【文档说明】高考数学第一轮基础复习-函数的奇偶性与周期性课件.ppt，共(81)页，1.250 MB，由小橙橙上传

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第四节函数的奇偶性与周期性重点难点重点：1.奇偶函数的定义及其图象的对称特征．2．函数的周期性．难点：函数性质的综合应用．知识归纳一、函数的奇偶性1．奇偶性的定义设函数y＝f(x)的定义域为D，若对D内的任意一个x

，都有－x∈D，且f(－x)＝(或f(－x)＝)成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数)．－f(x)f(x)2．关于奇偶性的结论与注意事项(1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．显然，函数定义域关于原点对称是函数

具有奇偶性的必要条件．(2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数．(3)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么f(0)＝0；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域

为{0}，但逆命题不成立．若f(x)为偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)．(4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．(5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个奇函数

与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为0的函数)．二、函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝，那么函数f(x)叫做周期函数．T叫做这个函数的一个周期．如果在周期函数f(

x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期．f(x)(2)一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正周期；如果T是f(x)的周期，则kT(k∈N*)也是该函数的周期；周期函数不一定有最小

正周期．误区警示判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称．如函数y＝x2(x∈(－1,1])并不具备奇偶性．因此，一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称．一、方程的思想运用方程观点看待问题，就是将问题转化为方程问题来解决，或者通过

构造方程来达到解题的目的．[例]设f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，若f(x)－g(x)＝12x，比较f(1)、g(0)、g(－2)的大小________．分析：奇偶性讨论的就是f(－x)与f(x)的关系，如果题目中涉及x与－x的函数值之间

的关系，一般考虑用奇偶性解决．如果告诉了函数的奇偶性，应从f(－x)＝±f(x)入手．解析：∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．∴f(－x)－g(－x)＝12－x，即－f(x)－g(x)＝2x.∴f(x)－g(

x)＝2－x－f(x)－g(x)＝2x，∴f(x)＝2－x－2x2g(x)＝－2x＋2－x2∴f(1)＝－34，g(0)＝－1，g(－2)＝－178，∴g(－2)<g(0)<f(1)．二、解题技巧1．判别函

数奇偶性的方法(1)定义法：第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数．第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断．即若有：f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0，f(x)/

f(－x)＝－1)，则f(x)为奇函数．若有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0，f(x)/f(－x)＝1)，则f(x)为偶函数．(2)图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断．(3)复合函数奇偶性的判断若复合函数由若

干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．2．函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关

于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．(2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0产生关于x的恒等式，利用对应项系数相等或赋值法求得字母的值．[例1]判断下列函数的

奇偶性．(1)f(x)＝(2－x)2＋x2－x.(2)f(x)＝x＋2(x<－1)0(|x|≤1)－x＋2(x>1).(3)f(x)＝1ax－1＋12(a>0且a≠1)．判断函数的奇偶性解析：(1)由2＋x2－x≥0得定义域为

[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)x<－1时，－x>1，∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)．x>1时，－x<－1，f(－x)＝－x＋2＝f(x)．－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，f(－x)＝0

＝f(x)．∴对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)．因此f(x)是偶函数．(3)∵f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝1a－x－1＋12＝11ax－1＋12＝ax1－ax＋12(※)＝－(1－ax)－11－ax＋12＝－1＋11－ax＋1

2＝－1ax－1＋12＝－f(x)．即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．点评：1.如何判断函数奇偶性：第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数

．第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数应分段讨论，要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图象判断．•2．分段函

数(2)判断奇偶性画图判断更方便直观．(3)中到(※)后，验证f(－x)＋f(x)＝0更方便些．(2010·广东理，3)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函

数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，而g(－x)＝3－x－3x＝

－(3x－3－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．答案：B[例2]设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)x为奇函数，则a＝______.分析：∵f(x)为奇函数，定义域为{x|x∈R且x≠0}，故对∀x∈R且x≠0有f(－x)＝－f(x)，从而可取某个特

