【文档说明】优化方案高考数学总复习-第10章10课件.ppt，共(53)页，770.039 KB，由小橙橙上传

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§10.2排列、组合考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§10.2排列、组合双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理思考感悟如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？【思考·提示】区分某一问题是排列还是组合问题，关键是看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结

果产生影响，则是排列问题；而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．课前热身1．A、B、C、D、E五人站成一排，如果A、B不相邻且A在B的左边，那么不同的排法有()种．A．24B．36C．60D．48答案：B2．(2009年高考陕西卷)从0,1,2,3,

4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A．300B．216C．180D．162答案：C3．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是()A．8B．12C．16D．24解析：选B.设车站数

为n，则A2n＝132.即n(n－1)＝132.∴n＝12.4．若C2n－511＝Cn＋111，则n＝________.答案：5或65．(2011年宿州调研)若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现

的错误共有________种．答案：11考点探究•挑战高考考点突破考点一排列数、组合数公式的应用凡遇到解排列组合的方程式、不等式问题时，应首先应用性质和排列组合的意义化简，然后再根据公式进行计算，注意最后结果都需要检验．解下列方程或不

等式：(1)Ax9＞6Ax－26；(2)1Cx5－1Cx6＝710Cx7.例1【思路点拨】根据排列数、组合数公式及限制条件求解．【解】(1)原不等式化为9！(9－x)！>6×6！(6－x＋2)！⇒9！(9－x

)(8－x)！>6×6！(8－x)！⇒x>－75.山东水浒书业有限公司·优化方案系列丛书第10章计数原理、概率双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。•2、知之者不如好之者，好

之者不如乐之者。•3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。•4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。•5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。•6、做老师

的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2023年5月2023/5/312023/5/312023/5/315/31/2023•7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2023/5/312023/5/31May3

1,2023•8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2023/5/312023/5/312023/5/312023/5/31由0≤x≤90≤x－2≤6，得2≤x≤8，又∵x为整数，∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7,8}．(2)原式可化为

x！(5－x)！5！－x！(6－x)！6！＝7·x！(7－x)！10·7！，即x2－23x＋42＝0，解得x＝21或x＝2，∵0≤x≤5，∴x＝2.即x＝2为原方程的解．【名师点评】(1)在解含有组合

数公式、排列数公式的方程、不等式及有关问题时，应根据公式中各字母中的限制条件，进行分析，然后在此基础上进行化简求解．(2)对含有排列数、组合数公式的题目化简时，要从整体到局部，有时不需要全部展开，注意其中的公因式的提取．考点二

排列应用题排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上，或某个位置不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置．当正面情况较复杂时，也可采用间接法．当有

两个特殊位置时，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类讨论．有3名男生，4名女生在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)全体排成一排，其中甲只能在中间或在两端位置；(2)全体排成一排，甲、乙必须在两端位置；(3)全体排成一排

，甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体排成一排，男、女生各站在一起；(5)全体排成一排，其中男生必须排在一起；(6)全体排成一排，男、女生各不相邻；(7)全体排成一排，男生不能排在一起；例2(8)全体排成一排，甲、乙、丙三人

自左至右顺序不变；(9)排成两排，前排3人，后排4人；(10)全体排成一排，甲、乙两人中间必须有3人；(11)甲、乙要相邻，但甲、乙都不与丙相邻．【思路点拨】无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可．但要看清是全排列还是选排列；有限制条件

的排列问题，一般常见类型是“在与不在”、“邻与不邻”问题，可分别用相应方法．【解】(1)甲为特殊元素，优先排列，有A13·A66＝2160(种)．(2)甲、乙为特殊元素，先排甲、乙再排另5人，有A12·A55＝240(种)．(3

)甲、乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置．法一：特殊元素法甲在最右端有A66种；甲不在最右端，也不在最左端，乙不在最右端，有A15·A15·A55种．共有A66＋A15·A15·A55＝3720(种)．法二：间接法7人全排列有A77种，甲在最左端，

有A66种，乙在最右端，有A66种，甲在最左端，乙在最右端，有A55种．共有A77－2·A66＋A55＝3720(种)．(4)男、女各站在一起，先将男、女“捆绑”再排，共有：A44·A33·A22＝288(种)

．(5)将男生看成一个整体，再与女生一起排，共有A33·A55＝720(种)．(6)男、女生相间排列，先排列男生，然后将4名女生插入空位置中，共有A33·A44＝144(种)．(7)男生不相邻，女生无条件．应先

