【文档说明】高考数学一轮总复习一元二次不等式及其解法课件理.ppt，共(40)页，2.438 MB，由小橙橙上传

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第6章不等式、推理与证明第2讲一元二次不等式及其解法板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1一元二次不等式的解法1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．2．计算相应的3．当时，求出相应的一元

二次方程的根．4．利用二次函数的图象与x轴的确定一元二次不等式的解集．大于判别式．Δ≥0交点考点2三个二次之间的关系[必会结论]1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)

恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．注意在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件．[双基夯实]一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)1．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为

(x1，x2)，则必有a>0.()2．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()√√3．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()4．

不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()××二、小题快练1．[2016·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝()A．{－2，－1,0,1,2,3}B．{－2，－1,0,1,2}C．{1

,2,3}D．{1,2}解析∵B＝{x|－3<x<3}，∴A∩B＝{1,2}，选D.2．[2015·浙江高考]已知集合P＝x|x2－2x≥3，Q＝{x|2<x<4}，则P∩Q＝()A．[3,4)B．(2,3]C

．(－1,2)D．(－1,3]解析因为P＝{x|x≤－1或x≥3}，所以P∩Q＝{x|3≤x<4}，故选A.3．[2017·辽阳统考]不等式x－2x＋1≤0的解集是()A．(－∞，－1)∪(－1,2]B．[－1,2]C．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D．(－1,2]解析x－2x＋1≤0⇔(x＋

1)(x－2)≤0，且x≠－1，即x∈(－1,2]，故选D.4．[课本改编]不等式ax2＋bx＋2>0的解集是－12，13，则a＋b的值是()A．10B．－10C．14D．－14解析由题意知－12，13是ax2＋bx＋2

＝0的两根，则a＝－12，b＝－2.所以a＋b＝－14.板块二典例探究·考向突破考向一元二次不等式恒成立问题例1已知函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取

值范围．[解](1)当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立．当m≠0时，则m<0，Δ＝m2＋4m<0，即－4<m<0.综上，－4<m≤0，故m的取值范围是(－4,0]．(2)不等式f(x)<5－m，即

(x2－x＋1)m<6，∵x2－x＋1>0，∴m<6x2－x＋1对于x∈[1,3]恒成立，只需求6x2－x＋1的最小值，记g(x)＝6x2－x＋1，x∈[1,3]，记h(x)＝x2－x＋1＝x－122＋34，h(x)在x∈[1,3]

上为增函数，则g(x)在[1,3]上为减函数，∴[g(x)]min＝g(3)＝67，∴m<67.所以m的取值范围是－∞，67.延伸探究1本例中(1)变为：若f(x)<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．解设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，

当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则g(1)<0，g(2)<0，即x2－x－1<0，2x2－2x－1<0，解得1－32<x<1＋32，故x的取值范围为1－32，1＋32.延伸探究2本例中(2)条件“f(x)<5－m恒成立”改为“f(x)<5－m无解”，如

何求m的取值范围？解若f(x)<5－m无解，即f(x)≥5－m恒成立，即m≥6x2－x＋1恒成立，又x∈[1,3]，得m≥6.即m的取值范围为[6，＋∞)．延伸探究3本例中(2)条件“f(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)<5－m成立”，如何求m的取

值范围．解由题知f(x)<5－m有解，即m<6x2－x＋1有解，则m<6x2－x＋1max，又x∈[1,3]，得m<6.即m的取值范围为(－∞，6)．触类旁通解决一元二次不等式恒成立问题的方法(1)对于一元二次不等式恒成

立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．

【变式训练1】(1)[2017·九江模拟]若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞)D．(－∞，－6)解析不等式x2－4x－2

－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)<g(4)＝－2，∴a<－2.](2)对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－

2m的值恒大于零，求x的取值范围．解由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，∴

g(－1)＝(x－2)×(－1)＋x2－4x＋4>0，g(1)＝(x－2)＋x2－4x＋4>0，解得x<1或x>3.故当x<1或x>3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．考向一元二次不等式的应用例2甲厂以x千克/小时的速

度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100·5x＋1－3x元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问

：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[解](1)根据题意，2005x＋1－3x≥3000，整理得5x－14－3x≥0，即5x2－14x－3≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围是[3,10]．(2

)设利润为y元，则y＝900x·1005x＋1－3x＝9×1045＋1x－3x2＝9×104－31x－162＋6112，故x＝6时，ym

ax＝457500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457500元．触类旁通求解不等式应用题的四个步骤【变式训练2】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低

x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x成(要求售价不能低于成本价)．(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．解(1)

由题意得y＝1001－x10·100·1＋850x＝20(10－x)(50＋8x)，因为售价不能低于成本价，所以1001－x10－80≥0，解得x≤2.所以y＝20(10－x)(50＋8x)，

定义域为[0,2]．(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得12≤x≤134.所以x的取值范围是12，2.核心规律1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a<0时的情形转化为a>0时的情形．2

.f(x)>0的解集即为函数y＝f(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．满分策略1.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时

不要忘记讨论a＝0时的情形．2.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.板块三启智培优·破译高考数学思想系列9——转化与化归思想在不等式中的应用[2017·江苏模拟]已

知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．[解题视点]利用“三个二次”之间的关系，将不等式、函数、方程之间相互转化．9[解析]由题意知f(

x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a24＝0，即b＝a24，∴f(x)＝x＋a22.又∵f(x)<c，∴x＋a22<c，即－a

2－c<x<－a2＋c，∴－a2－c＝m，①－a2＋c＝m＋6.②②－①得2c＝6，∴c＝9.答题启示(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不

等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题.(2)注意函数f(x)的值域为[0，＋∞)与f(x)≥0的区别.跟踪训练已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是xx<－2或x>－12，求不等式ax2－bx＋c>0的

解集．解由条件，知－2，－12是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，∴－2－12＝－ba，(－2)×－12＝ca.∴b＝52a，c＝a.从而不等式ax2－bx＋c>0变为ax2

－52x＋1>0.∵a<0，∴原不等式等价于2x2－5x＋2<0，即(x－2)(2x－1)<0，解得12<x<2.∴不等式的解集为x12<x<2.