【文档说明】高考数学总复习-22-导数在研究函数性质中的应用课件-新人教A版-.ppt，共(88)页，2.661 MB，由小橙橙上传

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第二节导数在研究函数性质中的应用重点难点重点：1.用导数判定函数单调性的方法2．函数极值的概念及求法、函数的最值难点：导函数的图象与函数单调性的关系知识归纳1．函数的单调性(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，如果f′(x)0，则f(

x)在区间(a，b)内为增函数；如果f′(x)0，则f(x)在区间(a，b)内为减函数．><(2)①如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)等于常数．②对于可导函数f(x)来说，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的充分不必要条件，f′(x)＜0是f(x)在(a，b)上为

单调减函数的充分不必要条件，如f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，所以在x＝0处不满足f′(x)＞0.2．函数的极值函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)<f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极值，称x0为函数f(x)

的一个极值点．大大如果对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极值，称x0为函数f(x)的一个极值点．极大值与极小值统称为极值．小小3．函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值：在闭区间

[a，b]内可导的函数f(x)必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内可导的函数f(x)不一定有最大值与最小值．误区警示1．利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题(1)利用导数值的符号来求函数的单调区间，必须在函数的定义域内

．．．．解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)．(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意函数的不连续点或不可导点.(3)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充

分条件．2．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0，且y＝f(x)在(a，b)内导数f′(x)＝0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数．3．讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论．4．极值与最值的区别

和联系(1)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性.(2)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.(3)可导函数的极值点导数为零，

但是导数为零的点．．．．．．不一定是极值点．．．．．．．．．(4)极值是一个局部．．概念，极大值不一定．．．比极小值大．解题技巧1．利用导数判断函数单调性的一般步骤①求导数f′(x)；②在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；③根

据②的结果确定函数f(x)的单调区间．2．判断极值的方法：当函数f(x)在点x0处可导且f′(x0)＝0.①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)为极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．3．求极值与最值的步

骤：第1步求导数f′(x)；第2步求方程f′(x)＝0的所有实数根；第3步考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变

正，则f(x0)是极小值．第4步将f(x)的各极值及f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．注：据新课标的要求，有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与端点值比较，就可以知道这一

点就是最大(小)值点．4．求函数的极值、最值时，要严格按解题步骤规范条理的写出解答过程，养成列表的习惯，含参数时注意分类讨论，已知单调性求参数的值域或取值范围时，要注意其中隐含f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．还要注意f(x)在区间A上单调增(或减)与f(x)的单调增(或减)区间是A

的区别．5．构造法在利用导数研究函数的性质，证明不等式等解题过程中，常常要构造函数，构造方程等来促成问题的解决．[例]证明不等式lnx>2(x－1)x＋1，其中x>1.解析：设f(x)＝lnx－2(x－1)x＋1(x>1)．则f′(x)＝1x－4(x＋1)

2＝(x－1)2x(x＋1)2，∵x>1，∴f′(x)>0.∴f(x)在(1，＋∞)内为单调增函数．又∵f(1)＝0，当x>1时，f(x)>f(1)＝0，即lnx－2(x－1)x＋1>0.∴lnx>2(x－1)x＋1.[例1]函数y＝xsinx＋c

osx，x∈(－π，π)的单调增区间是()A．(－π，－π2)和(0，π2)B．(－π2，0)和(0，π2)C．(－π，－π2)和(π2，π)D．(－π2，0)和(π2，π)利用导数研究函数的单调性解析：y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈(－π，－π2)时，y′

＝xcosx>0，∴y为增函数；当x∈(－π2，0)时，y′＝xcosx<0，∴y为减函数；当x∈(0，π2)时，y′＝xcosx>0，∴y为增函数；当x∈(π2，π)时，y′＝xcosx<0，∴y为减函数；∴y＝xsinx＋cosx在(－π

，－π2)和(0，π2)上为增函数，故应选A.答案：A(文)函数y＝xcosx－sinx(0<x<2π)的单调减区间为________．解析：y′＝cosx＋x(－sinx)－cosx＝－xsinx，

当x∈(0，π)时，y′<0，当x∈(π，2π)时，y′>0.∴此函数的单调减区间是(0，π]．答案：(0，π](理)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,

