【文档说明】全国统考2022版高考数学大一轮备考复习第2章函数概念与基本初等函数第2讲函数的基本性质课件文.pptx，共(82)页，3.500 MB，由小橙橙上传

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第二讲函数的基本性质第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ考点帮·必备知识通关考点1函数的单调性与最值考点2函数的奇偶性考点3函数的周期性考法帮·解题能力提升考法1确定函数的单调性（单调区间）考法2函数单调性的应用考法3求函数的

最值（值域）考法4判断函数的奇偶性考法5函数奇偶性的应用考法6函数周期性的判断及应用考法7函数性质的综合应用高分帮·“双一流”名校冲刺通思想·方法指导提能力·数学探索数学探索函数奇偶性的拓广性质及应用思想方法利用减元法解决多元变量的最值问题考情解读考

点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养1.函数的单调性与最值理解2019北京,T3课程学习考法1★★★逻辑推理数学运算直观想象2020山东,T8探索创新考法2,5,72017浙江,T5探索创新考法32.函数的奇偶性了解2020全国Ⅱ,T10课程学习考法1,4★★★

逻辑推理数学运算直观想象2019全国Ⅱ,T6课程学习考法53.函数的周期性了解2018全国Ⅱ,T12课程学习考法5,6,7★★★逻辑推理数学运算直观想象考情解读命题分析预测从近五年的考查情况来看,本讲是高考的重点,有

时考查单一性质,有时涉及两个或两个以上性质,题目新颖且注重基础,命题热点有求函数的单调区间,判断函数的单调性,利用单调性比较大小、解不等式,利用函数的奇偶性求解析式、求值、求参数,利用周期性求值、求解零点问题,函数性质的综合应用等,强化对函数与方程思想,转化与化归思想,分类讨论思想的应用.

题型以选择题和填空题为主,难度中等,在解答题中常以导数为工具考查单调性,难度中等偏大.考点1函数的单调性与最值考点2函数的奇偶性考点3函数的周期性考点帮·必备知识通关考点1函数的单调性与最值1.单调函数的定义及几何意义增函数减函数定义一般地,设函数

f(𝑥)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值𝑥1,𝑥2,当𝑥1<𝑥2时,都有f(𝑥1)<f(𝑥2),那么就说函数f(𝑥)在区间D上是增函数.区间D叫作函数f(𝑥)的单调递增区间.当𝑥1<𝑥2时,都有f(𝑥1)>f(𝑥2),

那么就说函数f(𝑥)在区间D上是减函数.区间D叫作函数f(𝑥)的单调递减区间.几何意义自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的考点1函数的单调性与最值名师提醒1.函数的单调性定义中的𝑥1,𝑥2有三个特征:一是任意性;二是有大小,即𝑥1<𝑥2(𝑥1>𝑥2);三是属于同一个区间,三者缺

一不可.2.单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.3.求函数单调区间或讨论函数单调性时,必须先求函数的定义域.4.一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.5.“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概

念,显然N⊆M.考点1函数的单调性与最值规律总结1.函数单调性的两个等价结论若∀𝑥1,𝑥2∈D(𝑥1≠𝑥2),则(1)𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2>0(或(𝑥1-𝑥2)[f(𝑥1)-f(𝑥2)]>0)⇔f(𝑥)在区间D上单调递增.(

2)𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2<0(或(𝑥1-𝑥2)[f(𝑥1)-f(𝑥2)]<0)⇔f(𝑥)在区间D上单调递减.考点1函数的单调性与最值2.对勾函数的单调性(1)y=𝑥+1𝑥的单调递增区间为(-∞,-1]和[1,+∞),单调

递减区间为(-1,0)和(0,1).(2)y=a𝑥+𝑏𝑥(a>0,b>0)的单调递增区间为(-∞,-𝑏𝑎]和[𝑏𝑎,+∞),单调递减区间为(-𝑏𝑎,0)和(0,𝑏𝑎).考点1函数的单调性与最值3.函数单调性常用结论若函数f(𝑥),g(𝑥)在区间I上具有单调性,则在区间

I上有:(1)f(𝑥)与f(𝑥)+c(c为常数)单调性相同.(2)f(𝑥)与a·f(𝑥)在a>0时单调性相同,在a<0时单调性相反.(3)当f(𝑥),g(𝑥)都是增(减)函数时,f(𝑥)+g(𝑥)是增(减)函数;若两者都恒大于零,则f(𝑥)·g(𝑥)也是增(减)函数

;若两者都恒小于零,则f(𝑥)·g(𝑥)是减(增)函数.考点1函数的单调性与最值(4)当f(𝑥)恒不为0时,函数f(𝑥)与1𝑓(𝑥)单调性相反.(5)当f(𝑥)非负时,f(𝑥)与𝑓(𝑥)单调性相同.(6)对于复合函数y=f(g(𝑥)),若y=f(t)与t

