【文档说明】高考数学文科一轮总复习第3篇导数及其应用31课件.ppt，共(32)页，1.673 MB，由小橙橙上传

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▪第1讲导数的概念及运算知识梳理1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x

)在x＝x0处可导，并称常数为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．可表示为“当Δx→0时，f(x0＋Δx)－f(x0)Δx→A”．A▪2．函数f(x)的导函数▪若f(x)对于区间(a，b)内

任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数．该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝

f(x)上点的切线的斜率．(x0，f(x0)▪3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝ax(

a＞0，a≠1)f′(x)＝0nxn－1cosx－sinxexaxlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1xf(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝1xlna4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f

(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．f′(x)±g′(x)f′(x)g(

x)＋f(x)g′(x)▪辨析感悟▪1．对导数概念的理解▪(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)▪(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(×)▪2．对导数的几何和物理意义的理解▪(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)▪

(4)物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t＝0.(×)3．导数运算问题(6)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2a－2x.(×)(7)函数f(x)＝x2lnx的导函数为f′(x)＝2x

·1x＝2.(×)(8)函数y＝exx的导数是y′＝xex＋exx2.(×)▪[感悟·提升]▪1．一个区别曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切

线是指P为切点，切线唯一，若斜率存在时，切线的斜率k＝f′(x0)；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．▪2．三个防范一是并不是所有的函数在其定义域上的每一点处都有导数，如函数y

＝|x|在x＝0处就没有导数．▪二是曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别，如(3)．▪三是对函数求导要看准自变量，是对自变量的求导，而不是对其它参数的求导，如(6)．考点一导数的运算【例1】(1)求

下列函数的导数：①y＝x2sinx；②y＝lnxex.(2)(2014·济宁模拟)已知f(x)＝x(2012＋lnx)，f′(x0)＝2013，则x0＝________.(1)解①y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.②y′＝(ln

x)′ex－(ex)′lnx(ex)2＝1x·ex－exlnx(ex)2＝1x－lnxex＝1－xlnxxex.(2)解析f′(x)＝2012＋lnx＋x·1x＝2013＋lnx，由f′(x0)＝2013，得ln

x0＝0，解得x0＝1.答案1▪规律方法(1)进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混．▪(2)求导前应利用代数、三角恒等变形将函数先化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．【训练1】(1)已知f

(x)＝lnxx2＋1，则f′(1)＝________.(2)已知函数f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则fπ4的值为________．解析(1)f′(x)＝(lnx)′(x2＋1

)－(x2＋1)′lnx(x2＋1)′＝1x(x2＋1)－2xlnx(x2＋1)2，则f′(1)＝24＝12.(2)f′(x)＝－f′π4sinx＋cosx，所以f′π4＝－f′π4×22＋22，解得f′π4＝2－1，故f

π4＝f′π4cosπ4＋sinπ4＝1.答案(1)12(2)1▪考点二利用导数的几何意义求曲线的切线▪方程▪【例2】已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.▪(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；▪(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．▪

审题路线(1)求f′(x)⇒求f′(2)⇒求f(2)⇒由点斜式写出切线方程．▪(2)设切点P(x0，y0)⇒求f′(x0)⇒由点斜式写出过点A的切线方程⇒把点P代入切线方程⇒求x0⇒再代入求得切线方程．解(1)∵f′(x)＝3x2－8x

＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x30－4x20＋5x0－4

)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)

＝0，解得x0＝2或1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.▪规律方法利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，注意区分是曲线在某点处的切线，还是过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程

是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．求过某点的切线方程时需设出切点坐标，进而求出切线方程．▪【训练2】(1)(2014·扬州期末)设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为______

__．▪(2)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，又f′(x)为偶函数，则a＝0，所以f(x)＝x3－3x，f′(x

)＝3x2－3，故f′(0)＝－3，故所求的切线方程为y＝－3x.(2)函数的导数为f′(x)＝3lnx＋1＋x×3x＝3lnx＋4，所以在(1,1)的切线斜率为k＝4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.答案(1

)y＝－3x(2)y＝4x－3▪考点三利用曲线的切线方程求参数▪【例3】(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.求a，b的值．▪解f′(x)＝aex＋e

x(ax＋b)－2x－4▪＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，∴f′(0)＝a＋b－4＝4，▪又f(0)＝b＝4，∴a＝4.▪规律方法已知曲线在某点处的切线方程求参数，是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用，解题的关键是这

个点不仅在曲线上也在切线上.【训练3】(2013·福建卷改编)设函数f(x)＝x－1＋aex(a∈R，e为自然对数的底数)．曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值．解由f(x)＝x－1＋aex，得f′(x)＝1－aex.又曲线y＝f(x)在点(

1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－ae＝0，解得a＝e.▪1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f

(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.▪2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时

，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．▪易错辨析3——求曲线切线方程考虑不周▪【典例】(2014·杭州质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是________．▪[错解]∵点O(

0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，▪∴直线l与曲线y＝f(x)相切于点O.▪则k＝f′(0)＝2，直线l的方程为y＝2x.▪又直线l与曲线y＝x2＋a相切，▪∴x2＋a－2x＝0满足Δ＝4－4a＝0，a＝1.▪[错因](1)片面理解“过点O(0,0)的直线与

曲线f(x)＝x3－3x2＋2x相切”．这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O，解析中忽视后面情况．▪(2)本题还易出现以下错误：一是O(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程

，导致解题复杂化，求解受阻．▪[正解]易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，▪(1)当O(0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝x30－3x20＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2.①又k＝

y0x0＝x20－3x0＋2，②由①，②联立，得x0＝32(x0＝0舍)，所以k＝－14，∴所求切线l的方程为y＝－14x.由y＝－14x，y＝x2＋a，得x2＋14x＋a＝0.依题意，Δ＝116－4a＝0，∴a＝164.综上，a＝1或a＝164.[答案]1或164▪[防范措施](

1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P处的切线与在点P处的切线的差异．▪(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算．【自主体验】若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和

y＝ax2＋154x－9都相切，则a等于________．解析设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x30)，所以切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，即y＝3x20x－2x30，又(1

,0)在切线上，则x0＝0或32.当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋154x－9相切可得a＝－2564；当x0＝32时，由y＝274x－274与y＝ax2＋154x－9相切可得a＝－1.答案－1或－2564