【文档说明】高考数学总复习-33定积分与微积分基本定理理课件-北师大版.ppt，共(73)页，1.647 MB，由小橙橙上传

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第三节定积分与微积分基本定理(理)考纲解读1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．考向预测以选择题、填空题为主考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理．知识梳理1．定积分的定义一般地，

给定一个在区间[a，b]的函数y＝f(x)，将[a，b]区间分成n份，分点为：a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b.第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S＝f(ξ1)

Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ηi，使f(ηi)在区间[xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(η1)Δx1＋f(η2)Δx2＋…＋f(ηi)Δxi＋…＋f(ηn)Δxn.如

果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，我们就称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作，即＝A.其中∫叫做，a叫作，b叫作，f(x)叫作．abf(x)dxa

bf(x)dx积分号积分下限积分上限被积函数2.abf(x)dx的实质(1)当f(x)在区间[a，b]上大于0时，abf(x)dx表，这也是定积分的几何意义．(2)当f(x)在区间[a，b]上小于0时，abf(x)dx表示．由直

线xx＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的＝a，面积由直线xx＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的＝a，面积的相反数(3)当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，

abf(x)dx表示介于x＝a，x＝b(a≠b)之间x轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和．(3)当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，abf(x)dx表示介于x＝a，x＝b(a≠b)之间x轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和．3．定积分的运算性质(1)

ab1dx＝.(2)abkf(x)dx＝.(3)ab[f(x)±g(x)]dx＝.(4)abf(x)dx＝．b－akabf(x)dxabf(x)dx±abg(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dx(a

<c<b)4．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式．可以把F(b)－F(a)记为F(

x)|ba.即abf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．F(b)－F(a)5．利用牛顿——莱布尼兹公式求定积分的关键是，可将基本初等函数的导数公式逆向使用．6．定积分在几何中的应用(

1)当x∈[a，b]且f(x)>0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积为S＝.求被积函数的原函数abf(x)dx(2)当x∈[a，b]且f(x)<0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲

线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积为S＝.(3)当x∈[a，b]且f(x)>g(x)时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的曲边梯形的面积S＝.－abf(x)dxab[f(x)－g(x)

]dx(4)当x∈[a，c]时，f(x)≥g(x)，当x∈[c，b]时f(x)≤g(x)，则由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的曲边梯形的面积S＝＝ab|f(x)－g(x)

|dx.ac[f(x)－g(x)]dx＋cb[g(x)－f(x)]dx7．定积分在物理中的应用(1)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)

在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝.abv(t)dt(2)变力作功公式一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)(单位：m)，则力F所作的功为W＝.abF(x)dx基

础自测1.(2010·湖南理)241xdx等于()A．－2ln2B．2ln2C．－ln2D．ln2[解析]因为(lnx)′＝1x，所以241xdx＝lnx|42＝ln4－ln2＝ln2.[答案]D

2．(2011·福建理，5)01(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋1[解析]本题主要考查积分的基本运算．01(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|10＝e＋1－1＝e，故选C.[答案]C3.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)

行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如下图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t

0时刻后，乙车在甲车前面[解析]考查读图识图能力和曲线的变化率．由图像可知，曲线v甲比v乙在0～t0和0～t1之间与x轴围成面积都大，故在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面．[答案]A4．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是23，则c的值为()A．2B.12C．3

D.13[解析]由y＝x2y＝cx3得x＝0或1c，∴围成图形面积S＝01c|x2－cx3|dx＝23，解得c＝12.[答案]B5．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若01f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x

0的值为________．[解析]本题考查定积分知识．由01f(x)dx＝01(ax2＋c)dx＝(13ax3＋cx)|10＝13a＋c＝f(x0)＝ax20＋c(a≠0)，∴x20＝13，又∵

0≤x0≤1，∴x0＝33.[答案]336．若01(2x＋k)dx＝2，则k＝________.[解析]01(2x＋k)dx＝(x2＋kx)|10＝1＋k∴1＋k＝2∴k＝1.[答案]17．求定积分

-11f(x)dx，其中f(x)＝sinx－1(x≤0)x2(x>0).[解析]-11f(x)dx＝-10f(x)dx＋01f(x)dx＝-10(sinx－1)dx＋01x2dx＝(－cosx－x)|0－