=g(𝑥)单调性相同,则y=f(g(𝑥))为增函数,若y=f(t)与t=g(𝑥)单调性相反,则y=f(g(𝑥))为减函数,即“同增异减”.考点1函数的单调性与最值2.函数的最值前提设函数y=f(𝑥)的定义域为I,如果存在实数M满足条件①对于任意𝑥∈I,都

有f(𝑥)≤M.①对于任意𝑥∈I,都有f(𝑥)≥M.②存在𝑥0∈I,使得f(𝑥0)=M.②存在𝑥0∈I,使得f(𝑥0)=M.结论M为函数f(𝑥)的最大值.M为函数f(𝑥)的最小值.考点2函数的奇偶性函数奇偶性的概念及性质前提(必要条件)奇偶性满足的充要条件图象

特征特性单调性函数f(𝑥)的定义域关于原点对称.奇函数对定义域中任意的𝑥,都有f(-𝑥)=-f(𝑥).关于原点对称.(1)如果定义域中包含0,那么f(0)=0.(2)若函数在关于原点对称的区间上有最值,则f(𝑥)ma𝑥+f(𝑥)min=0.在关于原点对称的

区间上单调性相同.偶函数对定义域中任意的𝑥,都有f(-𝑥)=f(𝑥).关于y轴对称.f(𝑥)=f(|𝑥|).在关于原点对称的区间上单调性相反.注意既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(𝑥)=0,𝑥∈D.其中定义域D是关于原点对称的非空数集.考点2函数的奇偶性规律总结一

些重要类型的奇偶函数(1)函数f(𝑥)=𝑎𝑥+𝑎−𝑥为偶函数,函数f(𝑥)=𝑎𝑥−𝑎−𝑥为奇函数;(2)函数f(𝑥)=𝑎𝑥−𝑎−𝑥𝑎𝑥+𝑎−𝑥=𝑎2𝑥−1𝑎2𝑥+1为奇函数;

(3)函数f(𝑥)=loga𝑏−𝑥𝑏+𝑥为奇函数;(4)函数f(𝑥)=loga(𝑥+𝑥2+1)为奇函数,函数f(𝑥)=loga(𝑥2+1-𝑥)也为奇函数.考点2函数的奇偶性思维拓展(1)若函数y=f(𝑥+a)是偶函数,则

函数y=f(𝑥)的图象关于直线𝑥=a对称,f(𝑥+a)=f(-𝑥+a).(2)若函数y=f(𝑥+b)是奇函数,则函数y=f(𝑥)的图象关于点(b,0)中心对称,f(𝑥+b)+f(-𝑥+b)=0.考点3函数的

周期性1.周期函数对于函数y=f(𝑥),如果存在一个非零常数T,使得当𝑥取定义域内的任何值时,都有f(𝑥+T)=f(𝑥),那么就称函数y=f(𝑥)为周期函数,称T为这个函数的周期.2.最小正周期如果在周期函数f(𝑥)的所有

周期中存在最小的正数,那么这个最小的正数就叫作f(𝑥)的最小正周期.注意并不是所有的周期函数都有最小正周期,如f(𝑥)=5.考点3函数的周期性思维拓展周期性的常用结论设函数y=f(𝑥),𝑥∈R,

a>0,a≠b.(1)若f(𝑥+a)=f(𝑥-a),则函数的周期为2a;(2)若f(𝑥+a)=-f(𝑥),则函数的周期为2a;(3)若f(𝑥+a)=-1𝑓(𝑥),则函数的周期为2a;(4)若f(𝑥+a)=1𝑓(𝑥),则函数的周期为2a;(5)若f(

𝑥+a)=f(𝑥+b),则函数的周期为|a-b|;考点3函数的周期性(6)若函数f(𝑥)的图象关于直线𝑥=a与𝑥=b对称,那么函数f(𝑥)的周期为2|b-a|;(7)若函数f(𝑥)的图象既关于点(a,0)

对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(𝑥)的周期是2|b-a|;(8)若函数f(𝑥)的图象既关于直线𝑥=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(𝑥)的周期是4|b-a|;(9)若函数f(𝑥

)是偶函数,其图象关于直线𝑥=a对称,则其周期为2a;(10)若函数f(𝑥)是奇函数,其图象关于直线𝑥=a对称,则其周期为4a.考法帮·解题能力提升考法1确定函数的单调性（单调区间）考法2函数单调性的应用考法3求函数的最值（值域）考法4

判断函数的奇偶性考法5函数奇偶性的应用考法6函数周期性的判断及应用考法7函数性质的综合应用考法1确定函数的单调性(单调区间)示例1判断下列函数的单调性:(1)f(𝑥)=𝑥3−4𝑥+3𝑥(𝑥<0);(2)f(𝑥)=2𝑥2−3𝑥.思维导引先对已知函数进行变形,变

成几个基本初等函数的组合形式,再利用各基本初等函数的单调性及单调性的有关性质来判断原函数的单调性即可.考法1确定函数的单调性(单调区间)解析(1)(性质法)f(𝑥)=𝑥3−4𝑥+3𝑥=𝑥2-4+3𝑥,而函数y=𝑥2-4及y=3𝑥在(-∞,0)上都是减函数,则f(

