BC上，且BE＝CF，连接DE、AF.求证：DE＝AF.图26－1524第26课时┃梯形[方法点析]利用等腰梯形的性质不仅可证明两直线平行，而且可证

明两边相等或两个角相等．解析由四边形ABCD是等腰梯形，得AB＝DC，∠B＝∠C，证明△ABF≌△DCE，即可证得DE＝AF.证明∵BE＝FC，∴BE＋EF＝FC＋EF，即BF＝CE.∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC，∠B＝∠C.在△AB

F和△DCE中，AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE，∴△ABF≌△DCE(SAS)，∴DE＝AF.525第26课时┃梯形探究三等腰梯形的判定命题角度：1.定义法；2.从同一底上的两个角的大小关系来判定梯形是等腰梯形；3.从两条对角线的大小关系来判定梯形是等腰梯形．例3[

2013·钦州]如图26－2，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC＝∠C.求证：梯形ABCD是等腰梯形．图26－2526第26课时┃梯形[方法点析]证明等腰梯形首先要满足梯形的定义，再证明两腰相等，或同一底上的两角相等，或对角线相等即可．证明∵AB∥DE，∴∠B＝∠D

EC.∵∠DEC＝∠C，∴∠B＝∠C.又∵四边形ABCD是梯形，∴梯形ABCD是等腰梯形．527第26课时┃梯形探究四梯形中的转化思想命题角度：梯形中辅助线的作法．例4[2012·滨州]我们知道“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”，“三角形的中位线平

行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似地，我们连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图26－3，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD，BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．图

26－3528第26课时┃梯形解析连接AF并延长交BC于点G，则△ADF≌△GCF，可以证得EF是△ABG的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得．猜想：EF∥AD∥BC，EF＝12(AD＋BC)．证明：连接AF并延长交BC的延长线于点G.∵AD∥BG，

∴∠DAF＝∠G.在△ADF和△GCF中，∠DAF=∠G，∠DFA＝∠CFG，DF＝CF，∴△ADF≌△GCF.∴AF＝FG，AD＝CG.又∵AE＝EB，∴EF∥BG，EF＝12BG＝12(AD＋BC)．即EF∥AD∥BC，EF＝12(AD

＋BC)．解529第26课时┃梯形[方法点析]1．梯形的两底平行，通过适当的辅助线把梯形转化为三角形与平行四边形，或者三角形与矩形，三角形与三角形等．解决梯形问题的基本方法是：(1)平移一腰；(2)过同一底上的两个顶点作高；(3)平

移对角线；(4)延长两腰．2．遇三角形一边的中点，通常作平行线，利用平行线分线段成比例定理或相似三角形对应边的比相等得另一边的中点．530531第27课时圆的有关性质532第27课时┃圆的有关性质考点1圆的概念定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的

一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．定义2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合．533第27课时┃圆的有关性质考点2圆的有关概念弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．534第27课时┃圆的有关性质考点3圆的对

称性圆既是一个轴对称图形又是一个________对称图形，圆还具有旋转不变性．中心535第27课时┃圆的有关性质考点4垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径_________，并且平分弦所对的两条弧推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧总结简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立，

那么其他的结论也成立平分弦536第27课时┃圆的有关性质考点5圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的______相等，所对的______也相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们

所对应的其余各组量也分别相等弦弧537第27课时┃圆的有关性质考点6圆周角圆周角定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________，都等于该弧

所对的圆心角的________推论1在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______推论2半圆(或直径)所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是________三角形直径相

等一半相等直角直角538第27课时┃圆的有关性质考点7圆内接多边形圆内接多边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角_________互补539第27课时┃圆的有关性质考点8反

证法定义不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法步骤(1)假设命题的结论不正确，即提出与命题结论相反的假设；(2)从假设的结

论出发，推出矛盾；(3)由矛盾的结果说明假设不成立，从而肯定原命题的结论正确540探究一垂径定理及其推论归类探究第27课时┃圆的有关性质命题角度：1.垂径定理的应用；2.垂径定理的推论的应用．B例1[2013·徐州]如图27－1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P.若CD＝8，OP＝3

，则⊙O的半径为()A．10B．8C．5D．3图27－1541第27课时┃圆的有关性质解析连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4.在Rt△OCP中，∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝＝＝5.[方法点析]垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据

之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．542第27课时┃圆的有关性质探究二圆心角、弧、弦之间的关系命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．例2如图27－2，已知AB是⊙O的直径，BC︵＝CD︵＝DE︵.∠BOC＝40°，那

么∠AOE＝()A．40°B．60°C．80°D．120°图27－2B543第27课时┃圆的有关性质解析根据圆心角与弧的关系可求得∠BOE的度数，从而即可求解．∵BC︵＝CD︵＝DE︵，∠BOC＝40°，∴∠BOE＝3∠BOC＝120°，∴∠AOE＝180°－∠BOE＝6

0°.544例3[2012·湘潭]如图27－3，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝()A.20°B.40°C.50°D.80°图27－3第27课时┃圆的有关性质探究三圆周角定理及推论命题角度：1.利用圆心角与圆周角的关

系求圆周角或圆心角的度数；2.直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算．D545第27课时┃圆的有关性质解析先根据弦AB∥CD得出∠ABC＝∠BCD＝40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝80

°.[方法点析](1)圆周角定理为圆周角与圆心角的角度转换提供了根据；(2)在圆上，如果有直径，则直径所对的圆周角是直角；(3)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．546第27课时┃圆的有关性质探究四与圆有关的综合运用命题角度：圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等

三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识综合．例4[2012·湘潭]如图27－4，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC＝12AB，点P在半圆弧AB上运动(不与A，B两点重合)，过点C作直线PB的垂线CD交P

B于D点．图27－4547第27课时┃圆的有关性质(1)如图①，求证：△PCD∽△ABC；(2)当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图②中画出△PCD，并说明理由；(3)如图③，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．解析(1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角

是直角，即可得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A＝∠P.(2)由△PCD∽△ABC，可知当PC＝AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等；(3)由∠ACB＝90°，AC＝AB，可求

得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等得∠P＝∠A＝60°，通过证△PCB为等边三角形，由CD⊥PB，即可求出∠BCD的度数．548第27课时┃圆的有关性质解(1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝∠D＝90°.又∵∠CAB

＝∠DPC，∴△PCD∽△ABC.(2)如图，当点P运动到PC为直径时，△PCD≌△ABC.理由如下：∵PC为直径，∴∠PBC＝90°，则此时D与B重合，∴PC＝AB，CD＝BC，故△PCD≌△ABC.(3)

∵AC＝12AB，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°.∴∠CPB＝∠CAB＝60°.∵PC⊥AB，∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°，∴△PBC为等边三角形．又CD⊥PB，∴∠BCD＝30°.549550第28课时与圆有关的位置关系551第28课时┃与圆有关的位置关系考点1点

和圆的位置关系点在圆外⇔________点在圆上⇔________如果圆的半径是r，点到圆心的距离是d，那么点在圆内⇔________回归教材d<rd>rd＝r552第28课时┃与圆有关的位置关系考点2确定圆的条件确定圆的条件不在同一直线的三个点确定一个圆三角形的外

心三角形三边_____________的交点，即三角形外接圆的圆心防错提醒锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部垂直平分线553第28课时┃与圆有关的位置关系考点3直线和圆的位置关系(1)直

线l和⊙O相交⇔________(2)直线l和⊙O相切⇔________设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么(3)直线l和⊙O相离⇔________d>rd<rd＝r554第28课时┃与圆有关的位置关系考点4圆和圆的位置关系外离⇔___________外切⇔

___________相交⇔______________内切⇔___________设⊙O1，⊙O2的半径分别为R，r(R>r)，圆心之间的距离为d，那么⊙O1和⊙O2两圆内含⇔___________d<R－rd>R＋rd＝R＋rR－r<d<R＋rd＝R－r

555第28课时┃与圆有关的位置关系考点5相交两圆的性质性质(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦(2)两圆相交时的图形是轴对称图形点拨解有关两圆相交问题时，常常要作出连心线，公共弦，或者连接交点与

圆心，从而把两圆的半径，公共弦的一半，连心线等集中在同一个三角形中，利用三角形的知识加以解决556第28课时┃与圆有关的位置关系考点6相交两圆的性质如果两圆相切，那么两圆的连心线经过________相切两圆的性质两圆相切时的图形是轴对称图形，通过两圆圆心的直线(连

心线)是它的对称轴切点557探究一确定圆的条件归类探究第28课时┃与圆有关的位置关系命题角度：1.点与圆的位置关系；2.确定圆的圆心、半径；3.三角形的外接圆的概念和性质．例1[2012·资阳]直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外

接圆半径是________．10或8558第28课时┃与圆有关的位置关系解析直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；②当两条直角边长分别

为16和12时，则直角三角形的斜边长＝＝20，因此这个三角形的外接圆半径为10.综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.[方法点析](1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．(2)直

角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．559第28课时┃与圆有关的位置关系探究二直线和圆的位置关系的判别命题角度：1.定义法判别直线和圆的位置关系；2.d，r比较法判别直线和圆的位置关系．例2[2013·南州]Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝

4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为()A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cmB560第28课时┃与圆有关的位置关系解析r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．Rt△AB

C中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，由勾股定理，得AB2＝32＋42＝25，∴AB＝5.过点C作CD⊥AB于点D.∵AB是⊙C的切线，∴CD＝r.∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·r，∴r＝2.4cm.561第28课时┃

与圆有关的位置关系[方法点析]在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较，在判断其关系时要结合题目的已知条件选择正确的方法．562例3[2012·南充]如图28－1，平面直角坐标系中，⊙O半径长为1，点P(a，0)

，⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为()A．3B．1C．1，3D．±1，±3图28－1第28课时┃与圆有关的位置关系探究三圆和圆的位置关系的判别命题角度：1.根据两圆的公共点的个数确定；2.根据两圆的圆心距与半径的数量关系确

定．D563第28课时┃与圆有关的位置关系[方法点析]在判断圆和圆的位置关系的时候，可以根据两圆的公共点的个数确定，也可以结合圆心距和半径的关系来判定．解析应分两个圆相内切和相外切两种情况进行讨论，求得P到O的距离，即可得到a的值．当两个圆外切时，圆心距d＝1＋2＝

3，即P到O的距离是3，则a＝±3.当两圆相内切时，圆心距d＝2－1＝1，即P到O的距离是1，则a＝±1.故a＝±1或±3.故选D.564第28课时┃与圆有关的位置关系探究四和相交两圆有关的计算命题角度：和勾股定理有关的计算．例4[2013·娄底]如图28－2，⊙O1，⊙O2相交于A，

B两点，两圆的半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，则弦AB的长为()A．4.8cmB．9.6cmC．5.6cmD．9.4cm图28－2B565第28课时┃与圆有关的位置关系解析如图，

连接AO1，AO2，设AB与O1O2交于点C.∵⊙O1，⊙O2相交于A，B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，∴O1O2⊥AB，∴AC＝12AB.设O1C＝x，则O2C＝10－x，

∴62－x2＝82－(10－x)2，解得x＝3.6，∴AC2＝62－x2＝36－3.62＝23.04，∴AC＝4.8cm，∴弦AB的长为9.6cm.故选B.566第28课时┃与圆有关的位置关系探究五和相切两圆有关的计算命题角度：两圆相切的简单应用．例5(1)计算：

如图28－3①，直径为a的三等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，切点分别为A，B，C，求O1A的长(用含a的代数式表示)；(2)探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图28－3②所示的方案一和如图28－3③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈

的高度hn和h′n(用含n，a的代数式表示)；567第28课时┃与圆有关的位置关系图28－3(3)应用：现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米．用这样的集装箱装运长为5米，底面直径(横截面的外圆直

