【文档说明】高考数学一轮总复习基本不等式课件.ppt，共(77)页，2.183 MB，由小橙橙上传

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第4课时基本不等式第七章不等式及推理与证明高考数学一轮总复习…复习任务…1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．请注意基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所

有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．基本不等式若a，b∈R＋，则a＋b2≥ab，当且仅当_____时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数______它们的几何平均数．a＝b不小于常用不等

式(1)若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当______时取“＝”．(2)a2＋b22≥a＋b22≥ab.(3)a2＋b2≥2|ab|.(4)x＋1x≥2.a＝b利

用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝p(定值)，那么当______时，x＋y有最小值_____．(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当______时，xy有最

大值_____．x＝yx＝y1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.(2)函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈(0，π2)的最小值等于4.(3)“x>0且y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．(4)若a>0，则a3＋1a2的最小值为

2a.(5)不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件．(6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√解析(1)错误，x<0时，y≤－2

；(2)错误，cosx不可能为2；(3)错误，x<0，y<0不等式也成立；(4)错误，2a不是定值；(5)错误，对于a2＋b2≥2ab只要a＝b即可，而对于a＋b2≥ab需要a＝b>0才可以；(6)正确，因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2b

c，c2＋a2≥2ac，三式相加即可．2．下列不等式证明过程正确的是()A．若a，b∈R，则ba＋ab≥2ba·ab＝2B．若x>0，y>0，则lgx＋lgy≥2lgx·lgyC．若x<0，则x＋4x≥－

2x·4x＝－4D．若x<0，则2x＋2－x>22x·2－x＝2答案D解析∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1.∴2x＋2－x>22x·2－x＝2.∴D正确．而A，B首先不满足“一正”，C应当为“≤”．3．(2019·

沧州七校联考)设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是()A．40B．10C．4D．2答案D解析∵x＋4y＝40，且x>0，y>0，∴x＋4y≥2x·4y＝4xy.(当且仅当x＝4y时取“＝”)

，∴4xy≤40.∴xy≤100.∴lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.4．若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是()A．4B．8C．22D．42答案B解析∵2x＋4y≥22x·22y＝22x＋2y＝224＝8，当且仅当2x＝22y，即x＝2y＝2时取等号，∴2x＋4y

的最小值为8.5．(2019·四川资阳诊断)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为()A．5＋22B．82C．5D．9答案D解析方法一：∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴2b＋1a＝1.则

a＋2b＝(a＋2b)(2b＋1a)＝5＋2ba＋2ab≥5＋22ba·2ab＝9，当且仅当b＝3，a＝3时等号成立，其最小值为9.方法二：∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴a＝bb－2>0，解得b>2，则a＋2b＝bb－2＋2b＝1＋2b－2＋2(b－2)＋4≥9.6．(2017·江苏)某公

司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．答案30解析设y为一年的总运费与总存储费用之和，则y＝600x·6＋4x＝3600x＋4x≥23600x·4x＝

240.当且仅当3600x＝4x，即x＝30时，y取最小值．题型一利用基本不等式求最值(微专题)微专题1：拼凑法求最值(1)在下列条件下，求y＝4x－2＋14x－5的最值．①当x>54时，求最小值；②当x<54时，求最大值；③当x≥2时，求最小值

．【解析】①∵x>54，∴4x－5>0.y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3≥2＋3＝5.当且仅当4x－5＝14x－5，即x＝32时上式“＝”成立．即x＝32时，ymin＝5.②∵x<54，∴

5－4x>0.∴y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立．故当x＝1时，ymax＝1.③当x≥2时，y＝4x－2＋14x－5为增函数，∴ymin＝4×2－2＋14×2－5＝193.【答案】①5②1③

193(2)已知0<x<25，则f(x)＝x(2－5x)的最大值为________．【解析】因为0<x<25，所以5x>0，2－5x>0，则f(x)＝x(2－5x)＝15·5x·(2－5x)≤15[5x＋（2－5x）

2]2＝15，当且仅当5x＝2－5x，即x＝15时，等号成立，此时f(x)取得最大值15.【答案】15★状元笔记★拼凑法求最值的技巧(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，如例(1)①，“二定”不满足时，需变形如例(

