【文档说明】高考数学第一轮考点复习课件变化率与导数导数的计算.ppt，共(47)页，888.000 KB，由小橙橙上传

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以下为本文档部分文字说明：

变化率与导数、导数的计算考纲要求1.了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简

单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.热点提示1.导数的几何意义是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中．2．导数的运算每年必考，一般不单独考查

，在考查导数应用的同时考查导数的运算.▪1．导数的概念▪(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数▪一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是▪(2)导函数▪当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数

，则f′(x)＝▪注意f′(x)及f′(x0)的区别，f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值．▪导数研究在x＝x0处及其附近函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx之比的极限，它是一个局部性的概念，若▪2．导数的几何意义▪函数y＝f(

x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的，过点P的切线方程为：．斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)▪3．基本初等函数的导数公式▪(1)c′＝(c为常数)；▪(2)(xn)′＝(n∈N*)；▪(

3)(sinx)′＝；▪(4)(cosx)′＝；▪(5)(ex)′＝；▪(6)(ax)′＝；▪(7)(lnx)′＝；▪(8)(logax)′＝.0nxn－1cosx－sinxexaxlna▪4．导数运算法则▪(1)[f(x)±g(x)]′＝；▪(2)[f(x)·g(

x)]′＝；f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)▪关于导数的加减法则，可推广到有限多个的情况，如[f(x)＋g(x)＋h(x)]′＝f′(x)＋g′(x)＋h′(x)等.▪5．复合函数的导数▪设函数u＝φ(x)在点

x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，且y′x＝或写作f′x(φ(x))＝．y′u·u′xf′(u)·φ′(x)1．下列求导运算正确的是()A．(x＋1x)′＝1＋1x2B．(l

og2x)′＝1xln2C．(3x)′＝3x·log3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx解析：根据求导公式(x＋1x)′＝1－1x2，(3x)′＝3x·ln3，(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，(log2x)′＝1xln2，只有B正确．▪答案：B2．曲线y＝13x

3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为()A.π6B.3π4C.π4D.π3▪解析：y′＝x2－2x，∴y′|x＝1＝－1.∴切线的倾斜角为.▪答案：B▪3．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根且f′(x)＝2x＋

2，则y＝f(x)的表达式是________．▪解析：根据题意，知方程f(x)＝0有两个相等实根，可设f(x)＝a(x＋b)2，▪∴f′(x)＝2a(x＋b)．∴2a(x＋b)＝2x＋2.▪∴2a＝2,2ab＝2.▪∴a＝1，b＝1.∴f(x)＝(x＋1)2.▪答案：f(x)＝(x＋

1)2▪4．函数y＝的导数为________．5．求下列函数的导数：(1)y＝1－sinx1＋cosx；(2)y＝x5＋x＋sinxx2；(3)y＝1＋x1－x＋1－x1＋x；(4)y＝x·tanx.解：(1)y′＝－cosx·(1＋cosx)＋(1－sin

x)sinx(1＋cosx)2＝sinx－cosx－1(1＋cosx)2.(3)y＝(1＋x)2＋(1－x)2(1－x)(1＋x)＝2(1＋x)1－x(x≥0且x≠1)，∴y′＝2·(1＋x)′(1－x)－(1＋x)(1－x)′(1－x)2＝4(1－x)2(x≥0且

x≠1)．(4)∵(tanx)′＝(sinxcosx)′＝(sinx)′cosx－sinx(cosx)′cos2x＝1cos2x，∴y′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋xcos2x.▪【例1】一物体在某一受力状态下的位移s(t)(

单位：m)与运动时间t(单位：s)的关系为：s(t)＝t3(t>0)．▪(1)利用导数的定义求s′(t)；▪(2)求该物体在t＝2秒时的瞬时速度v(2)．▪▪(1)会根据定义求导数．▪(2)注意导数的意义的应用，如导数的几何意义是切线的

