【文档说明】高考数学文一轮复习课件第5章-平面向量-23.ppt，共(41)页，1.922 MB，由小橙橙上传

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第23节平面向量基本定理及坐标表示考纲呈现1．熟悉平面向量的基本定理及其意义，并掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，并理解用坐标表示平面向量共线的条件．3．坐标运算可将几何问题转化为代数问题进行求解，并

注意在平面几何、解析几何中的应用.诊断型·微题组课前预习·诊断双基1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其

中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝x21＋y21.不共线有且只有基底(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－

y2)(λx1，λy1)(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝，|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其

中b≠0.a，b共线⇔.(x2－x1，y2－y1)x1y2－x2y1＝0【知识拓展】1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔x1x2＝y1y2.1．若a，

b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息；3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x

2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a

＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(√)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示

成x1x2＝y1y2.(×)(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)2．(2018吉林延边质检)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2【答案】D【解析】由已知得a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(

6,4x－2)，因为a＋b与4b－2a平行，则有3(4x－2)＝6(x＋1)，解得x＝2.3．在△ABC中，点D在BC边上，且CD→＝2DB→，CD→＝rAB→＋sAC→，则r＋s等于()A．23B．43C．－3D．0【答案】D【解析】因为C

D→＝2DB→，所以CD→＝23CB→＝23(AB→－AC→)＝23AB→－23AC→，则r＋s＝23＋－23＝0，故选D.4．(教材习题改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐

标为________．【答案】(1,5)【解析】设D(x，y)，则由AB→＝DC→，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即4＝5－x，1＝6－y，解得x＝1，y＝5，故D的坐标为(1,5)．5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三

点满足OC→＝23OA→＋13OB→，则|AC→||AB→|＝________.【答案】13【解析】∵OC→＝23OA→＋13OB→，∴OC→－OA→＝－13OA→＋13OB→＝13(OB→－OA→)．∴AC

→＝13AB→.∴|AC→||AB→|＝13.形成型·微题组归纳演绎·形成方法平面向量基本定理的应用1．(2018合肥质检)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()A．a－12bB.12a－bC．a＋12bD.12a＋b【答案】D【解

析】连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD→＝12AB→＝12a，所以AD→＝AC→＋CD→＝b＋12a.2．(2018天津五校联考)在△ABC中，D在BC边上，且CD→＝－2BD→.若CD→＝pAB→＋qAC→，则p＋q＝__

______.【答案】0【解析】CD→＝23CB→＝23(AB→－AC→)＝23AB→－23AC→，∴p＝23，q＝－23，∴p＋q＝0.故答案为0.微技探究平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(

2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．1.(2018山东师大附中高三二模)△ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，BF交CE于点G.若AG→＝xAE→＋yAF

→，则x＋y＝()A．32B．43C．1D．23【答案】B【解析】∵B，G，F三点共线，∴AG→＝λAB→＋(1－λ)AF→＝λAB→＋1－λ2AC→.∵C，G，E三点共线，∴AG→＝μAE→＋(1－μ)AC→＝μ2AB→＋(1－μ)AC→.∴λ＝μ2，1－λ2＝1－μ，

∴λ＝13，μ＝23，∴AG→＝13AB→＋23AF→，∴AG→＝23AE→＋23AF→，∵AG→＝xAE→＋yAF→，∴x＋y＝43.故选B.2.(2018四川成都模拟)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)

B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)【答案】B【解析】根据，a＝λe1＋μe2.选项A：(3,2)＝λ(0,0)＋μ(1,2)，则3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A不能；选项B：(3,2)＝λ

(－1,2)＋μ(5，－2)，则3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．选项C：(3,2)＝λ(3,5)＋μ(6,10)，则3＝3λ＋6μ，2＝5λ＋10μ，无解，故选项C不能．选项D：(3,2)＝λ(2，－3

)＋μ(－2,3)，则3＝2λ－2μ，2＝－3λ＋3μ，无解，故选项D不能．故选B.平面向量的坐标运算1．(2018广东六校联考)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝()A．(－23，－12)B．(23,12)C．(7,0)D．(－7

,0)【答案】A【解析】由题意可得3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以23＋x＝0，12＋y＝0，解得x＝－23，y＝－12.所以c＝(－23，－12)．故选A.2．(2019沈阳质量监测)已知在▱ABCD中，AD→＝(2,8)，AB→＝(

－3,4)，对角线AC与BD相交于点M，则AM→＝()A．－12，－6B．－12，6C．12，－6D．12，6【答案】B【解析】因为在▱ABCD中，有AC→＝AB→＋AD→，AM→＝12AC→，所以AM→＝12(AB→＋AD

→)＝12×(－1,12)＝－12，6.故选B.微技探究向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．1.(2015全国Ⅰ，3)

已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)【答案】A【解析】由已知点A(0,1)，B(3,2)，得到AB→＝(

3,1)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝AC→－AB→＝(－7，－4)．故答案为A.2.(2018广东汕头模拟)已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)【答案】B【解析】a＝(1,2)，2a＋b＝(3

,2)，则b＝(2a＋b)－2a＝(3,2)－2(1,2)＝(3,2)－(2,4)＝(3－2,2－4)＝(1，－2)，故选B.平面向量共线的坐标表示1．(2017陕西质检(二))在平面直角坐标系中，已知向

量a＝(1,2)，a－12b＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x＝()A．－2B．－4C．－3D．－1【答案】D【解析】依题意，得b＝2[a－(3,1)]＝(－4,2)，2a＋b＝(－2,6)，6x＝－2×3＝－6，x＝－1，故选

D.2．(2018东营模拟)若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a＋1b的值等于________．【答案】12【解析】AB→＝(a－2，－2)，AC→＝(－2，b－2)，依题意，有

(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以1a＋1b＝12.微技探究平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量

．1.(2018山西大学附中模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)．若(ka＋b)∥(a－3b)，则实数k的取值为()A．－13B．13C．－3D．3【答案】A【解析】由a＝(1,2)，b＝(－3,2)，得ka

＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，则由(ka＋b)∥(a－3b)，得(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，所以k＝－13.故选A.2.(2018甘肃平凉模

拟)已知a，b为正实数，向量m＝(a,4)，向量n＝(b，b－1)．若m∥n，则a＋b的最小值为________．【答案】9【解析】∵m∥n，∴4b－a(b－1)＝0(b≠1)，∴a＝4bb－1＞0，解得b＞1.∴a＋b＝4bb－1＋b＝5＋4b－1＋b－1

.b＞1时，a＋b≥5＋24b－1×(b－1)＝9，当且仅当b＝3时，取等号，∴a＋b的最小值为9.故答案为9.目标型·微题组瞄准高考·使命必达1．(2018全国Ⅲ，13)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，

则λ＝________.【答案】12【解析】由题易得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝12.2．(2018北京，9)设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－

b)，则m＝________.【答案】－1【解析】a＝(1,0)，b＝(－1，m)，则ma－b＝(m＋1，－m)．由a⊥(ma－b)得a·(ma－b)＝0，即m＋1＝0，得m＝－1.3．(2017山东，11)已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________.【答案】

－3【解析】由a∥b可得－1×6＝2λ⇒λ＝－3.4．(2016全国Ⅱ，13)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.【答案】－6【解析】∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.5．(2015江苏，

6)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．【答案】－3【解析】由向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则2m＋n＝9，m－2n＝－8，解

得m＝2，n＝5，故m－n＝－3.