【文档说明】高考数学一轮总复习一元二次不等式的解法课件.ppt，共(91)页，2.856 MB，由小橙橙上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-256796.html

以下为本文档部分文字说明：

第2课时一元二次不等式的解法第七章不等式及推理与证明高考数学一轮总复习…复习任务…1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次

不等式，会设计求解的程序框图．请注意1．若二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R还是∅.二次

函数的图像、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根_____________有两相等实根_________________a

x2＋bx＋c>0(a>0)的解集_____________________________________ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集______________________x1，x2(x1<x2)没有实数根(－∞，x1)∪(x2，＋∞)R{x

|x1<x<x2}∅∅1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2

＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(5)x－ax－b≥0⇔(x－a)(x－b)≥0(a

≠b)．(6)(x＋1)x－1≥0的解集为[1，＋∞)．答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√2．(课本习题改编)不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为()A．{x|1≤x≤2}B．{x|

x≤1或x≥2}C．{x|1<x<2}D．{x|x<1或x>2}答案A解析因为(x－1)(2－x)≥0，所以(x－2)(x－1)≤0，所以结合二次函数的性质可得1≤x≤2.故选A.3．(2019·衡水中学调研卷)已知A＝{x|x2－3x－4≤0，x∈N}，B＝{x|2x2－x－6>0，x∈Z}

，则A∩B的真子集个数为()A．2B．3C．7D．8答案B解析A＝{x|(x－4)(x＋1)≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤4，x∈N}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|(2x＋3)(x－2)>0，x∈Z}＝{x|x<－32或x>2，x∈Z}，∴A∩B＝{3，4}，其真子集个数为22－1＝3.

4．不等式log2(x＋1x＋6)≤3的解集为________．答案(－3－22，－3＋22)∪{1}解析原不等式⇔0<x＋1x＋6≤8⇔①x>0，x2＋6x＋1>0，x2－2x＋1≤0或②x

<0，x2＋6x＋1<0，x2－2x＋1≥0.解①得x＝1，解②得－3－22<x<－3＋22.∴原不等式的解集为(－3－22，－3＋22)∪{1}．5．已知(ax－1)(x－1)≥0的解集为R，则实数

a的值为________．答案1解析原不等式为ax2－(a＋1)x＋1≥0，∴a>0，Δ＝（a＋1）2－4a≤0⇒a＝1.6.若不等式x2＋ax＋1≥0对x∈(0，12]恒成立，求a的最小值．答案－52解析方法一：(1)Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2成立．(

2)a<－2时，－a2>1，只需(12)2＋a·12＋1≥0，即a≥－52，此时－52≤a<－2.(3)a>2时，－a2<－1恒成立．综上所述，a≥－52.∴a的最小值为－52.方法二：由x2＋ax＋1≥0，得a≥－x－1x，x∈(0，12]．令f(x)＝－x－1x(x∈(0，12

])＝－(x＋1x)，是增函数．当x＝12时，f(12)＝－52，∴f(x)max＝－52.要使原命题成立，则a≥－52.∴a的最小值为－52.题型一一元二次不等式的解法求下列不等式的解集：(1)x2－4x－5≤0；(2)－x2＋8x－3>0；(3)ax2－(a＋1)x＋

1<0.【解析】(1)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．(2)因为82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－1

3，x2＝4＋13.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图像开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－13<x<4＋13}．(3)若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.若a<0，则原不等式等价于(x－1a)

(x－1)>0，解得x<1a或x>1.若a>0，原不等式等价于(x－1a)(x－1)<0.①当a＝1时，1a＝1，(x－1a)(x－1)<0无解；②当a>1时，1a<1，解(x－1a)(x－1)<0得1a<x<1；③当0<a<1时，1a>1，解(x－1a)(x－1)<0

得1<x<1a.综上所述：当a<0时，解集为{x|x<1a或x>1}；当a＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<1a}；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x|1a<x<1}．【答案】(1){x|－1≤x≤5}(2){x|4－13<x<4＋13}(3)略★状元

笔记★一元二次不等式的解法(1)解一元二次不等式的一般步骤：①对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)；②计算相应的判别式；③当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；④根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．(2)解含参数

