【文档说明】高考数学总复习-35-简单的三角恒等变换课件-新人教A版-.ppt，共(88)页，1.333 MB，由小橙橙上传

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第五节简单的三角恒等变换重点难点重点：倍角、半角公式及积化和差、和差化积公式，依据这些公式进行三角函数的化简、求值、证明等．难点：公式的灵活运用知识归纳1．半角公式sinα2＝±1－cosα2cosα2＝±1＋cosα2tanα2＝±1－cosα1＋cosαta

nα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα2．求值题常见类型(1)“给角求值”：所给出的角常常是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和、差、倍、半公式、和差化积、积化和差公式消去非特殊角转化为特殊角

的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由

所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．3．三角函数的最值问题(1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式①y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.②y＝asin2x

＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．③y＝asinx＋bcsinx＋d或y＝acosx＋bccosx＋d可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式或sinx＝f(y)(cosx＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．(2)用代数方法求三角函

数的最值常见的函数形式①y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为cosx的二次函数式．②y＝asinx＋cbsinx(a，b，c>0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋cbt(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．高考主要考查

可化一角一函形式的和复合二次型.误区警示计算角的三角函数值时，一般要先考虑角的取值范围，使所计算的函数在该范围内单调，以避免讨论，注意发掘隐含的限制角的范围的条件，避免因对隐含条件的疏忽致误．一、函数与方程的思想[

例1]已知sinx＋siny＝13，求sinx－cos2y的最大、最小值．分析：消去sinx得u＝13－siny－cos2y可转化为二次函数最值，关键是消元后sinx的范围同时要转化为siny的取值范围．解析：由sinx＝13－siny及－1≤sinx≤1得

－23≤siny≤1.而sinx－cos2y＝sin2y－siny－23＝(siny－12)2－1112所以当siny＝12时，最小值为－1112，当siny＝－23时，最大值为49.点评：求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一元函数，故首先要消去一个字母，而s

inx＝13－siny能提供两种功能，其一是消元，其二是要从此消元式中解出siny的范围，即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可盲目认定－1≤siny≤1.二、角的构造技巧与公式的灵活运用[例2]求s

in210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．解析：解法1：因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋32cos1

0°－12sin10°2＋sin10°·32cos10°－12sin10°＝34(sin210°＋cos210°)＝34.解法2：令sin10°＝a＋b，cos40°＝a－b，则a＝12(sin10°＋cos40°)＝12(sin

10°＋sin50°)＝sin30°cos20°＝12cos20°，b＝12(sin10°－cos40°)＝12(sin10°－sin50°)＝cos30°sin(－20°)＝－32sin20°.原式＝(a＋b)2＋(a－b)2＋(a＋b)(a－b)＝3a2＋b2＝34cos

220°＋34sin220°＝34.解法3：设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin

50°＝2＋cos40°x－y＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12，因此，2x＝32，x＝34.点评：解法1：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用

降次、和积互化也是一般方法．解法2：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．解法3：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．在此基础上，通过分析三角函

数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．你能解决下列问题吗？①求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值；求cos273°＋cos247°＋cos47°cos73°的值；②求sin2α＋c

os2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)的值；求cos2α＋sin2(α＋30°)－cosαsin(α＋30°)的值；③求sin2α＋cos2(α＋60°)＋3sinαcos(α＋60°)的值；求cos2α＋sin2(α＋60°)－3cosas

in(α＋60°)的值；④若x＋y＝2kπ＋π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y＋sinxsiny为定值34；若x＋y＝2kπ＋2π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y－sinxsiny为定值34.[例1]3－s

in70°2－cos210°＝()A.12B.22C．2D.32分析：观察角可以发现70°与20°互余，20°是10°的二倍，故可用诱导公式和倍角公式(或降幂)化简．倍角公式解析：原式＝3－cos20°2－cos210°＝3－(2cos210°－1)2－cos2

10°＝2.答案：C(文)已知sinα＝23，则cos(π－2α)＝()A．－53B．－19C.19D.53解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×(23)2－1＝－19