1)②，“三相等”不满足时，可利用函数单调性如例(1)③.(2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”如例(2)本例的关键是变形，凑出和为常数．思考题1(1)若函数f(x)＝x＋1x－2(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝()A．1＋2B．1＋3C．3D．4【解析】∵x>2，∴f(x)＝x

＋1x－2＝(x－2)＋1x－2＋2≥2（x－2）·1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立．故a＝3.【答案】C(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．【解析】9＝x＋3y＋xy＝(x＋

3y)＋13·x·3y≤(x＋3y)＋13(x＋3y2)2，∴(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.[(x＋3y)＋18][(x＋3y)－6]≥0.∵x>0，y>0，∴x＋3y≥6.【答案】6(3)设a，b>0，a＋b＝5，则

a＋1＋b＋3的最大值为________．【解析】(a＋1＋b＋3)2＝a＋b＋4＋2a＋1·b＋3≤9＋2·（a＋1）2＋（b＋3）22＝9＋a＋b＋4＝18，所以a＋1＋b＋3≤32，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝72，b＝32时等号成立．所

以a＋1＋b＋3的最大值为32.【答案】32微专题2：换元法求最值已知x>54，求函数y＝16x2－28x＋114x－5的最小值．【审题】通过换元转化为形如Ax＋Bx＋C形式的函数．【解析】设4x－5＝t，∵x>54，∴t>0.∴y＝16(t＋54)2－28·t＋

54＋11t＝t2＋3t＋1t＝t＋1t＋3≥2＋3＝5.当且仅当t＝1即x＝32时，上式取“＝”号．∴x＝32时，ymin＝5.【答案】5★状元笔记★本例是通过换元，凑出和为常数的形式，进而求最值．自己总结形如y＝

Ax2＋Bx＋Cx或y＝xAx2＋Bx＋C的一类函数的值域或最值的求法．思考题2(1)若将例2中的条件变为x≤45,求y的最大值．【解析】设4x－5＝t，则x＝t＋54.∵x≤45，∴t≤－95.∴y＝t2＋3t＋1t＝t＋1t＋3.设g(t)＝t＋1t，∴g′(

t)＝1－1t2>0.∴g(t)在(－∞，－95]上为增函数．∴ymax＝－95－59＋3＝2945.【答案】2945(2)若将例2中的条件变为x≠54，求y的值域．【解析】设4x－5＝t，则t≠0.∴y＝t＋1t＋3.当t>0时，y≥

2＋3＝5；当t＜0时，y≤－2＋3＝1.∴函数的值域为(－∞，1]∪[5，＋∞)．【答案】(－∞，1]∪[5，＋∞)(3)若将例2中的条件变为0＜x＜54时，求y的最大值．【解析】x∈(0，54)时，t∈(－5，0)．y＝t＋1t＋3，y′＝

1－1t2.令y′＝0，得t＝－1.t∈(－5，－1)时，y′>0.t∈(－1，0)时，y′＜0.∴t＝－1时，ymax＝1.【答案】1微专题3：常数代换法求最值(1)已知正数x，y满足8x＋1y＝1，则①xy的最小值为________；②x＋2y的最小值为________．【审题】先利用乘常

数、或消元法，再利用基本不等式求解最值．【解析】①∵x>0，y>0，∴8x＋1y≥28xy.当且仅当8x＝1y，即x＝16，y＝2，时“＝”成立．∴28xy≤1，∴xy≥32.②方法一：x＋2y＝

(8x＋1y)·(x＋2y)＝10＋xy＋16yx≥10＋2xy·16yx＝18，当且仅当8x＋1y＝1，xy＝16yx，即x＝12，y＝3时“＝”成立，故x＋2y的最小值是18.方法二：(消元法)由8x＋1y＝1，得y＝xx－8，由y>0⇒xx－8>

0，又x>0⇒x>8，则x＋2y＝x＋2xx－8＝x＋2（x－8）＋16x－8＝x＋2＋16x－8＝(x－8)＋16x－8＋10≥2（x－8）·16x－8＋10＝18，当且仅当x－8＝16x－8，即x＝12(x＝4舍去)，此时y＝3，“＝”成立，故x＋2y的最小18.【