排女生，再将男生插入空出的五个空位置中，有A44·A35＝1440(种)．(8)所有排法有A77种，又甲、乙、丙三人顺序一定，故A77÷A33＝A47＝840(种)．(9)分步完成，先排前排有A37种

，后排有A44种，所以共有A37·A44＝5040(种)．(10)将甲、乙及中间3人看成一个整体，再参与排列，这个整体的排法有A22·A35种，再将另2人与该“整体”全排有A33种，共有A22·A35·A33＝720(种)．(11)间接法甲、乙相邻，有A22A66种，甲、乙相邻且与丙相邻，有

A22·A22·A55种．∴共有排法A22A66－A22·A22·A55＝960(种)．【名师点评】排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问题，绝大多数排列问题都可转化为这两种形式．(1)无限制条件的排列应用题，直接利用排列数公式计算；(2)有限制条件的排列应用题，采用直接法或间接

法计算．应注意以下几种常见类型：①含有特殊元素或特殊位置，通常优先安排特殊元素或特殊位置，称为“特殊元素(或位置)优先考虑法”．②某些元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序

，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”．③某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．变式训练1用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少

个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A14种，

十位和百位从余下的数字中选，有A24种，于是有A14·A24个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A14·A24个．由分类加法计数原理得：共有A35＋2A14·A24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A45个；第二类：个位上为5的五位数有

A14·A34个，故满足条件的五位数共有A45＋A14·A34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3，4，5，共有A14·A35个；第二类：形如14，15，共有A12·A24个；第三类：形如134，135，共有A12·A13个．由分类加法计

数原理可得，比1325大的四位数共有：A14·A35＋A12·A24＋A12·A13＝270(个)．考点三组合应用题1．解答组合应用问题的基本思路：(1)整体分类，从集合的角度来讲，分类要做到各类的并集等于全集，即“不漏”，任意两类的交集为空集，即“不重”；(2)局部分步，整体分类后，对每

类进行局部分步，分步要做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立．2．在解组合问题时，常遇到至多、至少等问题，可以考虑采用间接法，以减少运算量．(2011年亳州模拟)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．例

3【思路点拨】这是一个分配问题，解题关键是搞清事件是否与顺序有关，平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．【解】(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25

种选法；最后余下3本全选有C33种选法，故共有C16C25C33＝60(种)．(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C33A33＝360(种)．(3

)无序均匀分组问题．先分三步，则应是C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26

C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD，AB，EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共A33种情况，而这A33种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22A3

3＝15(种)．(4)有序均匀分组问题．在第(3)题基础上再分配给3个人，共有分配方式C26C24C22A33·A33＝C26C24C22＝90(种)．(5)无序部分均匀分组问题，共有C46C12C11A22＝

15(种)．(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题基础上再分配给3个人，共有分配方式C46C12C11A22·A33＝90(种)．(7)直接分配问题．甲选1本有C16种方法，乙从余下5本中选1本有C15种方法，余下4本留给丙有C44种方法，共有C

16C15C44＝30(种)．【名师点评】组合问题常有以下三类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中

去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．(3)均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确

判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数；还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数．考点四排列组合的综合应用解排列组合的应用题要注意以下几

点：(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步．(2)深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑．(3)对限制性条件较复杂的排列

组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决．(2010年高考湖北卷)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司

机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A．152B．126C．90D．54【思路点拨】恰当地分类或分步，综合利用解决排列组合问题的各种方法．例4【解析】依题意得，这四项工作中必有一项工作有2人参与，就司

机这项工作的实际参与人数进行分类：第一类，司机这项工作的实际参与人数恰有1人，满足题意的方法有C13·C13·C24·C12＝108(种)(注：C13表示从除甲、乙外的3人中任选1人从事司机工作的方法数

；C13·C24表示从除司机工作外的其余3项工作中任选定1项，让该项工作有2人从事的方法数；C12表示从余下的2人中选1人从事余下的两项工作之一的方法数)；第二类，司机这项工作的实际参与人数恰有2人，满足题意的方法有C23·A33＝18(种)(注：C2

3表示从除甲、乙外的3人中任选2人从事司机工作的方法数；A33表示余下的3人分别从事另外3项不同工作的方法数)．因此，满足题意的方法有108＋18＝126(种)．【答案】B【易错警示】由于排列、组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方法是

否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同．在对排列、组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复．变式训练2有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行

