【文档说明】江苏专用高考数学大一轮复习第七章不等式第42讲基本不等式及其应用课件.ppt，共(40)页，3.436 MB，由小橙橙上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-256815.html

以下为本文档部分文字说明：

第42讲基本不等式及其应用考试要求1.基本不等式的证明过程(A级要求)；2.利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(C级要求).应关注利用基本不等式把等式转化为不等式，然后研究最值问题.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)诊断自测(1)当a≥0，b≥0时，a＋b2≥ab.()(

2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(3)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(4)函数f(x)＝sinx＋4sinx的最小值为2.()(5)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.()解析(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式a＋b

2≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.(3)函数y＝x＋1x值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)函数f(x)＝sinx＋4sinx的最小值为－5.(5)x>0且y>0是xy＋yx≥2的充分条件.答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×2.(教材改编)设x

>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________.解析∵x>0，y>0，∴x＋y2≥xy，即xy≤x＋y22＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.答案813.(教材改编)若0<x<1，则x（3－2x）的取值范围是_______

_.解析由0<x<1知3－2x>0，故x（3－2x）＝12·2x（3－2x）≤12·2x＋（3－2x）2＝324，当且仅当x＝34时，上式等号成立.∴0<x（3－2x）≤324.答案0，324解析因为x>0，y>0，x＋2y＝1，所以1x＋1y＝

1x＋1y(x＋2y)＝1＋2＋2yx＋xy≥3＋22yx·xy＝3＋22，当且仅当x2＝2y2时取得最小值3＋22.4.(必修5P106习题16改编)已知正数x，y满足x＋2y＝1，那么1x＋1y

的最小值为____________.答案3＋22解析①因为x∈(0，π)，所以sinx∈(0，1]，所以①成立；②只有在lga>0，lgb>0，即a>1，b>1时才成立；5.(教材改编)①若x∈(0，π)，则sinx＋1sinx≥2；②若a，b∈(0，＋∞)，则lga＋lgb≥

2lga·lgb；③若x∈R，则x＋4x≥4.其中正确结论的序号是________.③x＋4x＝|x|＋4x≥2|x|·4x＝4，当且仅当x＝±2时“＝”成立.答案①③(1)基本不等式成立的条件：a>

0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当_______时取等号.(3)适用于求含两个代数式的最值.知识梳理1.基本不等式ab≤a＋b2a＝b2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥_____(a，b∈R).(2)ba＋ab≥

_____(a，b同号).(3)ab≤a＋b22，(a，b∈R).(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R).(以上不等式要根据条件合理选择其中之一)以上不等式等号成立的条件均为a＝b.2ab2

3.算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等.4.利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当______时，

x＋y有最___值2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当______时，xy有最___值p24(简记：和定积最大).x＝y小x＝y大考点一利用基本不等式求最值(多维探究)命

题角度1配凑法求最值【例1－1】(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________.(2)已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________.(3)函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值为________.解析(1)x

(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·3x＋（4－3x）22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号.(2)因为x<54，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋14x－

5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.答案(1)23(2)1(3)23＋2(3)由于x>1，故y＝x2＋2x

－1＝（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3x－1＝（x－1）2＋2（x－1）＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时，等号成立.命题角度2常数代换或消元法求最值【例1－2】(1)(2018·盐城模拟)已知正数x，y满

足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·南京模拟)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.(3)(2017·苏州期末)已知ab＝14，a，b∈(0，1)，那么11－a＋21－b的最小值为_____

___.解析(1)由x＋2y－xy＝0，得2x＋1y＝1，且x>0，y>0.∴x＋2y＝(x＋2y)×2x＋1y＝4yx＋xy＋4≥4＋4＝8.当且仅当4yx＝yx，即x＝4，y＝2时等号成立.(2)法一(消元法)由已知得x＝9

－3y1＋y.因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝121＋y＋3(y＋1)－6≥2121＋y·3（y＋1）－6＝6，当且仅当121＋y＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.法二∵x＞0，y＞

0，9－(x＋3y)＝xy＝13x·(3y)≤13·x＋3y22，当且仅当x＝3y时等号成立.设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，

∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.1(3)因为b＝14a，a∈(0，1)，所以11－a＋21－b＝11－a＋21－14a＝11－a＋24a－1＋2＝2a＋1－4a2＋5a－1＋2.令2a＋1＝t，则a＝t－12，原式＝t－t2＋9

t2－92＋2＝192－t＋92t＋2≥192－2t·92t＋2＝4＋423，当且仅当t＝322，即a＝32－24∈(0，1)时取等号，故原式的最小值为4＋423.答案(1)8(2)6(3)4＋423规律方法(1)应用基本

不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，

然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求

解.易错警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练1】(1)(一题多解)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y

的最小值是________.∴3x＋4y＝(3x＋4y)15y＋35x＝95＋45＋3x5y＋12y5x≥135＋125＝5.(2)设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取最小值时，a的值为________.解析(1)法一由x＋3y＝5xy及

x，y均为正数可得15y＋35x＝1，(当且仅当3x5y＝12y5x，即x＝1，y＝12时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.法二由x＋3y＝5xy，得x＝3y5y－1，∵x>0，y>0，∴y>15，∴3x＋4y＝9y5y－1＋4y＝13y－15

＋95＋45－4y5y－1＋4y＝135＋95·15y－15＋4y－15≥135＋23625＝5，当且仅当y＝12时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.∴12|a|＋|a|b＝24|a|＋|a|b＝a＋b

