【文档说明】高考数学第一轮基础复习课件-25-对数与对数函数-新人教B版.ppt，共(63)页，2.067 MB，由小橙橙上传

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第五节对数与对数函数重点难点重点：①对数的概念、性质、运算法则、换底公式．②对数函数的概念、图象与性质．难点：①对数的换底公式．②对数函数图象、性质的应用．③简单对数方程、不等式的求解．知识归纳一、对数1．定义：ab＝N⇔b＝(a>0，a≠1，N>0)．2．性质：(1)负数和零没有对

数；(2)1的对数为0；(3)底的对数为1.3．恒等式：(1)＝，(2)logaab＝.(a>0，a≠1，N>0)logaNNb4．运算法则：(1)loga(MN)＝；(2)logaMN＝；(3)logaNn＝；(4)loganN＝

.(其中M>0，N>0，a>0且a≠1，n∈N*)logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaN1nlogaN5．换底公式：logab＝logcblogca(c，a>0且c，a≠1，b>0)由换底公式得：logab＝1logba，loganbm＝logab.另

外：log10N＝lgN，logeN＝lnN(e＝2.71828…)分别叫做常用对数和自然对数．mn二、对数函数的图象与性质定义y＝logax(a>0，a≠1)图象(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0.(4)当时，在(0，＋∞)是增函数；当时，

在(0，＋∞)上是减函数．x>10<x<1a>1性质0<a<1指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线y＝x对称，单调性相同．a>10<a<1y>0y<0y<0y>0三、反函数的概念与性质1．若函数y＝f(x)的定义域为A，值域为B，对于B中的每一个元素y0，在A中

都有唯一的元素x0与之对应，则函数y＝f(x)存在反函数，记为y＝f－1(x)，且y＝f－1(x)的定义域为y＝f(x)的值域．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．2．互为反函

数的图象之间的关系(1)y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线对称．(2)若点P(a，b)在y＝f－1(x)的图象上，则点在y＝f(x)的图象上．若y＝f(x)存在反函数y＝f－1(x)，则f(a)＝b⇔y＝x(b，a)a＝f－1(b)．误区警示1．忽视底数a>1与0

<a<1时性质的区别及函数的定义域致误．2．只有一一对应的函数才存在反函数．3．解答对数的运算及对数函数的问题，要时刻牢记对数运算法则中的限制条件和对数函数的定义域．一、转化的思想指数式ab＝N与对数式logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)可以

互化，在解决与指数式、对数式有关的问题时，利用指对互化(或等式两端取同底的对数)结合换底公式常能起到事半功倍的效果．二、数形结合的思想有关指数(或对数)与三角函数或(一次、二次函数、幂函数)构成的方程解的个数讨

论，不等式恒成立等问题，常通过作出相应基本初等函数的图象，用数形结合法求解．三、解题技巧1．注意对数恒等式、换底公式及对数运算法则的灵活运用及指对互化的应用．2．(1)同底数的对数比较大小用单调性．(2)同真数的对数比较大小用图象

或换底或转化为指数式．(3)作差或作商法(4)利用中间量0、1比较．3．对数函数图象在第一象限内底数越小，图象越靠近y轴(逆时针底数依次变小)，在直线x＝1右侧，底大图低(区分x轴上方与下方)．4．在对数运算中，常常先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数

最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指对互化的运用．[例1](2011·苏北四市二模)(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝________.分析：注意到lg2＋lg5＝1，可通过提取公因式产生

lg2＋lg5求解．对数的运算与性质解析：(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1.答案：1(文)(2010·四川高考)2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D

．4解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2，故选C.答案：C(理)(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．解析：(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(

lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝lg2lg3＋lg2lg9·lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3·l

g32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.答案：(1)2(2)54[例2](文)已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示，则ab＝________.对数函数的图象解析：由图象知

logab＝1，loga(b－2)＝0，得a＝b＝3，所以ab＝33＝27.答案：27(理)(2011·湖北六市联考)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则

a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1分析：观察图形可见f(x)为增函数，－1<f(0)<0，y＝0时x>0，可依据以上信息结合解析式讨论．解析：∵t＝2x＋b－1单调增，f(x)单调增，∴

a>1.由图知－1<f(0)<0，∴－1<logab<0，∴a－1<b<1，故选A.答案：A(文)(2010·四川文，2)函数y＝log2x的图象大致是()解析：由对数函数y＝log2x定义域x>0，排除A，B；由单调增排除D，故选C.答案：C(理)

(2010·福建省宁德市模拟)函数y＝lg|x－1|的图象是()解析：由解析式可知，x＝0或2时，y＝0，排除B、D；x＝－1时，函数有意义排除C，故选A.答案：A[例3](文)设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝()A

.2B．2C．22D．4对数函数的单调性与最值解析：因为a>1，所以f(x)＝logax在区间[a,2a]上为增函数，最大值为loga2a，最小值为logaa.因此loga2a－logaa＝12，即loga2＝12，解得a＝4.答案：D(理)设a>0且a≠1，函数f(x)＝logax在区间

[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a等于()A.2B．2或12C．22D．4或14分析：∵a>1与0<a<1时，f(x)的单调性不同，∴最小值、最大值也不同，故需分类讨论．解析：当0<a<1时，f(x)在[a,2a

]上单调递减，由题意得，logaa－loga2a＝12，∴loga2＝－12，∴a＝14.当a>1时，∴f(x)＝logax在[a,2a]上为增函数，∴loga2a－logaa＝12，解得a＝4，故选D.答

