【文档说明】文科数学高考一轮复习二课件.ppt，共(43)页，724.000 KB，由小橙橙上传

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第4讲二次函数性质的再研究与幂函数【2013年高考会这样考】1．求二次函数的解析式．2．求二次函数的值域与最值．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题．【复习指导】本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类

问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．基础梳理1．二次函数的基本知识(1)函数叫做二次函数，它的定义域是R.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝－b2a，顶点坐标是－b2a

，4ac－b24a.①当a＞0时，抛物线开口向上，函数在－∞，－b2a上递减，在－b2a，＋∞上递增，当x＝－b2a时，f(x)min＝4ac－b24a；f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)②当a＜0时，抛物线开口向下，函数在－∞，－b2a上递增，在

－b2a，＋∞上递减，当x＝－b2a时，f(x)max＝4ac－b24a.③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝

|x1－x2|＝Δ|a|.(3)二次函数的解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋h(a≠0)；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)

(a≠0)．2．幂函数(1)幂函数的定义形如(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)幂函数的图象y＝xα函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R

且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇(3)幂函数的性质且y≠0单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x∈(－∞，0]时，减增增，x∈(－∞，0)时，减定点(0,0)，(1,1)(1,1)x∈(0，＋∞)时，减一

条主线二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．两种方法二次函数y＝f(x)对

称轴的判断方法：(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝x1＋x22；(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称

轴方程为x＝a(a为常数)．两种问题与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是a＞0，b2－4ac＜0；(2)ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是a＜0，b2－4ac＜0.双基自测1．(人教A版教

材习题改编)下列函数中是幂函数的是()．A．y＝2x2B．y＝1x2C．y＝x2＋xD．y＝－1x解析A，C，D均不符合幂函数的定义．答案B2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是()．A．f(1)≥25B．f

(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)＞25解析对称轴x＝m8≤－2，∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.答案A3．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－

2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析依题意判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2.答案C4．(2011·陕西)函数y＝x13的图象是()．解析由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A，D；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C.答案

B5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.解析由f(3＋x)＝f(3－x)，知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，应有x1＋x22＝3⇒x1＋x

2＝6.答案6考向一求二次函数的解析式【例1】►已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．[审题视点]采用待定系数法求f(x)，再由f(x)与g(x)的图象

关于原点对称，求g(x)．解依题意得1＋m＋n＝3，－m2＝－1，解得：m＝2，n＝0，∴f(x)＝x2＋2x.设函数y＝f(x)图象上的任意一点A(x0，y0)，该点关于原点的对称点为B(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.∵点A

(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，∴y0＝x20＋2x0，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，即g(x)＝－x2＋2x.二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移

、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．解法一利用二次函数的一般式．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得

4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解之得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.法二利用二次函数的顶点式．设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，∵f(2)＝f(－1)．∴此二次函数的对

称轴为x＝2＋(－1)2＝12.∴m＝12，又根据题意，函数有最大值8，即n＝8.∴y＝f(x)＝ax－122＋8，∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解之得a＝－4.∴f(x)＝－4

x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.考向二幂函数的图象和性质【例2】►幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为()．A．－1＜m＜3B．0C．1D．2[审题视点]由幂

函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．解析由m2－2m－3＜0，得－1＜m＜3，又m∈Z，∴m＝0,1,2.∵m2－2m－3为偶数，经验证m＝1符合题意．答案C根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上为增函

数，当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上为减函数，然后验证函数的奇偶性．【训练2】已知点(2，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点－2，12在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.解析由题意，设y＝f(x)＝xα

，，则2＝(2)α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则12＝(－2)β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.答案±1考向三二次函数的图象与性质【例3】►已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．[审题视点]先确定对称轴，再将对

称轴分四种情况讨论．解函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2的对称轴是直线x＝a，(1)若a＜0，f(x)在区间[0,2]上单调递增，当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a

；(2)若0≤a＜1，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(3)若1≤a＜2，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；(4)若a≥2，则f(x)在区间[0,2]上单调递减，当

x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝5－4a.解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y＝a(x－m)2＋n(a≠0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程x＝m，分三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数

，区间固定；③顶点固定，区间变动．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．解析由于f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)的图象是开口向下的抛物线，因为f(a)＝f(b

)＝1＞0，f(m)＝f(n)＝0，可得a∈(m，n)，b∈(m，n)，所以m＜a＜b＜n.答案m＜a＜b＜n考向四有关二次函数的综合问题【例4】►设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．[审题视点]通过讨论开口方向和对称轴位置求解

．解当a＞0时，f(x)＝ax－1a＋2－1a.∴1a≤1，f(1)＝a－2＋2≥0或1＜1a＜4，f1a＝2－1a＞0或1a≥4，f(4)＝16a－8＋2≥0，∴a≥1，a≥0或14＜a＜1，a＞12或

a≤14，a≥38.∴a≥1或12＜a＜1或∅，即a＞12；当a＜0时，f(1)＝a－2＋2≥0，f(4)＝16a－8＋2≥0，解得a∈∅；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4

)＝－6，∴不合题意．综上可得，实数a的取值范围是a＞12.含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，

以及分析、解决问题的能力．【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝f(x)，x＞0，－f(x)，x＜0.若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数

，求k的取值范围．解(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴a＞0，Δ＝(a＋1)2－4a≤0，∴a＞0，(a－1)2≤0.∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝x

2＋2x＋1，x＞0，－x2－2x－1，x＜0.(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，∴k－22≤－2，或k－22≥2，解得k≤－2，或k≥6.所以k的取值范围为k≤－2，或k≥6.

规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．【解决方案】对于二次函数f(x)＝ax2＋b

x＋c(a≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式

f(x)．求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范]∵f(x)＝－4x－a22－4a，∴抛物线顶点坐标为a2，－4a.(1分)①当a2≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a2.令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2(舍去

)；(4分)②当0＜a2＜1，即0＜a＜2时，x＝a2时，f(x)取最大值为－4a.令－4a＝－5，得a＝54∈(0,2)；(7分)③当a2≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]内递减，∴x＝0时，f(x)取最大值为－4a－a2，令－4a－a2＝－5，得

a2＋4a－5＝0，解得a＝－5或a＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)综上所述，a＝54或a＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.∴f(x)＝－4x2＋5x－10516或f(x)＝－4x2－20x－5.(12分)求解本题易出现的问

题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．【试一试】设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．[尝试解答]∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间[－2，a]内，

应进行讨论．当－2＜a＜1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.综上，g(a)＝a2－2a，－2＜a＜1，－1，a≥1

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