的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．思考题1解关于x的不等式：(1)(x＋3)(2

－x)≤4；(2)(x2－x－1)(x2－x＋1)>0；(3)12x2－ax>a2(a∈R)．【解析】(1)(x＋3)(2－x)≤4⇔(x＋3)(x－2)≥－4⇔x2＋x－6≥－4⇔x2＋x－2≥0⇔(x＋2)(x－1

)≥0.∴原不等式的解集为{x|x≤－2或x≥1}．(2)∵x2－x＋1＝(x－12)2＋34>0，∴(x2－x－1)(x2－x＋1)>0.即解不等式x2－x－1>0.由求根公式知x1＝1－52，x2＝1＋52.∴x2－x－1>

0的解集为{x|x<1－52或x>1＋52}．∴原不等式的解集为{x|x<1－52或x>1＋52}．(3)由12x2－ax－a2>0⇒(4x＋a)(3x－a)>0⇒(x＋a4)(x－a3)>0，①当a>0时，－a4<a3，解集为{x|x<－a4或x>a3}；

②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；③当a<0时，－a4>a3，解集为{x|x<a3或x>－a4}．【答案】(1){x|x≤－2或x≥1}(2){x|x<1－52或x>1＋52}(3)略题型二分式、高次不等式(1)不等式x－12x＋1≤0的解集为________．(2)(20

19·广东深圳二调)不等式x＋1≥2x的解集为________．【解析】(1)x－12x＋1≤0⇔（x－1）（2x＋1）≤0，2x＋1≠0，解得－12<x≤1.故不等式x－12x＋1≤0的解集为(－12，1]．(2)原不等式可化为x

＋1－2x≥0⇒x2＋x－2x≥0⇒（x＋2）（x－1）x≥0⇒x（x＋2）（x－1）≥0，x≠0.如图所示，原不等式的解集为{x|－2≤x<0或x≥1}．【答案】(1)(－12，1](2){x|－2≤x<0或x≥1}★状元笔记★(1)分式不等式与一元二次不等式

的关系x－ax－b≥0⇔（x－a）（x－b）≥0，x－b≠0；x－ax－b≤0⇔（x－a）（x－b）≤0，x－b≠0.(2)高次不等式的解法一般使用穿针引线法：①标准化：通过移项、通分等方法将不等式化为左侧为关于未知数的整式，右侧为0的形式；②

分解因式：将标准化的不等式的左侧化为若干个因式(一次因式或高次不可约因式)的乘积，如(x－x1)(x－x2)…(x－xn)>0的形式，其中各因式中未知数的系数为正；③求根：求(x－x1)(x－x2)…(x

－xn)＝0的根，并在数轴上表示出来(按从小到大的顺序标出)；④穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但是要注意经过偶次根时应从数轴的一侧返回这一侧，经过奇次根时应从数轴的一侧穿过，到达数轴的另一侧；⑤得解集：若不等式(未知数

的系数均为正)是“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式(未知数的系数均为正)是“<0”，则找“线”在数轴下方的区间．思考题2(1)不等式3－2x<x的解集是________．【解析】由不等式3－2x<x等价于x2－3x＋2x>0，等价于x(x2－3x＋2)>0，

即x(x－1)(x－2)>0，由数轴标根法得{x|0<x<1或x>2}．【答案】{x|0<x<1或x>2}(2)(2019·安徽淮北一模)不等式x2＋2x－5x＋1>1的解集为()A．{x|－2<x<－1或x>3}B．{x|－3<x<－1或x>2}C．{x|x<－3或

－1<x<2}D．{x|x<－3或x>2}【解析】不等式⇔x2＋x－6x＋1>0⇔(x2＋x－6)(x＋1)>0，(x－2)(x＋1)(x＋3)>0.易知相应方程的根为－3，－1，2，由穿针引线法可得原不等式的解集为{x|－3<x<－1或x>2}．故选

B.【答案】B题型三分段函数型不等式(1)(2017·课标全国Ⅲ)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x>0，则满足f(x)＋f(x－12)>1的x的取值范围是________．【解析】当x>0时，f(x)＝2x>1恒成立，当x－12>0，即x>12时，f(x－12)＝