殊值(例如x＝1)求解．已知函数奇偶性，求参数的值或取值范围解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴a＝－1.答案：－1(文)(2011·辽宁文，6)若函数f(x)＝x(2x＋1)(x－a)为奇函数，则a＝()A.12B.23C.34

D．1解析：法①：∵f(x)是奇函数且f(x)＝x(2x＋1)(x－a)＝x2x2＋(1－2a)x－a∴f(－x)＝－f(x)即－x2x2－(1－2a)x－a＝－x2x2＋(1－2a)x－a∴－(1－2a)＝1－2a，∴1－2

a＝0，∴a＝12.法②：∵f(x)的分子是奇函数∴要使f(x)为奇函数，则它的分母必为偶函数∴1－2a＝0，∴a＝12.法③：∵f(x)为奇函数，且－12不在f(x)的定义域内，故12也不在f(x)的定义域内，∴12－a＝0，∴a＝12.法④：∴f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，∴a＝

12.答案：A(理)(2010·山东枣庄模拟)若f(x)＝lg2x1＋x＋a(a∈R)是奇函数，则a＝________.解析：∵f(x)＝lg2x1＋x＋a是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，即lg

2x1＋x＋a＋lg－2x1－x＋a＝lg2x1＋x＋a2xx－1＋a＝0.∴2x1＋x＋a2xx－1＋a＝1，∴(a2＋4

a＋3)x2－(a2－1)＝0，∵上式对定义内的任意x都成立，∴a2＋4a＋3＝0a2－1＝0，∴a＝－1.答案：－1点评：①可以先将真数通分，再利用f(－x)＝－f(x)恒成立求解，运算过程稍简单些．②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f(x)＝lg(a＋2)

x＋a1＋x为奇函数，显然x＝－1不在f(x)的定义域内，故x＝1也不在f(x)的定义域内，令x＝－aa＋2＝1，得a＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力.[例3]定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x

2∈(－∞，0](x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)x2－x1>0.则f(－2)，f(1)，f(3)从小到大的顺序是________．函数奇偶性的应用分析：由f(x)为偶函数知f(－2)＝f(2)，故欲比较f(－2)、f(1)、f(3)的大小，只要弄清f(

x)在[0，＋∞)上的单调性即可，由条件可知f(x)在(－∞，0]上的单调性，结合f(x)为偶函数可得f(x)在[0，＋∞)上的单调性．解析：由f(x2)－f(x1)x2－x1>0知f(x)在(－∞，0]上单调递增，又f(x)是偶函数，故f(x)在(0，＋∞]上单调递减，∵3

>2>1>0，∴f(3)<f(2)<f(1)．又f(x)为偶函数，∴f(3)<f(－2)<f(1)．答案：f(3)<f(－2)<f(1)已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈[0,1)时，f(x)＝

x2－1，则f(2012)的值为________．解析：f(2012)＝f(0＋2×1006)＝f(0)＝02＝02－1＝－1.答案：－1[例4](2010·揭阳模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)

＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．函数的周期性分析：由f(x＋2)＝－f(x)可得f(x＋4)与f(x)关系，由f(x)为奇函数及在(0,2]上解析式可求f(x

)在[－2,0]上的解析式，进而可得f(x)在[2,4]上的解析式．解析：(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)

＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2

－6x＋8.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1

)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.(2010·安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)

－f(4)＝()A．－1B．1C．－2D．2解析：∵f(x)为奇函数，f(1)＝1，f(2)＝2，∴f(－1)＝－1，f(－2)＝－2，∵f(x)周期为5，∴f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－1.答案

：A[例5]函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－12)]<0的解集．函数性质的综合应用解析：f(1)＝0，不等式可转化为f[x(x－12)]<f(1)，∵f(x)在(0，＋∞)上递增，

∴0<x(x－12)<1，∴12<x<1＋174或1－174<x<0.又因为f(x)是奇函数，它在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且f(－1)＝－f(1)＝0，于是得f[x(x－12)]<f(－1)，即有x(x－12)<－1，

