【文档说明】一轮复习-任意角和弧度制及任意角的三角函数课件.ppt，共(47)页，4.848 MB，由小橙橙上传

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任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲要求1.了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．热点提示1.任意角、弧度制的概念，三角函数的定义是三角函数部分的基

础知识．2．在高考中会结合三角函数的其他知识进行考查，一般不会单独命题.(1)任意角的概念第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合(2)象限角（3）任意角的三角函数（4）三角函数线考点自测1.设集合A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B等于()A．{小于9

0°的角}B．{0°～90°的角}C．{第一象限的角}D．以上都不对解析：小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限角包含锐角及其他终边在第一象限的角，所以A∩B是由锐角和终边在第一象限的负角组成，又0°～90°的角为θ|0°≤θ＜

90°，故上述A、B、C项都不对．答案：D2．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是()A.π3B.π6C．－π3D．－π6解析：将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转，∴C、D不正确．又∵拨慢10分，

∴转过的角度应为圆周的212＝16，即为16×2π＝π3.答案：A3．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1B．4C．1或4D．2或4解析：设此扇形的半径为r，弧长是l，则2r＋l＝6，12rl＝2，解得r＝1，l

＝4，或r＝2，l＝2.从而α＝lr＝41＝4或α＝lr＝22＝1.答案：C4．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sinα等于()A．sin2B．－sin2C．cos

2D．－cos2解析：∵角α终边上一点P(2sin2，－2cos2)，∴x＝2sin2，y＝－2cos2，r＝x2＋y2＝4sin22＋4cos22＝2，∴sinα＝yr＝－2cos22＝－cos2.答案：D5．已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－45，则m等于()A．－114B.1

14C．－4D．4答案：C疑点清源1.对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°

＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数．也可以看成是

以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．如tanα＝yx有意义的条件是角α终边上任一点P(x，y)的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域为{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}．3．三角函数线是

三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负．(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．(3)当角α的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y

轴上时，点T不存在，即正切线不存在．(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.题型探究题型

一角的集合表示例1(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角．点评：①利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍

，然后判断角α所在的象限．②利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．变式探究1(1)若角α的终边和函数y＝－|x|的图象重合，试写出

角的集合；(2)若θ角的终边与168°角的终边相同，求在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角．解析：(1)由于y＝－|x|的图象是三、四象限的角平分线，故在0°～360°间所对应的两个角分别为225°及315°，从而角α的集合为S＝{α|α＝k·360°＋2

25°或α＝k·360°＋315°，k∈Z}．(2)θ＝k·360°＋168°，k∈Z，θ3＝k·120°＋56°，k∈Z.依题意得0≤k·120°＋56°＜360°，当k＝0,1,2时，k·120°＋56°在[0°，360°)内，所以θ3＝56°，176°，296°.解

析：(1)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．(2)∵θ＝6π7＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝2π7＋2kπ3(k∈Z)．依题意0≤2π7＋2kπ3＜2π(k∈Z)⇒－37≤k＜187(k∈Z)．∴k＝0

,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为2π7，20π21，34π21.题型二弧长与扇形面积例2(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20c

m，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解析：(1)设扇形的圆心角是θrad，因为扇形的弧长是rθ，所以扇形的周长是2r＋rθ.依题意，得2r＋rθ＝πr，∴θ＝π－2＝(π－2)×180π°≈1.

142×57.30°≈65.44°≈65°26′，∴扇形的面积为S＝12r2θ＝12(π－2)r2.(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，即l＝20－2r(0＜r＜10)①扇形的面积S＝12lr，将①代入，得S＝12(20－2r)r＝－r2＋10

r＝－(r－5)2＋25，所以当且仅当r＝5时，S有最大值25.此时l＝20－2×5＝10，α＝lr＝2.所以当α＝2rad时，扇形的面积取最大值．变式探究2已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心

角所对弧长是()A．2B．sin2C.2sin1D．2sin1解析：如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交AB于D.∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝12AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝ACsin∠AOC＝1sin1，从而弧AB的长为l

＝|α|·R＝2sin1.故选C.答案：C题型三已知角α所在象限，判断n所在象限的问题例3若α是第二象限的角，试分别确定α2，α3的终边所在位置．解析：(1)∵k·180°＋45°＜α2＜k·180°

＋90°(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋45°＜α2＜n·360°＋90°；当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋225°＜α2＜n·360°＋270°.∴α2是第一或第三象限的角．(2)∵k·120°＋30°＜α3＜k·120°＋60°(k∈Z)，当k＝3n

(n∈Z)时，n·360°＋30°＜α3＜n·360°＋60°；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋150°＜α3＜n·360°＋180°；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋270°＜α3＜n·360°＋300°.∴α3是第一或

