【文档说明】数列不等式放缩的基本类型-完整版PPT课件.ppt，共(44)页，2.440 MB，由小橙橙上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-256832.html

以下为本文档部分文字说明：

数列不等式放缩的基本类型数列与不等式都是数学竞赛的重要内容，也是新课程改革以前的高考压轴题，以数列为背景的不等式问题，常称为数列不等式。例1．数列{}na中，11a=，37a=，且11(2)1nnnaann+−=−≥

．（1）求2a及{}na的通项公式；（2）设ka是{}na中的任意一项，是否存在,,krpN()rpk，使,,kpraaa成等比数列？如存在，试分别写出p和r关于k的一个．．表达式，并给出证明；（3）证明：对一切nN，6711122221+

++naaa．一、裂项放缩对于分式型数列不等式，常转化为裂项相消来解决。典型例题例2.在单调递增数列}{na中，12a=，24a=，且12212,,+−nnnaaa成等差数列，22122,,++nnnaaa成等比数列，,3,

2,1=n．（1）①求证：数列}{2na为等差数列；②求数列}{na的通项公式.（2）设数列}1{na的前n项和为nS，证明：43(3)nnSn+，*nN．典型例题常用放缩和裂项拆项的结论：（1）*21111111(2,)1(1)(1)1kkNkkkk

kkkkk−==−++−−（2）*2122(1)2(1)(2,)11kkkkkkNkkkkk+−==−−+++−(3)*311111(2,)(1)(1)2(1)(1)kkNkkkkkkkk=−+−−+

(4)()3112112(1)(1)11(1)(1)11kkkkkkkkkk=−+−−++−++−（5）1211111111()...()kkkbbbbbb−=−++−+知识归纳典型例题例3.已知数列na的各项均为正实数，nS为

数列na的前n项和，且对于任意的正整数n，都有233312nnSaaa=+++,（1）求数列na的通项公式；（2）若31nnba=，数列{}nb的前n项和为nT，求证：3nT。（2）3311nnban==方法1：111))1(1)1(1()1

()1(113+−++−−=+−mmmmmmmmmm=（2111)1111−+++−−mmmmm而mmmmm=−++−++211211，111113+−−mmm原式<1+111141213111+−−++−+−nn=3

111222+−−+nn方法2：)1)(1()1(2−−+−+=nnnnnnn，11)1(1121−−−=−+−nnnnnnnnnnnnnnn111)1(121−−=−−−原式<313)1113121211(21−=−−++−+−+nnn。二、等比求和放缩对于

指数型数列不等式，常转化为等比数列求和的模式。例4．已知数列na满足11a=，()121nnaanN+=+（1）求数列na的通项公式；（2）证明:231213221naaaaaannn＜＜++++−(n∈N*).（3）证明：12311115

3naaaa++++。（4）证明：1231233nnaaaa++++。典型例题（1）*121()nnaanN+=+112(1)nnaa++=+1na+是以112a+=为首项，2为公比的等比数列。12.nna+=即*21().nn

anN=−（2）证明：当nN时，112121112122(2)2nnnnnnaa++−−==−−，或()()111211211212211nnnnnnaa+++−+−==−−+（糖水原理）于是12231....2nnaaanaaa++++又1112

11111111.2122(21)23.222232nnnnnnnnaa+++−==−=−−−−+−，于是1222311111111...(...)(1),2322223223nnnnaaannnaaa++++−+++=−−−故*122311...().232

nnaaannnNaaa+−+++（3）放缩1：利用糖水原理放缩。若0,0abm，则bbmaam++。于是()11111212211nnn−+=−−+。但这个放缩力度偏大，经尝试，仅保留1、2、3、4项，放缩不会成功。当6,nnN时，左端2345

561111111112121212121222n−++++++++−−−−−5111111111115111371531162371531163n−=+++++−+++++，放缩成功。放缩2：其实我们可以更巧妙地、创造性地使用糖水原理。当4n时，()

41115112115152211nnn−+=−−+，思考：1,2,3n=时能用糖水原理放缩吗？左端23014111111121212115222n−++++++−−−3112111251113715237153n−=+

++−+++，一次成功。放缩3：当2n时，()22221322132nnnnna−−−=−=+−，左端=23111121212121n++++−−−−211111322n−++++

121511323n−=+−。检验，当1n=时，命题也成立。（4）当2n时，()22221323221nnnnnnnnna−−−==−+−，则01212312312313222nnnnaaaa−

++++++++，令01223222nnA−=+++，利用错位相减易得2262nnA−+=−，故21231231216332nnnnaaaa−++++++−.例5．已知数列na满足：2,1