答案】①32②18(2)已知正数x，y满足x＋2y＝4，则①xy最大值为________；②2x＋1y最小值为________．【解析】①∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2x·2y.当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1，时“＝”成立．∴2x·2y≤4，∴xy≤2.②2x＋

1y＝(2x＋1y)(x＋2y)×14＝14(4＋xy＋4yx)≥14(4＋2xy·4yx)＝2.当且仅当xy＝4yx，即4y2＝x2，x＋2y＝4，x＝2，y＝1，时取等号．【答案

】①2②2★状元笔记★常数代换法的技巧(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值．(2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变

形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．思考题3(1)(2019·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则1m＋1n的最大值为________．(2)

(2017·山东卷改编)若直线xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5(3)(2019·安徽毛坦厂中学模拟)若θ∈(0，π2)，则y＝1sin2θ＋9cos2θ的取值范围为()A．[6，＋

∞)B．[10，＋∞)C．[12，＋∞)D．[16，＋∞)【解析】(1)∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，∴1m＋1n＝－(m＋n)(1m＋1n)＝－(2＋nm＋mn)≤－2－2nm·mn＝－4，当且仅当m＝n＝

－12时，1m＋1n取得最大值－4.(2)方法一：因为直线xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，所以1a＋1b＝1，所以1＝1a＋1b≥21a·1b＝2ab(当且仅当a＝b时取等号)，所以ab≥2.又a

＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取等号)，所以a＋b≥4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，故选C.方法二：因为直线xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，所以1a＋1b＝1，所以a＋b＝(a＋b)(1a＋1b)＝2＋ab＋ba≥2＋2ab·ba＝4(当且仅当a＝b

＝2时取等号)，故选C.(3)∵θ∈(0，π2)，∴sin2θ，cos2θ∈(0，1)，∴y＝1sin2θ＋9cos2θ＝(1sin2θ＋9cos2θ)(sin2θ＋cos2θ)＝10＋cos2θsin2θ＋9sin2θcos2θ≥10＋2cos2θsin2θ·9sin2θc

os2θ＝16，当且仅当cos2θsin2θ＝9sin2θcos2θ，即θ＝π6时等号成立，∴y＝1sin2θ＋9cos2θ的最小值为16.故选D.【答案】(1)－4(2)C(3)D题型二求参数的取值范围若正数a，b满足ab＝

a＋b＋3，求：(1)ab的取值范围；(2)a＋b的取值范围．【解析】(1)∵ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，令t＝ab>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.∴t≥3即ab≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤(a＋b2)2.令t＝a

＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0.∴t≥6即a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．【答案】(1)[9，＋∞)(2)[6，＋∞)★状元笔记★利用方程的思想是解决此类问题的常规

解法．另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知b＝a＋3a－1>0，∴a－1>0，∴a＋b＝a＋a＋3a－1＝a＋a－1＋4a－1＝a＋1＋4a－1＝(a－1)＋4a－1＋2≥6.思考题4(1)设x>0，y>0，且(x－1)

(y－1)≥2，则xy的取值范围为__________．【解析】(x－1)(y－1)＝xy－(x＋y)＋1≤xy－2xy＋1，又(x－1)(y－1)≥2，即xy－2xy＋1≥2，∴xy≥2＋1，∴xy≥3＋22.【答案】[3＋22，＋∞)(2)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y

的最大值是________．【解析】∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2＝3xy＋1＝32×2xy＋1≤32×(2x＋y2)2＋1，∴(2x＋y)2≤85，∴(2x＋y)max＝2105.【答案】2105题型三证明不等式(1)已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2

＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．【证明】∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2，∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)．即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c

2a2.又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc，∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)．即a2b2＋b2c2＋c2a2≥ab2c＋abc2＋a2bc＝abc(a＋b＋c)．【答案】略(2)设a

，b均为正实数，求证：1a2＋1b2＋ab≥22.【证明】由于a，b均为正实数，所以1a2＋1b2≥21a2·1b2＝2ab，当且仅当1a2＝1b2，即a＝b时等号成立，又因为2ab＋ab≥22ab·ab＝22，当且仅当2ab＝ab时等号成立，所以1a2＋1b2＋ab≥

2ab＋ab≥22，当且仅当1a2＝1b2，2ab＝ab，即a＝b＝42时取等号．【答案】略★状元笔记★证明不等式的方法证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证．本题先局部运用基本不等式，然后用不