2x－12>1，当x－12≤0，即0<x≤12时，f(x－12)＝x＋12>12，则不等式f(x)＋f(x－12)>1恒成立．当x≤0时，f(x)＋f(x－12)＝x＋1＋x＋12＝2x＋32>1，所以－14<x≤0.综上所述，x的取值范围是(－1

4，＋∞)．【答案】(－14，＋∞)(2)(2019·山西大同一中模拟)已知函数f(x)＝－x2－2x，x≥0，x2－2x，x<0，若f(3－a2)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．【解析】作出函数f(x)的图像如图，由图可知，函数f(x)为单

调递减函数，∵f(3－a2)<f(2a)，∴3－a2>2a，解得－3<a<1.【答案】(－3，1)★状元笔记★(1)不等式的解法是高考的一个基本考点，一般涉及一元二次不等式、分式不等式、指数与对数不等式等，主要依据不等式的性质求解，试题比较简单．(2

)分段函数与不等式的结合将是高考的一个热点．思考题3(1)(2019·江苏南通市期中)已知f(x)＝1x－2，x>2，－x2－x＋4，x≤2，则不等式f(x)≤2的解集是________．【解析】依题意，得1x－2≤2，x>2，或－x2－

x＋4≤2，x≤2，解得x∈(－∞，－2]∪[1，2]∪[52，＋∞)．【答案】(－∞，－2]∪[1，2]∪[52，＋∞)(2)(2019·江西八校联考)已知f(x)＝1，x≥2，－1，x<2，则不等式x2·f(x)＋x－2≤0的解集是________．【解析】

当x≥2时，原不等式可化为x2＋x－2≤0，解得－2≤x≤1，此时x不存在；当x<2时，原不等式可化为－x2＋x－2≤0，解得x∈R，此时x<2.综上可得原不等式的解集为{x|x<2}．【答案】{x|x<2}题型四三个二次的关系(2019·黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax2－bx－1>0的解

集是{x|－12<x<－13}，则不等式x2－bx－a≥0的解集是()A．{x|2<x<3}B．{x|x≤2或x≥3}C．{x|13<x<12}D．{x|x≤13或x≥12}【解析】∵不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－12<x<－13}，∴ax2－bx

－1＝0的解是x1＝－12和x2＝－13，且a<0，∴－12－13＝ba，（－12）×（－13）＝－1a，解得a＝－6，b＝5.则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或

x≥3.【答案】B★状元笔记★(1)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法，应用极广，是高考的热点之一．(2)不等式解集的端点值是相应等价方程的根．思考题4(1)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是{x|x<－2或x>－12}，求不等式ax2－bx＋c>0的解集．【审

题】由题意可知，－2，－12是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由韦达定理得－ba＝－52，ca＝1，注意观察要求不等式与已知条件之间的联系．【解析】由条件，知－2，－12是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且

a<0，∴－2－12＝－ba，(－2)×(－12)＝ca.∴b＝52a，c＝a.从而不等式ax2－bx＋c>0变为a(x2－52x＋1)>0.∵a<0，∴原不等式等价于2x2－5x＋2<0，即(x－2)(2x－1)<0，解得12<x<2.∴不等式的解集为{x|12<x<2}．【答案】{x|12

<x<2}(2)若ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，则对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c，有()A．f(5)<f(2)<f(－1)B．f(2)<f(5)<f(－1)C．f(－1)<f(2)<f(5)

D．f(2)<f(－1)<f(5)【解析】因为ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，所以a>0，且－2，4的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得－2＋4＝－

ba，（－2）×4＝ca，所以b＝－2a，c＝－8a，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c＝ax2－2ax－8a＝a(x2－2x－8)，其图像的对称轴为x＝1，开口向上，所以f(2)<f(－1)<f(5)．【答

案】D题型五不等式恒成立问题函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的范围；(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的范围；(3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的范围．【解析】(1)∵x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，

须Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，所以－6≤a≤2.(2)方法一：当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g(x)的图像恒在x轴上方时，满足条件，有Δ＝a2－4(3－a)≤0

