【文档说明】2020高考理科数学一轮复习第四章7第6讲正弦定理和余弦定理课件.ppt，共(53)页，3.586 MB，由小橙橙上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-256694.html

以下为本文档部分文字说明：

第6讲正弦定理和余弦定理第四章三角函数、解三角形第四章三角函数、解三角形1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝_______

____________；b2＝___________________；c2＝___________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC第四章三角函数、解三角形定理正弦定理余

弦定理变形形式a＝__________，b＝__________，c＝__________；sinA＝_____，sinB＝_____，sinC＝_____；a∶b∶c＝____________________；a＋b＋csi

nA＋sinB＋sinC＝asinAcosA＝__________；cosB＝__________；cosC＝__________2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2RsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab第四章三

角函数、解三角形2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解第四章三角函数、解三角形3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah

(h表示边a上的高)．(2)S＝12bcsinA＝____________＝____________．(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．12acsinB12absinC第四章三角函数、解三角形导师提醒牢记三角形中的六个常见结

论在△ABC中，常有下列结论：(1)A＋B＋C＝π.(2)大边对大角，大角对大边，如a>b⇔A>B⇔sinA>sinB．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．第四章三角函数、解三角形(4)有关三角形内角的三角函数关系式：sin(A＋B)＝sinC;cos(A＋B)＝－

cosC;tan(A＋B)＝－tanC;sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2.(5)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝π3，A＋C＝2π3.(6)在斜△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.

第四章三角函数、解三角形判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．()(3)在△ABC中，sinA>

sinB的充分不必要条件是A>B.()(4)在△ABC中，a2＋b2<c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．()(5)在△ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个．()第四章三角函数、解三角形在△

ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得bsinB＝csinC，所以sinB＝bsinCc＝40×3220＝

3>1.所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在．第四章三角函数、解三角形(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B.30C.29D．25解析：选A.因为cosC＝2cos2C2－1＝2×15－1＝－35，所

以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝25＋1－2×5×1×－35＝32，所以AB＝42，故选A.第四章三角函数、解三角形(教材习题改编)在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角

形的形状为________．解析：由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．答案

：等腰三角形或直角三角形第四章三角函数、解三角形(教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．解析：因为23sin60°＝4sinB，所以sinB＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC

＝12×2×23＝23.答案：23第四章三角函数、解三角形角度一求边长(一题多解)(2019·贵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.(1)求边长a；(2)求AB边上的高CD的长．利用正

、余弦定理求解三角形(多维探究)第四章三角函数、解三角形【解】(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，由余弦定理cosC＝a2＋b2－c22ab得cos120°＝a2＋（a＋2）2－（a＋4）22a（a＋2），即a2－a－6＝

0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.第四章三角函数、解三角形(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由三角形的面积公式得12absin∠ACB＝12c×CD，所以CD＝absin∠ACBc＝3×5×327＝15314，即A

B边上的高CD＝15314.第四章三角函数、解三角形法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由正弦定理得3sinA＝7sin∠ACB＝7sin120°，即sinA＝3314，在Rt△ACD中，CD＝ACsinA＝5×3314＝15314，即AB边上的高CD＝15314.第四章三角函数、解三角形角度

二求角(1)(2019·河北“五个一”名校联盟模拟)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝π3，若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，则A＝________．(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，

B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.①求A；②若2a＋b＝2c，求sinC.第四章三角函数、解三角形【解】(1)在△ABC中，由sinC＋sin(B－A)＝2sin2A可得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin2A

，即sinAcosB＋cosAsinB＋cosAsinB－sinAcosB＝4sinAcosA，所以cosAsinB＝2sinAcosA，即cosA(sinB－2sinA)＝0，即cosA＝0或sinB＝2sinA，①当cosA＝0时，A＝

π2；②当sinB＝2sinA时，根据正弦定理得b＝2a，由余弦定理c2＝b2＋a2－2abcosC，结合c＝2，C＝π3，得a2＋b2－ab＝4，第四章三角函数、解三角形所以a＝233，b＝433，所以b2＝a2＋c

2，所以B＝π2，所以A＝π6.综上可得，A＝π2或π6.故填π2或π6.(2)①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a

22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°第四章三角函数、解三角形②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－

22.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.第四章三角函数、解三角形(1)正弦定理、余弦

定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知

条件化为三角形边的关系．(3)涉及最值问题时，常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解．第四章三角函数、解三角形1．(2019·武汉模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝2B，

cosB＝255.(1)求sinC的值；(2)若角A的平分线AD的长为5，求b的值．第四章三角函数、解三角形解：(1)由cosB＝255及0<B<π，得sinB＝55，又A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB＝2×55×255＝45，cosA＝cos2B＝2cos2B－1

＝35.故sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝45×255＋35×55＝11525.第四章三角函数、解三角形(2)由题意得，∠ADC＝B＋12∠BAC＝∠BAC(如图)，所以sin∠ADC＝45.在△ADC中，ADsinC＝ACsin∠ADC，即511525＝AC4

5，AC＝2011，故b＝2011.第四章三角函数、解三角形2.(2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝23，BD＝3＋6，△BCD的面积S＝3（2＋3）2.(1)求CD；(2)求∠ABC.第四章三角函

数、解三角形解：(1)在△BCD中，S＝12BD·BC·sin∠CBD＝3（2＋3）2，因为BC＝23，BD＝3＋6，所以sin∠CBD＝12.因为∠ABC为锐角，所以∠CBD＝30°.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－