1＋13x3|10＝cos1－2＋13＝cos1－53.定积分的计算[例1]求下列定积分：(1)02(3x2＋4x3)dx；(2)0π2sin2x2dx；(3)求函数f(x)＝x3，x∈[0，1]，x，x∈[1，2]，2x，x∈[2，3]在区间[0,3]上的积分．

[分析]对于(1)(2)，可首先找出一个原函数，然后利用微积分基本定理求解；(3)为分段函数，在[0,3]上的积分可分成几段积分的和的形式．[解析](1)02(3x2＋4x3)dx＝023x2dx＋024x3dx＝x3|20＋x4|20＝24.(2)0π2s

in2x2dx＝0π21－cosx2dx＝0π212dx－0π2cosx2dx＝12xπ20π20－12sinxπ20＝12π2－0－12(1－0)＝12

π2－1＝π－24.(3)由积分性质知03f(x)dx＝01f(x)dx＋12f(x)dx＋23f(x)dx＝01x3dx＋12xdx＋232xdx＝01x3dx＋12x12dx＋

232xdx＝x4410＋23x3221＋2xln232＝14＋432－23＋8ln2－4ln2＝－512＋432＋4ln2.[点评](1)求函数f(x)的定积分，关键是求出函数f(x)的一个原函数F(x)，即满足F′(x)＝f(x)．正确运用求导运算与求原函数运算互为逆

运算的关系．(2)分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．(3)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．求下列定积分．(1)12(x2＋2x＋1)

dx；(2)0π(sinx－cosx)dx；(3)12x－x2＋1xdx；(4)-π0(cosx＋ex)dx.[分析]先由定积分的性质将其分解成各简单函数的定积分，再利用牛顿—莱布尼兹公式求解．[解析](1)12(x

2＋2x＋1)dx＝12x2dx＋122xdx＋121·dx＝x33|21＋x2|21＋x|21＝193.(2)0π(sinx－cosx)dx＝0πsinxdx－0π

cosxdx＝(－cosx)|π0－sinx|π0＝2.(3)12x－x2＋1xdx＝12xdx－12x2dx＋121xdx＝x22|21－x33|21＋lnx|21＝32－73＋ln2＝ln2－56.(4)-π0(cosx＋ex

)dx＝-π0cosxdx＋-π0exdx＝sinx|0－π＋ex|0－π＝1－1eπ.[点评](1)求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求出函数f(x)的一个原函数，要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系．(2)求

复杂函数定积分要依据定积分的性质．①有限个函数代数和的积分，等于各个函数积分的代数和，即ab[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx±…

±abfn(x)dx.②常数因子可提到积分符号外面，即abkf(x)dx＝kabf(x)dx.③当积分上限与下限交换时，积分值一定要变号，即abf(x)dx＝－baf(x)dx.④积分区间的可加性，若c∈[a，b]则有abf(x)d

x＝acf(x)dx＋cbf(x)dx.定积分的几何意义[例2]利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)y＝0，y＝x，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2.[分析]先将区域面积表示成若干个定积分的和或差，再运用牛顿—莱布尼兹公式计算．[

解析](1)曲线所围成的区域如下图(1)所示：设此面积为S，则S＝02(x－0)dx＝02xdx＝23x32|20＝23×232＝432.(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示：S＝A1＋A2.

A2由y＝x，y＝－x，x＝1围成；A1由y＝x，y＝x－2，x＝1围成．∴A1＝01[x－(－x)]dx，A2＝14[x－(x－2)]dx，∴S＝012xdx＋14(x－x＋2)dx＝201xdx＋

14xdx－14xdx＋142dx＝2×23x32|10＋23x32|41－12x2|41＋2x|41＝2×23＋23×432－23－12×42－12＋2×4－2＝43＋

163－23－8＋12＋6＝6－8＋12＋6＝412.[点评]用定积分计算平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状，选择积分函数，再确定积分上、下限，当计算公式S＝ab|f(x)－

g(x)|dx中的f(x)或g(x)是分段函数时，面积要分块计算．在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为112.试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．[分析]需根据面积求出切点坐标．这又需要画出函数y＝x2(x≥0)及切线的图形，再根据定积分的几何意义，