，即－6≤a≤2.②如图(2)，g(x)的图像与x轴有交点，但在x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即Δ≥0，x＝－a2<－2，g（－2）≥0，即a2－4（3－a）≥0，－a2<－2，4－2a＋

3－a≥0⇔a≥2或a≤－6，a>4，a≤73，解之得a无解，③如图(3)，g(x)的图像与x轴有交点，但在x∈(－∞，2]时，g(x)≥0，即Δ≥0，x＝－a2>2，g（2）≥0，即

a2－4（3－a）≥0，－a2>2，7＋a≥0⇔a≥2或a≤－6，a<－4，a≥－7.∴－7≤a≤－6.综合，得－7≤a≤2.方法二(分离参数)：x2＋3≥a(1－x)对1－x进行分类讨论；当x∈[－2，1)时，a≤x2＋31－x，去求x2＋31－

x的最小值；设1－x＝t，x2＋3＝t2－2t＋4，即为a≤t＋4t－2(0<t≤3)，∴a≤2.当x＝1时，a∈R，当x∈(1，2]时，a≥x2＋31－x去求x2＋31－x最大值；设1－x＝t，t∈[－1，0)，x2＋31－x＝t＋4t－2.在[－1，0)上递减，∴t＝－1时最大值为－7，

∴a≥－7，综上所述－7≤a≤2.(3)令h(a)＝xa＋x2＋3，当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．只需h（4）≥0，h（6）≥0，即x2＋4x＋3≥0，x2＋6x＋3≥0，解之得x≤－3－6或x≥－3＋6.

【答案】(1)[－6，2](2)[－7，2](3)(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)★状元笔记★恒成立问题的解法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数

．(2)对于二次不等式恒成立问题常见有两种类型，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图像进行

分类讨论(也可采用分离参数的方法)．思考题5已知关于x的不等式2x－1>m(x2－1)．(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立？并说明理由；(2)若对于m∈[－2，2]不等式恒成立，求实数x的取值范围；(3)若对于x∈(1，＋∞)不等式恒成立，求m的范围．【解

析】(1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)<0，若m＝0时，－2x＋1<0不恒成立，若m≠0时，若对于任意实数x恒成立，当且仅当m<0且Δ＝4－4m(1－m)<0，不等式解集为∅，所以不存在实数m，使不等式恒成立．(2)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，当

m∈[－2，2]时，f(m)<0恒成立．而f(m)在m∈[－2，2]时表示线段，当且仅当f（2）<0，f（－2）<0⇔2x2－2x－1<0，①－2x2－2x＋3<0.②由①，得1－32<x<1＋32

.由②，得x<－1－72或x>－1＋72.取交集，得－1＋72<x<1＋32.所以x的取值范围是{x|－1＋72<x<1＋32}．(3)∵x>1，∴m<2x－1x2－1.设2x－1＝t(t>1)，x2－1＝t2＋2t－34，∴m<4tt2＋2t－3＝4t－3t

＋2.设g(t)＝t－3t＋2，t∈(1，＋∞)，显然g(t)在(1，＋∞)上为增函数．∴g(t)>0，∴m≤0.【答案】(1)不存在(2)(－1＋72，1＋32)(3)(－∞，0]1．一元二次方程、一

元二次不等式、二次函数三者密切相关，因而在一元二次不等式求解时要注意利用相应二次函数的图像及相应二次方程的根迅速求出解集，掌握“数形结合”思想．2．在解形如ax2＋bx＋c>0的不等式时，若没有说明二次项

系数取值时，别忘了对系数为零的讨论．3．分式不等式要注意分母不为零．4．掌握分类讨论思想在解不等式中的运用，尤其注意分类的标准是不重不漏．高考怎么考1．(2015·重庆)函数f(x)＝log2(x2＋

2x－3)的定义域是________．(用区间表示)答案(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析由题意得：x2＋2x－3>0，即(x－1)(x＋3)>0，解得x>1或x＜－3，所以定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．2．(2014·重庆)关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a>0)的解集为(x1，

x2)，且x2－x1＝15，则a＝________．答案52解析方法一：因为关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a>0)的解集为(x1，x2)，所以x1＋x2＝2a①，x1·x2＝－8a2②，又x2－x1＝15③，①2－4×②可得(x2－x1)2＝36a2，代

