【文档说明】高考数学文一轮复习课件28等差数列人教A版.ppt，共(53)页，593.000 KB，由小橙橙上传

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共53页1第二十八讲等差数列共53页2回归课本共53页31.等差数列的定义及等差中项(1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1-an=d(n∈N*).共53页4(2

)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,其中.2Aab=+共53页52.等差数列的通项公式及前n项和公式等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d;前n项和公式为Sn=

或1()2nnaa+(1).2nnd−共53页63.等差数列的性质(1)等差数列的通项是关于自然数n的一次函数(d≠0).(n,an)是直线上的一群孤立的点,an=an+b(a、b是常数)是{an}成等差数列的充要条件.(2)等差数列{an}的首项是a1,公差为

d.若其前n项之和可以写成Sn=An2+Bn,则当d≠0时它表示二次函数,数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn是{an}成等差数列的充要条件.1,,22ddABa==−共53页7(3)等差数列的增减性,d>0时为递增数列,且当a1<0时前n项和Sn有最小值.d<0时为递减数列,且

当a1>0时前n项和Sn有最大值.共53页84.与等差数列有关的结论(1)若数列{an}和{bn}是等差数列,则{man+kbn}仍为等差数列,其中m,k为常数.(2)等差数列中依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列,且公差为k2d(d是

原数列公差).(3)项数为偶数2n的等差数列{an},有S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)(an与an+1为中间的两项);S偶-S奇=nd;1.nnSaSa+=奇偶共53页9(4)项数为奇数2n-1的等差数列{an},有S2n-1=(2n-1)an(an为中间项);S奇

-S偶=an;S奇､S偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和..1SnSn=−奇偶共53页105.与等差数列有关的规律(1)等差数列{an}中,若an=m,am=n(m≠n),则am+n=0.(2)等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠

n),则Sm+n=-(m+n).(3)等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0.(4)若{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn与S′n,则2121.mmmmaSbS−−=共53页116.等差数列的判定方法(1)定义法:an+1-an=d(常数)⇔{an}是等差数

列.(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.(3)通项公式法:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.共53页

12考点陪练共53页131.设{an}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{an}前8项的和为()A.128B.80C.64D.5611118:a1,d3,613,872,S864.2aadadd==

=++=+==解析由解得答案:C共53页142.(2010·山东烟台高三诊断)在等差数列{an}中,若前5项和S5=20,则a3等于()A.4B.-4C.2D.-2解析:S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=20.∴a3=4.答案:A共53页153.(2010·辽宁大连高三

一模)在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值为()A.14B.15C.16D.1713()()4681012889111118:aaaaa120.5a120.a24.aaa8

da1011223333da7da16.++==++===−=+−++=解析答案:C共53页164.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),则a1000等于()A.5B.-5C.1D.-1解析:解法一:a1=1

,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…由此可得a1000=-1.共53页17解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得an+3=-an,an+6=an,∴a1000=a1

66×6+4=a4=-a1=-1.答案:D共53页18*npqpq1365.apqN,aaa,1,93734..9aa(9.4.)9ABCD++==−=已知数列对于任意、有若则pqpqn1n1n1n1n361,9:aaaaaa,aa111354,999aa,aC.++++=+=−===

+=解析由得即故数列是公差为的等差数列故选答案:C共53页19类型一等差数列的判断与证明解题准备:证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种:(1)利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(n∈N*);(2)利用等差中项证明

,即证明an+2+an=2an+1(n∈N*).注意:在选择方法时,要根据题目的特点,如果能够求出数列的通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.共53页20【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且p、q为常数).(1)

当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列;(2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列.[解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使{an}是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p

=0,即p=0.故当p=0时,数列{an}是等差数列.共53页21(2)证明:∵an+1-an=2pn+p+q,∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数.∴{an+1-an}是等差数列.共53页

22类型二等差数列的基本量运算解题准备:①等差数列{an}中,a1和d是两个基本量,用它们可以表示数列中的任何一项,利用等差数列的通项公式与前n项和公式,列方程组解a1和d,是解决等差数列问题的常用方法;②由a1,d,n,an,Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量,需选用恰当的公式,利用方程

组观点求解.共53页23【典例2】已知等差数列{an}中,a2=8,前10项和S10=185.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8,…,2n,…项,按原来的顺序

排成一个新的数列,试求新数列的前n项和An.共53页24()11n210n1[]1ad,a8,S1858,10910185,25,3.a3n2.adadad+=+======+解设数列的公差为由得共53页25(2)∵An=a

2+a4+a8+…+a2n=(3×2+2)+(3×4+2)+(3×8+2)+…+(3×2n+2)=3×(2+4+8+…+2n)+2n=3×+2n=3×2n+1+2n-6.[反思感悟]先求出数列的通项公式,然后用通项公式表示出新数列中的各项,再求和.2(12)12n−−共53页26类型三等

差数列的性质及应用解题准备:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的是公差为k2d的等差数列,从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷,应注意运用.共5

3页27【典例3】在等差数列中,Sn表示{an}的前n项和,(1)a3+a17=10,求S19的值;(2)a1+a2+a3+a4=124,an+an-1+an-2+an-3=156,Sn=210,求项数n;(3)S4=1,S8=4,求a17+a18+

a19+a20的值.共53页28()()()()()()()191234nn1n2n31n119312n13n24n3171n1nn[]1S2aaaaaaaaaa()19()19101995.22aaaaaa4aa280aa70.S2102n

6.()2naaaaaan−−−−−−+++++++=+++++++=+=+++=======+=解而共53页29(3)∵S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=1,S8-S4=3.∴新的数

