【文档说明】高考数学一轮总复习坐标系与参数方程2参数方程课件理.ppt，共(35)页，1.821 MB，由小橙橙上传

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选修4—4坐标系与参数方程第2讲参数方程板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数x＝f(t)，y＝g(t)(*)，如

果对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的，变数t叫做参数．参数方程考点2直线、圆、椭圆的参数方程曲线参数方程过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线lx＝x0＋，y＝y0＋tsinα(t为参数)圆心

在点M(x0，y0)，半径为R的圆x＝x0＋Rcosθ，y＝y0＋Rsinθ(θ为参数)tcosα曲线参数方程圆心在原点，半径为R的圆x＝Rcosθ，y＝(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)x＝

acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)Rsinθ[双基夯实]一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)1．参数方程x＝t＋1，y＝2－t(t≥1)表示的曲线为直线．()2．直线y＝x与曲线x＝3cosα，y＝3s

inα(α为参数)的交点个数为1.()××3．直线x＝－2＋tcos30°，y＝1＋tsin150°(t为参数)的倾斜角α为30°.()4．参数方程x＝2cosθ，y＝5sinθθ为参数且θ∈

0，π2表示的曲线为椭圆．()√×二、小题快练1．[课本改编]曲线x＝5cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)的焦距是()A．3B．6C．8D．10解析由曲线x＝5cosθ，y＝4sinθ(θ

为参数)，知该椭圆a＝5，b＝4，所以c＝a2－b2＝3，椭圆的焦距为6，选B.2．[2017·苏州模拟]已知点P(3，m)在以F为焦点的抛物线x＝4t2，y＝4t(t为参数)上，则|PF|等于()A．4B．3C．2D．5解析由x＝4t2，y＝4t(t为参数)，得y2＝4x，则

焦点为(1,0)，准线x＝－1，故|PF|＝3＋1＝4.故选A.3．[课本改编]在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＝t＋2，y＝1－2t(t为参数)与曲线C2：x＝3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)相交于A、B两点，则线段AB的长为_

_______．4解析曲线C1是直线2x＋y－5＝0，曲线C2是圆x2＋y2＝9，圆心到直线的距离d＝54＋1＝5，所以弦长为2r2－d2＝29－5＝4.4．设P(x，y)是曲线C：x＝－2＋cosθ，y＝

sinθ(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，则yx的取值范围是______________．－33，33解析yx表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设yx＝k，则原问题转化为y＝kx和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d≤r，所以|－2k|1＋k2≤

1，解得－33≤k≤33.板块二典例探究·考向突破考向参数方程与普通方程的互化例1[2015·福建高考]在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝1＋3cost，y＝－2＋3sint(t为

参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为2ρsinθ－π4＝m(m∈R)．(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．[解](1)消去参

数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由2ρsinθ－π4＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1－(－2)＋m|2＝2，解得m＝－3±22.触类旁通将

参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，

要注意两种方程的等价性，不要增解．【变式训练1】在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)

，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A，B设P点在同一平面上且满足PAPB＝λ(λ>0且λ≠1)，P点的轨迹是个圆”．这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M与长度为3的线段OA两端点的距离之比为OMMA＝12，建立适当坐标系，求出M点的轨迹方程并化为参数方程．解由题

意，以OA所在直线为x轴，过O点作OA的垂线为y轴，建立直角坐标系，设M(x，y)，则O(0,0)，A(3,0)．因为OMMA＝12，即x2＋y2(x－3)2＋y2＝12，化简得(x＋1)2＋y2＝4，所以M的轨迹是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆．由圆的参数

方程可得x＝2cosθ－1，y＝2sinθ.考向直线的参数方程例2[2016·江苏高考]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)，椭圆C的参数方程为x＝cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)．设直线l与椭圆

C相交于A，B两点，求线段AB的长．[解]椭圆C的普通方程为x2＋y24＝1.将直线l的参数方程x＝1＋12t，y＝32t代入x2＋y24＝1，得1＋12t2＋32t24＝1，即7t2＋

16t＝0，解得t1＝0，t2＝－167.所以AB＝|t1－t2|＝167.触类旁通直线的参数方程的标准形式过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，t的几何意义是直线

上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为12(t1＋t2)．【变式

训练2】在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为x＝1＋t，y＝t－3(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθsin2θ.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，

B两点，求△AOB的面积．解(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝2cosθsin2θ，得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.由直线l的参数方程x＝1＋t，y＝t－3，得t＝

3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，所以直线l的普通方程为x－y－4＝0.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，t1t2＝7，所以|AB|＝2|t1－

t2|＝2×(t1＋t2)2－4t1t2＝2×82－4×7＝62，因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝|－4|1＋1＝22，所以△AOB的面积是12|AB|·d＝12×62×22＝12.考向极坐标、参数方程的综合应用例3[2016·全国卷

Ⅲ]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)写出C1的

普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[解](1)由曲线C1：x＝3cosα，y＝sinα，得x3＝cosα，y＝sinα，即曲线C1的普通方程为x23＋y2＝1.由曲线C2：ρsin

θ＋π4＝22，得22ρ(sinθ＋cosθ)＝22，即曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝|3cosα＋sinα－4|2＝2

sinα＋π3－2.当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为32，12.触类旁通极坐标与参数方程综合应用中注意的问题(1)在已知极坐标方程求曲线

交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．(2)解答参数方

程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径．【变式训练3】[2015·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数，t≠

0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解(

1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和

32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4

sinα－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.核心规律参数方程与普通方程互化的方法(1)参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等

式(三角的或代数的)消去法．(2)普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t)

)．满分策略参数方程应用中的注意事项(1)参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．(2)普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也

不一样．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．(3)常见曲线的参数方程中的参数都有几何意义，注意利用几何意义常能够给解题带来方便.感谢观看指导！