入③可得，152＝36a2，解得a＝±156＝±52，因为a>0，所以a＝52.方法二：∵x2－2ax－8a2<0，a>0，∴(x－4a)(x＋2a)<0.∴－2a<x<4a.∴x2－x1＝4a－(－2a)＝6a＝15.∴a＝52.3．(2014·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数

．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．答案(－5，0)∪(5，＋∞)解析作出f(x)＝x2－4x(x>0)的图像，如图所示，∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图像

关于原点对称作出x＜0的图像，不等式f(x)>x表示函数y＝f(x)图像在y＝x上方，∵f(x)图像与y＝x图像交于P(5，5)，Q(－5，－5)，则由图像可得不等式f(x)>x的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．故答案为(－5，0)∪(5

，＋∞)．4．(2015·上海)若不等式x2－kx＋k－1>0对x∈(1，2)恒成立，则实数k的取值范围是________．答案(－∞，2]解析不等式x2－kx＋k－1>0可化为(1－x)k>1－x2，∵x∈

(1，2)，∴k<1－x21－x＝1＋x，∴y＝1＋x是一个增函数，∴k≤1＋1＝2，∴实数k的取值范围是(－∞，2]．故答案为(－∞，2]．专题研究一元二次方程根的分布1．一元二次方程的根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系．比如二

次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2，且x1≤x2.【定理1】x1>0，x2>0(两个正根)⇔Δ＝b2－4ac

≥0，x1＋x2＝－ba>0，x1x2＝ca>0.推论：x1>0，x2>0⇔Δ＝b2－4ac≥0，a>0，f（0）＝c>0，b<0或Δ＝b2－4ac≥0，a<0，f（0）＝c<0，b>0.上述推论结合二次函数图像不难得到．【定理2】x1<0，x2<0(两个负根)

⇔Δ＝b2－4ac≥0，x1＋x2＝－ba<0，x1x2＝ca>0.推论：x1<0，x2<0⇔Δ＝b2－4ac≥0，a>0，f（0）＝c>0，b>0或Δ＝b2－4ac≥0，a<0，f（0）＝c<0，b<0.由

二次函数图像易知它的正确性．【定理3】x1<0<x2(一正根一负根)⇔ca<0.2．一元二次方程的根的非零分布——k分布设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2.k为常数．则一元二次方程根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下若干定理．

【定理1】x1<k<x2(即一个根小于k，一个根大于k)⇔af(k)<0.【定理2】k<x1≤x2(即两根都大于k)⇔Δ＝b2－4ac≥0，af（k）>0，－b2a>k.【定理3】x1≤x2<k(即两根都小于k)⇔Δ＝b2－4ac≥0，af（k）>

0，－b2a<k.【定理4】有且仅有k1<x1(或x2)<k2(即在(k1，k2)内有且仅有一个根)⇔f(k1)f(k2)<0.【定理5】k1<x1≤x2<k2(即两根都在(k1，k2)内)⇔

Δ＝b2－4ac≥0，a>0，f（k1）>0，f（k2）>0，k1<－b2a<k2或Δ＝b2－4ac≥0，a<0，f（k1）<0，f（k2）<0，k1<－b2a<k2.⇔Δ≥0，af（k1）>0，

af（k2）>0，k1<－b2a<k2专题讲解若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0，分别满足下列条件时，求m的取值范围．(1)两根都大于0；(2)一根大于－1，另一根小于－1；(3)一根在(1，2)内，另一根在(－1，0

)内；(4)一根在(－1，1)，另一根不在(－1，1)内；(5)一根小于1，另一根大于2；(6)两根都在区间[－1，3)；(7)两根都小于1；(8)在(1，2)内有解．【解析】设f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－m，(1)两根都大于0，应满足

Δ≥0，－m＋1m－1>0，（m－1）f（0）>0解得0<m<1.(2)一根大于－1，另一根小于－1，应满足(m－1)f(－1)<0，即(m－1)(－2m－3)<0，解得m>1或m<－32.(3)一根