𝑥)=𝑥3−4𝑥+3𝑥在(-∞,0)上是减函数.(2)(性质法)因为f(𝑥)=2𝑥2−3𝑥=2𝑥-3𝑥,且函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),………(求定义域)而函数y=2𝑥和y=

-3𝑥在区间(-∞,0)上均为增函数,根据单调函数的性质,可得f(𝑥)=2𝑥-3𝑥在区间(-∞,0)上为增函数.同理,可得f(𝑥)=2𝑥-3𝑥在区间(0,+∞)上也是增函数.………………(分类讨论)故函数f(𝑥)=2𝑥2−

3𝑥在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均为增函数.考法1确定函数的单调性(单调区间)示例2[2017全国卷Ⅱ,8,5分][文]函数f(𝑥)=ln(𝑥2-2𝑥-8)的单调递增区间是A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4

,+∞)解析(复合法)由𝑥2-2𝑥-8>0,得𝑥<-2或𝑥>4.因此,函数f(𝑥)=ln(𝑥2-2𝑥-8)的定义域是(-∞,-2)∪(4,+∞).…………………(先求函数f(𝑥)的定义域)易知函数y=𝑥2-2𝑥-8在

(-∞,-2)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,函数y=lnt为(0,+∞)上的增函数,由复合函数的单调性知,f(𝑥)=ln(𝑥2-2𝑥-8)的单调递增区间是(4,+∞).答案D考法1确定函数的单调性(单调区间)方法技巧判断函数的单调性和求单调区间的方法(1)定义法

:一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论.(2)图象法:若f(𝑥)是以图象形式给出的,或者f(𝑥)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.(3)导数法:先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间.(4)性质法:对于由基本初

等函数的和、差构成的函数,根据各基本初等函数的增减性及“增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减”进行判断.(5)复合法:对于复合函数,先将函数f(g(𝑥))分解成f(t)和t=g(𝑥),然后讨论(判断)这两个函数的单调性,再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.考法2函数单

调性的应用命题角度1比较大小示例3已知函数f(𝑥)为偶函数,当𝑥>0时,f(𝑥)=𝑥-4-𝑥,设a=f(log30.2),b=f(3-0.2),c=f(-31.1),则A.c>a>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>a>c思维导引利用函数f(𝑥)为偶函数和对数函数、

指数函数的性质,先把a,c对应的自变量的值转化到(0,+∞)内,然后比较31.1,-log30.2,3-0.2的大小,再判断f(𝑥)在(0,+∞)上的单调性,即可得a,b,c的大小.考法2函数单调性的应用解析

因为函数f(𝑥)为偶函数,所以a=f(log30.2)=f(-log30.2),c=f(-31.1)=f(31.1)...(注意把自变量的值转化到同一个单调区间内去研究)因为log319<log30.2<log313,所以-2<log30.2<-1,所

以1<-log30.2<2,所以31.1>3>-log30.2>1>3-0.2.因为y=𝑥在(0,+∞)上为增函数,y=-4-𝑥在(0,+∞)上为增函数,所以f(𝑥)在(0,+∞)上为增函数,所以f(31.1)>f(-log3

0.2)>f(3-0.2),所以c>a>b.答案A考法2函数单调性的应用方法技巧利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用函数的性质,将自变量的值转化到同一个单调

区间上进行比较,对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解.考法2函数单调性的应用命题角度2求解不等式示例4(1)[2017全国卷Ⅰ,5,5分]函数f(𝑥)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(𝑥-2)≤1的�

�的取值范围是A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3](2)已知函数f(𝑥)=-𝑥|𝑥|,𝑥∈(-1,1),则不等式f(1-m)<f(m2-1)的解集为.考法2函数单调性的应用解析(1)∵函数f(𝑥)为奇函数,且f(1)=-1,∴f(-1)=-f(1

)=1,由-1≤f(𝑥-2)≤1,得f(1)≤f(𝑥-2)≤f(-1),………..(将常数转化为函数值)又函数f(𝑥)在(-∞,+∞)上单调递减,∴-1≤𝑥-2≤1,∴1≤𝑥≤3.故选D.(2)由已知得

f(𝑥)=ቊ𝑥2,−1<𝑥≤0,−𝑥2,0<𝑥<1,则f(𝑥)在(-1,1)上单调递减,∴൞−1<1−𝑚<1,−1<𝑚2−1<1,𝑚2−1<1−𝑚,解得0<m<1,∴所求解集为(0,1).考法2函数单调性的应用方法技巧利用函数的单调性求解或证明不等式的方法若f(𝑥)在定义域上

(或某一区间上)是增(减)函数,𝑥1,𝑥2是定义域上(或该区间上)任意两个自变量的值,则f(𝑥1)<f(𝑥2)⇔𝑥1<𝑥2(𝑥1>𝑥2),在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时,可通过“脱去”函数符号“f”