径)为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用(2)中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管．(3≈1.73)568第28课时┃与圆有关的位置关系解(1)∵⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，∴O1O2＝O2O3＝O1O3

＝a.又∵O2A＝O3A，∴O1A⊥O2O3，∴O1A＝a2－14a2＝32a.(2)hn＝na，h′n＝32(n－1)a＋a.(3)方案二装运钢管最多．即：按题图③的方式排放钢管，放置根数最多．根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，…设钢

管的放置层数为n，可得32(n－1)×0.1＋0.1≤3.1，解得n≤35.7.∵n为正整数，∴n＝35.∴钢管放置的最多根数为31×18＋30×17＝1068(根)．569回归教材教材母题已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和4cm.当两圆的圆心距O1O2为下列值时，分别说出两圆的位

置关系：(1)0cm；(2)2cm；(3)4cm；(4)6cm；(5)8cm.第28课时┃与圆有关的位置关系圆与圆的位置关系一题定中考解：(1)内含；(2)内切；(3)相交；(4)外切；(5)外离．570中考预测1．已知⊙O1和⊙O2的半径分

别为2cm和3cm，圆心距O1O2为5cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切2．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2－4x＋3＝0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是(

)A．外离B．外切C．相交D．内切第28课时┃与圆有关的位置关系BB571572第29课时切线的性质和判定573第29课时┃切线的性质和判定考点1切线的性质回归教材定理：圆的切线________于经过切点的半径．技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．垂直574第29课时┃切线的性质和判定考点2

切线的判定定理：经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线．证圆的切线技巧：(1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．(2)如

果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．垂直575第29课时┃切线的性质和判定考点3切线长及切线长定理切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线

长切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线________两条切线的夹角基本图形如图所示，点P是⊙O外一点，PA，PB切⊙O于点A，B，AB交PO于点C，则有如下结

论：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP平分相等576第29课时┃切线的性质和判定考点4三角形的内切圆三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的

内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形三角形的内心三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．它是三角形_________________的交点，三角形的内心到三边的________相等规律清单⊙I内切于△ABC，切点分别为D，E

，F，如图．则(1)∠BIC＝90°＋12∠BAC；(2)△ABC三边长分别为a，b，c，⊙I的半径为r，则有S△ABC＝12r(a＋b＋c)；(3)(选学)△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，则内切圆半径r＝a＋b－c2距离三条角平

分线577探究一圆的切线的性质归类探究第29课时┃切线的性质和判定命题角度：1.已知圆的切线得出结论；2.利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．例1[2012·湛江]如图29－1，已知点E在Rt△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.(1)求证：

AD平分∠BAC；(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．图29－1578第29课时┃切线的性质和判定解析(1)先连接OD，则OD⊥BC，且AC⊥BC，再由平行从而得证；(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出半径．579第29

课时┃切线的性质和判定[方法点析]“圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法．580第29课时┃切线的性质和判定探究二圆的切线的判定方法命题角度：1.利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2.

利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．例2[2013·湖州]如图29－2，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB︵的度数为120°，连接PB.(1

)求BC的长；(2)求证：PB是⊙O的切线．图29－2581第29课时┃切线的性质和判定解(1)连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴∠COB＝60°.又∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形，∴BC＝OC＝2.(2)证明：∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB.∵△OBC是正三角形

，∴∠OBC＝∠OCB＝60°.∴∠CBP＝30°，∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，∴OB⊥BP.∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．582第29课时┃切线的性质和判定[方法点析]在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，

则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．583第29课时┃切线的性质和判定探究三切线长定理的运用命题角度：1.利用切线长定理计算；2.利用切线长定理证明．例3[

2012·绵阳]如图29－3，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20cm，求△AOB的面积．图29－3584第2

9课时┃切线的性质和判定解析(1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小；(2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，

求得AD与OD的长．585第29课时┃切线的性质和判定解(1)∵PA、PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°.在四边形APBO中，∠APB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB＝360°－90°－90°－

120°＝60°.(2)∵PA、PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB.∵OA＝OB，PO＝PO，∴△PAO≌△PBO.∴∠APO＝∠BPO＝12∠APB＝30°.∴PO⊥AB，∴∠DAO＝∠APO＝30°.∴OA＝OP×sin∠APO＝20×12＝10(cm)．在Rt△AOD中，∠DAO＝3

0°，OA＝10cm，∴AD＝cos30°×OA＝32×10＝53(cm)，OD＝sin30°×OA＝12×10＝5(cm)．∴AB＝2AD＝103(cm)，∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×103×5＝253(cm2)．586第29课时┃切线的性质和判定[方法点析](1)利用

过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．587例4[2012·玉林]如图29－4，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣

弧DE︵(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN，与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为()A．rB.32rC．2rD.52r图29－4第29课时┃切线的性质和判定探究四三角形的内

切圆命题角度：1.三角形的内切圆的定义；2.求三角形的内切圆的半径．C588第29课时┃切线的性质和判定解析连接OD、OE，则∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD＝BE＝OD＝OE＝r.根据切线长定理得出MP＝DM，NP＝

NE,Rt△MBN的周长为：MB＋NB＋MN＝MB＋BN＋NE＋DM＝BD＋BE＝r＋r＝2r，故选C.589第29课时┃切线的性质和判定[方法点析]解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理

或直角三角形的性质及三角函数等解决．590回归教材教材母题切线问题中必需的半径第29课时┃切线的性质和判定如图29－5，设AB是⊙O的直径，如果圆上点D恰使∠ADC＝∠B，那么直线CD与⊙O相切吗？若相切，请给出证明．图29－5591解：直线CD与⊙O相切．证明：连接OD

.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＋∠B＝90°.又∵∠ADC＝∠B，∴∠ADC＋∠ODA＝90°，即∠ODC＝90°，∴直线CD与⊙O相切．第29课时┃切线的性质和判定592中

考预测第29课时┃切线的性质和判定如图29－6，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若PD＝3，求⊙O的直径．图29－

6593解(1)证明：连接OA,∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．(2)在Rt△OAP中，∵∠

P＝30°，∴PO＝2OA＝OD＋PD.又∵OA＝OD，∴PD＝OA.∵PD＝3，∴2OA＝2PD＝23，∴⊙O的直径为23.第29课时┃切线的性质和判定594595第30课时与圆有关的计算596第30课时┃与圆有关的计算考点

1正多边形和圆正多边形和圆的关系正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的________正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的________正多边形每一边所对的圆

心角叫做正多边形的________正多边形和圆的有关概念正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的________回归教材边心距中心半径中心角597第30课时┃与圆有关的计算(1)边长：an＝2Rn·sin180°n(2)周长

：Pn＝n·an(3)边心距：rn＝Rn·cos180°n(4)面积：Sn＝12an·rn·n(5)内角度数为：（n－2）×180°n(6)外角度数为：360°n正多边形的有关计算(7)中心角度数为：360°n598第30课时┃与圆有

关的计算考点2弧长公式圆的周长若圆的半径是R，则圆的周长C＝________弧长公式若一条弧所对的圆心角是n°，半径是R，则弧长l＝________.在应用公式时，n和180不再写单位2πRnπR180599第30课时┃与圆有关的计算考点3扇形的面积公式扇形面积(1

)S扇形＝______(n是圆心角度数，R是半径)；(2)S扇形＝______(l是弧长，R是半径)弓形面积S弓形＝S扇形±S△nπR236012lR600第30课时┃与圆有关的计算考点4圆锥的侧面积与全面

积图形圆锥简介(1)h是圆锥的高；(2)a是圆锥的母线，其长为侧面展开后所得扇形的________；(3)r是底面半径；(4)圆锥的侧面展开图是半径等于________长，弧长等于圆锥底面________的扇形圆锥的侧面积S侧＝________圆锥的全面积S

全＝S侧＋S底＝πra＋πr2πra半径母线周长601例1[2013·南昌]如图30－1，正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为()A．23B．4C.13D.11图30－1探究一正多边形和圆归类探究第30课时┃与圆有关的计算命题

角度：1.正多边形和圆有关的概念；2.正多边形的有关计算．C602第30课时┃与圆有关的计算解析连接AE，求出正六边形的∠F＝120°，再求出∠AEF＝∠EAF＝30°，然后求出∠AEP＝90°并求出AE的长，再求出PE的长，最后在Rt△AEP中

，利用勾股定理列式进行计算即可得解．如图，连接AE，在正六边形ABCDEF中，∠F＝16×(6－2)·180°＝120°.∵AF＝EF，∴∠AEF＝∠EAF＝12(180°－120°)＝30°，∴∠AEP＝120°－30°＝90°，AE＝2×EF×cos30

°＝2×2×32＝23.∵点P是ED的中点，∴EP＝12×2＝1，在Rt△AEP中，AP＝AE2＋EP2＝（23）2＋12＝13.故选C.603第30课时┃与圆有关的计算[方法点析](1)正n边形的半径R、边心距r和边长的一半构成直角三角

形，在正n边形中，共有2n个这样的直角三角形；(2)在正多边形中，构造直角三角形或特殊的三角形是常用方法．604例2[2013·宜宾]如图30－2，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中CD，DE，EF，…的圆心按点A，B，C循环．如果AB

＝1，那么曲线CDEF的长是________(结果保留π)．图30－2第30课时┃与圆有关的计算探究二计算弧长命题角度：1．已知圆心角和半径求弧长；2．利用转化思想求弧长．4π605第30课时┃与圆有关的计算解析弧

CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．弧CD的长是：120π×1180＝2π3，弧DE的长是：120π×2180＝4π3，弧EF的长是：120π×3180＝2π，则曲线

CDEF的长是：2π3＋4π3＋2π＝4π.606第30课时┃与圆有关的计算探究三计算扇形面积命题角度：1.已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积；2.已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积．例3[2012·泰州]如图30－3，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在

小正方形的顶点上．将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2.图30－3607第30课时┃与圆有关的计算解析(1)根据图形平移及旋转的性质

画出△A1B1C1及△A1B2C2即可；(2)将△ABC向下平移4个单位，AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积；再向右平移3个单位，AC所扫过的面积是以3为底，以2为高的平行四边形的面积；当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为

圆心，以22为半径，圆心角为90°的扇形的面积，再减去重叠部分的面积．(1)在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；(2)计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积(重叠部分不重复计算)．608第30课时┃与圆有关的计

算解(1)如图：(2)由平移，得A1C1∥B1E∥AC，A1C1＝B1E＝AC，∴四边形ACEB1、四边形A1C1EB1都是平行四边形，∴线段AC扫过区域的面积为S▱ACEB1＋S▱A1C1ED＋S扇形C2A1D＝4×2＋3×2＋45×π×（22）2360＝14＋π.[方

法点析]求不规则图形的面积，常转化为易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果．609第30课时┃与圆有关的计算探究四和圆锥的侧面展开图有关的问题命题角度：1.圆锥的母线长、底面半径等

计算；2.圆锥的侧面展开图的相关计算．例4如图30－4，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为()A．4πB．42πC．8πD．82π图30－4D610第30课时┃与圆有关的计算解析过C作CO⊥AB，则OC＝2,Rt

△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为2×OC×AC×π＝2×2×22π＝82π.611第30课时┃与圆有关的计算探究五用化归思想解决生活中的实际问题命题角度：1.用化归思想解决生活中的实际问题；2.综合利用所学知识解决实际问题．例5[2013·威海]如图30－5，C

D为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为点E，AO＝1.(1)求∠C的大小；(2)求阴影部分的面积．图30－5612第30课时┃与圆有关的计算解(1)∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，∴∠C＝12∠AOD.∵∠AOD＝∠COE，∴∠C＝

12∠COE.∵AO⊥BC，∴∠C＝30°.(2)连接OB.由(1)知∠C＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°.在Rt△AOF中，AO＝1，∠AOF＝60°，∴AF＝32，OF＝12.∴AB＝3.∴S阴影＝S扇形OAB－

