【文档说明】高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第一节变化率与导数导数的计算课件理.ppt，共(42)页，1.470 MB，由小橙橙上传

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第一节变化率与导数、导数的计算本节主要包括2个知识点：1.导数的运算；2.导数的几何意义.第三章导数及其应用突破点(一)导数的运算基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函

数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝______________________为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝_________________

__.f(x0＋Δx)－f(x0)ΔxlimΔx→0limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx2．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝__________________为f(x)的导函数．3．基本初等函数的导数公式limΔx→

0f(x＋Δx)－f(x)Δx原函数sinxcosxax(a>0)exlogax(a>0，且a≠1)lnx导函数cosx_____________ex__________－sinxaxlna1xlna1x4.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g

(x)]′＝；(3)f(x)g(x)′＝______________________(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.f′(x)±g′(

x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2yu′·ux′y对uu对x考点贯通抓高考命题的“形”与“神”已知函数的解析式求导数[例1]求下列函数的导数：(1)y＝(1－x)1

＋1x；(2)y＝lnxx；[解](1)∵y＝(1－x)1＋1x＝1x－x＝x12－－x12，∴y′＝(x12－)′－(x12)′＝－12x32－－12x12－.(2)y′＝lnxx′＝(lnx)′x－x′lnxx2＝1x·x－lnxx2＝1－lnx

x2.(3)y＝tanx；(4)y＝3xex－2x＋e；[解](3)y′＝sinxcosx′＝(sinx)′cosx－sinx(cosx)′cos2x＝cosxcosx－sinx(－sinx)cos2x＝1cos2x

.(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln3)·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.[解]y′＝[ln(2x＋3)]′

(x2＋1)－ln(2x＋3)(x2＋1)′(x2＋1)2＝(2x＋3)′2x＋3·(x2＋1)－2xln(2x＋3)(x2＋1)2＝2(x2＋1)－2x(2x＋3)ln(2x＋3)(2x＋3)(x2＋1)2.(5)y＝ln(2x＋3)x2＋1.[方法技巧]导数的运算方法(1)连乘积形

式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三

角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．导数运算的应用[例2](1)(2016·济宁二模)已知函数f(x)＝x(2017＋lnx)，f′(x0)＝2018，则x0＝()A．e2B．1C．ln

2D．e[解析]由题意可知f′(x)＝2017＋lnx＋x·1x＝2018＋lnx．由f′(x0)＝2018，得lnx0＝0，解得x0＝1.[答案]B[解析]由题意得f′(x)＝x＋2f′(2017)＋2017x，所以f′(2017)＝2017＋2f′(20

17)＋20172017，即f′(2017)＝－(2017＋1)＝－2018.故f′(1)＝1＋2×(－2018)＋2017＝－2018.[答案]－2018(2)已知f(x)＝12x2＋2xf′(2017)＋2017lnx，则f′(1)＝__

______.[方法技巧]对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f(x)＝f′(x0)x＋sinx＋lnx(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x

＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求的导数值．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一](2017·东北四市联考)已知y＝2017，则y′＝()A.122017B．－122017C.20172017D．0解析：因为常数的导数

为0，又y＝2017是常数函数，所以y′＝0.答案：D2.(2016·大同二模)已知函数f(x)＝xsinx＋ax，且f′π2＝1，则a＝()A．0B．1C．2D．4解析：∵f′(x)＝sinx＋xcosx＋a，且f′π2＝

1，∴sinπ2＋π2cosπ2＋a＝1，即a＝0.答案：A[考点二]3.(2017·湖北重点中学月考)已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于()A．－2B．2

C．－94D.94解析：因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋12，解得f′(2)＝－94.故选C.答案：C[考点二]4.[考点二]在等比数列{an}中，a

1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)的值为________．解析：因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a

2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.又数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6

＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝4096.答案：40965.[考点一]求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋1x；解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2

)y′＝lnx＋1x′＝(lnx)′＋1x′＝1x－1x2.解：(3)y′＝cosxex′＝(cosx)′ex－cosx(ex)′(ex)2＝－sinx＋cosxex.(4)∵y＝xsin2x＋

π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin4x，∴y′＝－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2xcos4x.(3)y＝cosxex；(4)y＝xsin2x＋π2cos

2x＋π2.突破点(二)导数的几何意义基础联通抓主干知识的“源”与“流”函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的．相应地，切线方程为____________________．特别地，如果曲线y＝f(x)