化为一般不等式求解,但必须在同一单调区间内进行.需要说明的是,若不等式一边没有“f”,而是常数,则应将常数转化为函数值.如若已知0=f(1),f(𝑥-1)<0,则f(𝑥-1)<f(1).考法2函数单调性的应用命题角度3求参数的值或取值范围示例5已知函数y=log12(6-

a𝑥+𝑥2)在[1,2]上是增函数,则实数a的取值范围为.解析设u=6-a𝑥+𝑥2(u>0),∵y=log12u为减函数,∴函数u在[1,2]上是减函数,∵u=6-a𝑥+𝑥2,其图象的对称轴为直线𝑥=𝑎2,∴𝑎2≥2,且

u>0在[1,2]上恒成立.∴൝𝑎2≥2,6−2𝑎+4>0,解得4≤a<5,∴实数a的取值范围为[4,5).考法2函数单调性的应用方法技巧已知函数的单调性求参数的取值范围的方法根据函数的单调性构建含参数的方程(组)或不等式(组)进行求解,或先得到图象的升降情况,再结合图象求解.注意(

1)若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;(2)讨论分段函数的单调性时,除注意各段的单调性外,还要注意分段点处的函数值.考法3求函数的最值(值域)示例6已知函数f(𝑥)=ቐ𝑥2,𝑥≤1,𝑥+6𝑥−6,𝑥>1,则f(𝑥)的最小值是.思维导引结合已知

分段函数,先分别由二次函数的性质和基本不等式求得各段的最小值,再进行比较即可得出结论.考法3求函数的最值(值域)解析(利用单调性和基本不等式求解)因为y=𝑥2在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,所以当𝑥≤1时,f(𝑥)min=f(0)=0.….(

用单调性法求最值)当𝑥>1时,y=𝑥+6𝑥≥26,当且仅当𝑥=6时,等号成立,此时f(𝑥)min=26-6.……….(用基本不等式法求最值)又26-6<0,……………..(比较每段上的最值)所以f(𝑥)min=26-6.点评求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值

,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.考法3求函数的最值(值域)示例7若𝑥∈[-π6,2π3],则函数y=4sin2𝑥-12sin𝑥-1的最大值为,最小值为.思维导引考法3求函数的最值(值域)解析(换元法)令t=sin𝑥,

因为𝑥∈[-π6,2π3],所以t∈[-12,1],………(注意新元的取值范围)所以y=f(t)=4t2-12t-1.因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为直线t=32,所以当t∈[-12,1]时,函数f(t)单调递减,所以当t=-12时,yma𝑥=6

;当t=1时,ymin=-9.考法3求函数的最值(值域)示例8求下列函数的值域:(1)y=1−sin𝑥2−cos𝑥;(2)y=−𝑥2−6𝑥−5;(3)y=𝑥+1−𝑥2;(4)y=3𝑥−52𝑥+1;(5)y=𝑥2+4𝑥+1𝑥2+

1;(6)y=𝑥2−1𝑥2+1.思维导引根据函数解析式的特征选择适合的方法求值域.考法3求函数的最值(值域)解析(1)(图象法)设动点M(cos𝑥,sin𝑥),定点P(2,1),则y=1−sin𝑥2−cos𝑥的几何意义是直线PM的斜率.而动点M在单

位圆𝑥2+y2=1上.如图2-2-1,当直线PM和圆相切时斜率取得最值,𝑘𝑀1𝑃=0,𝑘𝑀2𝑃=43.所以函数的值域为[0,43].图2-2-1考法3求函数的最值(值域)(2)(配方法)因为y=−𝑥2−6�

�−5=−(𝑥+3)2+4≤4=2,y≥0,所以y=−𝑥2−6𝑥−5的值域为[0,2].(3)(三角换元法)因为1-𝑥2≥0,所以-1≤𝑥≤1,所以可设𝑥=cosα,α∈[0,π],则y=cosα+sinα=2sin(α+π4).因为α∈[

0,π],所以α+π4∈[π4,5π4],所以sin(α+π4)∈[-22,1],所以2sin(α+π4)∈[-1,2],所以原函数的值域为[-1,2].考法3求函数的最值(值域)(4)(分离常数法)y=3𝑥−52�

�+1=32(2𝑥+1)−1322𝑥+1=32-1322𝑥+1≠32,所以所求函数的值域为{y|y∈R且y≠32}.(5)(判别式法)由原函数整理得(1-y)𝑥2+4𝑥+1-y=0.当1-y=0,即y=1时,𝑥=0;当1-y≠0,即y≠1时,Δ

=16-4(1-y)2≥0,即(1-y)2≤4,解得-1≤y≤3,所以-1≤y≤3且y≠1.……..(要注意对二次项系数1-y进行讨论)综上,所求函数的值域为[-1,3].考法3求函数的最值(值域)(6)(有界性法)由y=𝑥2−1𝑥2+1,可

得𝑥2=1+𝑦1−𝑦,且y<1.…….(结合完全平方式非负的性质来转化)由𝑥2≥0,知1+𝑦1−𝑦≥0,解得-1≤y<1,故所求函数y=𝑥2−1𝑥2+1的值域为[-1,1).考法3求函数的最值(值域)方法技巧求函数最值(值域)的方法(1)单调性法:先确定函数的