4)D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，由f′(x)>0得，x>2.∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数．答案：D[例2]已知函数f(x)＝－x3＋6x2－9x＋m.(1)求f(x)的单调递增区间．(2)若f(x)在区间[0,4]上的最小值为2，求它在该区间上的最

大值．利用导数求函数的极(最)值解析：(1)f′(x)＝－3x2＋12x－9＝－3(x－1)(x－3)，由f′(x)>0得，1<x<3.∴f(x)在区间(1,3)上单调递增．(2)由f′(x)<0得x<1或x>3，∴f(x)在[0,1]上单调递减，在

[1,3]上单调递增，在[3,4]上单调递减，f(0)＝m，f(1)＝m－4，f(3)＝m，f(4)＝m－4，且m－4<m，∴m－4＝2，∴m＝6，∴f(x)在[3,4]上的最大值为m＝6.(2011·泉州二模)函数f(x)＝x

3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4•解析：对函数求导后可知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，则f(x)在区间[－1,0]上递增，在[0,1]上递减，因此最大值是f

(0)＝2，故选C.•答案：C[例3]已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．已知函数的单调性，求参数值或参数的取值范围解析：f′(x)＝3ax2＋6x－1.∵f(x)是R上的减函数．∴f′(x)≤0恒成立．即3ax2＋6x－1≤0

在x∈R上恒成立，∴a<0且Δ＝36＋12a≤0，∴a≤－3.点评：此类问题的易错点是a＝－3时，该函数也是R上的减函数，符合题目要求，好多学生在解此类问题时，往往丢掉等号．(文)(2010·瑞安中学)若函数f(x)＝x3＋x

2＋mx＋1是R上的单调递增函数，则实数m的取值范围是()A.13，＋∞B.－∞，13C.13，＋∞D.－∞，13解析：f′(x)＝3x2＋2x＋m，由条件知

，f′(x)≥0恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥13，故选C.答案：C(理)(2011·安徽池州一中期末)已知函数y＝－13x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________．解析：y′＝－x

2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在R上单调递减，应有y′≤0恒成立，∴Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，∴－1≤b≤3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b<－1或b>3.答案：b<－1或b>3[例4](2011·聊城模拟)函数f(x)＝x3－2a

x＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是()A．(0,3)B．(0，32)C．(0，＋∞)D．(－∞，3)已知函数极值求参数值或参数的取值范围分析：由f(x)在(0,1)内有极小值知，f′(x)＝3x2－2a＝0在

(0,1)内有解x＝x0，且x<x0时，f′(x)≤0，x>x0时，f′(x)≥0.解析：f′(x)＝3x2－2a，令f′(x)＝0得，a＝32x2，∵f(x)在(0,1)内有极小值，∴f′(x)＝0在(0,1)内有解

，∴a∈(0，32)，故选B.答案：B点评：设f′(x)＝0的解为x＝x0，x0∈(0,1)，则x∈(0，x0)时，f′(x)＝3x2－3x20＝3(x＋x0)(x－x0)<0，x∈(x0,1)时，f′(

x)>0，∴f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0,1)上单调递增，因此x0是f(x)的极小值点．由于是选择题，故解答过程中上述验证f(x)能够取得极小值的过程可省略，若是解答题，省去上述过程则解答过程不完整．(文)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值

和极小值，则实数a的取值范围是________．解析：由于f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1，有f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)．若f(x)有极大值和极小值，则Δ＝4a2－12(a＋6)>0，从而有a>6或

a<－3.答案：a<－3或a>6(理)(2011·杭州二模)设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()A．a>－3B．a<－3C．a>－13D．a<－13解析：由y′＝(eax＋3x)′＝aeax＋3＝0得

x＝1aln－3a>0及a<0，∴ln－3a<0，∴0<－3a<1，∴a<－3.答案：B[例5]设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)的

图象最有可能的是()导函数与原函数图象的关系•分析：由导函数f′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．解析：由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，

f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.答案：C设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′

(x)的图象可能为图中的()•解析：当y＝f(x)为增函数时，y＝f′(x)>0，当y＝f(x)为减函数时，y＝f′(x)<0，可判断D成立．•答案：D[例6]函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上

的偶函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝x3－ax(a∈R)．(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；(2)若a>3，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论；(3)是否存在实数a，使得当x∈(0,1]时，f(x)有最大值－1?综合与创新分析：先用转化