S△OAB＝120360×12π－12×12×3＝13π－34.613回归教材教材母题如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，求该圆锥的侧面积和全面积．圆锥的侧面积永恒的考点第30课时┃与圆有关的计

算614[点析]圆锥的侧面展开图是扇形，牢记扇形面积公式．解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r.由题意知20π＝120π·R180，解得R＝30.∵2πr＝20π，∴r＝10.S圆锥侧＝12lR＝12×20π×30＝300π.S圆锥全＝S圆锥侧＋S底＝300π＋πr2＝

400π.第30课时┃与圆有关的计算615中考预测用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为()A．2πcmB．1.5cmC．πcmD．1cm第30课时┃与圆有关的计算D616617第31课

时轴对称与中心对称618第31课时┃轴对称与中心对称考点1轴对称与轴对称图形轴对称轴对称图形定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形______，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点如果一个图形沿一条直线

对折后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做____________，这条直线叫做它的对称轴．这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称重合轴对称图形回归教材619第31课时┃轴对称与中心对称轴对称轴对称图

形区别轴对称是指________全等图形之间的相互位置关系轴对称图形是指具有特殊形状的________图形联系①如果把轴对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形是轴对称图形；②如果把一个轴对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们成轴对称轴对称的性质(1)对称点的连线被对称轴___

_____；(2)对应线段________；(3)对应线段或延长线的交点在________上；(4)成轴对称的两个图形________全等两个一个垂直平分相等对称轴620第31课时┃轴对称与中心对称考点2中心对称与中心对称图形中心对称中心对称图形定义把一个图形绕着某一点旋转_____后，如果它能与

另一个图形______，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，该点叫做__________把一个图形绕着某一点旋转_____，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么我们把这个图形叫中心对称图形，这个点叫做__________区别中心对称是

指两个全等图形之间的相互位置关系中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形联系①如果把中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形是中心对称图形；②如果把一个中心对称图形中对称的部分看成是两个图

形，那么它们成中心对称中心对称的性质(1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心________(2)成中心对称的两个图形________全等180°180°重合对称中心对称中心平

分621探究一轴对称图形与中心对称图形的概念归类探究第31课时┃轴对称与中心对称命题角度：1.轴对称的定义，轴对称图形的判断；2.中心对称的定义，中心对称图形的判断．B例1[2013·泰州]下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()图31－1622第31课时┃轴对称与中心对称[方法点

析](1)把所要判断的图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；(2)把所要判断的图形绕着某个点旋转180°后能与自身重合的图形是中心对称图形．623第31课时┃轴对称与中心对称探究二图形的折叠与轴对称命题角度：图形的折叠与轴对称的关系．例2

[2013·莱芜]如图31－2，矩形ABCD中，AB＝1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝________．图31－22624第31课时┃轴对称与中心对

称解析连接EF，∵点E、F是AD、DC的中点，∴AE＝ED，CF＝DF＝12CD＝12AB＝12.由折叠的性质可得AE＝A′E，∴A′E＝DE，在Rt△EA′F和Rt△EDF中，∵EA′＝ED，EF＝EF，∴Rt△EA′F≌Rt△E

DF(HL)．∴A′F＝DF＝12.∴BF＝BA′＋A′F＝AB＋DF＝1＋12＝32.在Rt△BCF中，BC＝BF2－FC2＝2.∴AD＝BC＝2.[方法点析]图形折叠的本质是轴对称，折叠前后的两个部分全等．625第31课时┃轴对称与中心对称探究三与

轴对称或中心对称有关的作图问题命题角度：1.利用轴对称的性质作图；2.利用中心对称的性质作图；3.利用轴对称或中心对称的性质设计图案．例3[2013·钦州]如图31－3，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为

(2，4)，请解答下列问题：(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；(2)画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．图31－3626第31课时┃轴对称与中心对称[方法点析]此

类作图问题的关键是根据轴对称与中心对称坐标特征求出对称点的坐标．解(1)△A1B1C1如图所示，A1(2，－4)．(2)△A2B2C2如图所示，A2(－2，4)．627回归教材教材母题将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的

图形呢？说说你的理由．图31－4“动手操作”有技巧解：得到的图形是一个菱形，对折两次得到有两条对称轴的轴对称图形，而且剪刀所剪的虚线就是得到图形的边长，四边相等，所以是一个菱形．第31课时┃轴对称与中心对称628第31课时┃轴对称与中心对称[方法点析]动手操作题目主要是利用剪刀

或对折，得到的图形部分或整体是一个轴对称图形，然后根据轴对称图形的性质解答，注意把握轴对称图形的特征．6291．把一张正方形纸片如图31－5①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是()图31－6图31－5中考预测C第

31课时┃轴对称与中心对称6302．图31－7的长方形ABCD中，E点在AD上，且BE＝2AE.分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图②为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图，若图②中，∠A′ED′＝15°，则∠BCE的度数为()图31－7A．30°B．32.5°C．

35°D．37.5°D第31课时┃轴对称与中心对称631632第32课时平移与旋转633第32课时┃平移与旋转考点1平移定义在平面内，将一个图形沿某个________移动一定的________，这样的图形移动称为平移图形平移有两个基本条件(1)图形平移的方向；(2)

图形平移的距离平移性质(1)对应线段平行(或共线)且________，对应点所连的线段____________，图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离；(2)对应角分别________，且对应角的两边分别平行、方向一致；(3)平移变换后的图形与原图形________回

归教材全等方向距离相等平行且相等相等634第32课时┃平移与旋转考点2旋转定义在平面内，把一个图形绕着某一个定点沿着某个方向旋转一定的角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点叫做__________，转动的角叫做________图形的旋转有三个基本条件(1)旋转中心；(2)旋

转方向；(3)旋转角度旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离________(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于________(3)旋转前后的图形________全等旋转中心旋转角相等旋转角635例1[2013·宜宾]如图32－1，将面积为5的△

ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为________．图32－1探究一图形的平移归类探究第32课时┃平移与旋转命题角度：1.平移的概念；2.平移

前后的两个图形的对应角、对应线段的关系．15636第32课时┃平移与旋转[方法点析](1)对应点的距离等于平移的距离；(2)利用“平移前后的两个图形全等”“平移前后对应线段平行且相等”是解决平移问题的基本方法．解析设点A到BC的距离为h，则S△ABC＝12BC·h＝5.∵平移的

距离是BC的长的2倍，∴AD＝2BC，CE＝BC，∴四边形ACED的面积＝12(AD＋CE)·h＝12(2BC＋BC)·h＝3×12BC·h＝3×5＝15.637第32课时┃平移与旋转探究二图形的旋转命题角度：1.旋转的概念；2.求旋转中心、旋转角；3.求旋转后图形的位置和点的坐标．例2[

2013·娄底]某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图32－2①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE与B

C交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.638第32课时┃平移与旋转(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．图32－2639第32课时┃平移与旋转解(1)证明：∵∠α＋∠EAC＝90°，∠NAF＋∠EAC＝

90°，∴∠α＝∠NAF.又∵∠B＝∠F，AB＝AF，∴△ABM≌△AFN.∴AM＝AN.(2)四边形ABPF是菱形．理由：∵∠α＝30°，∠EAF＝90°，∴∠BAF＝120°.又∵∠B＝∠F＝60°，∴∠B＋∠

BAF＝60°＋120°＝180°，∠F＋∠BAF＝60°＋120°＝180°.∴AF∥BC，AB∥EF.∴四边形ABPF是平行四边形．又∵AB＝AF，∴▱ABPF是菱形．[方法点析](1)求旋转角时，只要找到一对对应点和旋转中心的夹角即可；(2)旋转不改变图形的大小，旋转前后的两个图形全

等．640第32课时┃平移与旋转探究三平移、旋转的作图命题角度：1.平移作图；2.旋转作图；3.平移、旋转的综合作图．例3[2013·成都]如图32－3，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°.(1)画出旋转后的△AB′C′；(2)求线段AC在旋转

过程中所扫过的扇形的面积．图32－3641第32课时┃平移与旋转[方法点析]求一个图形旋转后、平移后的图形的某点的坐标，一般应把握三点：一是根据图形平移、旋转的性质；二是利用图形的全等关系；三是点所在象限的符号．解(1)如图，△AB′

C′为所求三角形．(2)由图可知，AC＝2，∴线段AC在旋转过程中所扫过的扇形的面积为S＝90π·22360＝π.642回归教材教材母题第32课时┃平移与旋转领悟“图形变换组合”中的规律如图32－4，在纸上画△ABC和两条平行的对称轴m、n.画出△ABC关于直线

m对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于直线n对称的△A″B″C″.观察△ABC和△A″B″C″，你能发现这两个三角形有什么关系吗？图32－4643第32课时┃平移与旋转解：作图如图32－5所示，图32－5

由图形可以看出，△A″B″C″是将△ABC平移得到的．[点析]组合变换中有几种变化，要注意每种变换的特征，根据它们的特征进行判断，需要动手操作时，可以用试验的方法给予验证．644中考预测第32课时┃平移与旋转1．如图32－6，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往

复的轴对称或中心对称变换，若原来点A坐标是(a，b)，则经过第2011次变换后所得的A点坐标是__________．图32－6(a，－b)645第32课时┃平移与旋转图32－72．在正方形网格中建立如图32－7所示的平面直角坐标系xOy，△ABC

的三个顶点都在格点上，点A的坐标是(4，4)，请解答下列问题：(1)将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；(3)将△ABC

绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C.646第32课时┃平移与旋转解(1)A1(4，－1)，图形如下：(2)如图所示．(3)如图所示．647648第33课时展开图与视图649第33课时┃展开图与视图考点1认识立体图形

1．常见的立体图形有球、圆锥、圆柱、棱锥、棱柱．2．组成立体图形的每个面都是平面的立体图形叫做________．多面体650第33课时┃展开图与视图考点2立体图形的展开与折叠圆柱的平面展开图圆柱的平面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形组成的正方体的平面展开图(1)一四一型(2)二三

一型(3)三三型(4)二二二型651第33课时┃展开图与视图考点3物体的三视图主视图正投影情况下，从正面得到的由前向后观察物体的视图叫做主视图，主视图反映物体的长和高左视图正投影情况下，从侧面得到的由左向右观

察物体的视图叫做左视图，左视图反映物体的宽和高三视图俯视图正投影情况下，从水平面得到的由上向下观察物体的视图叫做俯视图，俯视图反映物体的长和宽原则主视图和俯视图要长对正，主视图和左视图要高平齐，左视图和俯视图要宽相等画物体的三视图提醒在画图时，看得见部分的轮廓线通常画

成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线652第33课时┃展开图与视图考点4投影的基本概念投影定义一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫物体的投影．照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面平行投影由平行光线形成的投影中心投影由同一点(点光源)发出的光线形成的

投影正投影垂直于投影面产生的投影；正投影属于平行投影653探究一图形的展开与折叠归类探究第33课时┃展开图与视图命题角度：1.正方体的表面展开与折叠；2.圆柱、棱柱的表面展开与折叠．例1[2013·恩施]

如图33－1，下列四个选项中，不是．．正方体表面展开图的是()图33－1C654第33课时┃展开图与视图[方法点析]判断正方体表面展开图时应注意：1．正方体的表面展开图共有6个正方形；2．有“田”字形，“凸”字形和“7”字形的展开图都不是正方体的表面展开图．655第33课时┃展开图与视

图探究二投影命题角度：1.中心投影的应用；2.平行投影的应用．例2[2013·达州]下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排放正确的是()图33－2A．③①④②B．③②①④C．③④①②D．②④①③C656第33课时┃展开图与视图解析根据从

早晨到傍晚物体影子的指向是：西－西北－北－东北－东，影长由长变短，再变长．西为③，西北为④，东北为①，东为②，∴将它们按时间先后顺序排列为③④①②.657第33课时┃展开图与视图探究三几何体的三视图命题角度：1.已知几何体，判定三视图；2.由三视图，想象几何