在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求切线方程[例1]已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(

2))处的切线方程；[解](1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.[解]设切点坐标为(x0，x30－4x

20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或

x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[方法技巧]求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)

处的切线方程(高考常考类型)，则点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．[方法技巧](2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切

线方程，则切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，

得到方程组y1＝f(x1)，y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程．[方法技巧][提醒]“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A必为

切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．求切点坐标[例2]设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为_____

___．[解析]y＝ex的导数为y′＝ex，则曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k1＝e0＝1.y＝1x(x＞0)的导数为y′＝－1x2(x＞0)，设P(m，n)，则曲线y＝1x(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2(m＞0)．因为两

切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．[答案](1,1)求参数的值[例3]直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于()A．2B．－1C．1D．－2[解析]依题意知，y′＝3x2＋a，则

13＋a×1＋b＝3，3×12＋a＝k，k×1＋1＝3，由此解得a＝－1，b＝3，k＝2，所以2a＋b＝1，选C.[答案]C[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构

造方程组求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知f(x)＝2exsinx，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为()A．y＝0B．y＝2xC．y＝xD．y＝－2x解析：∵f(x)＝2ex

sinx，∴f(0)＝0，f′(x)＝2ex(sinx＋cosx)，∴f′(0)＝2，∴曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.答案：B2.曲线f(x)＝x2＋ax＋1在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为3π4，则实数a＝()A．

1B．－1C．7D．－7解析：f′(x)＝2x(x＋1)－(x2＋a)(x＋1)2＝x2＋2x－a(x＋1)2，∵f′(1)＝tan3π4＝－1，即3－a4＝－1，∴a＝7.答案：C[考点三]3.[考点二]在平面

直角坐标系xOy中，点M在曲线C：y＝x3－x+1上，且在第二象限内，已知曲线C在点M处的切线的斜率为2，则点M的坐标为________．解析：由y′＝3x2－1＝2，得x＝±1，又点M在第二象限内，故x＝－1，此时y＝1，故点M的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1

)4.[考点三](2017·衡阳八中模拟)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a>0且a≠1，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．解析：因为f(x)＝axlnx，

所以f′(x)＝lna·axlnx＋axx.又f′(1)＝3，所以a＝3.答案：35.[考点二]若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．解析：由题意得y′＝lnx＋x·1x＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的斜率为2

.设P(m，n)，则1＋lnm＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，即点P的坐标为(e，e)．答案：(e，e)6.[考点一]如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(

x)的导函数，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，即f′(3)＝－13.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3

)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g(3)＝3f(3)＝3，g′(3)＝1＋3×－13＝0.则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为y－3＝0.答案：y－3＝0[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(

2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3解析：y′＝a－1x＋1，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.答案：D2．(2016·全国甲卷

)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.解析：易得(lnx＋2)′＝1x，[ln(x＋1)]′＝1x＋1.设曲线y＝lnx＋2上的切点横坐标为x1，曲线y＝ln(x＋1)上的切点横坐标为

x2，则y＝lnx＋2的切线方程为：y＝1x1·x＋lnx1＋1，y＝ln(x＋1)的切线方程为：y＝1x2＋1x＋ln(x2＋1)－x2x2＋1.根据题意，有1x1＝1x2＋1，lnx

1＋1＝ln(x2＋1)－x2x2＋1，解得x1＝12，x2＝－12，∴b＝lnx1＋1＝1－ln2.答案：1－ln23．(2016·全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3

)处的切线方程是________．解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝lnx－3x，所以f′(x)＝1x－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－

2(x－1)，即y＝－2x－1.答案：y＝－2x－14．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．

解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝lnx＋1x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.解：当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于

lnx－a(x－1)x＋1＞0.设g(x)＝lnx－a(x－1)x＋1，则g′(x)＝1x－2a(x＋1)2＝x2＋2(1－a)x＋1x(x＋1)2，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x

2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－(a－1)2－1，x2＝a－1＋(a－1)2－1.由x2

＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.综上，a的取值范围是(－∞，2]．编后语•同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效

果。•一、听理科课重在理解基本概念和规律•数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析

问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的，为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。•作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验

和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。•二、听文科课要注重在理解中记忆•文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然后，弄清教材为了说明这一观点

引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正

确。•三、听英语课要注重实践•英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活动，珍惜课堂上的每一个练习机会。2023/5/31最新中小学教学课件41thankyou!