斜率；位移关于时间t的导数为瞬时速度；速度v(t)关于时间t的导数为加速度.▪变式迁移1用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．【例2】求下列函数的导数：(1)y＝x＋cosxx＋sinx；(2)y＝(2x－3)5；(3)y＝3－x；(4)y＝

ln(x＋1＋x2)．解：(1)y′＝(x＋cosx)′(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)′(x＋sinx)2＝(1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx)(x＋sinx)2

＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1(x＋sinx)2▪思路分析：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆．▪(2)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5▪由y＝u5与u＝2x－3复合而成，▪∴y

′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2▪＝10u4＝10(2x－3)4.(4)∵y＝ln(x＋1＋x2)∴y′＝1x＋1＋x2·(x＋1＋x2)′＝1x＋1＋x2·[1＋(1＋x2)′21＋x2]＝1x＋1＋x2·[

1＋2x21＋x2]＝1x＋1＋x2·1＋x2＋x1＋x2＝11＋x2.变式迁移2求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1；(4)y＝sin2x；▪解：(1)∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)▪＝6x4＋3x3

－8x2－4x，▪∴y′＝24x3＋9x2－16x－4.▪或y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′▪＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2▪＝24x3＋9x2－16x－4.▪(2)y′＝(3xex

)′－(2x)′＋(e)′▪＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′▪＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)(3e)x－2xln2(3)y′＝(lnx)′(x2＋1)－lnx·(x2＋1)′(x2＋1)2＝1x·(x2＋1)－lnx·2x(x2＋1)2＝x2＋1－2x2ln

xx(x2＋1)2.(4)y′＝(sin2x)′＝(cos2x)·(2x)′＝2cos2x.▪【例3】已知函数f(x)＝x3＋x－16.▪(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；▪(2)

直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；▪(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．▪解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．▪∵f′(x)＝(x3＋x－16)

′＝3x2＋1，▪∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.▪∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，▪即y＝13x－32.(2)解法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋

x30＋x0－16，又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得，x30＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)，解法二：设直线l的方程为

y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0，又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x20＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切

点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1，∴x0＝1，y0＝－14，或x0＝－1，y0＝－18.切线方程为y＝4(x－1)－14

或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.▪根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法，灵活运用x＝x0处的导数就是该点处的切线的斜率是解决有关切线问题的关键．由导数的几何意义可知，点(x0，f(x0)

)处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)．▪变式迁移3(2009·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为____

____．▪解析：由曲线C：y＝x3－10x＋3，得y′＝3x2－10.又根据导数的几何意义，得3x2－10＝2，所以x＝±2.又点P在第二象限内，所以x＝－2，即点P的横坐标为－2.将x＝－2代入曲线方程，得y＝15，所以点P的坐标为(－2,15)．故填(－2

,15)．▪答案：(－2,15)【例4】设函数f(x)＝x－ax－1，集合M＝{x|f(x)<0}，P＝{x|f′(x)>0}，MP，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(0,1)C．(1，＋∞)

D．[1，＋∞)解析：y＝f(x)＝x－ax－1＝x－1＋1－ax－1＝1＋1－ax－1.当a<1时，图象如下图1所示．当a>1时，图象如下图2所示．由图象可知，a>1时，函数y在(1，＋∞)上为增函

数，此时f′(x)>0，同时f(x)<0的解集为(1，＋∞)的真子集．故选C.答案：C▪变式迁移4如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，▪(6,▪答案：2－2(1)求函数的增量Δy＝f

(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx；▪1．根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法▪2．曲线的切线▪(1)准确理解曲线的切线，需注意的两个方面

▪①直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线可能与曲线有2个以上的交点．▪②曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧．▪(2)曲线的切线的求法▪若已知曲线过点P(x0

，y0)，求曲线的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．▪①点P(x0，y0)是切点的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．▪②当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：▪

第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))．▪第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)．▪第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1.▪第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－

x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．▪曲线“在点P处的切线”是以点P为切点，而“过点P的切线”，点P可能是切点，也可能不是切点，点P也可能不在已知曲线上，切线可能不只一条.