等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明这类轮换对称不等式时具有一定的普遍性．思考题5已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)1a＋1b＋1ab≥8；(2)(1＋1a)(1＋1b)≥9.【证明】(1)1a＋1b＋1ab＝2(1a＋1b)，∵a＋

b＝1，a>0，b>0，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4，∴1a＋1b＋1ab≥8(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．(2)方法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba，同理1＋1b＝2＋ab，∴(1＋1a)(1＋1b)＝

(2＋ba)(2＋ab)＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9，∴(1＋1a)(1＋1b)≥9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．方法二：(1＋1a)(1＋1b)＝1＋1a＋1b＋1ab，由(1)知，1a

＋1b＋1ab≥8，故(1＋1a)(1＋1b)＝1＋1a＋1b＋1ab≥9.【答案】略题型四实际应用某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单

价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．【解析】(1)设污水处理池的长为x米，则宽为200x米

，总造价f(x)＝400×(2x＋2×200x)＋100×200x＋60×200＝800×(x＋225x)＋12000≥1600x·225x＋12000＝36000(元)，当且仅当x＝225x(x>0)，即x＝15时等号成立．即污水处理池的长设计为15米时，可使总造价最

低．(2)记g(x)＝x＋225x(0<x≤14.5)，显然是减函数，所以x＝14.5时，g(x)有最小值，相应造价f(x)有最小值，此时宽也不超过14.5米．【答案】(1)15米(2)14.5米★状元笔记★有关函数最值的实

际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)通常将使函数取最值时所求的变量设为自变量．(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．思考题6如图，在半径为

30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上．(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱

形罐子的侧面(不计剪裁和拼接铝耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．【解析】(1)连接OC.设BC＝x，矩形ABCD的面积为S.则AB＝2900－x2，其中0<x<30.所以S＝2x900－x2＝2x2（900

－x2）≤x2＋(900－x2)＝900.当且仅当x2＝900－x2，即x＝152时，S取最大值900cm2.答：取BC为152cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2.(2)设圆柱底面的半径为

r，高为x，体积为V.由AB＝2900－x2＝2πr，得r＝900－x2π.所以V＝πr2x＝1π(900x－x3)，其中0<x<30.由V′＝1π(900－3x2)＝0，得x＝103.因此V＝1π(900x－x3)在(0，103)上是增函数，在

(103，30)上是减函数．所以当x＝103时，V取最大值为60003πcm3.答：取BC为103cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为60003πcm3.【答案】(1)取BC为152cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2.(2)取BC为103cm时，做出的圆

柱形罐子体积最大，最大值为60003πcm3.1．利用基本不等式求最值，“和定积最大，积定和最小”．应用此结论要注意三个条件：“一正二定三相等”．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且要掌握它的变形及公式的逆用等，例如ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22，ab≤a＋

b2≤a2＋b22(a>0，b>0)等．利用基本不等式求解恒成立问题一般解法：(1)f(x)≤0(或≥0)恒成立⇔f(x)max≤0(或f(x)min≥0)；(2)含参数不等式恒成立问题，首选方法是分离参数转化为f(x)≥a(或≤a)形式，其次是数形结合．若对任意x>0，

xx2＋3x＋1≤a恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，只需求得y＝xx2＋3x＋1的最大值即可．因为x>0，所以y＝xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12x·1x＋3＝15，当且仅当x＝1时取等号，所以a的取值范围是[

15，＋∞)．【答案】[15，＋∞)设x>0，y>0，不等式1x＋1y＋mx＋y≥0恒成立，则实数m的最小值是________．【解析】原问题等价于mx＋y≥－(1x＋1y)恒成立，∵x>0，y>0，∴等价于m≥－(1x＋1y)(x＋y)的最大值．而－(1x＋1y)(x

＋y)＝－2－(yx＋xy)≤－2－2＝－4，当且仅当x＝y时取“＝”，故m≥－4.【答案】－4(2019·河南许昌质检)对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－2，＋∞)B．(－∞，－2)C．[－2，2]