单调性,再由单调性结合端点值求出最值(值域).(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点求出最值(值域),若函数的解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合法求解.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一

正二定三相等”的条件后用基本不等式求最值(值域).考法3求函数的最值(值域)(4)导数法:先求出导函数,然后求出给定区间上的极值,再结合端点值,求出最值(值域).适用于三次函数、分式函数及含e𝑥,ln𝑥,sin𝑥

,cos𝑥结构的函数,且f'(𝑥)可求.(5)换元法:对比较复杂的函数可先通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值(值域).(6)分离常数法:形如y=𝑐𝑥+𝑑𝑎𝑥+𝑏(a≠0)的函数的值域,经常使用“分离常数法”求解.考法3求函数的最值(值域)(7)配方法:它是求“

二次函数型函数”值域的基本方法,形如F(𝑥)=a[f(𝑥)]2+bf(𝑥)+c(a≠0)的函数的值域问题,均可使用配方法,求解时要注意f(𝑥)整体的取值范围.(8)判别式法:把函数的解析式化为关于𝑥的一元二

次方程,利用判别式求值域.形如y=A𝑥+B𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(A,a中至少有一个不为零)或y=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐𝑑𝑥2+𝑒𝑥+𝑓(a,d中至少有一个不为零)的函数适用.考法4判断函数的奇偶性示例9判断下列

各函数的奇偶性:(1)f(𝑥)=(𝑥-1)1+𝑥1−𝑥;(2)f(𝑥)=lg(1−𝑥2)|𝑥2−2|−2;(3)f(𝑥)=൞𝑥2+𝑥(𝑥<0),0(𝑥=0),−𝑥2+𝑥(𝑥>0).思维导引考法4判断函数的奇偶性解析(1)

由1+𝑥1−𝑥≥0得函数的定义域为[-1,1),不关于原点对称,所以f(𝑥)为非奇非偶函数.(2)由൝1−𝑥2>0,|𝑥2−2|−2≠0得函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),f(𝑥)=

lg(1−𝑥2)−(𝑥2−2)−2=-lg(1−𝑥2)𝑥2.所以f(-𝑥)=-lg[1−(−𝑥)2](−𝑥)2=-lg(1−𝑥2)𝑥2=f(𝑥),所以f(𝑥)为偶函数.考法4判断函数的奇偶性(3)当𝑥<0时,-𝑥>0,则f(-𝑥)=-(-𝑥)2-�

�=-(𝑥2+𝑥)=-f(𝑥);当𝑥>0时,-𝑥<0,则f(-𝑥)=(-𝑥)2-𝑥=-(-𝑥2+𝑥)=-f(𝑥).又f(0)=0,故对任意的𝑥∈(-∞,+∞),都有f(-𝑥)=-f(𝑥

),……….(只有当所有区间上都满足相同关系时,才能判定其奇偶性)所以f(𝑥)为奇函数.考法4判断函数的奇偶性方法技巧判断函数奇偶性的方法(1)定义法考法4判断函数的奇偶性(2)图象法考法4判断函数的奇偶性(3)性质法设f(𝑥)

,g(𝑥)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上,有下面结论:f(𝑥)g(𝑥)f(𝑥)+g(𝑥)f(𝑥)-g(𝑥)f(𝑥)g(𝑥)f(g(𝑥))偶函数偶函数偶函数偶函数偶

函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数考法4判断函数的奇偶性注意1.函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.2.对于分段函数奇偶性的判断,要分段判断f(-𝑥)=f(𝑥

)或f(-𝑥)=-f(𝑥)是否成立,只有当所有区间都满足相同关系时,才能判断该分段函数的奇偶性.考法5函数奇偶性的应用示例10(1)若函数f(𝑥)=𝑘−2𝑥1+𝑘·2𝑥在定义域上为奇函数,则实数k=.(2)已知函数f(𝑥)为奇函数且

定义域为R,当𝑥>0时,f(𝑥)=𝑥+1,则f(𝑥)的解析式为.(3)已知偶函数f(𝑥)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2𝑥-1)<f(13)的𝑥的取值范围是.考法5函数奇偶性的应用解析(1)因为f(-𝑥)=𝑘−2−𝑥1+𝑘·2−𝑥=𝑘·2𝑥−12

𝑥+𝑘,所以f(-𝑥)+f(𝑥)=(𝑘−2𝑥)(2𝑥+𝑘)+(𝑘·2𝑥−1)·(1+𝑘·2𝑥)(1+𝑘·2𝑥)(2𝑥+𝑘)=(𝑘2−1)(22𝑥+1)(1+𝑘·2𝑥)(2�

�+𝑘).由f(-𝑥)+f(𝑥)=0,可得k2=1,………….(不能确定定义域是否包含0,所以不能用f(0)=0求k)所以k=±1.考法5函数奇偶性的应用(2)因为f(𝑥)为奇函数,且在𝑥=0处有定义,所以f(0)=0.………

