【文档说明】北师大版高考数学一轮总复习正弦定理和余弦定理课件.ppt，共(61)页，2.064 MB，由小橙橙上传

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第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形第四章第七节正弦定理、余弦定理的应用举例高考目标导航课前自主导学课堂典例讲练3课后强化作业4高考目标导航考纲要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何

计算有关的实际问题.命题分析高考对正弦定理和余弦定理在实际中的应用的考查，其常规考法为：依据实际问题背景，直接给出测量数据，通过考生作图分析，然后选用恰当的公式直接计算．预测2015年以实际问题为背景构建三角形解决问题是一个可能的发展方向.课前自主导学知识梳理1.仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内

的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线______叫仰角，目标视线在水平视线______叫俯角(如图①)．2．方位角指从____方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α°：指

北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.③其他方向角类似．4．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．2．正北基础自测1.(教材改编题)在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的

B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC＝()A．10°B．50°C．120°D．130°[答案]D[解析]如图，由已知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，∴∠BAC＝60°＋70°＝130°.2．如图，为了测量隧道

AB的长度，给定下列四组数据无法求出AB长度的是()A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，γ[答案]D[解析]利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，α，β求出AB，当只知α，β，γ时，无法计算AB.3．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一

测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m[答案]A[解析]由题意知∠ABC＝

30°，由正弦定理ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，∴AB＝AC·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝502(m)．4．(教材改编题)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1B

．2sin10°C．2cos10°D．cos20°[答案]C[解析]如图，∵∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理ADsin160°＝ABsin10°，∴AD＝AB·sin160

°sin10°＝sin20°sin10°＝2cos10°.5．如图，为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，又测得A、B两点到隧道口的距离AD＝80m，BE＝40m(A、D

、E、B在一条直线上)，则隧道DE的长是______m.[答案]2007－120[解析]在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝4002＋6002－2×400×600×cos60°＝280000，∴AB＝2007，∴DE＝2007－120(m)．6．海上有A，B，C三个

小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．[答案]56[解析]由正弦定理，知BCsin60°＝ABsin(180°－60°－75°).解得BC＝5

6(海里)．课堂典例讲练如图所示，为了测量对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．[思路分析]在△BCD中，求出BC，在△ABC中，求出AB.

测量距离问题[规范解答]在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.∵∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∴∠CBD＝45°在△BCD中，由正弦定理可得BC＝asin105°sin45°＝3＋12a.在△A

BC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos30°＝22a.[方法总结]求距离问题一般要注意：(1)基线的选取要

准确恰当(在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫作基线，如例题中的CD)．(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(

3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪

两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，2≈1.414，6≈2.449)．[分析]计算∠ADC→AC＝DC→AB＝BD→在△ABC中计算AB→求得BD[解析]在△ACD中，∠DAC＝

30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，所以AB＝ACsin6

0°sin15°＝32＋620.同理，BD＝32＋620≈0.33(km)．故B、D的距离约为0.33km.测量高度问题某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．[思路分析]从C到D所测塔的仰

角最大的，只有B到CD最短时，仰角才最大，这时因为tan∠AEB＝ABBE，AB为定值，要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，须先求BD(或BC)．[规范解答]依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40m，此时∠DB

F＝45°，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得，CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，∴BD＝40sin30°sin135°＝202.在Rt△BED中，作B

E⊥DC于E.∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝BDsin15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝103(3－3)(m)．故

所求的塔高为103(3－3)m.[方法总结](1)处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，

一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．提醒：高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两

个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.[答案]156[解析]由已知可得∠DBC＝135°，在△DBC中，由正弦定理可得BCsin30°＝CDsi

n135°，BC＝CDsin30°sin135°＝30×sin30°sin135°＝152，∴AB＝BCtan60°＝152×3＝156.测量角度问题沿一条小路前进，从A到B，方位角(从正北方向顺时针转到AB方向所成的角)是50°，距离是3

km，从B到C，方位角是110°，距离是3km，从C到D，方位角是140°，距离是(9＋33)km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离(结果保留根号)．[思路分析]画出示意图，要求A到D的方位角，需要构造三

角形，连接AC，在△ABC中，可知∠BAC＝30°，用余弦定理求出AC，再在△ACD中，求出AD和∠CAD.[规范解答]如图，连接AC，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－110°)＝120°，又AB＝BC＝3，∴∠BAC＝∠BCA＝30°.由余弦定理可得AC＝AB2＋BC2

－2AB·BCcos120°＝9＋9－2×3×3×－12＝27＝33(km)．在△ACD中，∠ACD＝360°－140°－(70°＋30°)＝120°，CD＝33＋9.由余弦定理得AD＝AC2＋CD2－2AC·CDcos120°＝27＋(33＋9)2－2×33×(33＋9)

×－12＝92＋962(km)．由正弦定理得sin∠CAD＝CD·sin∠ACDAD＝(33＋9)×3292＋962＝22.∴∠CAD＝45°，于是AD的方位角为50°＋30°＋45°＝125°，所以，从A到D的方位角是125°，距离为92＋962km.[方法总

结]首先要理解题意，分清已知和未知，画出示意图，据已知条件和求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关三角形中，综合利用正、余弦定理有序地解三角形，逐步求解问题的答案．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向

上相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．[解析]如题中图所示，在△ABC中，AB＝40

，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝207.由正弦定理得，ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBCsin∠B

AC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝277.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114.易错警示对角的概念不清致误江岸边有

一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.[错解]如图，由题意可知，OA＝30，∠O

AM＝45°，∠OAN＝60°，∠MON＝30°，在Rt△AOM中，OM＝OA·tan∠OAM＝30·tan45°＝30.在Rt△AON中，ON＝OA·tan∠OAN＝30·tan60°＝303.在△MON中，由余弦

定理得，MN＝OM2＋ON2－2OM·ON·cos∠MON＝900＋2700－2×30×303×32＝30(m)．[错因分析]俯角的概念理解错误是导致解题错误的根本原因．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的

角叫俯角，而不是竖直线与视线的夹角．[正确解答]如图，由题意知，OA＝30，∠OAM＝45°，∠OAN＝30°，∠MON＝30°.在Rt△AOM中，OM＝OA·tan∠OAM＝30·tan45°＝30

.在Rt△AON中，ON＝OA·tan∠OAN＝30·tan30°＝103.在△MON中，由余弦定理得MN＝OM2＋ON2－2OM·ON·cos∠MON＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．[误区警示]在解实际问题时，应正确理解如下角的含义．(

1)方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角．(2)方位角：从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角．(3)坡度：坡面与水平面的二面角的度数.(4)仰角与俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下

方时称为俯角.名师点睛一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单

位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然

后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)或解方程(组)得出所要求的解．第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学在人生中，有些人让我们学会了感恩，学会了珍惜，学会

了分辨，学会了坚强，学会了思考，学会了看淡，有时候总需要在生命中等一等，时间会让你明白一切！然而，这一切都是最好的安排！感恩一路走来遇到的每一个人。时间渐渐磨去了年少轻狂，也渐渐沉淀了冷暖自知。十年前，连多愁善感都要渲染得惊天动地,十年后，越痛越不动声色，越苦，

越保持沉默.成长就是将你的一切都变成心静如水，将一切情绪调整到静音模式！在我们生命的历程中，出现在我们生命里的人，都绝非偶然。有的是来欣赏你，有的是来教育你，有的是来心疼你，有的是来利用你，有的是来帮助你，有的是来修炼你，但无论如何你都要感激

遇见的每一个人，因为他们最终成全了你，完善了你。第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学百度文库，放心使用，安全文档第四章第七节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学在人生中，有些人让我

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