【文档说明】优化探究高考数学人教A版文科总复习配套课件8-5-椭圆.ppt，共(41)页，2.021 MB，由小橙橙上传

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以下为本文档部分文字说明：

[最新考纲展示]1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2.了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用．3.理解数形结合的思想．第五节椭圆椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之等于常数(|F1F2|)的点的集合叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的

．和大于焦点焦距____________________[通关方略]____________________1．当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；2．当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在．解析：∵a2＝25，∴2a＝10，∴由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF2|＝10－

|PF1|＝7.答案：D1．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为()A．2B．3C．5D．7答案：B2．“－3<m<5”是“方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆”的()A

．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：要使方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，应满足5－m>0，m＋3>0且5－m≠m＋3，解之得－3<m<5且m≠1，∴“－3<m<5”是“方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆”的必要不充

分条件．椭圆的标准方程和几何性质____________________[通关方略]____________________1．椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a2＝b2＋c2，所以ba＝1－e2，因此，当e

越趋近于1时，ba越接近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，ba越接近于1，椭圆越接近于圆．当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2＋y2＝a2.所以e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆．2．与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a

>b>0)共焦点的椭圆方程：x2a2＋m＋y2b2＋m＝1(b2＋m>0)；与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)共离心率e的椭圆方程：x2a2＋y2b2＝m或y2a2＋x2b2＝m(m>0)；椭圆标准方程统一形式：m

x2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．解析：由题意知a－c＝3，ca＝12，解得a＝23，c＝3.∴b2＝a2－c2＝9.∴椭圆方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.答案：x212＋y29＝1或x29＋y21

2＝13．(2014年南宁模拟)椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．4．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别

为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.36B.13C.12D.33解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝3.所以e＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|P

F2|＝33.故选D.答案：D5．已知椭圆：x24＋y2b2＝1(0<b<2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是()A．1B.2C.3

2D.3解析：由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A－c，32，B－c，－

32，代入椭圆方程得c24＋94b2＝1，又c2＝a2－b2＝4－b2，所以4－b24＋94b2＝1，即1－b24＋94b2＝1，所以b24＝94b2，解得b2＝3，所以b＝3，选D.答案：D椭圆的定义及标准方程【例1】(1)(2013

年高考广东卷)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()A.x23＋y24＝1B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1D.x24＋y23＝1(2)椭圆x29＋y22＝1的焦点

为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2的大小为________．[答案](1)D(2)120°[解析](1)由右焦点为F(1,0)可知c＝1，因为离心率等于12，即ca＝12，故a＝2，由a2＝b2＋c2知b2＝3，故椭

圆C的方程为x24＋y23＝1.故选D.(2)椭圆x29＋y22＝1的a2＝9，a＝3，b2＝2，c2＝a2－b2＝7，所以c＝7.因为|PF1|＝4，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所以|PF2|＝6－

4＝2.所以cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F1PF2＝120°.解析：由例中(2)知c＝7，a＝3.∴|PF1|＋|PF2|＝6.①在△PF1

F2中由余弦定理得：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2＝4c2＝28②∴①2－②得，2|PF1||PF2|(1＋cos∠F1PF2)＝8，∴|PF1||PF2|＝41＋cos∠F1PF2，∴S△PF1F2＝12|PF1|·

|PF2|sin∠F1PF2＝12×41＋cos∠F1PF2×sin∠F1PF2＝2×sin∠F1PF21＋cosF1PF2＝2×2sin∠F1PF22cos∠F1PF222cos2∠F1PF22＝2×tan∠F1PF22＝23

，∴tan∠F1PF22＝3，∴12∠F1PF2＝60°，∴∠F1PF2＝120°.反思总结1．一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题．2．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)

作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或x2b2＋y2a2＝1(a>b>0)；(3)找关系：根据已知条件

，建立关于a、b、c的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．椭圆的几何性质【例2】(1)椭圆x216＋y29＝1的焦距为()A．10B．5C.7D．27(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，

左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．[解析](1)由题意知a2＝16，b2＝9，所以c2＝a2－b2＝7，所以c＝7，即焦距为2c＝27，选D

.(2)利用等比中项性质确定a，c的关系．由题意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，且三者成等比数列，则|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝a2－c2，a2＝5c2，所以e2＝15，