.答案：B(理)函数f(x)＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为()A．－3,1B．－2,2C．－3，32D．－2，32解析：f(x)＝cos2x－2sinx＝1－2sin2x－2sinx＝－2(sinx＋12)2＋32，则sinx＝－12时，f

(x)max＝32；sinx＝1时，f(x)min＝－3.答案：C[例2](2010·全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tanα＝________.分析：用诱导公式可将条件化为tan2α的函数值，用二倍角公式解方程可求得tanα.解析：由tan(

π＋2α)＝－43得tan2α＝－43，由tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43，解得tanα＝－12或tanα＝2，又α是第二象限的角，所以tanα＝－12.答案：－12若tan(α＋3π4)＝2011，则1cos2α＋tan2α＝________.解析：∵tan(α＋3π4)＝2

011，∴tanα－11＋tanα＝2011.∵1cos2α＋tan2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＋2tanα1－tan2α＝tan2α＋11－tan2α＋2tanα1－tan2α＝(tanα＋1)21－tan2

α.由于tan(α＋3π4)＝2011，可知tanα＋1≠0.∴1cos2α＋tan2α＝(tanα＋1)21－tan2α＝(tanα＋1)2(1－tanα)(1＋tanα)＝1＋tanα1－tanα＝－12011.答案：－12011[例3]设5π<θ<6

π，cosθ2＝a，则sinθ4等于()A.1＋a2B.1－a2C．－1＋a2D．－1－a2半角公式解析：∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sinθ4<0，∵a＝cosθ2＝1－2sin2θ4，∴sinθ4＝－1－a2.答案：D点评：不要求记忆半角公式，只要熟

记二倍角公式，熟练进行角的范围与三角函数值符号的讨论，求半角的三角函数值时，可利用倍角公式通过开方求解．一个凸平面四边形的四个内角成公比为2的等比数列，其中最小角为θ，且cosθ＝a2，则最大角的正弦值为()A．－

1－a22B.1－a22C．－1＋a22D.1＋a22解析：依题设θ＋2θ＋4θ＋8θ＝360°.∴θ＝24°，8θ＝192°.∴cosθ＝cos24°＝a2.sin8θ＝sin192°＝sin(180°＋12°)

＝－sin12°＝－1－cos24°2＝－1－a22，故选A.答案：A[例4]已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．分析：由α＝(α－β)＋β结合已知条件可求得tanα，再由二倍角公式可得tan

2α，进一步可求得tan(2α－β)，关键是讨论2α－β的范围，由tanβ的值可限定β的取值范围，由tanα，tan2α及tan(α－β)的值可限定α的取值范围，由此可得2α－β的取值范围．三角函数的给值求值(角)问题解析：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tanβ1

－tan(α－β)tanβ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－(13)2＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－3

4×17＝1.∵tanβ＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.点评：三角函数的给值求值(角)问题，常常要讨论角的范围，要注意发掘已知条件中限制角的范围的条件，求值时通常要在某一个单调区间内进行．(文)已知sinα＋cosα＝1－32(0<α<π)，则co

s2α的值为________．解析：由sinα＋cosα＝1－32得，sin2α＝－32<0.又sinα＋cosα＝1－32<0，且0<α<π，∴34π<α<π，∴32π<2α<2π，∴cos2α＝1－sin

22α＝12.答案：12点评：本题解答过程中极易出现下面错误：由sin2α＝－32<0得π<2α<2π，∴cos2α＝±12，其原因是角α的范围过大，导致产生增解．因此，应根据三角函数值挖掘角更小的范围，避免出现增解．(理)(2011·浙江宁波质检)已知0<α<π2<β<π，tanα2＝

12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．解析：(1)tanα＝2tanα21－tan2α2＝43，所以sinαcosα＝43.又因为sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝45.(2)因为0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π.因为cos

(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210.所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝7210×35＋210×45＝22.因为β∈(π2，π)，

所以β＝3π4.[例5]12sin170°－2sin70°的值等于()A．1B．－1C.12D．－12化简、求值与证明解析：12sin170°－2sin70°＝12sin10°－2cos20°＝1－4sin10°cos20°2sin10°＝1－4

sin10°cos(30°－10°)2sin10°＝1－4sin10°(32cos10°＋12sin10°)2sin10°＝1－3sin20°－2sin210°2sin10°＝cos20°－3sin20°2sin10°＝sin(30°－20°)sin10°＝1.故选A