…….(注意f(𝑥)在𝑥=0处有定义,不要遗漏f(0)=0)当𝑥<0时,-𝑥>0.f(𝑥)=-f(-𝑥)=-(-𝑥+1)=𝑥-1.所以f(𝑥)=ቐ𝑥+1,𝑥>0,0,𝑥=0,𝑥−1,𝑥<0.(3)因为偶函数f(𝑥)=f(|𝑥|),所以

f(2𝑥-1)<f(13)即f(|2𝑥-1|)<f(13).又f(𝑥)在[0,+∞)上单调递增,所以|2𝑥-1|<13,解得13<𝑥<23.考法5函数奇偶性的应用方法技巧函数奇偶性的应用类型及解题策略求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区

间上,再利用奇偶性求出f(𝑥)的解析式,或充分利用奇偶性构造关于f(𝑥)的方程(组),从而得到f(𝑥)的解析式.求函数值利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值,进而求解.求参数值利用待定系数法求解,根据f(𝑥)±f(-𝑥)=0得到关于待求参

数的恒等式,由系数的对等性,进而得出参数的值.对于在𝑥=0处有定义的奇函数f(𝑥),可考虑列等式f(0)=0求解.解不等式利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单

调性相反,将问题转化到同一单调区间上求解,涉及偶函数时常用f(𝑥)=f(|𝑥|),将问题转化到[0,+∞)上求解.画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.考法5函数奇偶性的应用易错警示(1)当能确定函数在0处有定义时,f(0)=0只是f(𝑥)为

奇函数的必要非充分条件,用其求出参数值后,还要验证这个值是不是函数为奇函数的充分条件;(2)当不能确定函数在0处是否有定义时,f(0)=0是f(𝑥)为奇函数的既不充分也不必要条件,这时只能用奇函数的定义或其他方法求参数的值.考法6函数周期性的判断及应用示例11已知f(𝑥)是定义在R上的偶函数

,并且f(𝑥+3)=-1𝑓(𝑥),当1<𝑥≤3时,f(𝑥)=cosπ𝑥3,则f(2020)=.思维导引先由已知条件求出函数的周期,再结合函数的性质,把f(2020)转化为f(4),进而转化为f(2),把𝑥=2代入即可.考法6函数周期性的判断及应用解析由已知可得f(𝑥+6)=f((

𝑥+3)+3)=-1𝑓(𝑥+3)=-1−1𝑓(𝑥)=f(𝑥),故函数f(𝑥)的周期为6,∴f(2020)=f(6×336+4)=f(4).∵f(𝑥)为偶函数,∴f(1)=f(-1),则f(4)=f(1+3)=-1𝑓(1)=-1𝑓(−1

)=f(2)=cos2π3=-12,∴f(2020)=-12.考法6函数周期性的判断及应用方法技巧1.判断函数的周期性时,只需证明f(𝑥+T)=f(𝑥)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.2.根据函数的周期性,可以由函数

的局部性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.考法7函数性质的综合应用示例12(1)[2019全国卷Ⅲ,12,5

分][文]设f(𝑥)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则A.f(log314)>f(2−32)>f(2−23)B.f(log314)>f(2−23)>f(2−32)C.f(2−32)>f(2−23)>f(log314)D.f(2−23)>f(2−32)

>f(log314)考法7函数性质的综合应用(2)[2018全国卷Ⅱ,12,5分][文]已知f(𝑥)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-𝑥)=f(1+𝑥).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=A.-50B.0C.2D.50解

析(1)根据函数f(𝑥)为偶函数可知,f(log314)=f(log34)=f(log34),∵0<2−32<2−23<20<log34,且函数f(𝑥)在(0,+∞)上单调递减,∴f(2−32)>f(2−23)>f(lo

g314).考法7函数性质的综合应用(2)解法一∵f(𝑥)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,∴f(-𝑥)=-f(𝑥),且f(0)=0.∵f(1-𝑥)=f(1+𝑥),∴f(-𝑥)=f(2+𝑥),∴f(2+𝑥)=-f(𝑥),∴f(4+𝑥)=-f(

2+𝑥)=f(𝑥),∴f(𝑥)是周期函数,且一个周期为4,∴f(4)=f(0)=0,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(1+2)=f(1-2)=-f(1)=-2,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(50)

=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.考法7函数性质的综合应用解法二因为函数f(𝑥)满足f(1-𝑥)=f(1+𝑥),可知f(𝑥)的图象关于直线𝑥=1对称.又f(𝑥)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数

,所以f(0)=0,且已知f(1)=2,计算可得:f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(-2)=-f(2)=0,f(5)=f(-3)=-f(3)=2,f(6)=f(-4)=-f(4)

=0,f(7)=f(-5)=-f(5)=-2,f(8)=f(-6)=-f(6)=0,……所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(49)+f(50)=(2+0-2+0)×12+2+0=2.答案(1)C(2)C考法7函数性质的综合应用方法技巧1.对

于函数单调性与奇偶性的综合问题,常利用奇、偶函数的图象的对称性,以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解.2.函数周期性与奇偶性的综合问题多是求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的函数的定义域内求解.3.函数的奇偶性、

周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,在解题时,往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.高分帮·“双一流”名校冲刺通思想·方法指导思想方法利

用减元法解决多元变量的最值问题提能力·数学探索数学探索函数奇偶性的拓广性质及应用思想方法利用减元法解决多元变量的最值问题在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题,此类题目题型众多,解法也很多,学生在面对含有多个变量的问题时,最大的困扰是不知从何处入手.对于高中生,主要掌握的是一元变量的最值问题.