体．例3[2013·衡阳]下列几何体，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是()图33－3C658第33课时┃展开图与视图解析主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．A．圆柱的主视图与俯视图都是矩形，错误；B．正方体的主视图与俯视图都是正方形，错误；C．圆锥的主视

图是等腰三角形，而俯视图是带圆心的圆，正确；D．球体主视图与俯视图都是圆，错误．故选C.659第33课时┃展开图与视图[方法点析]三个视图是分别从正面、左面、上面三个方向看同一个物体所得到的平面图形，要注意用平行光去看

．画三个视图时应注意尺寸的大小，即三个视图的特征：主视图(从正面看)体现物体的长和高，左视图体现物体的高和宽，俯视图体现物体的长和宽.660第33课时┃展开图与视图探究四根据视图判断几何体的个数命题角度：由三视图确

定小正方体的个数．B例4如图33－4，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是()A．3B．4C．5D．6图33－4661第33课时┃展开图与视图解析从主视图来看，各个位置的小正方体个数用1，2表示；从左视图来看，各个位置的小正方体个数用①

②表示，在同一方格中取最小的数即为该位置正方体的个数，为2＋1＋1＝4.662第33课时┃展开图与视图[方法点析]由三视图确定小正方体的个数，求解时先根据左视图和主视图，在俯视图中标出每个位置上小立方块的个数，便可得到

组成的小单元——正方体的个数．变式题如图33－5，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是()图33－5A．3个或4个B．4个或5个C．5个或6个

D．6个或7个B663第33课时┃展开图与视图探究五根据视图求几何图形的表面积和体积命题角度：1.由三视图确定出实物的形状和结构；2.由部分特殊视图确定出实物的形状和结构．A例5[2012·临沂]如图33－6是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是()图33－

4A．18cm2B．20cm2C．(18＋23)cm2D．(18＋43)cm2664第33课时┃展开图与视图解析根据三视图判断，该几何体是正三棱柱，底边边长为2cm，侧棱长是3cm，所以这个几何体的侧面积是：(3×2)×3＝6×3＝18(cm2)．[方法点

析]由物体的三视图求几何体的侧面积、表面积、体积等，关键是由三视图想象出几何体的形状．665666第34课时数据的收集667第34课时┃数据的收集考点1统计方法全面调查为一特定目的而对________考察对象做的调查，叫全面调查，也叫普查抽样调查为一特定目的而对____

____考察对象做的调查，叫抽样调查部分所有668第34课时┃数据的收集考点2总体、个体、样本及样本容量总体所要考察对象的________称为总体个体组成总体的________考察对象称为个体样本总体中被抽取的________

组成一个样本样本容量样本中包含个体的数目称为样本容量，样本容量没有单位个体全体每一个669第34课时┃数据的收集考点3频数与频率频数定义统计时，每个对象出现的次数叫频数规律频数之和等于总数频率定义每个对象出现的次数与总次数的比值叫频率规律频率之和等于1670第34课时

┃数据的收集考点4几种常见的统计图扇形统计图用圆代表总体，圆中各个扇形分别代表总体中的不同部分的统计图，它可以直观地反映部分占总体的百分比大小，一般不表示具体的数量条形统计图能清楚地表示每个项目的具体数目及反映事物某一阶段属性的

大小变化折线统计图可以反映数据的变化趋势特点频数分布表和频数分布直方图，能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况频数分布直方图绘制频数分布直方图的一般步骤①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数(一般取5～12组)；③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④

列频数分布表；⑤用横轴表示各分段数据，纵横反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图671例1下列调查中，须用全面调查(普查)的是()A．了解某市学生的视力情况B．了解某市中学生课外阅读的情况C．

了解某市百岁以上老人的健康情况D．了解某市老年人参加晨练的情况探究一统计的方法归类探究第34课时┃数据的收集命题角度：根据考察对象选取统计方法．C672第34课时┃数据的收集[方法点析](1)下面的情形常采用抽样调查：①当受客观条件限制，无法对所有个体进行普查时，如考察某市中学生的视力；②当调

查具有破坏性，不允许普查时，如考察某批灯泡的使用寿命；③当总体的容量较大，个体分布较广时，考察多受客观条件限制，宜用抽样调查．(2)抽样调查的要求：①抽查的样本要有代表性；②抽查样本的数目不能太少．673第34课时┃数据的收集探究二与统计有关的概念命

题角度：1．总体、个体、样本；2．频数、频率．例2[2013·内江]今年我市有近4万名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析．以下说法正确的是()A．这1000名考生是

总体的一个样本B．近4万名考生是总体C．每位考生的数学成绩是个体D．1000名学生是样本容量C674第34课时┃数据的收集解析A中1000名考生的数学成绩是样本，故本选项错误；B中4万名考生的数学成绩是总

体，故本选项错误；C中每位考生的数学成绩是个体，故本选项正确；D中1000是样本容量，故本选项错误．故选C.[方法点析]区分总体、个体、样本和样本容量，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考察对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，

不能带单位．675第34课时┃数据的收集探究三条形统计图、折线统计图、扇形统计图命题角度：条形统计图、折线统计图、扇形统计图的应用．例3[2013·陕西]我省教育厅下发了《在全省中小学幼儿园广泛深入开展节约教育的通知》，通知中要求各学校全面持续开展“光盘行动”．某市教

育局督导检查组为了调查学生对“节约教育”内容的了解程度(程度分为：“A—了解很多”，“B—了解较多”，“C—了解较少”，“D—不了解”)，对本市一所中学的学生进行了抽样调查，我们将这次调查的结果绘制成以下两幅统计图．根据以上信息，解答下列问题：676第34课时┃数据

的收集图34－1(1)本次抽样调查了多少名学生？(2)补全两幅统计图；(3)若该中学共有1800名学生，请你估计这所中学的所有学生中，对“节约教育”内容“了解较多”的有多少名？677第34课时┃数据的收集解(1

)抽样调查的学生人数为36÷30%＝120(名)．(2)B的人数：120×45%＝54(名)，C的百分比：24120×100%＝20%，D的百分比：6120×100%＝5%，补全两幅统计图如图所示．(3)对“节约教育”内容“了解较多”的学生人数为18

00×45%＝810(名)．678第34课时┃数据的收集探究四频数分布直方图命题角度：频数分布表和频数分布直方图．例4[2013·湛江]2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩(得

分取正整数，满分为100分)进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：679第34课时┃数据的收集图34－2频率分布表分数段频数频率50.5～60.5160.0860.5～70.5400.270.5～80.5500.2580.5

～90.5m0.3590.5～100.524n(1)这次抽取了________名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m＝________，n＝________；(2)补全频数分布直方图；(3)若成绩在70分以下(含70分)的学生为安全意识

不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？0.1220070680第34课时┃数据的收集解(2)补全后的频数分布直方图如下图：(3)1500×(0.08＋0.2)＝420(人)．所以，安全意识不强的学生约有420人．6816

82第35课时数据的整理与分析683第35课时┃数据的整理与分析考点1数据的代表回归教材1n(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)定义一组数据的平均值称为这组数据的平均数算术平均数一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么____

______________叫做这n个数的平均数平均数加权平均数一般地，如果在n个数x1，x2，…，xn中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(其中f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么，x＝_____________

_______叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做x1，x2，…，xk的权，f1＋f2＋…＋fk＝nx＝1n(x1＋x2＋…＋xn)684第35课时┃数据的整理与分析定义将一组数据

按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于____________就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间________________就是这组数据的中位数中位数防错提醒确定中位数时，一定

要注意先把整组数据按照大小顺序排列，再确定定义一组数据中出现次数________的数据叫做这组数据的众数众数防错提醒(1)一组数据中众数不一定只有一个；(2)当一组数据中出现异常值时，其平均数往往不能正确反映这组数据的集中趋势，就应考虑用中位数或众数来

考查最多中间位置的数两个数据的平均数685表示波动的量定义意义极差一组数据中的__________与__________的差，叫做这组数据的极差，它反映了一组数据波动范围的大小极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，但它受极

端值的影响较大方差设有n个数据x1，x2，x3，…，xn，各数据与它们的________的差的平方分别是(x1－x)2，(x2－x)2，…，(xn－x)2，我们用它们的平均数，即用________________________________来衡量这组数

据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2方差越大，数据的波动越________，反之也成立第35课时┃数据的整理与分析考点2数据的波动平均数最大数据最小数据大1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]686第35课时┃

数据的整理与分析考点3用样本估计总体1．统计的基本思想：样本特征估计总体的特征．2．统计的决策依据：利用数据进行决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，从数据的变化中发现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响．68

7例1[2013·威海]某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分满分均为100分．前六名选手的得分如下：探究一平均数、中位数、众数归类探究第35课时┃数据的整理与分析命题角度：1．平均数、加权平均数的计算；2．中位数与众数的计算．688第35课时┃数据的整

理与分析序号项目123456笔试成绩/分859284908480面试成绩/分908886908085根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩(综合成绩的满分仍为100分)．(1)这6名选手笔试成绩的中位数是____

分，众数是____分；(2)现得知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；(3)求出其余5名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前两名人选．8484.5689第35课时┃数据的整理与分析解(1)8

4.584(2)设笔试成绩和面试成绩所占的百分比分别为x，y，由题意得x+y=1，85x+90y=88解这个方程组，得x=0.4，y=0.6∴笔试成绩和面试成绩所占的百分比分别为40%和60%.(3)

2号选手的综合成绩＝92×0.4＋88×0.6＝89.6(分)；3号选手的综合成绩＝84×0.4＋86×0.6＝85.2(分)；4号选手的综合成绩＝90×0.4＋90×0.6＝90(分)；5号选手的综

合成绩＝84×0.4＋80×0.6＝81.6(分)；6号选手的综合成绩＝80×0.4＋85×0.6＝83(分)．∴综合成绩最高的两名选手是4号和2号．690第35课时┃数据的整理与分析[方法点析](1)体会权在计算平均数中的作用．实际生活中根据重要程度的不同设

置不同的权重是计算平均数的另一种方法，使人感到重要性的差异对结果的影响．(2)要准确理解中位数的“中位”以及计算中位数需注意两点：第一，先排序，可从大到小排，也可从小到大排；第二，定奇偶，下结论．691第35课时┃数据的整理与分析探究二极差、方差命题角度：1．极差和

方差的计算；2．方差的意义．例2[2013·衢州]一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示(有两个数据被遮盖)．组员日期甲乙丙丁戊方差平均成绩得分8179■8082■80那么被遮盖的两个数据依次是()A．80，2B．80，2C．78，2D．78，2C692第

35课时┃数据的整理与分析解析根据题意得80×5－(81＋79＋80＋82)＝78，方差＝15[(81－80)2＋(79－80)2＋(78－80)2＋(80－80)2＋(82－80)2]＝2.故选C.693

第35课时┃数据的整理与分析探究三平均数、众数、中位数、极差与方差在实际生活中的应用命题角度：1．利用样本估计总体；2．利用数据进行决策．例3[2013·遂宁]我市某中学举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队

各选出的5名选手的决赛成绩(满分为100分)如图35－1所示．694第35课时┃数据的整理与分析(1)根据图示填写下表；平均数(分)中位数(分)众数(分)初中部85高中部85100(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；(3)计算两队决赛

成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．图35－1695第35课时┃数据的整理与分析解(1)填表：初中平均数85，众数85；高中部中位数80.(2)初中部成绩好些．因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些．(

3)∵s2初中＝（75－85）2＋（80－85）2＋（85－85）2＋（85－85）2＋（100－85）25＝70.s2高中＝（70－85）2＋（100－85）2＋（100－85）2＋（75－85）2＋（80－85）25＝160.∴s2初中＜s2高中，因此，初中