.答案：A求值：2sin20°＋cos10°＋tan20°sin10°.分析：tan20°＝sin20°cos20°全式通分后，第一项可用二倍角公式变形，后两项可用和角公式变形，然后再依据角的特点考虑下一步变形的方向，可以都统一到20°，40°＝60°－20°，10°＝30°－20°，也可以

利用40°＝30°＋10°.解析：原式＝2sin20°cos20°＋cos10°cos20°＋sin10°sin20°cos20°＝sin40°＋cos10°cos20°＝sin(60°－20°)＋co

s(30°－20°)cos20°＝(32cos20°－12sin20°)＋(32cos20°＋12sin20°)cos20°＝3.[例6]化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β.分析：观察可见：有角的二倍关系，可考虑应用倍角公式；有幂

次关系可考虑降幂；函数名称有正弦、余弦，可异名化同名等等．解析：解法1：(从“角”入手，复角化单角)原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12·(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2α·sin

2β＋cos2α·cos2β－12·(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－12＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2

β＋cos2β－12＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12.解法2：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－12cos2α·cos2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－1

2cos2α·cos2β＝cos2β－cos2β·sin2α＋12cos2α＝1＋cos2β2－cos2βsin2α＋12(1－2sin2α)＝1＋cos2β2－12cos2β＝12.解法3：(从“幂”入手，利用降

幂公式先降次)原式＝1－cos2α2·1－cos2β2＋1＋cos2α2·1＋cos2β2－12cos2α·cos2β＝14(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋14(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－12·cos2α·cos2β＝14＋14＝12.解法4：

(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式＝(sinα·sinβ－cosα·cosβ)2＋2sinα·sinβ·cosα·cosβ－12cos2α·cos2β＝cos2(α＋β)＋12sin2α·sin2β－12cos2α·cos2β＝cos2(α＋β)－1

2cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)－12·[2cos2(α＋β)－1]＝12.点评：对一个题目的解题方法，由于侧重角度不同，出发点不同，化简的方法也不惟一．对于三角函数式化简的目标是：(1)次数尽可能低；(2)角尽可能少；(3)三角函数名称尽可能统一；(4)项数尽可能少．

已知tanα，tanβ是方程x2－5x＋6＝0的两个实数根，则2sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)＋cos2(α＋β)的值为()A．3B．0C.3625D．－3解析：由根与系数的关系得tanα＋tanβ＝5

，tanα·tanβ＝6，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝51－6＝－1.式＝2sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)＋cos2(α＋β)sin2(α＋β)＋cos2

(α＋β)＝2tan2(α＋β)－3tan(α＋β)＋1tan2(α＋β)＋1＝2×(－1)2－3×(－1)＋11＋1＝3.答案：A[例7](文)已知：f(x)＝2cos2x＋3sin2x＋a.(a∈R，a为常数)(1)f(x)的最小正周期为________；(2)若f(x)在

－π6，π6上最大值与最小值之和为3，则a的值为________．三角函数的综合问题解析：f(x)＝1＋cos2x＋3sin2x＋a＝2sin(2x＋π6)＋a＋1(1)最小正周期T＝2π2＝π.(2)∵x∈[－π6，π6]，∴2x＋

π6∈[－π6，π2]∴－12≤sin(2x＋π6)≤1∴f(x)max＝2＋a＋1，f(x)min＝－1＋a＋1∴2a＋3＝3，∴a＝0.答案：(1)π(2)0(理)已知函数f(x)＝asinx·cosx－3aco

s2x＋32a＋b.(a>0)(1)x∈R，写出函数的单调递减区间；(2)设x∈[0，π2]，f(x)的最小值是－2，最大值是3，求实数a，b的值．解析：(1)f(x)＝a(sinx·cosx－3cos2x＋32)＋b＝a×(12sin2x－3×1＋cos2x2＋32)