因此,解决多元变量的最值问题,减元是常见的方法.常见的减元法有以下三种.1.代入减元示例13设𝑥,y是正实数,且2𝑥+8y-𝑥y=0,则𝑥+y的最小值为.思想方法利用减元法解决多元变量的最值问题解析由2𝑥+8

y-𝑥y=0得y=2𝑥𝑥−8,因为𝑥,y是正实数,所以𝑥>8,所以𝑥+y=𝑥+2𝑥𝑥−8=𝑥+2(𝑥−8)+16𝑥−8=𝑥+2+16𝑥−8=(𝑥-8)+16𝑥−8+10≥2(𝑥−8)·16𝑥−8+10=18,当且仅当𝑥-8=16

𝑥−8,即𝑥=12时取等号.所以当𝑥=12,y=6时,𝑥+y取得最小值18.思想方法利用减元法解决多元变量的最值问题点评此题是一道学生经常见到的求多元变量最值的试题,虽然此解法不是最优的解法,但可能是学生比较容易想到的解法.它的优点是由前面的等式可以得到y=2𝑥𝑥−8,代入𝑥

+y中,从而使二元变量变为一元变量,进而达到解题的目的.思想方法利用减元法解决多元变量的最值问题2.等量减元示例14设正实数𝑥,y,z满足𝑥2-3𝑥y+4y2-z=0,则当𝑥𝑦𝑧取得最大值时,2𝑥+1𝑦-2𝑧的最大值为A.0B.1C.94D.3

思想方法利用减元法解决多元变量的最值问题解析由已知得z=𝑥2-3𝑥y+4y2,且𝑥,y,z为正实数.(*)则𝑥𝑦𝑧=𝑥𝑦𝑥2−3𝑥𝑦+4𝑦2=1𝑥𝑦+4𝑦𝑥−3≤12𝑥𝑦×4𝑦𝑥−3=14−3=

1,当且仅当𝑥=2y时𝑥𝑦𝑧取得最大值1,把𝑥=2y代入(*)式,得z=2y2,所以2𝑥+1𝑦-2𝑧=1𝑦+1𝑦-1𝑦2=-(1𝑦-1)2+1≤1.所以当𝑥𝑦𝑧取最大值时,2𝑥+1𝑦-2𝑧的最大值为1.答案B

思想方法利用减元法解决多元变量的最值问题点评此题难度在于如何寻求多元变量𝑥,y,z之间的关系,进而达到减元的目的.其实,由𝑥𝑦𝑧变到𝑥𝑦𝑥2−3𝑥𝑦+4𝑦2用到了代入消元,再由𝑥𝑦𝑥3−3𝑥𝑦+4𝑦

2变到1𝑥𝑦+4𝑦𝑥−3用到了整体思想,进而寻求到了𝑥𝑦𝑧取最大值时变量𝑥,y之间的关系,进而由(*)得到y,z之间的关系,最后由2𝑥+1𝑦-2𝑧变到-1𝑦2+2𝑦用到了𝑥,

y,z之间的等量关系进行减元,进而达到求出最值的目的.这是一道典型的利用减元的方法求多元变量最值的例题.思想方法利用减元法解决多元变量的最值问题3.换元减元示例15已知θ∈[0,π2],若不等式2sinθcosθ+sinθ+co

sθ-m+1≥0恒成立,则实数m的取值范围为.解析原问题等价于当θ∈[0,π2]时,不等式m≤2sinθcosθ+sinθ+cosθ+1恒成立.令y=2sinθcosθ+sinθ+cosθ+1=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ+sinθ

+cosθ=(sinθ+cosθ)2+sinθ+cosθ,θ∈[0,π2],则m≤ymin.令t=sinθ+cosθ=2sin(θ+π4),思想方法利用减元法解决多元变量的最值问题因为θ∈[0,π2],所以θ+π

4∈[π4,3π4],所以t∈[1,2].所以y=t2+t=(t+12)2-14,其在[1,2]上单调递增,所以当t=1(即θ=0或π2)时,ymin=2.故m≤2.点评此题中的sinθcosθ,sinθ+cosθ若不加处理难

以将变量统一起来.但是,观察到sinθcosθ与sinθ+cosθ的关系,通过变换和换元很巧妙地将变量统一起来,达到减元的目的.以上三题均是求多元变量的最值问题,可以发现这类问题的基本策略是减元,进而转化为一元变量的函数的最值问题求解.可见,减元是解决这类多元变量的最值问题的