代表队选手成绩较为稳定．696第35课时┃数据的整理与分析[方法点析](1)利用样本估计总体时，常用样本的平均数、方差、频率作为总体的平均数、方差、频率的估计值．(2)中位数是一个位置代表值，利用中位数分析数据可以获得一些信息．如果

已知一组数据的中位数，那么可以知道小于或大于这个中位数的数各占一半．众数是一个代表大多数的数据，当一组数据有较多重复数据时，众数往往是人们所关心的数．一组数据的极差、方差越小，这组数据越稳定．697回归教材教材母题第35课时┃数据的整理与分析统计图中见“三数”(平均数、众数与中位数)某饮食

公司为一学校提供午餐，有3元、4元和5元三种价格的饭菜供师生选择(每人限定一份)．图35－2是5月份的销售情况统计图，这个月一共销售了10400份饭菜，那么师生购买午餐费用的平均数、中位数和众数各是多少？图35－2698第35课时┃数据的整理与分析解：由统计图知，3元的有：10400×20%

＝2080(份)，4元的卖了10400×65%＝6760(份)，5元的卖了10400×15%＝1560(份)，所以师生购买午餐费用的中位数和众数都是4元，平均数为2080×3＋6760×4＋1560×510400＝3.95

(元)．699中考预测第35课时┃数据的整理与分析A1．如图35－3，是我市5月份某一周最高气温统计图，则这组数据(最高气温)的众数与中位数分别是()A．28℃，29℃B．28℃，29.5℃C．28℃，30℃D．29℃，29℃图35－3700第35课时┃数据的整理与分析图35－42．如图3

5－4是嘉兴市某6天内的最高气温折线统计图，则最高气温的众数是________℃.9701702第36课时概率703第36课时┃概率考点1事件的分类定义在一定条件下，有些事件发生与否可以事先确定，这样的事件叫做__________必然事件确定事件中必然发生的事件叫做_

_________，它发生的概率为1确定事件不可能事件确定事件中不可能发生的事件叫做____________，它发生的概率为0随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为__________，它发生的概率介于0与1之间随机事件确定事件必然事件不可能事件704第36课时┃概率

考点2概率的概念概率的定义：表示一个事件A发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率，记为P(A)．等可能事件的概率：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)＝mn.概率意义：概率从数量上刻

画了一个随机事件发生的可能性的大小．705第36课时┃概率考点3概率的计算列举法求概率如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为________用树形图求概率当

一次试验涉及3个或更多因素(例如从3个口袋中取球)时，列举法就不方便了，可采用树形图法表示出所有可能的结果，再根据P(A)＝mn计算概率利用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn稳定

于某个常数p，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作P(A)＝p(0≤P(A)≤1)mn706第36课时┃概率考点4概率的应用用概率分析事件发生的可能性概率在日常生活和科技方面有着广泛的应用，如福利彩票、体育彩票，有奖促销等．事件发生的可能性越大，概率就越______用概率设计游戏方案在设计游

戏规则时应注意设计的方案要使双方获胜的概率相等，同时设计的方案要有科学性、实用性和可操作性等大707探究一生活中的确定事件与随机事件归类探究第36课时┃概率命题角度：判断具体事件是确定事件(必然事件，不可能事件)还是随机事件．例1[2013·

聊城]下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3，5，9的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是()A．1B．2C．3D．4B708第36课时┃概率解析在足球赛中，弱队战胜强队是随机事件，故

①错误；抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，故②错误；任取两个正整数，其和大于1是必然事件，故③正确；长为3，5，9的三条线段能围成一个三角形是不可能事件，故④正确．故选B.709第36课时┃概率探究二用列表法或树形图法求概率命题角度：1．用列举法求简单事件的概率；2．用列表法或树形图法

求概率．例2[2013·黄冈]如图36－1，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃，方块，黑桃，梅花，其中红桃，方块为红色，黑桃，梅花为黑色，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张

．图36－1710第36课时┃概率(1)用树形图(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌用A，B，C，D表示)；(2)求摸出的两张纸牌同为红色的概率．解(1)树形图：列表法：21ABCDAABACADBBABCBDCCACBCDDDADBDC(2)P

＝212＝16.711第36课时┃概率[方法点析]当一次试验涉及多个因素(对象)时，常用“列表法”或“树形图法”求出事件发生的等可能性，然后找出要求事件发生的结果数，根据概率的意义求其概率．712第36课时┃概率探究三概率的

应用命题角度：用概率分析游戏方案．例3[2012·德州]若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数．(1)请画出树形

图并写出所有可能得到的三位数；(2)甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．你认为这个游戏公平吗？试说明理由．713第36课时┃概率解(1)画树形图得：所有得到的三位数有24个，分别为：123，124，132，134，142，143，21

3，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.(2)这个游戏不公平．∵组成的三位数中是“伞数”的有：132，142，143，231，241，243，341，34

2，共有8个，∴甲胜的概率为824＝13，而乙胜的概率为1624＝23，∴这个游戏不公平．714第36课时┃概率[方法点析]游戏的公平性是通过概率来判断的，在得分相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平；在概率不等的前提下，可将概率乘相应得

分，结果相等即公平，否则不公平．715第36课时┃概率探究四概率与频率之间的关系命题角度：用频率估计概率．例4[2012·青岛]某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、

“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元．小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下：716第36课时┃概率解析(1)根据概率的求法，找准两点：

①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率．(2)算出每张奖券获得的购物券金额的平均数，与10比较即可．奖券种类紫气东来花开富贵吉星高照谢谢惠顾出现张数(张)500100020006500(1)求“紫气东来”奖券出现的频率；(2)请你帮助小明判断，抽

奖和直接获得购物券，哪种方式更合算？并说明理由．717第36课时┃概率解(1)50010000＝120或5%.(2)平均每张奖券获得的购物券金额为100×50010000＋50×100010000＋20×200010000＋0×650010

000＝14(元)．∵14＞10，∴选择抽奖更合算．718第36课时┃概率探究五概率与代数、几何、函数等知识的综合运用命题角度：概率与代数、几何、函数等学科知识的综合．例5[2013·泉州]四张小卡片上分别写有数字1、2、3、4，它们除数字

外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀．(1)随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字3的概率；(2)随机地从盒子里抽取一张，将数字记为x，不放回．．．再抽取第二张，将数字记为y.请你用画树形图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出点(x，y)在

函数y＝2x图象上的概率．719第36课时┃概率解(1)P(抽到数字3)＝14.(2)解法一：画树形图如下：由树形图可知，共有12种机会均等的情况，其中满足点(x，y)在函数y＝2x图象上的情况有2种，∴P(点(x，y)在函数

y＝2x的图象上)＝212＝16.法二：列表如下：12341(1，2)(1，3)(1，4)2(2，1)(2，3)(2，4)3(3，1)(3，2)(3，4)4(4，1)(4，2)(4，3)由列表可知，共有12种机会均等的情况，其中满足点

(x，y)在函数y＝2x图象上的情况有2种，∴P(点(x，y)在函数y＝2x的图象上)＝212＝16.720第36课时┃概率[方法点析]概率与代数、几何的综合运用其本质还是求概率，只不过是需要应用代数和几何的方法确定某些限制条件的事件

数．一般的方法是利用列表或树形图求出所有等可能的情形，再求出满足所涉及知识的情形，进一步求概率．721722第37课时选择填空难题突破723第37课时┃选择填空难题突破选择填空题是中考中的固定题型，不仅题目数量多，而且占分比例高．对于选择

填空题较难的问题一般要通过分析、判断、推理、排除等方法得出正确的结论．常用的方法有直接法、图象法、特殊化法等．724探究一规律探索型问题考向互动探究第37课时┃选择填空难题突破例1[2013·常德]小明在做数学题时，发现

下面有趣的结果：3－2＝18＋7－6－5＝415＋14＋13－12－11－10＝924＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16…根据以上规律可知第100行左起第一个数是________．10200解析∵3

＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，24＝52－1，…∴第100行左起第一个数是：1012－1＝10200.725第37课时┃选择填空难题突破变式题[2012·重庆]图37－1中的图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有

8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为()图37－1A．50B．64C．68D．72D726第37课时┃选择填空难题突破解析第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有：2＋(3×2)＝8(个)五角星，第③个图形一共有2＋(3×2)＋(5×2)

＝18(个)五角星，…第n个图形一共有：1×2＋3×2＋5×2＋7×2＋…＋2(2n－1)＝2[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝[1＋(2n－1)]×n＝2n2，则第⑥个图形一共有：2×62＝72(个)五角星，故选D.727第37

课时┃选择填空难题突破(1)观察3，8，15，24，…的变化规律，用平方试试．(2)与项数之间有什么关系？通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的与自然数相关的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，还要注意检验猜想的

正确性．例题分层分析解题方法点析728第37课时┃选择填空难题突破探究二新定义运题算问题例2[2013·白银]定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋

5.若x★2＝6，则实数x的值是________．－1或4解析根据题中的新定义将x★2＝6变形，得x2－3x＋2＝6，即x2－3x－4＝0，因式分解，得(x－4)(x＋1)＝0，解得x1＝4，x2＝－1，则实数x

的值是－1或4.729第37课时┃选择填空难题突破(1)明确新定义运算的意义：a★b＝a2－3a＋b.(2)计算x★2的结果为x2－3x＋2，再建立方程．新定义运算实际上是把新定义运算转化为初中阶段所学习过的加、减、乘、

除、乘方以及开方运算，也就是遇到新问题，用老办法来解决．例题分层分析解题方法点析730第37课时┃选择填空难题突破探究三平面直角坐标系中点的规律问题(0，－2)例3[2013·威海]如图37－2，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(

－1，0)．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于

点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点P2013的坐标为________．图37－2731第37课时┃选择填空难题突破解析点P1(2，0)，P2(－2，2)，P3(0，－2)，P4(2，2)，P5(－2，0)，P6(0，0)，P7(

2，0)，…从而可得出6次一个循环，∵2013÷6＝335……3，∴点P2013的坐标为(0，－2)．(1)计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标；(2)可得出几次一个循环？(3)P2013与第几个点相同？例题分层分析732第37课时┃选择填空难题突破此类问题

主要采用归纳与猜想的思想方法，就是在解决数学问题时，从特殊的，简单的局部例子出发，寻找一般的规律，或者从现有的已知条件出发，通过观察、类比、联想，进而猜想结果的思维方法．一般先求出一些特殊的点的坐标，寻找这些点的规律

，进而猜想出一般规律．解题方法点析733例4[2013·内江]如图37－3，反比例函数y＝kx(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB，BC相交于点D，E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为()图37－3A．1B．2C．3D．4第37课时┃选

择填空难题突破探究四函数与几何结合型问题C734第37课时┃选择填空难题突破解析本题可从反比例函数图象上的点E，M，D入手，分别找出△OCE，△OAD，矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．由题意得：E，M，D位于反比

例函数图象上，则S△OCE＝|k|2，S△OAD＝|k|2.过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S▱ONMG＝|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，∴S矩形ABCO＝4S▱ONMG＝4|k|.由于函数图象

在第一象限，k＞0，则k2＋k2＋9＝4k，解得k＝3.735第37课时┃选择填空难题突破C变式题[2013·重庆]如图37－4，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝kx(k≠0，x>0)的图象与正方形的两边A

B、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN.下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为(0，2＋1)．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4图37－4736第37课时

┃选择填空难题突破解析根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△ONC＝S△OAM＝12k，即12OC·NC＝12OA·AM，而OC＝OA，则NC＝AM，再根据“SAS”可判断△OCN≌△OAM，①对；根据全等的性质

得到ON＝OM，由于k的值不能确定，则∠MON的值不能确定，所以不能确定△ONM为等边三角形，则ON≠MN，②不对；根据S△OND＝S△OAM＝12k和S△OND＋S四边形DAMN＝S△OAM＋S△OMN，即可得到S四边形DAMN＝S△OMN，③对；作NE⊥