求函数y＝x2(x≥0)的定积分，从而确定相关图形的面积，即可求出切点坐标，其他问题便可顺利解决．[解析]如上图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，得过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2

x0x－x20.令y＝0，得x＝x02，即Cx02，0.设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，S曲边△AOB＝0x0x2dx＝13x3x00＝13x30，S△ABC＝12|BC|·|AB|＝12x0－x02·x20＝14x30.所

以S＝13x30－14x30＝112x30＝112.所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.[点评]求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出曲线交点的横坐标，定出积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)写出平面图形

面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.定积分在物理中的应用[例3]一物体做变速直线运动，其v－t图线如下图所示，求该物体在12s～6s间的运动路程．[分析]从上图可以看出物体在0≤t≤1时做加速运动，1≤t≤3时做匀速运动，3≤t≤6时也做加速运

动，但加速度不同，也就是说0≤t≤6时，v(t)为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积．[解析]v(t)＝2t(0≤t<1)2(1≤t<3)13t＋1(3≤t≤6)[点评]用定积分解决变速运动的位置

与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案，由于函数是分段函数，所以运算过程可能稍微复杂些，因此在运算过程中一定要细心，不要出现计算上的错误

．定积分在物理中的应用主要有两个方面：(1)求路程．做变速运动的物体在一段时间间隔内所走的路程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来求解．因此要求一个物体在一段时间内的路程，只要求出其运动的速度函数，再利用微积分基本定理求出

该时间段上的定积分即可，即物体做变速直线运动的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分abv(t)dt.另外物体做变速直线运动的速度v，等于加速度函数a＝a(t)在时间区间[a，b]上的定积分aba(

t)dt.(2)变力做功变力做功：一物体在变力F(x)的作用下作直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，则变力F(x)所做的功为W＝abF(x)dx.一物体按规律x＝bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物体由x

＝0运动到x＝a时，阻力做的功．[解析]物体的速度v＝x′(t)＝(bt3)′＝3bt2，媒质阻力f阻＝kv2＝k·(3bt2)2＝9kb2t4.(其中k为比例常数，k>0)定积分的综合应用[例4]如下图所示，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y

＝－x2＋2ax(a>1)交于点O、A，直线x＝t(0<t≤1)与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连接OD、DA、AB.(1)写出曲边四边形．．．．．ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)；(2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．[解析](1)由

y＝x2y＝－x2＋2ax得点O(0,0)，A(a，a2)．又由已知得B(t，－t2＋2at)，D(t，t2)．故S＝0t(－x2＋2ax)dx－12·t·t2＋12(－t2＋2at－t2)×(a－t)＝－13x3＋ax2t0－12t3＋(－t2＋at)×

(a－t)＝－13t3＋at2－12t3＋t3－2at2＋a2t＝16t3－at2＋a2t.∴f(t)＝16t3－at2＋a2t(0<t≤1)．(2)f′(t)＝12t2－2at＋a2，令f′(t)＝0，即12t2－2at＋a2＝0，解得t＝(2－2

)a或t＝(2＋2)a.∵0<t≤1，a>1，∴t＝(2＋2)a应舍去．若(2－2)a≥1，即a≥12－2＝2＋22时，∵0<t≤1，∴f′(t)≥0.∴f(t)在区间(0,1]上单调递增，S的最大值是f(1)＝a2－a＋16.若(2－2)a

<1，即1<a<2＋22时，当0<t<(2－2)a时，f′(t)>0，当(2－2)a<t≤1时，f′(t)<0.∴f(t)在区间(0，(2－2)a)上单调递增，在区间((2－2)a,1]上单调递减．∴f(t)的最大值是f[

(2－2)a]＝16[(2－2)a]3－a[(2－2)a]2＋a2(2－2)a＝22－23a3.综上所述，[f(t)]max＝a2－a＋16a≥2＋2222－23a31<a<2＋22.1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的原函

数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数，求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x)．2．利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分．3．利用定积分求所围成平面图形的面积，要利用数形结合的方法

，确定被积函数和积分上、下限．