所以e＝55.[答案](1)D(2)55反思总结1．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，既不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2．求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用

其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围．离心率e与a、b的关系；e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2⇒ba＝1－e2.变式训练1．(1)设F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°

的等腰三角形，则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45(2)(2013年高考福建卷)椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别在F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠M

F1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析：(1)根据题意直线PF2的倾斜角是π3，所以32a－c＝12|PF2|＝12|F1F2|＝12×2c，解得e＝34.(2)因为直线y＝3(x＋c)过椭圆左焦点，且斜率为3，所以∠MF

1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，故|MF1|＝c，|MF2|＝3c，由点M在椭圆上知，c＋3c＝2a.故离心率e＝ca＝23＋1＝3－1.答案：(1)C(2)3－1椭圆中的最值问题【例3

】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为63，短轴一端到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．[解析](1)设椭圆的半焦距为c，依题意ca＝63，a＝

3.∴b＝1，∴所求椭圆方程为x23＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，①当AB⊥x轴时，|AB|＝3.②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知|m|1＋k2＝32，得m2＝34(k2＋1)．把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3

k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，∴x1＋x2＝－6km3k2＋1，x1x2＝3(m2－1)3k2＋1∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)36k2m2(3k2＋1)2－12(m2－1)3k2＋1＝1

2(k2＋1)(3k2＋1－m2)(3k2＋1)2＝3(k2＋1)(9k2＋1)(3k2＋1)2＝3＋12k29k4＋6k2＋1＝3＋129k2＋1k2＋6(k≠0)≤3＋122×3＋6＝4.当且仅当9k2＝1k2，即k＝±33时等

号成立．当k＝0时，|AB|＝3，综上所述|AB|max＝2.又点O到直线l的距离d＝32.所以△AOB面积的最大值为S＝12×|AB|max×d＝32.反思总结解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几

何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解，非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界性法、函数单调法及均值不等式法等．变式训练2．

(1)x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率是2，则b2＋13a的最小值为()A.33B．1C.233D．2(2)F1，F2是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1→·PF2→的最大值是()A．－2B．1C．2D．4答案：

(1)C(2)B解析：(1)因为e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝4，则b2＝3a2，所以b2＋13a＝3a2＋13a＝a＋13a≥213＝233，当且仅当a＝13a，即a＝33时等号成立．(2)设P(x，y)，依题意得点F1(

－3，0)，F2(3，0)，PF1→·PF2→＝(－3－x)(3－x)＋y2＝x2＋y2－3＝34x2－2，注意到－2≤34x2－2≤1，因为PF1→·PF2→的最大值是1.——直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的位置关系，一直是高考考查的热点，三种题型

均有可能呈现，其中，解答题以中高档题目为主，常与向量、不等式、最值等知识相结合命题，并注重通性通法的求解．注意方程思想，韦达定理的应用．【典例】(2013年高考天津卷)(本题满分13分)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x

轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若AC→·DB→＋AD→·CB→＝8，求k的值．[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息2．审

结论，明解题方向3．建联系，找解题突破口1．审条件，挖解题信息2．审结论，明解题方向3．建联系，找解题突破口[教你准确规范解答](1)设F(－c,0)，由ca＝33，知a＝3c分过点F且与x轴垂直的直线

为x＝－c，代入椭圆方程有(－c)2a2＋y2b2＝1，解得y＝±6b3，于是26b3＝433，解得b＝2，分又a2－c2＝b2，从而a＝3，c＝1，所以椭圆的方程为x23＋y22＝分(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y

＝k(x＋1)，分由方程组y＝k(x＋1)x23＋y22＝1消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝分根据根与系数的关系知x1＋x2＝－6k22＋3k2，x1x2＝3k2－62＋3k2分因为A(－3，0)，B

(3，0)，所以AC→·DB→＋AD→·CB→＝(x1＋3，y1)·(3－x2，－y2)＋(x2＋3，y2)·(3－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)·(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋2k2＋12

2＋3k2分由已知得6＋2k2＋122＋3k2＝8，解得k＝±2分[常见失分探因]易混淆a2，b2，c2的关系导致a、b值求错注意数量积的坐标运算_______________[教你一个万能模板]_________

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