21==aa，且1123(2,)nnnaaann+−=+N．（1）设1()nnnbaan+=+N，求证nb是等比数列；（2）①求数列na的通项公式；②求证：对于任意Nn都有121111174nnaaaa−++++成立．典型例题),2(),(311−++=+Nnn

aaaannnn13nnnaa++=)2(,311=+−−naannn相减得)2(,32111=−−−+naannn2121314nna−−+=，)2(n，41322−=nna故4)1(3nnna−−=。②事实上，因为0n

a，所以1221122121111111nnnaaaaaaa−−+++++++，只需证明12212111174nnaaaa−++++即可。放缩1：1231111−+++naaa1341341341231++++++=−n12533434341−++++n67)

311(61122−+=−n，利用糖水原理，nnn2223511314134=+−+−，则naaa242111+++134134134242−++−+−=nn26435353521++++7241)311(7252122−+=−n，故n

naaaa212211111++++−477212672125724167==+。放缩2：易证11271134−−+nn，则1231111−+++naaa1341341341231++++++=−n1171711−+++n67)711(67−=n，同理可得127211

34−−nn则naaa242111+++134134134242−++−+−=n1172172121−+++n127)711(127−=n，故nnaaaa212211111++++−4712767

=+。放缩3：13413411212212−++=+−−nnnnaa)13)(13()33(4212212−++=−−nnnnnnnn21221233)33(4+−−nn2123434+=−，故nnaaaa212211111++++−nn212433

4343434211++++++−)311(922322−−+=n473663366218319223===+。评注：与奇偶分类有关的放缩问题，常常需要将相邻项合二为一，捆绑处理，显得较为灵活。要研究捆绑方式，如2

2122111443131nnnnaa+++=+−+2212214(33)(31)(31)nnnn+++=−+2212214(33)33nnnn−++2214433nn+=+，放缩就出现了方向性错误。三、对应项放缩对于数列不等式两端分别为

两个数列的和的形式，可以先比较对应项的大小，再累加即可。例6．已知正项数列{}na中，其前n项和为nS，且21nnaS=−。（1）求数列{}na的通项公式；（2）设nT是数列12nnaa++的前n项和，n

R是数列()()()1212111nnaaaaaa+++的前n项和，求证：nnRT。典型例题（1）2,21nnSnan==−。（2）欲证nnRT，考虑能否证明()()()1212111nnaaaaaa+++12nn

aa++…………（#）记()135212462nnCn−=，因为212221nnnn−+，所以()()2135212462124623572121nnnCnnn−=++，即1

21nCn+，又21212121nnn−+++，于是（#）成立，累加即证。练习：已知n,m∈N*,Sn=1m+2m+3m+…+nm求证：nm+1<(m+1)Sn<(n+1)m+1-1四．递归放缩常见的变换方式:(1)作差;(2)作商;(3)裂项;(4)等比(无穷递缩)典型例

题例7．已知数列}{na满足:114a=，2122nnnaaa+=+，用][x表示不超过x的最大整数，nS表示数列+21na的前n项和.现给出下列命题：①数列}{na单调递增；②数列}{1nnaa−+单调递减；③21111+−=+nnnaaa；④20153.S=以上

命题中正确的是（填写你认为正确的所有命题的序号）．提示：21102nnnaaa+−=，①正确；1104a=，0na，由①知，数列}{1nnaa−+单调递增，②不正确；()122nnnaaa+=+，得21111+−=+n

nnaaa，③正确；20151201611114Saaa=−=，又1111911228nnnaaaa+=++=，1198nnaa−，84139nnS−，④正确。评注：

当n足够大时，8194n。例8．已知数列na满足：2111,2nnnaaaa+==−()nN。（I）证明：112nnaa+；（II）设数列2na的前n项和为nS，证明：()()112221nSnnn++。（2015年浙江省理科压轴题）典

型例题提示：（I）210nnnaaa+−=−1112nnaaa+=，110nnnaaa+=−1na+与na同号，1102a=0na，综上，10,2na，(111,21nnnaaa+=−。评注：21111244

nnaa+=−−+，可加强结论。（II）21nnnaaa+=−11112nnnSaaa++=−=−，目标：()()112221nSnnn++()111212nann+++1121nann

+。方法1：迭代放缩。11111nnnaaa+=+−所以111211111111nnaaaaa+=++++−−−()111211nnaa+=+−，111211111111nnaaaaa+=++++−−−111112na++++=+，得证。方法2：裂项放缩。111111,21nnnn

naaaaa++−==−累加，1111,2nnnaa+−()111212nann+++，得证。方法3：数学归纳法（略）。例9．已知数列na满足0na，01=a，)(12121•++=−+Nnaaannn．记nna

aaS+++=21，)1()1)(1(1)1)(1(11121211nnaaaaaaT+++++++++=．求证：当•Nn时，（1）1+nnaa；（2）2−nSn；（3）3nT。（2008年浙江省理科压轴题）典型例题证明：（1）用数学归纳法证明．①当1n=时，因为2a是方程210

xx+−=的正根，所以12aa．事实上，2512a−=．②假设当*()nkk=N时，1kkaa+，因为221kkaa+−222211(1)(1)kkkkaaaa++++=+−−+−2121()(1)kkkkaaaa++++=−++，