第二或第四象限的角．点评：(1)若由90°＜α＜180°，得45°＜α2＜90°，得α2是第一象限角，则混淆了象限角与区间角的概念，犯了以偏概全的错误．(2)已知角α所在象限，应熟练地确定α2所在象限：α第一象限第二象限第三象限第四象限α2第一或第三

象限第二或第四象限区域变式探究3已知α是第三象限角，问α3是哪个象限的角？解析：方法一：∵α是第三象限角，∴180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°，k∈Z，60°＋k·120°＜α3＜90°＋k·120°.①

当k＝3m(m∈Z)时，可得60°＋m·360°＜α3＜90°＋m·360°(m∈Z)．故α3的终边在第一象限；方法二：将坐标系每象限三等分，再自x轴正向逆时针依次标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(如图所示).α3所在区域如图中阴影部分(

标有Ⅲ的部分)．故α3在第一或第三或第四象限.题型四三角函数的定义例4已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解析：∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点

P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝(4t)2＋(－3t)2＝5|t|，当t＞0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－3

4；当t＜0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，t＞0时，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34；t＜0时，sinα＝35，cosα＝－45，tan

α＝－34.②当k＝3m＋1(m∈Z)时，可得180°＋m·360°＜α3＜210°＋m·360°(m∈Z)．故α3的终边在第三象限．③当k＝3m＋2(m∈Z)时，可得300°＋m·360°＜α3＜330°＋m·360°(m∈Z)．故α3的终边在第四象限．综上可知，α3

是第一或第三或第四象限的角．变式探究4(1)设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，5)，且cosα＝24x，求sinα与tanα的值；(2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.解析：(1)∵r＝x2＋5，∴cosα＝xx2＋

5，从而24x＝xx2＋5，解得x＝0或x＝±3.∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－3.故r＝22，sinα＝522＝104，tanα＝5－3＝－153.题型五三角函数值符号的判定例5(1)如果点P(sinθcosθ，2cosθ

)位于第三象限，那么角θ所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)若θ是第二象限的角，则sin(cosθ)cos(sin2θ)__________0(填“＞”“＜”或“＝”)解析：(1)因为点P(sinθcosθ，2cosθ

)位于第三象限，所以sinθcosθ＜0,2cosθ＜0，即sinθ＞0，cosθ＜0，所以θ为第二象限角，选B.(2)∵2kπ＋π2＜θ＜2kπ＋π(k∈Z)，∴－1＜cosθ＜0,4kπ＋π＜2θ＜4kπ＋2π，－1＜sin2θ＜0.∴sin(cosθ)＜0，

cos(sin2θ)＞0，∴sin(cosθ)cos(sin2θ)＜0.答案：(1)B(2)＜点评：本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，第(1)小题是给出sinθ＞0，cosθ＜0判断角θ所在的象限，解决该类问题时，常用的方法是求这个角θ的两个三角函数值，只要其中的两个三角函数值

的符号确定了，这个角的范围就确定了．对于第(2)小题，在判断形如“sin(cosθ)”等的三角函数问题时，首先应将函数值sin2θ，cosθ看成一个整体，即一个用弧度制的形式表示的角，再设法弄清表示角的函数值s

in2θ，cosθ的取值范围，从而进行相关的判断．(2)∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，∴tanθ＝－1x，又tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－22，cosθ＝22.当x＝－1时，sinθ＝－22

，cosθ＝－22.题型六三角函数线的应用例6在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.解析：(1)作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α

的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z}．(2)作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角

α的集合为{α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z}．新题速递1.(2013·树人模拟)已知角α的终边上一点的坐标为32，－12，则角α的最小正值为()A.5π6B.2π3C.5π3D.

11π6解析：由三角函数的定义可知tanα＝－33，故α是第四象限角，最小正值是11π6.答案：D2．(2013·济南模拟)已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．

第三象限D．第四象限解析：由题意知tanα＜0，cosα＜0，故sinα＞0，cosα＜0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．答案：B3．(2013·东北模拟)若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则sin2α＋2cos2α等于()A．

－145B．－75C．－2D.45解析：∵点P(cosα，sinα)在y＝－2x上，∴sinα＝－2cosα，∴sin2α＋2cos2α＝2sinαcosα＋2(2cos2α－1)＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2.答案：C4．(2013·丰台模拟)

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为45，则cosα＝__________.解析：由题意可得，点A的横坐标为－35，由三角函数的定义得cosα＝－35.答案：－355．(2013·福

建调研)已知角α的终边在直线y＝－34x上，则2sinα＋cosα＝__________.解析：由题意知tanα＝－34，∴α在第二象限或第四象限，故sinα＝35，cosα＝－45或sinα＝－35，cosα＝45，∴2sinα＋cosα＝25

或－25.答案：25或－256.求下列各式的值:,11tantan−=−已知.2cossinsin)2(;cossincos3sin)1(2+++−a