D．[0，＋∞)【解析】①当x＝0时，对任意实数a，不等式都成立；②当x≠0时，不等式等价变形为a≥－x2＋1|x|＝－(|x|＋1|x|)＝f(x)，问题等价于a≥f(x)max.因为|x|＋1|x|≥2|x|·1|x|＝2(当且仅当|x|＝1时

等号成立)，所以f(x)max＝－2，所以a≥－2.综合①②可知，a的取值范围是[－2，＋∞)，故选A.【答案】A高考怎么考1．(2015·湖南)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A.2B．2C．22D．4答案C解析方法一：由已知得1a＋

2b＝b＋2aab＝ab，且a>0，b>0，∴abab＝b＋2a≥22ab，∴ab≥22.方法二：由题设易知a>0，b>0，∴ab＝1a＋2b≥22ab，即ab≥22，选C.2．(2014·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是()A．

6＋23B．7＋23C．6＋43D．7＋43答案D解析法一：因为log4(3a＋4b)＝log2ab，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且3a＋4b>0，ab>0，即a>0，b>0，所以4a＋3b＝1(a>0，b>0)

，a＋b＝(a＋b)(4a＋3b)＝7＋4ba＋3ab≥7＋24ba·3ab＝7＋43，当且仅当4ba＝3ab时取等号，选择D项．法二：∵3a＋4b>0，ab>0，∴a>0，b>0，∵log4(3a＋4b)＝log2ab，∴log4(3a＋4b)＝log4(ab)．∴3a＋4b＝ab，

a≠4，a>0，b>0，∴b＝3aa－4>0，∴a>4，则a＋b＝a＋3aa－4＝a＋3（a－4）＋12a－4＝a＋3＋12a－4＝(a－4)＋12a－4＋7≥2（a－4）·12a－4＋7＝43＋7，当且仅当a＝4

＋23时取等号．故选D.3．(2017·北京，文)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．答案[12，1]解析法一：由已知可得y＝1－x，代入x2＋y2，得x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2(x－12)2＋12，x∈[0，

1]，当x＝0或x＝1时，取得最大值1，当x＝12时，取得最小值12，所以x2＋y2的取值范围是[12，1]．法二：设直线x＋y＝1与两坐标轴的交点分别为A(0，1)，B(1，0)，点P(x，y)为线段AB上一点，则P到原点O的距离为|PO|＝x2＋y

2≥|0＋0－1|12＋12＝22，又|PO|≤|AO|＝1，所以22≤x2＋y2≤1，所以x2＋y2的取值范围是[12，1]．法三：令x＝tcosα，y＝tsinα，α∈[0，π2]，x＋y＝t(co

sα＋sinα)＝2tsin(α＋π4)＝1，解得t＝12sin（α＋π4），α＋π4∈[π4，3π4]，22≤sin(α＋π4)≤1，1≤2sin(α＋π4)≤2，所以t∈[22，1]，x2＋y2＝t2∈[1

2，1]．4．(2018·天津)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________．答案14解析由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋18b＝23b－6＋123b≥223b－6×123b＝2×2－3＝14，当且仅当23b－6＝

123b，即b＝1时等号成立．5．(2018·江苏)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．答案9解析由

题意得12acsin120°＝12asin60°＋12csin60°，即ac＝a＋c，得1a＋1c＝1，得4a＋c＝(4a＋c)(1a＋1c)＝ca＋4ac＋5≥2ca·4ac＋5＝4＋5＝9，当且仅当ca＝4ac，即c＝2a时，取等号，故答案为9.6．(2017·天津)若a，b∈R，ab>0

，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________．答案4解析方法一：a，b∈R，ab>0，∴a4＋4b4＋1ab≥2a4·4b4＋1ab＝4a2b2＋1ab＝4ab＋1ab≥24ab·1ab＝4，当且仅当a4＝4b4，4ab＝1ab，即

a2＝2b2，a2b2＝14，即a＝142，b＝148或a＝－142，b＝－148时取“＝”．∴上式的最小值为4.方法二：a，b∈R，ab>0，∴a4＋4b4＋1ab＝a3b＋4b3a＋12ab＋12ab≥44a3

b·4b3a·12ab·12ab＝4，当且仅当a4＝4b4，4ab＝1ab，即a2＝2b2，a2b2＝14，即a＝142，b＝148或a＝－142，b＝－148时取“＝”．∴上式的最小值

为4.