所以12kkaa++．即当1nk=+时，1nnaa+也成立．根据①和②，可知1nnaa+对任何*nN都成立．（2）22111kkkaaa+++−=，121kn=−，，，（2n≥），22111kkkaaa++=+−累加22231(1)nnaaanaa+++=−+−．因为

10a=，所以21nnSna=−−．由1221111nnnnnaaaaa+++=+−1na，所以2nSn−．（3）放缩1：由221112kkkkaaaa+++=+≥111(2313)12kkkak

nnaa++=−+≤，，，，≥，23421(3)(1)(1)(1)2nnnanaaaa−+++≤≥，2222232211(3)(1)(1)(1)2()22nnnnnnaanaaaaa−−−=++++≤≥，故当3n≥时，121111211131

2212nnnT−−−++++=+−，又因为123TTT，所以3nT．放缩2：101nnaa+，123211(1)(1)(1)(1)nnaaaa−++++)1()1)(1(1)1)(1(11121211nnaaaaaaT+++++++++=2122211(1)1111(1)

(1)11nnaaaa−−++++=++−+22121351aa+=+−．放缩3：101nnaa+1112321122()()(1)(1)(1)(1)351nnnnaaaa−−−=+++++，)1()1)(

1(1)1)(1(11121211nnaaaaaaT+++++++++=121()22231()33()3233313nnn−−+++==−−。典型例题例10.已知数列{}na满足121,2aa==，nS为数列{}na的前n项和，且

111nnnSSnan+++=++。（1）求数列{}na的通项公式；（2）若数列{}nb满足1111,nnnbbba++==，求证：12111...2(11)nnbbb++++−。解：（1）方法1：由111nnnSSnan+++=++得，11()1nnnnSSnSSn++

+=−++,即1(1)(1)(1)nnnSnSn+−−+=−+，当2n时，两边同时除以(1)(1)nnn−+，得1111()(1)(1)(1)1nnSSnnnnnnnn+−=−=−−+−−−，所以111322[][]...()(1)

(1)(1)(1)(2)(1)231212nnnnnSSSSSSSSnnnnnnnnnn++−=−+−++−+++−−−−11111311()()...(1)121222nnnnn=−−+−++−+=+−−−所以111(1)(2)(1)()(2)22nnnSnnnn+++=++=

，又2123Saa=+=也满足上式，所以(1)(2)2nnnSn+=，又111Sa==也满足上式，所以*(1)()2nnnSnN+=，另法：由1111()(1)(1)(1)1nnSSnnnnnnnn+−=−=−−+

−−−得111[][]0(2)(1)(1)1nnSSnnnnnnn+−−−=+−−，所以，2n时，1{}(1)1nSnnn−−−是常数列，则2n时，2111(1)122nSSnnn−=−=−−，所以(1)(2)2nnnSn+=，又111Sa==也满足，所以*(1)()2

nnnSnN+=当2n时，1nnnaSSn−=−=，又11a=也满足上式，所以数列{}na的通项公式为nan=。方法2：由111nnnSSnan+++=++得，1121nnnSanan+++=++，即12(1)1nnSnan+=−++，①当2n时，12(

2)nnSnan−=−+，②①−②得12(1)(2)1nnnanana+=−−−+，即1(1)1nnnana+=−+③又12(1)1nnnana+++=+④④−③得121(1)(1)nnnnnananana++++−=−−

，即122(2)nnnaaan++=+，又由③知2n=时，231321aaaa=+=+，上式也成立所以对任意*nN有，122nnnaaa++=+，所以211121...1nnnnnnaaaaaaaa+++−−=−=−==−=，所以数列{}na

是以11a=为首项，1为公差的等差数列，所以数列{}na的通项公式为nan=。另法：由1(1)1nnnana+=−+得，1(1)(1)(1)nnnana+−=−−，当2n时，两边同除以(1)nn−得1111nnaann+−−=

−，所以2n时，1{}1nan−−是常数列，则2n时，211111naan−−==−，所以(2)nann=，而11a=也满足，所以数列{}na的通项公式为nan=。（2）由1111,nnnbbba++==知11nnbbn+=+且0nb，1n=时，122bb=，所以

22b=，又当2n时，1nnbbn−=，所以11()1nnnbbb+−−=，即111nnnbbb+−=−，所以当3n时，3142532111211111...()()()...()()nnnnnbbbb

bbbbbbbbbb−+−+++=+−+−+−++−+−12111112222(11)nnnnnnbbbbbbbbbn+++=−−++=+−−=+−当1n=时，1112(21)b=−，当2n=时，1

211112(31)2bb+=+−，综上所述，对任意*nN，12111...2(11)nnbbb++++−。数列放缩的方法小结一、先对数列求和，再对目标进行放缩二、先对通项进行放缩，再累加求和靠拢目标1．放缩后成

等比数列，再求和2．放缩后成差比数列，再错位相减求和3．放缩后成可分拆形式，再裂项相消求和三、数列不等式两端均为和的结构，比较对应项的大小课堂小结