＋b＝a·sin(2x－π3)＋b∵a>0，x∈R，∴由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)得，f(x)的递减区间是[kπ＋512π，kπ＋1112π](k∈Z)(2)∵x∈[0，π2]，∴2x－π3∈[－π3，2π3]∴sin

(2x－π3)∈[－32，1]∴函数f(x)的最小值是－32a＋b＝－2最大值a＋b＝3，解得a＝2，b＝3－2.(2011·天津文，16)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B＝C,2b＝

3a.(1)求cosA的值；(2)求cos(2A＋π4)的值．解析：(1)由B＝C,2b＝3a，可得c＝b＝32a，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝34a2＋34a2－a22×32a×32a＝13.(2)因为cosA＝13，A∈(0，π)，所以sinA＝

1－cos2A＝223，cos2A＝2cos2A－1＝－79，故sin2A＝2sinAcosA＝429.所以cos2A＋π4＝cos2Acosπ4－sin2Asinπ4＝－79×22－429×22＝

－8＋7218.一、选择题1．已知cosα＋sinα＝－1725，α为第二象限角，则tanα等于()A.247B.724C．－247D．－724[答案]D[解析]解法1：cosα＋sinα＝－1725，平方得：sinαcosα＝－168625，又sinαcosα＝sinαcos

αsin2α＋cos2α＝tanα1＋tan2α＝－168625，解得tanα＝－724.解法2：∵cosα＋sinα＝－1725<0，α为第二象限角，∴cosα<0，sinα>0，且|cosα|>|sinα|，∴|tanα|<1且

tanα<0，∴选D.2．(文)(2010·课标全国高考)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝()A．－12B.12C．2D．－2[答案]A[解析]由条件知，sinα＝－1－cos2α＝－35，∴1＋t

anα21－tanα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝(cosα2＋sinα2)2(cosα2－sinα2)(cosα2＋sinα2)＝1＋sinαcosα＝－12.[点评]本题解题思路广阔，由cosα可求sinα，也可求sinα2及

cosα2，从而求出tanα2.也可以利用和角公式将待求式变形为tanπ4＋α2，再用诱导公式和二倍角公式等等．(理)若a＝sin13°＋cos13°，b＝22cos214°－2，c＝62，则()A．a>

b>cB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b[答案]B[解析]a＝2sin58°，b＝2cos28°＝2sin62°，c＝62＝2sin60°，∵sin62°>sin60°>sin58°，∴b>c>a.3．(文)已知

sinx－siny＝－23，cosx－cosy＝23，且x，y为锐角，则sin(x＋y)的值是()A．1B．－1C.13D.12[答案]A[解析]两式相加得sinx＋cosx＝siny＋cosy，∴sinx＋π

4＝siny＋π4，∵x、y为锐角，且sinx－siny<0，∴x<y，∴x＋π4＝π－y＋π4，∴x＋y＝π2，∴sin(x＋y)＝1.(理)已知sinx－siny＝－23，cosx－co

sy＝23，且x、y为锐角，则tan(x－y)的值是()A.2145B．－2145C．±2145D．±51428[答案]B[解析]由已知sinx－siny＝－23，cosx－cosy＝23，得

sin2x－2sinxsiny＋sin2y＝49cos2x－2cosxcosy＋cos2y＝49，相加得cos(x－y)＝59，且x、y均为锐角，∴sin(x－y)＝－2149，∴tan(x－y)＝－2145，故选B.4．函数f(x)＝cos2x－2c

os2x2的一个单调递增区间是()A．(π3，2π3)B．(π6，π2)C．(0，π3)D．(－π6，π6)[答案]A[解析]解法1：f(x)＝cos2x－cosx－1＝(cosx－12)2－54，当x∈(π3，2π3)

时，t＝cosx为减函数且t<12，y＝(t－12)2－54(t<12)为减函数，∴f(x)在(π3，2π3)上为增函数，故选A.解法2：∵f(x)＝cos2x－cosx－1，∴f′(x)＝－2sinxcosx＋sinx＝sinx(1－2cosx)，令f′(x)>0结

合选项知选A.