在(1，2)内，另一根在(－1，0)内，应满足f（1）f（2）<0，f（0）f（－1）<0即m（2m＋1）<0，（－2m－3）×（－m）<0解得－12<m<0.(4)一根在(－1，1)内，另一根不在(－1，1)内，应满足f(－1)f(1

)<0，即(2m＋1)(－2m－3)<0，∴m>－12或m<－32，又∵m－1≠0，∴m≠1.∴m的范围为(－∞，－32)∪(－12，1)∪(1，＋∞)．(5)一根小于1，另一根大于2，应满足（m－1

）f（1）<0，（m－1）f（2）<0即（m－1）（2m＋1）<0，m·（m－1）<0解得0<m<1.(6)两根都在[－1，3)内，应满足Δ≥0，－1<－m＋1m－1<3，（m－1）f（－1）≥0，（m－1）f

（3）>0解得－32≤m<314.(7)两根都小于1，应满足Δ≥0，－m＋1m－1<1，（m－1）f（1）>0解得m>1或m<－12.(8)在(1，2)内有解应满足Δ≥0，1<－m＋1m－1<2，（m－1）f（1）>0，（m－1）f（2

）>0或f(1)f(2)≤0，解得－12≤m≤0.经检验m＝－12和m＝0都不合题意舍去．∴－12<m<0.【答案】(1)0<m<1(2)m>1或m<－32(3)－12<m<0(4)m>－12或m<－32且m≠1(5)0<m<1(6)－32≤m<314(7

)m>1或m<－12(8)－12<m<0专题训练1．若一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0的两根都是负数，则k的取值范围为________．答案(－∞，－125]∪(3，＋∞)解析依题意可知Δ≥

0，k－3k>0，解得k≤－125或k>3.2．一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0有一个正根和一个负根，则k的取值范围为________．答案(0，3)解析依题意有k－3k<0⇒0<k<3.3．若一元二次方程kx2＋(2k－1)x＋k－3＝0有一根为零，

则另一根的符号为________．答案负解析由已知k－3＝0，∴k＝3，代入原方程得3x2＋5x＝0，另一根为负根．4．已知方程x2－11x＋m－2＝0的两实根都大于1，则m的取值范围为________．答案12<m≤1294解析由题意得应满足Δ≥0，112>1，f（1）>0

，即112－4（m－2）≥0，m－12>0解得12<m≤1294.5．若一元二次方程mx2－(m＋1)x＋3＝0的两个实根都大于－1，则m的取值范围为________．答案m<－2或m≥5＋26解

析由题意得应满足m≠0，m＋12m>－1，Δ≥0，mf（－1）>0，解得m<－2或m≥5＋26.6．若一元二次方程mx2－(m＋1)x＋3＝0的两实根都小于2，则m的取值范围为________．答案m<－12或m≥5＋26解析由题意得，应满足m≠0，Δ≥0，m＋12m<

2，mf（2）>0，解得m<－12或m≥5＋26.7．已知方程x2＋2mx＋2m2－3＝0有一根大于2，另一根比2小，则m的取值范围为________．答案－1－22<m<－1＋22解析由题意得，应满足f(2)<0，即2m2＋4m＋1<0，解得－1－22<m<－1＋22

.8．已知方程x2＋(m－2)x＋2m－1＝0只有一实根在0和1之间，则m的取值范围为________．答案12<m<23解析由题意得，应满足f(0)f(1)<0，解得12<m<23.9．若方程x2＋(k＋

2)x－k＝0的两实根均在区间(－1，1)内，则k的取值范围为________．答案－4＋23≤k<－12解析由题意得，应满足Δ≥0，－1<－k＋22<1，f（－1）>0，f（1）>0.解得－4＋23≤k<－12.10．若

方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则k的取值范围为________．答案12<k<23解析由题意得，应满足f（0）>0，f（1）<0，f（2）>0，解得12<k<23.11．已知关于x的方程(

m－1)x2－2mx＋m2＋m－6＝0的两根为α，β且0<α<1<β，则m的取值范围为________．答案－3<m<－7或2<m<7解析由题意得，应满足f（0）f（1）<0，（m－1）f（1）<0，解得－3<m<－7或2<m<7.