OM于E点，则△ONE为等腰直角三角形，设NE＝x，则OM＝ON＝2x，EM＝2x－x＝(2－1)x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x2＝2＋2，所以ON2＝(2x)2＝4＋22，易得△BMN为等腰直角三角形，得到BN＝22

MN＝2，设正方形ABCO的边长为a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值为2＋1，从而得到C点坐标为(0，2＋1)，④对．737第37课时┃选择填空难题突破(1)操作探究型问题系数k的几何意义是什么？(2)矩形OABC

的面积可以化为四边形ODBE的面积和其他哪几个图形面积的和？(3)从操作探究型问题图象上的点E、M、D入手，如何找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系？(4)怎样列出等式求出k值？(1)把复杂图形简单化、规范化，找出基本

图形；(2)善于用方程、转化思想解决几何问题；(3)会用常规的证明思路．例题分层分析解题方法点析738第37课时┃选择填空难题突破探究五动态型问题例5[2013·烟台]如图37－5①，E为矩形ABCD边AD上一

点，点P从点B沿折线BE—ED—DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s.若点P，Q同时开始运动，设运动时间为t(s)，△BPQ的面积为y(cm2)．已知y与t的函数关系图象如图②，则下列结论

错误的是()A．AE＝6cmB．sin∠EBC＝45C．当0＜t≤10时，y＝25t2D．当t＝12s时，△PBQ是等腰三角形图37－5D739第37课时┃选择填空难题突破解析(1)结论A正确．理由如下：分析函数图象可知，BC＝10cm，ED＝4cm，故AE＝AD－ED＝BC－ED＝10－4＝6

(cm)；(2)结论B正确．理由如下：如答图①所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F.由函数图象可知，BC＝BE＝10cm，S△BEC＝12BC·EF＝12×10×EF＝40，∴EF＝8.∴sin∠EBC＝EFBE＝810＝45；

(3)结论C正确．理由如下：如答图②所示，过点P作PG⊥BQ于点G，∵BQ＝BP＝t，∴y＝S△BPQ＝12BQ·BP·sin∠EBC＝12t·t·45＝25t2.(4)结论D错误．理由如下：当t＝12

s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图③所示，连接NB，NC.此时AN＝8，ND＝2，由勾股定理求得：NB＝82，NC＝217.∵BC＝10，∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ

不是等腰三角形.740第37课时┃选择填空难题突破(1)从图①中看出有几个点运动，如何运动？速度是多少？(2)从图①中看出△BPQ有哪几种情形？画图试试．(3)由图②可知，这个函数分成几段？第一段是什

么函数？第二段、第三段呢？(4)结合图①②在BE段，BP与BQ总相等吗？持续时间是多少？y是t的什么函数？在图①ED段，图②对应的在点(10，40)至点(14，40)区间，△BPQ的面积是多少？有什么变化没有？图①在DC段，图②对应的函数是什么函数？例题分

层分析741第37课时┃选择填空难题突破解题关键：变动为静，即选取动点运动路径中任意一位置形成静态图形，再由静态图形的性质得出题设变量间的函数关系．解题方法点析742743第38课时创新学习型问题744第38课时┃创新学习型问题创新学习型问题常见有阅读理解题

和开放探究题．解决阅读理解题的关键是把握实质并在其基础上作出回答，首先仔细阅读信息，收集处理信息，以领悟数学知识或感悟数学思想方法；然后运用新知识解决新问题，或运用范例形成科学的思维方式和思维策略，或归纳与类比作出合情判断和推理，进而解决问题．开放探究题

主要有下列两种描述：(1)答案不固定或者条件不完备的习题称为开放题；(2)具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题．解题的策略是将其转化为封闭性问题．745探究一阅读理解题第38课时┃创新学习型问题例1[2013·济宁]阅读材料：

若a，b都是非负实数，则a＋b≥2ab.当且仅当a＝b时，“＝”成立．证明：∵(a—b)2≥0，∴a－2ab＋b≥0.∴a＋b≥2ab.当且仅当a＝b时，“＝”成立．考向互动探究举例应用：已知x>0，求函数y＝2x＋2x的最小值．7

46第38课时┃创新学习型问题解：y＝2x＋2x≥22x·2x＝4.当且仅当2x＝2x，即x＝1时，“＝”成立．∴当x＝1时，函数取得最小值，y最小＝4.问题解决：汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度．某种汽车

在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油118＋450x2升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量(结果保留小数点后一

位)．747第38课时┃创新学习型问题解(1)y＝x118＋450x2＝x18＋450x(70≤x≤110)；(2)y＝x18＋450x≥2x18·450x＝10，当且仅当x18＝450x，即x＝90时，“＝”成立．∴当x＝90时，函数取得最小值，y最小＝10.此时，百公里耗油量为

118＋450902×100≈11.1(升)．∴该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量约为11.1升．748第38课时┃创新学习型问题(1)从阅读材料中你得出了什么公式？这个公式的意义是什么？能用它求两个非负数和的最小值吗？(2)从举例应用的

例子你能体会出如何求一个函数的最小值吗？(3)在问题解决中的函数解析式与举例应用中的函数形式上有什么相同点？能类似求出最小值吗？例题分层分析749第38课时┃创新学习型问题考查掌握新知识应用能力的阅读理解题．(1)命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题

能考查解题者的自学能力和阅读理解能力，能考查解题者接收、加工和利用信息的能力．(2)阅读新知识，应用新知识的阅读理解解题时，首先应做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用；其次，根据介绍的新知识、新方法进行

运用，并与范例的运用进行比较，防止出错．解题方法点析750第38课时┃创新学习型问题探究二开放探究题图38－1例2[2013·烟台]已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过点A，B向直线CP作垂线，

垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．(1)如图38－1①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是__________，QE与QF的数量关系是__________；(2)如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断Q

E与QF的数量关系，并给予证明；(3)如图③，当点P在线段BA(或AB)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．QE＝QFAE∥BF751第38课时┃创新学习型问题解(2)QE＝QF.证明：延长FQ交AE于点D.∵AE∥BF，∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4，AQ＝

BQ，∴△AQD≌△BQF，∴QD＝QF.∵AE⊥CP，∴QE为斜边FD上的中线，∴QE＝QF.(3)(2)中结论仍然成立．理由：延长EQ，FB交于点D.∵AE∥BF，∴∠1＝∠D.∵∠2＝∠3，AQ＝BQ，∴△AQE

≌△BQD.∴QE＝QD.∵BF⊥CP，∴FQ为斜边DE的中线．∴QE＝QF.752第38课时┃创新学习型问题(1)欲证明AE∥BF，QE＝QF，只需证△BFQ≌________．(2)欲证明QE＝QF，需证△FBQ≌________，推出QF＝________；再根据直角三角形斜边上中线性

质求出QE＝QF.(3)欲证明QE＝QF，需证△AEQ≌________，推出DQ＝________；再根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．例题分层分析解题方法点析解结论开放性问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，特别是在一个变

化中保持不变的量，然后经过论证做出取舍，这是一种归纳类比思维．753第38课时┃创新学习型问题例3探究问题：(1)方法感悟：如图38－2①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE＋BF＝EF.感悟解题方法，并完成下列填空：将△A

DE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．754第38课

时┃创新学习型问题∵∠EAF＝45°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°.∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝45°.即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌________．∴________＝EF，故DE＋BF＝EF.图38－2GFEAF

△EAF755第38课时┃创新学习型问题(2)方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB.试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC

上的点，满足∠EAF＝∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE＋BF＝EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由)．解析用旋转的方法构造全等，把分散的条件集中．756第38课时┃创新学习型问题解(2)DE＋BF＝EF，理由如下：假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转m°得到△

ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF＝12m°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝m°－12m°＝12m°.∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3

＝12m°.即∠GAF＝∠EAF.又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌△EAF.∴GF＝EF.又∵GF＝BG＋BF＝DE＋BF，∴DE＋BF＝EF.(3)当∠B与∠D互补时，可使得DE＋BF＝EF.757第38课时┃创新学习型问题(1)利用角之间的等量代换得出∠GAF

＝________，再利用SAS得出△GAF≌________．(2)作出∠GAB＝∠DAE，利用已知得出∠GAF＝________，再证明△AGF≌________．(3)根据角之间关系，只要满足∠B＋∠D＝________时，就可以得出三角

形全等．例题分层分析758第38课时┃创新学习型问题解题方法点析这种策略类型的开放性试题的处理方法一般需要模仿、类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决．策略开放性问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，

优化解题方案和过程．759760第39课时函数实际应用型问题761第39课时┃函数实际应用型问题函数实际应用型问题是把题中数量关系抽象为函数模型，如一次函数、二次函数、反比例函数以及它们的分段函数，进而应用函数进行分析、研

究、解决有关问题．函数问题的实质是研究两变量之间的对应关系，用函数思想构建数学模型解决实际问题．762探究一分段函数实际应用第39课时┃函数实际应用型问题例1[2013·徐州]为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管

道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如下表所示：每月用气量单价(元/m3)不超出75m3的部分2.5超出75m3不超出125m3的部分a超出125m3的部分a＋0.25(1)若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费

_______元；考向互动探究150763第39课时┃函数实际应用型问题(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元)，每月的用气量为x(m3)，y与x之间的关系如图39－1所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，若乙用户2、3月份共用天然气175m3(3

月份用气量低于2月份用气量)，共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？图39－1764第39课时┃函数实际应用型问题解(2)由题意，得a＝(325－75×2.5)÷(125－75)，a＝2.75，∴a＋0.25＝3.设线段O

A的解析式为y1＝k1x，则有2.5×75＝75k1，∴k1＝2.5，∴线段OA的解析式为y1＝2.5x(0≤x≤75)；设线段AB的解析式为y2＝k2x＋b，由图象得187.5＝75k2＋b，325＝125k2＋b，解得

k2＝2.75，b＝－18.75.∴线段AB的解析式为y2＝2.75x－18.75(75＜x≤125)；(385－325)÷3＝20，故C(145，385)，设射线BC的解析式为y3＝k3x＋b1，由

图象得325＝125k3＋b1，385＝145k3＋b1，解得k3＝3，b1＝－50.∴射线BC的解析式为y3＝3x－50(x＞125)．765第39课时┃函数实际应用型问题(3)设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气(175－x)m

3，当x＞125，175－x≤75时，3x－50＋2.5(175－x)＝455，解得x＝135，175－135＝40，符合题意；当75＜x≤125，175－x≤75时，2．75x－18.75＋2.5(175－x)＝455，解得x＝145，不符合题意，舍去；当75＜x≤125，75＜

175－x≤125时，2．75x－18.75＋2.75(175－x)－18.75＝455，此方程无解．∴乙用户2、3月份的用气量分别是135m3，40m3.766第39课时┃函数实际应用型问题(1)观察表格，你能获得哪些信息？3月份的用气量为60m3，该如何缴费？(2)从折线统

计图你能得到什么？折线分为哪几段？表中a对应图中的什么？结合图象与表格能求出a.(3)从0≤x≤75，75＜x≤125和x＞125运用待定系数法分别表示出y与x之间的函数关系式．(4)设乙用户2月份用气xm3，则3月份

用气(175－x)m3，分3种情况：①x＞125，175－x≤75时，②75＜x≤125，175－x≤75时，③75＜x≤125，75＜175－x≤125时，分别建立方程求出其解．例题分层分析767第39课时┃函数实际应用型问题解题方法点析解分

段函数问题的一般策略：(1)分段函数的特征：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线，解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应．(2)分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上，求解析式时要用

好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值．(3)分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题及几何动态问题中都有应用．768第39课时┃函数实际应用型问题探究二图形的最大面积例2[2013·潍坊]为了改善市民