2BC·BD·cos∠CBD＝(23)2＋(3＋6)2－2×23×(3＋6)×32＝9.所以CD＝3.第四章三角函数、解三角形(2)在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，即23sin∠BDC＝3sin30°，解得sin∠BDC＝3

3.因为BC<BD，所以∠BDC为锐角，所以cos∠BDC＝63.在△ACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC＝CDsin∠CAD，第四章三角函数、解三角形即ACcos∠BDC＝3sin∠CAD.①在△ABC中，由正弦定理得ACsin∠ABC＝BCsin∠B

AC，即ACsin∠ABC＝23sin∠BAC.②因为AC平分∠BAD，所以∠CAD＝∠BAC.由①②得sin∠ABCcos∠BDC＝323，解得sin∠ABC＝22.因为∠ABC为锐角，所以∠ABC＝45°.第四章

三角函数、解三角形(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcosA＋a2cosB.(1)求角B；(2)若b＝27，tanC＝32，求△ABC的面积．与三角形面积有关的问

题(师生共研)第四章三角函数、解三角形【解】(1)因为a2＋c2－b2＝abcosA＋a2cosB，所以由余弦定理，得2accosB＝abcosA＋a2cosB，又a≠0，所以2ccosB＝bcosA＋acosB．由正弦定理，得2sinCcosB＝si

nBcosA＋sinAcosB＝sin(A＋B)＝sinC，又C∈(0，π)，sinC>0，所以cosB＝12.因为B∈(0，π)，所以B＝π3.第四章三角函数、解三角形(2)由tanC＝32，C∈(0，π)，得sinC＝217，cosC＝277，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcos

C＋cosBsinC＝32×277＋12×217＝32114.由正弦定理asinA＝bsinB，得a＝bsinAsinB＝27×3211432＝6，所以△ABC的面积为12absinC＝12×6×27×217＝63.第四章三角函数、解三角形(1)

对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．第四章三角函数、解三角形1．(2019·贵阳模拟)已知△ABC中，角A

，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝4，asinB＝3bcosA，若△ABC的面积S＝43，则b＋c＝________．解析：由正弦定理，得sinAsinB＝3sinBcosA，又sinB≠0，所以tanA＝3，所以A＝π3.由余弦定理得，16＝b2＋c2－bc，S＝12b

c×32＝43，所以b＋c＝8.答案：8第四章三角函数、解三角形2．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．第四章三角函数、解三角形解：(1)由

题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，故sinB

2＝12，因此B＝60°.第四章三角函数、解三角形(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin（120°－C）sinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0

°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°<C<90°，故12<a<2，从而38<S△ABC<32.因此，△ABC面积的取值范围是38，32.第四章三角函数、解三角形(2019·重庆六校联考)在△AB

C中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形判断三角形的形状(典例迁移)第四章三角函数、解三角形【解析】已知等式变形得cosB＋1＝ac＋1，即cosB＝ac①

.由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac，代入①得a2＋c2－b22ac＝ac，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．【答案】A第四章三角函数、解三角形[迁移探究1](变条件)将“cos2B2＝a＋c2c”改为“c－

acosB＝(2a－b)cosA”，试判断△ABC的形状．解：因为c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sinAcosB＋cosAsinB－sin

AcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，第四章三角函数、解三角形所以cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB＝sinA，所以A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC为等腰或直角三角形．第四章三角函数、解三角形[迁移探究2](变条件)

将“cos2B2＝a＋c2c”改为“sinAsinB＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．第四章三角函数、解三角形解：因为sinAsinB＝ac，所以ab＝ac，所以b＝c.又(b＋c＋a)

(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3，所以△ABC是等边三角形．第四章三角函数、解三角形(1)判定三角形形状的2种常用途径(2)判定三角形形状的3个注意点①

“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；②“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；③还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．第四章三角函数

、解三角形设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.因为bcosC＋ccosB＝asinA，所以由正弦

定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A.又sin(B＋C)＝sinA且sinA≠0，所以sinA＝1，所以A＝π2，所以△ABC为直角三角形，故选B.第四章三角函数、解三角形解三角形中

的核心素养(2018·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.第四章三角函数、解三角形【解】(1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB.由题设知，5sin45

°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.第四章三角函数、解三角形(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×

5×22×25＝25.所以BC＝5.第四章三角函数、解三角形(1)本题考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值，考查考生的数形结合能力、化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象．(2)求

解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理求边或角；二是注意大边对大角在解三角形中的应用．第四章三角函数、解三角形(2019·惠州模拟)△ABC中，D是BC边的中点，AB＝

3，AC＝13，AD＝7.(1)求BC边的长；(2)求△ABC的面积．第四章三角函数、解三角形解：(1)设BD＝x，则BC＝2x，在△ABD中，有cos∠ABD＝AB2＋BD2－AD22AB·BD＝9＋x2－72×3x，在△ABC中，有cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22

AB·BC＝9＋4x2－132×3×2x，且∠ABD＝∠ABC，即9＋x2－72×3x＝9＋4x2－132×3×2x，得x＝2，所以BC＝4.第四章三角函数、解三角形(2)由(1)可知，cosB＝12，B∈(0，π)，得sinB＝32，所以S△ABC＝12

·AB·BC·sinB＝12×3×4×32＝33.第四章三角函数、解三角形第四章三角函数、解三角形谢谢