∴x∈∅.∴原不等式的解集是{x|12<x<1＋174或1－174<x<0}．点评：解答本题易出现如下思维障碍：(1)无从下手，不知如何脱掉“f”．解决办法：含函数记号“f”的不等式，一般都是利用函数的单调性．(2)无法得到另一个不等式．解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶

函数的单调性相反，提到奇偶性，通常要分类讨论．(3)错误得到不等式x(x－12)<1.解决办法：注意函数定义域对x的限制．(文)(2010·豫南九校联考)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内的解最少有()A．4个B

．5个C．6个D．7个解析：∵f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，∴f(5)＝f(2)＝0，f(－1)＝f(2)＝0，f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0，f(4)＝f(1)＝0，又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(3)＝f(0)＝0，∵f(1.

5)＝f(1.5－3)＝f(－1.5)＝－f(1.5)，∴f(1.5)＝0，从而f(4.5)＝0，∴f(1)＝f(1.5)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝f(4.5)＝f(5)＝0.答案：D(理)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋

∞)上是增函数，如果x1<0，x2>0，且|x1|<|x2|，则有()A．f(－x1)＋f(－x2)>0B．f(x1)＋f(x2)<0C．f(－x1)－f(－x2)>0D．f(x1)－f(x2)<0解析：∵x1

<0，x2>0，|x1|<|x2|，∴0<－x1<x2又f(x)是(0，＋∞)上的增函数，∴f(－x1)<f(x2)又f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x1)－f(x2)<0.选D.答案：D[例6]定义在R上的函数y＝f(x)，对任意实数x1、x2都有f(

x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，判断函数y＝f(x)的奇偶性，并证明．抽象函数奇偶性判断解析：令x1＝x2＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.令x1＝x，x2＝－x得，f(0)＝f(x)＋f(－x)∴f(－

x)＋f(x)＝0，∴f(x)是奇函数．已知函数f(x)，当x、y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x>0时，f(x)<0，并且f(1)＝－12，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．解析：(1)证明：∵函数定义域为R，

∴在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中令y＝－x得，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)解：设x1<x2，且x1、x2

∈R.则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R上单调递减．从而f(x)在[－2,6]

上为减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－12，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝－1，∴f(－2)＝－f(2)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求

f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.1．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝x·f(x)；④y＝f(x)＋xA．①③B．②③C．①④D．②④[答案]D[解析]∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)．①y＝f(|x|)为偶函数；②y＝f(－x)为奇函数；③令F(x)＝xf(x)，∴F(－x)＝(－x)f(－x)＝(－x)·(－f(x))＝xf(x)＝F(x)，∴y＝xf(x)为偶函数．④令F(x)＝f(x)＋x，∴F(－x)＝f(－x)＋(－x)＝－(f(x)＋x)

＝－F(x)，∴y＝f(x)＋x为奇函数．2．(文)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)的值等于()A．－1B.114C．1D．－114[答案]A[解析]f(2)＝22－3＝1，又f(x)是奇

函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－1，故选A.(理)(2010·杭州模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(2，＋∞)[答案]B[解析]∵f

(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，由f(x)<f(2)得f(|x|)<f(2)，∴|x|<2，∴－2<x<2.3．(2010·山东日照)已知函数f(x)是定义域为

R的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，则f(x)在[2,3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数[答案]A[解析]由f(x＋2)＝f(x)得出周期T＝2，∵f(x)在[－1,0]上为减函数，又

f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数，从而f(x)在[2,3]上为增函数．4．设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0<φ<π)．若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.[答案]π6[解析]∵f′(x)＝－3sin(3x＋φ)．∴f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋

φ)－3sin(3x＋φ)＝2cos3x＋φ＋π3.f(x)＋f′(x)是奇函数⇔φ＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，即φ＝kπ＋π6(k∈Z)．又∵0<φ<π，∴k＝0时，φ＝π6.