的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图39－2所示的休闲文化广场．在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D、E在斜边AB上，F、G分别在直角边BC、AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月(图中阴影部分)，两弯新月部分

栽植花草；其余空地铺设地砖．其中AB＝243米，∠BAC＝60°.设EF＝x米，DE＝y米．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？769第39课时┃函数实际应用型问题(3)求两弯新月(图

中阴影部分)的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的13？图39－2770第39课时┃函数实际应用型问题解(1)在Rt△ABC中，由题意可得AC＝123米，BC＝36米，∠ABC＝30°，∴AD＝DGtan60°

＝x3＝33x，BE＝EFtan30°＝3x.又AD＋DE＋BE＝AB，∴y＝243－433x(0＜x＜18)．(2)S矩形DEFG＝xy＝x243－433x＝－433(x－9)2＋1083，∴当

x＝9时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是1083平方米．771第39课时┃函数实际应用型问题(3)记AC为直径的半圆、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则S1＝18πAC2，S2＝18πBC2，S3＝18πAB2.由AC2＋BC2＝

AB2，可知S1＋S2＝S3，S1＋S2－S＝S3－S△ABC，∴S＝S△ABC，∴S＝12×123×36＝2163(平方米)．由－433(x－9)2＋1083＝13×2163，解得x＝9±33，符合题意，∴当x＝9±33时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的13.772第39课时┃函数实际应用

型问题(1)Rt△ABC中已知条件是什么？从中你能求出哪些边角？(2)图中还有哪些直角三角形？这些直角三角形边角关系能不能用x，y来表示呢？根据AD＋DE＋BE＝AB，列出y与x之间的关系式．(3)也可以过C点

作AB边上的高，利用相似三角形GCF与三角形ACB相似，且相似三角形对应高的比等于相似比求出y与x之间的关系式．(4)先证明两弯新月的面积＝△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求出两弯新月的面积，然后根据矩形DEFG的面积等于两弯新月面积

的列出关于x的一元二次方程，解方程即可求解．例题分层分析773第39课时┃函数实际应用型问题利用二次函数求几何图形的最大面积的方法是：1．用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形面积相关的量；2．根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示出这个面积；3．根据

函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值．当－不在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值．解题方法点析774775第40课时操作探究型问题776第40课时┃操作探究型问题操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的研究性活动，这类活动

完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合理猜想和验证．常见类型：(1)操作设计问题；(2)图形剪拼；(3)操作探究；(4)数学建模．解题策略：运用观察、操作、联想、推理、概括等多种方法．777探究一折叠剪拼操作探究型问题第40课时┃操作探究型问题考

向互动探究例1[2013·北京]阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图40－1①所示，在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形

MNPQ的面积．图40－1778第40课时┃操作探究型问题小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图40－1②)．请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形

拼成一个新的正方形(无缝隙，不重叠)，则这个新的正方形的边长为________；(2)求正方形MNPQ的面积；(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图40－2，在等边△ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，再分别过点D，E，F作B

C，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若S△RPQ＝33，则AD的长为________．图40－2a779第40课时┃操作探究型问题解(2)四个等腰直角三角形面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，∴S正方形MNPQ＝S△ARE＋S△DWH＋S△GCT＋S△SBF＝4S△

ARE＝4×12×12＝2.(3)23.提示：模仿小明的操作，向正三角形外面补出三个“尖角三角形”，如图．这样，外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积！780第40课时┃操作探究型问题(1)△

RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形，拼成一个新的正方形怎么拼？边长多少？动手试试．(2)要求正方形MNPQ的面积，可以利用转化思想，外面的4个小三角形的面积和恰好等于正方形MNPQ的面积．(3)依图40－1②的作法补全图40－2，外面的三个“尖角三角形”的

面积之和恰为阴影三角形的面积．例题分层分析此类问题按照要求把一个图形先分成若干块，然后拼接成一个符合条件的图形，常常利用平移、旋转、轴对称等变换进行作图．解题方法点析781第40课时┃操作探究型问题探究二中心对称操作探究问题例2[2013·陕西]问题探究(1)请在图①中作出两条直线，使它们

将圆面四等分；(2)如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)，使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．图40－3782第40课时┃操作探究型问题问题解决(3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＋CD＝BC，点P是AD的中点

，如果AB＝a，CD＝b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．解(1)如图所示．783第40课时┃操作探究型问题(2

)如图，连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分．理由如下：∵点O是正方形ABCD的对称中心，∴A

P＝CQ，EB＝DF.在△AOP和△EOB中，∵∠AOP＝90°－∠AOE，∠BOE＝90°－∠AOE，∴∠AOP＝∠BOE.∵OA＝OB，∠OAP＝∠EBO＝45°，∴△AOP≌△BOE.∴AP＝BE＝DF＝CQ，∴AE＝BQ＝CF＝PD.设点O到正方形ABCD一边的距离

为d，则12(AP＋AE)d＝12(BE＋BQ)d＝12(CQ＋CF)d＝12(PD＋DF)d.∴S四边形APOE＝S四边形BEOQ＝S四边形CQOF＝S四边形FOPD.∴直线EF、OM将正方形ABCD的面积四等分．784第40课时┃操作探究型问题(3)存在

．当BQ＝CD＝b时，PQ将四边形ABCD的面积二等分．理由如下：如图，延长BA到点E，使AE＝b，延长CD到点F，使DF＝a，连接EF.∵BE綊CF，BE＝BC＝a＋b，∴四边形EBCF是菱形．连接BF交AD于点M，则△MAB≌

△MDF.∴AM＝DM，∴P、M两点重合．∴P点是菱形EBCF对角线的交点．在BC上截取BQ＝CD＝b，则CQ＝AB＝a.设点P到菱形EBCF一边的距离为d，则12(AB＋BQ)d＝12(CQ＋CD)d＝12(a＋b)d，∴S四边形ABQP＝S四边形CDPQ.∴当BQ＝b时，直

线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．785第40课时┃操作探究型问题(1)如何利用一条直线把一个圆分成两个面积相等的部分？利用两条直线如何把一个圆分成四个相等的部分呢？利用了圆的什么性质？(2

)利用两条直线如何把一个正方形分成四个相等的部分呢？利用了正方形的什么性质？如果正方形内有一点M，要求其中一条直线必须过点M，如何分割呢？(3)把正方形改为菱形呢？例题分层分析平行四边形、矩形、菱形都是

中心对称图形．过对称中心的每一条直线都把这些图形分成两个全等的图形．解题方法点析786第40课时┃操作探究型问题探究三平移旋转操作探究问题例3[2013·山西改编]数学活动——求重叠部分的面积．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图40－4，将两块

全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G.求重叠部分(△DCG)的面积．(1)独立思考：请解答老师提出的问题；图40－4787第40

课时┃操作探究型问题(2)合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图40－5，你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗？请写出解答过程．图4

0－5788第40课时┃操作探究型问题解∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝DB＝DA，∴∠B＝∠DCB.又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE＝∠B.∴∠FDE＝∠DCB，∴DG∥BC.∴∠AGD＝∠ACB＝

90°，∴DG⊥AC.又∵DC＝DA，∴G是AC的中点，∴CG＝12AC＝12×8＝4，DG＝12BC＝12×6＝3.∴S△DCG＝12×CG·DG＝12×4×3＝6.789第40课时┃操作探究型问题(2)∵△ABC≌△FDE，∴∠B＝∠1.∵∠C＝90°，ED⊥AB，

∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠2＝90°，∴∠B＝∠2，∴∠1＝∠2.∴GH＝GD.∵∠A＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，∴∠A＝∠3，∴AG＝GD，∴AG＝GH，∴点G是AH的中点．在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝82＋6

2＝10.∵D是AB的中点，∴AD＝12AB＝5.在△ADH与△ACB中，∵∠A＝∠A，∠ADH＝∠ACB＝90°，∴△ADH∽△ACB，∴ADAC＝DHCB，即58＝DH6，∴DH＝154，∴S△DGH＝12S△ADH＝12×12×DH·AD＝14×154×5＝7516.790第40课时┃操作

探究型问题(1)为求△DCG的面积，需要研究该三角形的边角的特征；(2)当将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，此时G点是AH的中点吗？△DGH的面积与△DAH的面积之间是倍分关系吗？例题分层分析此类问题通过平移、旋转等动态过程创建了一个探究问题的情景和一

个思维空间．解答中常常需要分类讨论、自主探究、叙述推理．关键是掌握好平移前后，旋转前后的图形是全等形．平移前后，每一个点移动的方向相同、距离相等；旋转前后图形上每一点的旋转角度都相同．解题方法点析791792第41课时二次函数与几何综合类存在性

问题793第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题．解决这类问

题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设．794第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题考向互动探究探究一二次函数与三角形的结合例1[2013·重庆]如图41－1

，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为(－3，0)．(1)求点B的坐标；(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D

，求线段QD长度的最大值．图41－1795第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题解(1)由题意知：点A与点B关于直线x＝－1对称，A(－3，0)，∴B(1，0)．(2)①当a＝1时，则b＝2，把A(－3，0)代入y＝x2＋2x＋c中得c＝－3，∴该抛物线解析式为y＝x2＋2x－3.

∵S△BOC＝12·OB·OC＝12×1×3＝32，∴S△POC＝4S△BOC＝4×32＝6.又S△POC＝12·OC·xp＝6，∴xp＝4，∴xp＝±4.当xp＝4时，yp＝42＋2×4－3＝21；当xp＝－4时，yp＝(－4)2＋2×

(－4)－3＝5.∴点P的坐标为(4，21)或(－4，5)．796第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题②∵A(－3，0)，C(0，－3)，则直线AC的解析式为y＝－x－3.设点Q为(a，－a－3)，点D为(a，a2＋2a－3)，∴QD＝yQ－yD＝－a－3－(a2＋2a－3)＝－a2－3

a.当a＝－－32×（－1）＝－32时，QD有最大值，其最大值为－－322－3×－32＝94.797第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(1)抛物线的解析式未知，不能通过解方程的方法确定点B的

坐标，根据二次函数的对称性，能求出B点的坐标吗？(2)要求抛物线解析式应具备哪些条件？由a＝1，A(－3，0)，B(1，0)三个条件试一试；(3)根据S△POC＝4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值；(4)如何用待定

系数法求出直线AC的解析式？(5)D点的坐标怎么用x来表示？(6)QD怎样用含x的代数式来表示？(7)QD与x的函数关系如何？是二次函数吗？如何求出最大值？例题分层分析798第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题以二次函数、三角形为背

景的有关点存在性问题是以二次函数的图象和解析式为背景，判断三角形满足某些关于点的条件时，是否存在的问题，这类问题有关于点的对称点、线段、三角形等类型之分．这类试题集代数、几何知识于一体，数形结合，灵活多变．解题方法点析799探究二二次函数与四边形的结合第

41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题例2[2013·枣庄]如图41－2，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，－3)，点P是直线BC下方抛物

线上的动点．(1)求这个二次函数的解析式．(2)连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大

？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．图41－2800第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题解(1)将B、C两点的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得9＋3b＋c＝0，c＝－3，解得b＝－2，c＝－3.∴这个二次

函数的解析式为y＝x2－2x－3.(2)假设抛物线上存在点P(x，x2－2x－3)，使得四边形POP′C为菱形．连接PP′交CO于点E.∵四边形POP′C为菱形，∴PC＝PO，PE⊥CO，∴OE＝EC＝32

，∴P点的纵坐标为－32，即x2－2x－3＝－32，解得x1＝2＋102，x2＝2－102(不合题意，舍去)．∴存在点P2＋102，－32，使得四边形POP′C为菱形．801第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(3)过点P作y轴的平行线交BC于点Q，交O

B于点F，设P(x，x2－2x－3)．由x2－2x－3＝0得点A的坐标为(－1，0)．∵B点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，－3)，∴直线BC的解析式为：y＝x－3，∴Q点的坐标为(x，x－3)，∴AB＝4，CO＝3