案：D(2011·江苏四市联考)已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m、n满足m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为()A.12、2B.12、4C.22、2D.14、4解析：f(x)＝|log2x|＝

log2x，x≥1－log2x，0<x<1，根据f(m)＝f(n)及f(x)的单调性知，0<m<1，n>1，又f(x)在[m2，n]上的最大值为2，故f(m2)＝2，易得n＝2，m＝12.答案：A[例4]对于0<a<1，给出下列四个不等式①loga(1＋a

)<loga(1＋1a)；②loga(1＋a)>loga(1＋1a)；利用对数函数的单调性比较大小解析：由于0<a<1⇒a<1a⇒1＋a<1＋1a，∴loga(1＋a)>loga(1＋1a)，a1＋a>∴选D.答案：D(文)设a>1，且

m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为()A．n>m>pB．m>p>nC．m>n>pD．p>m>n解析：由a>1得a2＋1>2a>a－1>0，∴loga(a2＋1)>loga(2a)>loga

(a－1)．答案：B解析：取a＝12满足条件，则画出图象后知选D.答案：D[例5]设函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b等于()A

．6B．5C．4D．3分析：反函数的图象和原函数的图象关于直线y＝x对称．点P(a，b)在原函数y＝f(x)的图象上⇔点P′(b，a)在反函数y＝f－1(x)的图象上．解答该题不需要求出反函数．反函数的概念解析：由题意得，loga(b＋2)＝1，

loga(b＋8)＝2，解得a＝3，b＝1.于是a＋b＝4，选C.答案：C点评：新课标对反函数要求很低，只要了解以下基本内容即可：①反函数的定义域和值域分别是原来函数的值域和定义域．②反函数的图象与原来函数的图象关于直线y＝x对称，即若点P(a，b)

在反函数的图象上，则点P′(b，a)在原来函数的图象上．③由函数的定义知，只有一一对应的函数才存在反函数．(2010·重庆南开中学)函数y＝lg(x＋1)的反函数的图象为()解析：解法1：∵函数y＝lg(x＋1)的图象过点(0,0)，故反函数图象过点(0,0)，排除A、B、C，选D.解法

2：函数y＝lg(x＋1)的反函数为y＝10x－1，故选D.答案：D[例6](文)(2011·浙江省“百校联盟”交流联考卷)已知0<a<1，loga(1－x)<logax则()A．0<x<1B．x<12C．0<x

<12D.12＜x<1分析：底数相同，真数不同，可利用对数函数y＝logax的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解．对数方程与不等式解析：∵0<a<1时，y＝logax为减函数，∴原不等式化为1－x>0x>01－x>

x，解得0<x<12.答案：C(理)设0<a<1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)<0的x取值范围是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，loga3)D．(loga3，＋∞)解析：∵0<a<1∴

loga(a2x－2ax－2)<0即a2x－2ax－2>1∴a2x－2ax－3>0∴ax>3或ax<－1(舍)∴x<loga3，故选C.答案：C点评：关于含对数式的不等式求解，一般都是用单调性或换元法求解．已知0<a<b<1<c，m＝logac，n＝logbc，则m与n的大小关系

是________．解析：∵0<a<b<1<c，∴logca<logcb<0，∴1logca>1logcb，即logac>logbc，∴m>n.答案：m>n一、选择题1．(文)(2011·北京西城一模)设a＝log23，b＝log43，c＝0.5，则()A．c<b<aB．b<

c<aC．b<a<cD．c<a<b[答案]A[解析]a＝log23，b＝log43＝log23，c＝12＝log22，而y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以a>b>c.(理)(2010·全国卷Ⅰ)设a＝log32，b＝ln

2，c＝5-12，则()A．a<b<cB．b<c<aC．c<a<bD．c<b<a[答案]C[解析]a＝log32＝ln2ln3<ln2＝b，又c＝5-12＝15<12，a＝log32>log33＝12，因此c<a<b.2．若定义域为区间(－1,

0)的函数f(x)＝log2a(x＋1)，满足f(x)>0，则a的取值范围是()A．(0，12)B．(0，12]C．(12，＋∞)D．(0，＋∞)[答案]A[解析]∵－1<x<0，∴0<x＋1<1.由对数函数性质知

，要使f(x)＝log2a(x＋1)在(－1,0)上满足f(x)>0，则必有0<2a<1，即0<a<12.3．(文)为了得到函数y＝lnx－3e的图象，只需把函数y＝lnx的图象上所有的点()A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度[答案]D[解析]由y＝lnx－3e得到y＝ln(x－3)－1，由y＝lnx图象上所有点向右平移3个单位，得到y＝ln(x－3)的图象，再

向下平移一个单位得到y＝ln(x－3)－1的图象．故选D.(理)(2011·浙江杭州月考)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的图象交点的横坐标

分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x2<x3<x1B．x1<x3<x2C．x1<x2<x3D．x3<x2<x1[答案]A[分析]可依据在同一坐标系中，对数函数“底大图低”的特性求解．[解析]在同一坐标系中，作出三个函数的图象，如图所示：由图可知，x2<x

3<x1.二、解答题4．(2010·石狮质检)已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最

大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．[解析](1)由题意，3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立，∵a>0且a≠1，∴g(x)＝3－ax在[0,2]上是减函数，从而g(2)＝3－

2a>0得a<32.∴a的取值范围为(0,1)∪1，32.(2)假设存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.由题设f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，∴a＝32，此时f(x)＝log323－32x，当x＝2时

，函数f(x)没有意义，故这样的实数a不存在．