【文档说明】高考数学文科一轮总复习第7篇不等式74课件.ppt，共(30)页，1.618 MB，由小橙橙上传

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▪第4讲基本不等式及其应用1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几

何平均数．知识梳理2．几个重要的不等式(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(

4)ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．3．利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有

最大值是s24(简记：和定积最大)．1．对基本不等式的认识(1)当a≥0，b≥0时，a＋b2≥ab.(√)(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的．(×)辨析感悟2．对几个重要不等式的认识(3)(a＋b)2≥4ab(a

，b∈R)．(√)(4)2aba＋b＝21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22.(×)(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．(√)3．利用基本不等式确定最值(6)函数y＝sinx＋4sin

x，x∈0，π2的最小值为4.(×)(7)(2014·福州模拟改编)若x＞－3，则x＋4x＋3的最小值为1.(√)(8)(2013·四川卷改编)已知函数f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝36.(√)[感悟·提升]两个防范一是在应用基本不等式求最

值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a＋b≥2ab，ab≤a＋b22，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系

．如(2)、(4)、(6)．二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．【例1】已知x＞0，y＞0，z＞0.求证：yx＋zx

xy＋zyxz＋yz≥8.证明∵x＞0，y＞0，z＞0，∴yx＋zx≥2yzx＞0，xy＋zy≥2xzy＞0，xz＋yz≥2xyz＞0，∴yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8yz·xz·xy

xyz＝8.当且仅当x＝y＝z时等号成立.考点一利用基本不等式证明简单不等式▪规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转

化为需证问题．【训练1】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.证明∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋

ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．【例2】(1)(2013·山东卷改编)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当zxy取得最小值时，x＋2y－z的最大值为________．(2)(2014·广州一模)

已知2x＋2y＝1，(x＞0，y＞0)，则x＋y的最小值为________．审题路线条件：x2－3xy＋4y2－z＝0⇒变形得：z＝x2－3xy＋4y2⇒代入zxy⇒变形后利用基本不等式⇒取等号的条件把x＋2y－z转化关于y的一元二次函数⇒利用配方法求最大值．考点二利用基本不等式求最值

解析(1)zxy＝x2－3xy＋4y2xy＝xy－3＋4yx≥2xy·4y3－3＝1，当且仅当xy＝4yx，即x＝2y时等号成立．此时z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2.∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2

＝－2(y－1)2＋2，∴当y＝1，x＝2，z＝2时，x＋2y－z取最大值，最大值为2.(2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＝(x＋y)·2x＋2y＝4＋2xy＋yx≥4＋4xy·

yx＝8.当且仅当xy＝yx，即x＝y＝4时取等号．答案(1)2(2)8▪规律方法条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，

然后利用基本不等式求解最值．【训练2】(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．(2)(2014·浙江十校联考)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是___

_____．解析(1)由x＋3y＝5xy可得15y＋35x＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)15y＋35x＝95＋45＋3x5y＋12y5x≥135＋125＝5(当且仅当3x5y＝12y5x即x＝1

，y＝12时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.▪(2)由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.▪

答案(1)5(2)2【例3】(2014·济宁期末)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时

，W(x)＝6x＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2

)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？考点三基本不等式的实际应用解(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0＜x＜8时，L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－13x2＋

4x－3；当x≥8时，L(x)＝5x－6x＋100x－38－3＝35－x＋100x.所以L(x)＝－13x2＋4x－3，0＜x＜8，35－x＋100x，x≥8.(2)当0＜x＜8时，L(x)＝

－13(x－6)2＋9.此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元，当x≥8时，L(x)＝35－x＋100x≤35－2x·100x＝35－20＝15，此时，当且仅当x＝100x时，即x

＝10时，L(x)取得最大值15万元．∵9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．▪规律方法(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的

数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．▪(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．【训练3】为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查

测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－k2t＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品

需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解(1)由题意有1＝4－k1，得k＝

3，故x＝4－32t＋1.∴y＝1.5×6＋12xx×x－(6＋12x)－t＝3＋6x－t＝3＋64－32t＋1－t＝27－182t＋1－t(t≥0)．(2)由(1)知：y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12.由基本不等式9t＋12＋

t＋12≥29t＋12·t＋12＝6，当且仅当9t＋12＝t＋12，即t＝2.5时等号成立，故y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12≤

27.5－6＝21.5.当且仅当9t＋12＝t＋12时，等号成立，即t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2013年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元．▪1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为

“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．▪2．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．【典例】(2013·天津

卷)设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取得最小值为________．[审题]一审条件：a＋b＝2，b＞0，转化为条件求最值问题；二审问题：12|a|＋|a|b转化为“1”的代换；三审过程：利用基本不等式时取等号的条件．教你审题7——如何

挖掘基本不等式中的“相等”解析因为a＋b＝2，所以12|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|·|a|b＝a4|a|＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b4|a|＝|a|b，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故

12|a|＋|a|b的最小值为34.答案34▪[反思感悟]在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形

整理，从而可利用基本不等式求最值．【自主体验】(2013·福建卷改编)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是________．解析因为2x＞0,2y＞0，所以1＝2x＋2y≥22x·2y＝22x＋y，故2x＋y≤12，即2x＋y≤14＝

2－2，所以x＋y≤－2.答案(－∞，－2]