4|a|＋|a|b(2)∵a＋b＝2，b>0，＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|×|a|b＝a4|a|＋1，当且仅当b4|a|＝|a|b时等号成立.又a＋b＝2，b>0，∴当b

＝－2a，a＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值.答案(1)5(2)－2考点二基本不等式的综合应用(2)设正四面体ABCD的棱长为6，P是棱AB上的任意一点(不与点A，B重合)，且点P到平面ACD

，平面BCD的距离分别为x，y，则3x＋1y的最小值是________.【例2】(1)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则lgz4lgx＋lgzlgy的最小值为________.解析(1)由题意得z2＝xy，lgx>0，lgy>0，∴lgz4l

gx＋lgzlgy＝12（lgx＋lgy）4lgx＋12（lgx＋lgy）lgy＝18＋lgy8lgx＋12＋lgx2lgy＝58＋lgy8lgx＋lgx2lgy≥58＋2116＝98，当且仅当lgy8lgx＝lgx2lgy，

即lgy＝2lgx，即y＝x2时取等号.所以13S△BCD·y＋13S△ACD·x＝13S△BCD·2，即x＋y＝2.所以3x＋1y＝123x＋1y(x＋y)＝124＋xy＋3yx≥2＋3，当且仅当x＝3－3，y＝3－1时取等号.(2)过点A作AO⊥平面B

CD于点O，则O为△BCD的重心，所以OB＝23×32×6＝2，所以AO＝（6）2－（2）2＝2.又VP－BCD＋VP－ACD＝VA－BCD，答案(1)98(2)2＋3规律方法(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函

数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】(1)(2018·泰州模拟)已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，则a＋1b2－1的最小值为__

______.(2)(2018·苏、锡、常、镇四市调研)若实数x，y满足xy>0，则xx＋y＋2yx＋2y的最大值为________.解析(1)因为2logab＋3logba＝7，所以2(logab)2－7logab＋3＝0，

解得logab＝12或logab＝3，因为a>b>1，所以logab∈(0，1)，故logab＝12，从而b＝a，因此a＋1b2－1＝a＋1a－1＝(a－1)＋1a－1＋1≥3，当且仅当a＝2时等号成立.(2)因为xy>0，所以xx＋y＋2yx＋2y＝x（x＋2y）＋2y

（x＋y）（x＋y）（x＋2y）＝x2＋4xy＋2y2x2＋3xy＋2y2＝1＋xyx2＋3xy＋2y2＝1＋1xy＋3＋2yx≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当xy＝2yx，即x2＝2y2时取等号.答案(1)3

(2)4－22考点三利用基本不等式解决恒成立及实际应用问题【例3－1】若不等式x＋2xy≤a(x＋y)对任意的实数x，y∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的最小值为________.解析由题意得a≥x＋2xyx＋y＝1＋2yx1＋yx恒成立.令t＝yx(t>0)，则a≥1＋2t1

＋t2，再令1＋2t＝u(u>1)，则t＝u－12，故a≥u1＋u－122＝4u＋5u－2.因为u＋5u≥25(当且仅当u＝5时等号成立)，故u＋5u－2≥25－2，从而0<4u＋5u－2≤425－2＝5＋12，故a

≥5＋12，即amin＝5＋12.答案5＋12(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.【例3－2】(1)已知a>0，b>0，若不等式3a＋1b≥m

a＋3b恒成立，则m的最大值为________.解析(1)由3a＋1b≥ma＋3b，得m≤(a＋3b)3a＋1b＝9ba＋ab＋6.又a>0，b>0，所以9ba＋ab＋6≥29＋6＝12(当且仅当9ba＝ab时等号成立)，∴m≤12，∴m的最大值为12.(2)对任意x∈N*，f(

x)≥3恒成立，即x2＋ax＋11x＋1≥3恒成立，即知a≥－x＋8x＋3.设g(x)＝x＋8x，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝173.∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝173，∴－x＋8x＋3≤－83，∴a≥－83，

故a的取值范围是－83，＋∞.答案(1)12(2)－83，＋∞规律方法(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件

转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.【训练3】(2018·苏北四市联考)如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4m，最低点B离地面2m，观察者从距离墙x(x>1)m，离地面高a(1≤a

≤2)m的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ.解(1)当a＝1.5时，过C作AB的垂线，垂足为D，则BD＝0.5，且θ＝∠ACD－∠BCD，由已知观察者离墙xm，且x>1，(1)若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？(2)若tanθ＝12，当a变化时，求

x的取值范围.则tan∠BCD＝0.5x，tan∠ACD＝2.5x，所以tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝2.5x－0.5x1＋2.5×0.5x2＝2x1＋1.25x2＝2x＋1.25x≤2254＝255，当且仅当x＝52>1时取等号.又tanθ在0，π2上单调

递增，所以当观察者离墙52m时，视角θ最大.(2)由题意得tan∠BCD＝2－ax，tan∠ACD＝4－ax，又tanθ＝12，所以tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝2xx2＋（a－2）·（a－4）＝12，所以a2－6a＋8＝－x2＋4x.当1

≤a≤2时，0≤a2－6a＋8≤3，所以0≤－x2＋4x≤3，即x2－4x≤0，x2－4x＋3≥0，解得0≤x≤1或3≤x≤4，因为x>1，所以3≤x≤4.所以x的取值范围是[3，4].