的方法求出f(x)在(0,1]上的解析式，然后求其导数f′(x)，判断f′(x)的符号得出其单调性，再结合单调性讨论其最值的存在性，判断能否取得最大值－1.解析：(1)当x∈(0,1]时，－x∈[－1,0)，f(－x)＝－x3＋ax，∵函数f(x)

是偶函数，∴f(x)＝－x3＋ax(x∈(0,1])．(2)f′(x)＝－3x2＋a，∵x∈(0,1]，∴－3x2∈[－3,0)，又∵a>3，∴－3x2＋a>0.即f′(x)>0，∴f(x)在(0,1]

上是增函数．(3)a>3时，f(x)在(0,1]上是增函数，f(x)max＝f(1)＝a－1.由a－1＝－1⇒a＝0(舍去)．当0≤a≤3时，由f′(x)＝0，得x＝a3.且x∈0，a3时，f(x)是增函数，x∈a3，1时，f(x)是减函数．∴x＝a3时

，f(x)取最大值．∴－a33＋a·a3＝－1，即23a·a3＝－1，无解．a<0时，f′(x)<0，f(x)在(0,1]上是减函数，f(x)在(0,1]上无最大值，∴不存在a使x∈(0,1]时，f

(x)有最大值－1.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)函数y＝f(x)的解析式为________；(2)函数y＝f(x)的单调增区间为________．解析：(1)由f(x

)的图象经过点P(0,2)知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在点M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，∴f(－1)

＝1，f′(－1)＝6.∴3－2b＋c＝6，－1＋b－c＋2＝1，解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令3x2－6x－3＝0.解得x1＝1－2，x2＝1＋2.

当x＜1－2或x＞1＋2时，f′(x)＞0；故f(x)＝x3－3x2－3x＋2在(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)内都是增函数．答案：(1)f(x)＝x3－3x2－3x＋2(2)(－∞，1－2)和(1＋2，＋

∞)一、选择题1．函数y＝x－sinx，x∈[π2，π]的最大值是()A．π－1B.π2－1C．πD．π＋1[答案]C[解析]f′(x)＝1－cosx≥0∴f(x)在[π2，π]上为增函数∴f(x)的最大值为f(π)＝π－sinπ＝π，

故选C.2．(文)函数y＝ax3＋bx2取得极大值或极小值时的x的值分别为0和13，则()A．a－2b＝0B．2a－b＝0C．2a＋b＝0D．a＋2b＝0[答案]D[解析]y′＝3ax2＋2bx由题设0

和13是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴a＋2b＝0.(理)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A．(0,1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D.0，12[答案]D[解

析]∵f′(x)＝3x2－6b，由题意知，函数f′(x)图象如下图．∴f′(0)<0f′(1)>0，∴－6b<03－6b>0，∴0<b<12.3．设曲线y＝x2＋1上任一点(x，y)处的切线的斜率为g(x)，则函数y＝g(x)cosx的

部分图象可以为()[答案]A[解析]g(x)＝(x2＋1)′＝2x，∴y＝g(x)·cosx＝2xcosx，显然y＝2xcosx为奇函数，排除B、D，且在原点右侧附近，函数值大于零．排除C.二、填空题4．(文)函数f(x)＝x3＋3x2－9x的单调减区间为

________．[答案][－3,1][解析]f′(x)＝3x2＋6x－9，由f′(x)≤0得－3≤x≤1，∴f(x)的单调减区间为[－3,1]．(理)(2011·银川二模)已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，

f(1))处的切线方程为y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.[答案]3[解析]∵切点M在切线y＝12x＋2上，∴f(1)＝12×1＋2＝52，又切线斜率k＝12，∴f′(1)＝12，∴f(1)＋f′(1)＝52＋12＝3.三、解答题5．(文)(2011·

泰安模拟)若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．[解析]函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.令f′(x)＝0，解得x＝1，或x＝a－1.当a－1≤1即

a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意；当a－1>1即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．依题意当x∈(1,4)时，f′(x)<0；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.所以4≤a－1

≤6，解得5≤a≤7.所以a的取值范围为[5,7]．(理)(2011·北京文，18)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．[解析](1)f′(x)＝(x－k＋1)ex令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)值的

情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ex－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)，(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；

当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所

以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.