的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有()A．1344种B．1248种C．1056种D．960种解析：选B.依题意，由于要求中间行的2张卡片上的数字之和为5，结合题意知，中间行的2张卡片上的数字

只能是1、4或2、3中的某一组，因此满足中间行的2张卡片上的数字之和为5的不同排法有C12·A22·A46＝1440(种)(注：C12表示1、4或2、3中任选一组；A22表示把所选的一组数在中间行进行

排列；A46表示再从其余6张卡片中任选四张在其余两行排列)，再从这些排法中除去中间行的2张卡片上的数字之和为5，同时另外两行中的某一行的2张卡片上的数字之和也为5的排法，这类排法有C12A22C12A22A24＝192(种)(注：C12表示从1、4或2、3中任选一组；A22表示把所选的一组

数在中间行进行排列；C12表示再从另外两行中任选定一行；A22表示把从1、4或2、3中剩余的一组数排列在所选定的这行；A24表示从余下的4张卡片中任选2张在剩余一行进行排列)．因此，要求3行中仅有中间行的2张卡片上的数字之和为5的不

同排法有1440－192＝1248(种)，选B.1．解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素、或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理．(如例4)2．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．(如例2)方法感悟方法技巧3．对于选择题要谨慎处理，注

意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析答案的形式，错误的答案都是犯有重复或遗漏的错误．(如例4)4．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．(如例3)1．排列与组合的根本区别在于是“有序”

还是“无序”．2．排列“相邻”问题一般采用捆绑法，而“不相邻”问题一般采用插空法．3．要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数．失误防范考向瞭望•把脉高考考情分析排列与组合是每年高考必考的知识点之一，考查重点是排列、组合

及排列与组合的综合应用．题型以选择、填空题为主，难度中档，在解答题中，排列、组合常与概率、分布列的有关知识结合在一起考查．预测2012年高考中，排列、组合及排列与组合的综合应用仍是高考的重点，同时应注意排列、组

合与概率、分布列的结合，重点考查运算能力与逻辑推理能力．(2009年高考天津卷)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)．【思路点拨】3个数字之和为偶

数，这3个数字只能都是偶数或2个奇数1个偶数，按照这个规律进行分类解决．真题透析例【解析】当个位、十位和百位上的数字为3个偶数时：若选出的3个偶数含有0，则千位上把剩余数字中任意一个放上即可，方法种数是C23A33C14＝72；若选出的3个偶数不含0，此时千位

只能从剩余的非0数字中选1个放上，方法种数是A33C13＝18.故这种情况共有符合要求的四位数72＋18＝90(个)；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数时：若选出的偶数是0，则再选出两个奇数，千位上只要在剩余数字中选一个

放上即可，方法种数为C23A33C14＝72；若选出的偶数不是0，则再选出两个奇数后，千位上在剩余的非0数字中选一个放上即可，有方法种数C13C23A33C13＝162.故这种情况共有符合要求的四位数72＋162＝234(个)．根据加法原理，共有符合要求的四位数90＋234＝324(个)．故填32

4.【答案】324【名师点评】(1)本题易失误的是：①对3个数字之和是偶数分类时遗漏了2个奇数1个偶数的情况，得到答案90；②在分类解决的每一类中忽视了对数字0的特殊性的考虑，多算了或是少算了，都会导致结果错误．(2)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以我

们在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题．1．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队

依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为()A．12B．24C．36D．48名师预测解析：选B.第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈

任意排在中间的三个位置上有2A33种排法，故排法有2×2×A33＝24(种)．2.用三种不同的颜色填涂如图3×3方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则不同的填涂方法种数为()A．48B．24C．12D

．6解析：选C.可将9个区域标号如图：123456789用不同颜色为9个区域涂色，可分步解决：第一步，为第一行涂色，有A33＝6(种)方法；第二步，用与1号区域不同色的两种颜色为4,7两个区域涂色，有A22＝2(种)方法；剩余区域只有一种涂法．所以共有6×2

＝12(种)涂法．故选C.3．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．解析：当每个台阶上各站1人时有A33C37种

站法，当两个人站在同一个台阶上时有C23C17C16种站法，因此不同的站法有A33C37＋C23C17C16＝210＋126＝336(种)．答案：3364．(2011年蚌埠模拟)安排7名志愿者中的6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排

方案共有________种．(用数字作答)解析：先选人，再分组，然后分天，共有C67C36C22＝140(种)．答案：140