一把利器.数学探索函数奇偶性的拓广性质及应用函数的奇偶性是高考的重点内容之一,特别是与函数其他性质的综合应用更加突出,这类问题从通性通法的角度来处理,显得较为烦琐,若能灵活利用函数的奇偶性的性质,常能达到化难为易、事半功倍的效果.以下归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用.性质1若函数f(𝑥)是奇函

数,且g(𝑥)=f(𝑥)+c,则必有g(-𝑥)+g(𝑥)=2c证明由于函数f(𝑥)是奇函数,所以f(-𝑥)=-f(𝑥),所以g(-𝑥)+g(𝑥)=f(-𝑥)+c+f(𝑥)+c=2c.数学探索函数奇偶性的拓广性质及应用示例16(1)已知函数f(�

�)=a𝑥3+bsin𝑥+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg2))=A.-5B.-1C.3D.4(2)对于函数f(𝑥)=asin𝑥+b𝑥+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)

和f(-1),所得出的正确结果不可能是A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2数学探索函数奇偶性的拓广性质及应用解析(1)设g(𝑥)=a𝑥3+bsin𝑥,则f(𝑥)=g(𝑥)+4,且函数g(𝑥)为奇函数.又

lg(lg2)+lg(log210)=lg(lg2·log210)=lg1=0,所以f(lg(lg2))+f(lg(log210))=2×4=8,又f(lg(log210))=5,所以f(lg(lg2))=3.数学探索函数奇偶性的拓广性质及应用(2)设g(𝑥)=asin𝑥+b�

�,则f(𝑥)=g(𝑥)+c,且函数g(𝑥)为奇函数.注意到c∈Z,所以f(1)+f(-1)=2c为偶数.结合选项可知只有D项不满足,故选D.答案(1)C(2)D点评由以上例题可知,这类问题的求解关键在于观察函数的结构,构造出一个奇函数.有些问题是简

单的,直接应用即可,但有些问题是复杂的,需要变形才能应用.数学探索函数奇偶性的拓广性质及应用性质2已知函数f(𝑥)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的𝑥∈D,都有f(𝑥)+f(-𝑥)=0.特别地,若奇函数f(𝑥)在D上有最值,则f(𝑥)ma𝑥+f(𝑥)min=0,且若0∈D,则

f(0)=0示例17设函数f(𝑥)=(𝑥+1)2+sin𝑥𝑥2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=.数学探索函数奇偶性的拓广性质及应用解析显然函数f(𝑥)的定义域为R,f(𝑥)=(𝑥+1)2+sin

𝑥𝑥2+1=1+2𝑥+sin𝑥𝑥2+1,设g(𝑥)=2𝑥+sin𝑥𝑥2+1,则g(-𝑥)=-g(𝑥),∴g(𝑥)为奇函数,由奇函数图象的对称性知g(𝑥)ma𝑥+g(𝑥)min=0,∴M+m=[g(𝑥)+1]ma𝑥+[g(𝑥)+1]min=2+

g(𝑥)ma𝑥+g(𝑥)min=2.数学探索函数奇偶性的拓广性质及应用性质3若函数f(𝑥)为偶函数,则f(𝑥)=f(|𝑥|)证明当𝑥≥0时,|𝑥|=𝑥,所以f(|𝑥|)=f(𝑥);当𝑥<0时,f(|𝑥|)=f(-𝑥),由于函数f(𝑥)为偶

函数,所以f(-𝑥)=f(𝑥),故f(|𝑥|)=f(𝑥).综上,若函数f(𝑥)为偶函数,则f(𝑥)=f(|𝑥|).示例18(1)设函数f(𝑥)=ln(1+|𝑥|)-11+𝑥2,则使得f(𝑥)>f(2𝑥-1)成立的

𝑥的取值范围是A.(13,1)B.(-∞,13)∪(1,+∞)C.(-13,13)D.(-∞,-13)∪(13,+∞)(2)设偶函数f(𝑥)满足f(𝑥)=𝑥3-8(𝑥≥0),则{𝑥|f(𝑥-2)>0}=A

.{𝑥|𝑥<-2或𝑥>4}B.{𝑥|𝑥<0或𝑥>4}C.{𝑥|𝑥<0或𝑥>6}D.{𝑥|𝑥<-2或𝑥>2}数学探索函数奇偶性的拓广性质及应用解析(1)易知函数f(𝑥)的定义域为R,且f(𝑥)为偶函数.当𝑥≥0

时,f(𝑥)=ln(1+𝑥)-11+𝑥2,易知此时f(𝑥)单调递增.所以f(𝑥)>f(2𝑥-1)⇒f(|𝑥|)>f(|2𝑥-1|),所以|𝑥|>|2𝑥-1|,解得13<𝑥<1.(2)由f

(𝑥)=𝑥3-8,知f(𝑥)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=0.所以由已知条件可知f(𝑥-2)>0⇒f(|𝑥-2|)>f(2).所以|𝑥-2|>2,解得𝑥<0或𝑥>4.答案(1)A(2)B点评本例结合偶函数的性质f(𝑥)=f(|𝑥|)求解,减少了不必

要的讨论,极大地减少了运算量.