列前5项分别为1,3,5,7,9.∴S20-S16=a17+a18+a19+a20=9.共53页30类型四等差数列前n项和的最值问题解题准备:求等差数列前n项和Sn的最值问题,主要有以下方法:①二次函数法:将Sn看作关于n的二次函数

,运用配方法,借助函数的单调性及数形结合,使问题得解;②通项公式法:求使an≥0(或an≤0)成立的最大n值即可得Sn的最大(或最小)值;共53页31③不等式法:借助Sn最大时,有解此不等式组确定n的

范围,进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最值).11,,nnnnSSSS−+≥≥共53页32【典例4】已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72.若bn=an-30,求数列

{bn}的前n项和的最小值.[分析]先判断{an}是等差数列,求an,再求bn,由{bn}的通项研究数列{bn}的前n项和的最值.12共53页33[解]∵2an+1=an+an+2,∴{an}是等差数列,设{an}的首项为a1,公差为d,由a

3=10,S6=72,得11210,61572adad+=+=1na4n2,42.ad===−共53页34nn*n15115ba302n31.,nN,n15.b15,S1223102931.2(1)3102215(2921

531)15(6030)22,b29,d25.22,Snnn=−−+−−+=−==−=−−+==−=则≤解得≤≤≥前项为负值最小可知共53页35[反思感悟]除上面方法外,还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n

的二次函数问题,利用二次函数的图象或配方法求解.共53页36错源一忽略数列项数【典例1】已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n2(n∈N+),求数列{|an|}的前n项和Tn.[错解]当n=1时,a1=S1=9;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=11-2n.由于n=1时,a1=9也满足a

n=11-2n,因此an=11-2n.由11-2n>0,得11.2n共53页37即从第6项开始数列各项为负,那么Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)+2(a1+a2+…+a5)=-Sn+2S5=n2-10n+2×(10×5-52)=n2-10n+50.[剖析

]错解中忽视了“项数”,默认了n>5,事实上,n完全可以小于或等于5.显然,当n≤5时,结论就是错的.共53页38[正解]对n进行分类:(1)由上述可知an=11-2n.当n>5时,同上述错解,得Tn=n2-10n+50;(2)当n≤5时,Tn=|a1|+|

a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=10n-n2.共53页39()()n2210(5),1050(12T5).nnnnnn=−−+≤综合得共53页40错源二忽略为零的项【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且S10=S15,求

n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.共53页41()()1011151n1109151415.22[]d,SS,10aa10,5.daan1d10n165.6dad=+−=+===+−=+

−−错解设公差为由得将代入得那么()nn121a0,10n1,n13.n12,S,506121112115121065.226S12ad+−==+−=+−=由即得因此当时有最大值其值为共53页42[剖析]这是一个首项为正的递减的等差数列,零是这个数

列的项吗?由于a1=10,d=,得10+(13-1)×也就是说零是这个数列的第13项,于是答案就出错了.56−50,6−=共53页43[正解]由于a1=10>0,d=即数列{an}是一个首项为正的递减的等差数列,又由于a13=

0,由上述解法可知,该数列的前12或13项的和最大,其值为65.50,6−共53页44错源三对数列的有关概念理解有误【典例3】已知数列{an}是递增数列,且对于任意的n∈N+,an=n2+λn恒成立,则实数λ

的取值范围是________.共53页45[错解]因为an=n2+λn是关于n的二次函数,且n≥1,所以≤1,解得λ≥-2.[剖析]数列是以正整数N+(或它的有限子集{1,2,…,})为定义域的函数,因此它的图象只是一些孤立的点,满足条件的此数列的点分布如图.2−共53页46[正解]解法一:由图

分析得,,所以λ>-3.解法二:由{an}是递增数列,得an<an+1对n∈N+恒成立,即n2+λn<(n+1)2+λ(n+1),整理得λ>-(2n+1).而-(2n+1)≤-3,所以λ>-3.[答案](-3,+∞)322

−共53页47技法一活用变式,出奇制胜【典例1】已知等差数列{an}中,ap=q,aq=p(q≠p),求ap+q.[解题切入点]由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得变式:①an=am+(n-m)d或②(n

≠m),利用此变式可快速求解.nmaadnm−=−共53页48[解]解法一:由变式①得:q=p+(p-q)d,所以d=-1.所以ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0.解法二:由变式②得:所以所以ap+q=0.,pqpqpaaaadpqpqp+−−==−+−,pqaqqpdpqq

+−−==−共53页49解法三:因为an=a1+(n-1)d,所以点(n,an)在一条直线上.共53页50不妨设p<q,记点A(p,q),B(q,p),则直线AB的斜率由图知OC=p+q,即点C的坐标为(p+q

,0),故ap+q=0.当p>q时,同理可得ap+q=0.1.pqkqp−==−−共53页51[方法与技巧]在解题时,巧妙地利用等差数列的变式,常常能出奇制胜,达到简捷明快的目的.共53页52技法二设而不求,化繁为简【典例2】在等差数列{an}中,Sm=Sn(m≠n),求Sm+n.共5

3页53()11n11mn1(1)(1),22()()(1)0.2[]ad,mamn,mn0,a(1)0.2(Smn)(1)0.2ammnndnaddmnamnmnmndmnmnd++−+−−=+=+−+−+−=+−+

=++−=解设的公差为由题意得因为所以所以所以[方法与技巧]在解有关等差数列习题时,设出其基本量a1,d,利用设而不求,整体代入能使题目避繁就简.