，BO＝3，PQ＝－x2＋3x.∴S四边形ABPC＝S△ABC＋S△BPQ＋S△CPQ＝12AB·CO＋12PQ·BF＋12PQ·FO＝12AB·CO＋12PQ·(BF＋FO)＝12AB·CO＋12PQ·BO＝12×4×3＋12(－x2＋3x)×3＝－32x2＋

92x＋6＝－32x－322＋758.∴当x＝32时，四边形ABPC的面积最大．此时P点的坐标为32，－154，四边形ABPC的最大面积为758.802第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(1)图

中已知抛物线上几个点？将B、C的坐标代入求抛物线的解析式；(2)画出四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，由此能求出P点坐标吗？(3)由于△ABC的面积为定值，求四边形ABPC的最大面积，即

求△BPC的最大面积．例题分层分析解题方法点析求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和或差．803第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题探究三二次函数与相似三角形的结合例3[2013·凉山]如图41－3

，抛物线y＝ax2－2ax＋ca≠0交x轴于A、B两点，A点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，4)，以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对

称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；图41－3804第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题解(

1)∵C(0，4)，A(3，0)在抛物线y＝ax2－2ax＋ca≠0上，∴c＝4，9a－6a＋c＝0，解得a＝－43，c＝4.∴所求抛物线的解析式为y＝－43x2＋83x＋4.(3)在(2)的

条件下，连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．805第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋bk≠0，∵A(3，0

)，C(0，4)在直线AC上，∴3k＋b＝0，b＝4，解得k＝－43，b＝4.∴直线AC的解析式为y＝－43x＋4，∴Mm，－43m＋4，Pm，－43m2＋83m＋4.∵点P在M的上方，∴PM＝－43m2＋83m＋4－

－43m＋4＝－43m2＋83m＋4＋43m－4＝－43m2＋4m.806第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(3)①若△PFC∽△AEM，此时△PCM是直角三角形且∠PCM＝90°.则PFAE＝CF

ME，即PFCF＝AEME.又∵△AEM∽△AOC，∴AEAO＝MECO，即AEME＝AOCO，∴PFCF＝AOCO＝34.∵PF＝PE－EF＝－43m2＋83m＋4－4＝－43m2＋83m，CF＝OE＝m，∴－43m2＋83mm＝3

4.∵m≠0，∴m＝2316.807第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题②若△PFC∽△MEA，此时△PCM是等腰三角形且PC＝CM.则PFME＝FCEA，即PFFC＝MEEA.由①得AOCO＝AEME＝34，∴OCOA＝43，∴PFFC＝OCOA＝43.同理，PF＝－43m2＋83m，

CF＝OE＝m，∴－43m2＋83mm＝43.∵m≠0，∴m＝1.综上可得，存在这样的点P使以P、C、F为顶点的三角形与△AEM相似，此时m的值为2316或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．808第

41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(1)将____________代入y＝ax2－2ax＋c，求出抛物线的解析式；(2)根据________的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式；(3)根据抛物线和直线AC的解析式如何表示出点P、点M的坐标和PM的长？(4)由

于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽________，②△PFC∽________．例题分层分析809第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题解题方法点析此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数

的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．810第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题探究四二次函数与圆的结合图41

－4例4[2013·巴中]如图41－4，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(－1，0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的正半轴交于点C.(1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求

直线MC对应的函数解析式；(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．811第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题解(1)∵A(4，0)，B(－1，0)，∴AB＝5，半径是PC＝PB＝PA＝52，∴OP＝52－1＝32，在△CPO中，由勾股定理得：OC＝CP2－OP2＝

2，∴C(0，2)．设经过A、B、C三点的抛物线的解析式是y＝a(x－4)(x＋1)，把C(0，2)代入得：2＝a(0－4)(0＋1)，∴a＝－12，∴y＝－12(x－4)(x＋1)＝－12x2＋32x＋2，故经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式是y＝－12x2＋32x

＋2.812第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(2)∵y＝－12x2＋32x＋2＝－12x－322＋258，∴M32，258.设直线MC对应的函数解析式是y＝kx＋b，把

C(0，2)，M32，258代入，得258＝32k＋b，b＝2，解得k＝34，b＝2，∴y＝34x＋2.故直线MC对应的函数解析式是y＝34x＋2.813第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(3)MC与⊙P的位置关系是相切．证明：设直线MC交x轴

于D，当y＝0时，0＝34x＋2，∴x＝－83，OD＝83，∴D－83，0.在△COD中，由勾股定理得：CD2＝22＋832＝1009＝40036.又PC2＝522＝254＝22536，PD2＝52＋83－12＝62536，∴CD2＋

PC2＝PD2，∴∠PCD＝90°，∴PC⊥DC.∵PC为半径，∴MC与⊙P的位置关系是相切.814第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(1)已知抛物线上的哪两个点？设经过A、B、C三点的抛物线解析式是y＝a(x

－4)(x＋1)，如何求出C点坐标？(2)怎么求出顶点M的坐标？(3)若直线MC与⊙P相切，如何去求证？例题分层分析解题方法点析用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次

方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．815816第42课时点运动型问题817第42课时┃点运动型问题确定点在运动变化过程中与图形相关的某些量(如角度、线段、周长

、面积及相关的关系)的变化或其中存在的函数关系．解题策略：对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量，不变

的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形(特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等)逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决．当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常建立

函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解．818探究一动点与二次函数综合型问题第42课时┃点运动型问题例1[2013·广安]如图42－1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋

c经过A，B，C三点，已知点A(－3，0)，B(0，3)，C(1，0)．(1)求此抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与A，B重合)，过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB

于点E，作PD⊥AB于点D.①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；考向互动探究819第42课时┃点运动型问题②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小

、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．(结果保留根号)图42－1820第42课时┃点运动型问题解(1)由题意得9a－3b＋c＝0，c＝3，a＋b＋c＝0，解得a＝－1，b＝－2，c＝3，

∴y＝－x2－2x＋3.(2)①∵A(－3，0)，B(0，3)，∴OA＝OB，∴∠BAO＝45°.又∵PF⊥AO，∴∠AEF＝45°，∴∠PED＝45°，∴PD＝DE.设F点的横坐标为x，则PF＝－x2－2x＋3，FE＝AF＝x＋3，∴PE＝PF－FE＝－x2－3x＝－

x＋322＋94，当x＝－1.5时，PE最长为94，此时△PDE的周长最大，为94＋942，而点P的坐标为－32，154.821第42课时┃点运动型问题②ⅰ)当M在对称轴上时，过P作PH⊥对称轴，垂足为H，则△APF≌△MPH，∴P

F＝PH.设F的横坐标为x，则点P的坐标为(x，－x－1)，代入y＝－x2－2x＋3，得－x－1＝－x2－2x＋3，解得x1＝－1－172，x2＝－1＋172(舍去)，∴P－1－172，17－12.ⅱ)当点N在对称轴上时，如图，设对

称轴与x轴的交点为K，则△APF≌△NAK，∴PF＝AK＝2，∴－x2－2x＋3＝2，解得x1＝－1－2，x2＝－1＋2(舍去)，∴P(－1－2，2)．综上可知P点坐标为－1－172，17－12，(－1－2，2)．822第42课时┃点运动型问题(

1)已知三点，如何求二次函数的解析式？(2)P点的位置在哪儿，你能完成第(2)问中的作图吗？(3)观察图中△AOB，△PED，它们是等腰直角三角形吗？说明理由；(4)△PDE的周长最大时PE最大吗？(5)如何得出PE关于x的函数关系？讨论函数的最值；(6)关注正方形AP

MN，顶点M或N如何作出；(7)为求P点坐标，如何做？作x轴或y轴的垂线试试．例题分层分析823第42课时┃点运动型问题解题方法点析二次函数动点问题解题技巧：(1)以静化动，把问的某某秒后的那个时间想想成一个点，然后再去解；(2)对称性，如果是二

次函数的题，一定要注意对称性；(3)关系法：通过画图，把该要的条件列成一些关系，列出一些代数式、方程等．824探究二点运动型问题例2[2013·黄冈]如图42－2，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A(6，0)，B(3，3)，C(1，3

)，动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间为t(秒)．(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)当点Q

在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；(3)以O、P、Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值，若不能，请说明理由；第42课时┃点运动型问题825第42课时┃点运动型问题(4)经过A

、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值(或范围)，若不能，请说明理由．图42－2826第42课时┃点运动型问题解(1)设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，把A(6，0)，B(3，3)，C(1，3)三点坐标代入

得36a＋6b＋c＝0，9a＋3b＋c＝3，a＋b＋c＝3，解得a＝－315，b＝4315，c＝435.即所求抛物线的解析式为y＝－315x2＋4315x＋435.(2)依题意，可知OC＝CB＝2，∠COA＝60°，∴当动点Q运动到OC边时，OQ＝4

－t，∴△OPQ的高为：OQ·sin60°＝(4－t)×32.又OP＝2t，∴S＝12×2t×(4－t)×32＝－32(t2－4t)(2≤t≤3)．827第42课时┃点运动型问题(3)依题意，可知：0≤t≤

3.当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，此时OP＝2t，OQ＝3＋（3－t）2，PQ＝3＋[2t－（3－t）]2＝3＋（3t－3）2.∵∠POQ＜∠POC＝60°，∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ＝90°或∠OQP＝90°.若∠OPQ＝90°，则OP2＋P

Q2＝OQ2，即4t2＋3＋(3t－3)2＝3＋(3－t)2，解得：t＝1或t＝0(舍)；若∠OQP＝90°，则OQ2＋PQ2＝OP2，即6＋(3－t)2＋(3t－3)2＝4t2，解得t＝2；当2＜t≤3时，Q在

OC边上运动，此时OP＝2t＞4，∠POQ＝∠COP＝60°，OQ＜OC＝2，∴△OPQ不可能为直角三角形．综上所述，当t＝1或t＝2时，△OPQ为直角三角形．828第42课时┃点运动型问题(4)由(1)可知：抛物线y

＝－315x2＋4315x＋435＝－315(x－2)2＋16153，其对称轴为x＝2.又OB的解析式为y＝33x，∴抛物线对称轴与OB的交点为M2，233.又P(2t，0)，设过P、M的直线解析式为y＝kx＋b，∴233＝2k＋b，k2t＋b＝0，解得

k＝33（1－t），b＝－23t3（1－t），829第42课时┃点运动型问题即直线PM：y＝33（1－t）x－23t3（1－t），即3(1－t)y＝x－2t.又0≤t≤2时，Q(3－t，3)，代入上式，得：3(1－t)×3＝

3－t－2t，恒成立，即0≤t≤2时，P、M、Q总在一条直线上，即M在直线PQ上；2＜t≤3时，OQ＝4－t，∠QOP＝60°，∴Q4－t2，3（4－t）2，代入上式，得：3（4－t）2×3(1－t)＝4－t2－2t，解得：t＝2或t＝43，均不合题意，应舍

去．∴综合所述，可知：过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点，此时0≤t≤2.830第42课时┃点运动型问题(1)已知三点如何求二次函数的解析式？(2)可知OC＝CB＝2，∠COA＝60°，当点Q运动到OC

边时，OQ＝______，画图Q在CO边上时，得出△OPQ的高是多少？如何求出面积？(3)根据题意得出：0≤t≤3，当0≤t≤____时，Q在BC边上运动，得出若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ＝______或∠OQP＝

______，当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，得出△OPQ不可能为__________；(4)能求出抛物线对称轴以及直线OB和PM的解析式吗？观察解析式的特征和自变量的取值范围是什么．例题分层分析831第42课时┃点运动型问题解题方法点析探索几何图形上

一个或几个动点在运动变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等题目．以点的运动带动图形的变化，常与方程、函数知识联系在一起．832