【文档说明】2021新高考数学江苏专用一轮复习课件第二章21函数及其表示.pptx，共(105)页，5.106 MB，由小橙橙上传

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大一轮复习讲义§2.1函数及其表示INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实函数两个集合A，B设A，B是两个__________对应法则f：A→B如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合

B中都有的元素y和它对应名称称为从集合A到集合B的一个函数函数记法函数y＝f(x)，x∈A1.函数知识梳理非空数集唯一y＝f(x)，x∈A2.函数的三要素(1)定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的.(2)值域对于A中的每一个x

，都有一个输出值y与之对应.我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.(3)对应法则f：A→B.定义域3.函数的表示法表示函数的常用方法有、和.4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个

不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.解析法图象法列表法对应法则并集并集1.分段函数f(x)的对应法则用两

个式子表示，那么f(x)是两个函数吗？概念方法微思考提示分段函数是一个函数.2.请你概括一下求函数定义域的类型.提示(1)分式型；(2)根式型；(3)指数式型、对数式型；(4)三角函数型.3.请思考以下常见函数的值域：(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是.(2

)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为______________；当a<0时，值域为.(3)y＝(k≠0)的值域是.(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是.(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是.

4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a{y|y≠0}R(0，＋∞)Rkx1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函

数.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()(3)已知f(x)＝5(x∈R)，则f(x2)＝25.()(4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点.()基础自测题组一思考辨析×××√2.以下属于函数的有________.(填序号)题组二教材改编①y＝±x；②y2＝x

－1；③y＝x－2＋1－x；④y＝x2－2(x∈N).3.函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_____________；值域是______；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是____________.④[－3,0]∪[2,3][1,5][

1,2)∪(4,5]解析A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确.题组三易错自纠4.下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是√5.

(多选)(2019·山东省济南市历城第二中学月考)下列各组函数是同一函数的是A.f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1B.f(x)＝－x3与g(x)＝x－xC.f(x)＝xx与g(x)＝1x0D.f(x)＝x与g(x)＝x2√√6.函数y＝x－2·x＋2的定

义域是___________.7.已知f(x)＝x－1，则f(x)＝____________.则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0).x2－1(x≥0)[2，＋∞)解析令t＝x，8.(2019·湖北黄石一中模拟)已知函数f(x)＝

x＋1，x≤0，2x－1，x>0，则f(f(0))的值为_____；方程f(－x)＝1的解是________.解析∵f(0)＝1，∴f(f(0))＝f(1)＝1.当－x≤0时，f(－x)＝－x＋1＝1，解得x＝0；当－x>0时，f(－x)＝2－x

－1＝1，解得x＝－1.0或－11典题深度剖析重点多维探究题型突破课时精练课时精练第1课时函数的概念及表示法第2课时函数的定义域与值域函数的概念及表示法第1课时函数的概念题型一自主演练1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数

的是√2.(2019·武汉模拟)下列五组函数中，表示同一函数的是________.(填序号)①f(x)＝x－1与g(x)＝x2－1x＋1；②f(x)＝lgx2与g(x)＝2lgx；③f(x)＝x＋2，x∈R与g(x)＝x＋2，x∈Z；④f

(u)＝1＋u1－u与f(v)＝1＋v1－v；④⑤y＝f(x)与y＝f(x＋1).3.已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x4；⑤f

(x)＝x2＋1，其中能够表示函数f：A→A的是___________.解析对于⑤，当x＝1时，x2＋1∉A，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确.①②③④(1)函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”

，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.(2)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同.思维升华SIWEISHENGHUA求函数的解析式题型二师生共研例1求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos

2x，求f(x)的解析式；解(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0,2]，则sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0,

2].解(配凑法)∵fx2＋1x2＝x2＋1x22－2，∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞).(2)已知fx2＋1x2＝x4＋1x4，求f(x)的解析式；∴

a＝2，5a＋b＝17，解得a＝2，b＝7.解(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2

x＋17，求f(x)的解析式；∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.由①②消去f(－x)得，f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1).解(消去法)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1).①以－x代替x

得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1).②(4)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)的解析式.函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，

此时要注意新元的取值范围.(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式.(4)消去法：已知f(x)与或f(－x)之间的关系式

，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).思维升华SIWEISHENGHUAf1x跟踪训练1(1)(2020·济南月考)若f1x＝x1－x，则当x≠0，且x≠1时，f(

x)等于A.1xB.1x－1C.11－xD.1x－1解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1).√解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋

a＋b＝x－1，(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝____________.∴2a＝1，a＋b＝－1，即a＝12，b＝－32

.∴f(x)＝12x2－32x＋2.12x2－32x＋2(3)已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x－1，求f(x).解已知2f(x)＋f1x＝3x－1，①以1x代替①中的x(x

≠0)，得2f1x＋f(x)＝3x－1，②①×2－②，得3f(x)＝6x－3x－1，故f(x)＝2x－1x－13(x≠0).例2(1)已知函数f(x)＝3x＋1，x<2，x2＋ax，x≥2，若ff23＝

－6，则实数a的值为______，f(2)＝______.分段函数题型三多维探究命题点1求分段函数的函数值解析由题意得，f23＝3·23＋1＝3，所以ff23＝f(3)＝9＋3a＝－6，所以a＝－5，f

(2)＝4－5×2＝－6.－5－6解析f(2)＝f(1)＋1＝f(0)＋2＝cosπ2×0＋2＝1＋2＝3.(2)已知f(x)＝cosπx2，x≤0，f(x－1)＋1，x>0，则f(2)＝________.3命题点2分段函数与方程、不等式问题解析由题意知，

若x≤0，则2x＝12，解得x＝－1；故所求x的集合为－1，2，22.例3设函数f(x)＝2x，x≤0，|log2x|，x>0，则使f(x)＝12的x的集合为______________.－1，

2，22若x>0，则|log2x|＝12，解得x＝或x＝.122122−引申探究解析当x≤0时，由2x>12得－1<x≤0；本例中，则使f(x)>12的x的集合为____________________.

x－1<x<22或x>2当x>0时，由|log2x|>12得0<x<22或x>2.综上，所求x的集合是x－1<x<22或x>2.(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的

形式时，应从内到外依次求值.②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起

来.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练2(1)设函数f(x)＝x＋1，x≥0，12x，x<0，则f(f(－1))＝_______.3解析∵f(－1)＝12－1＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝3.(2)(2018·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x>

0，则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是___________.(－∞，0)解析方法一①当x＋1≤0，2x≤0，即x≤－1时，f(x＋1)<f(2x)即为2－(x＋1)<2－2x，即－(x＋1)<－2x，解得x<1.因此不等式的解集为(－∞，－

1].②当x＋1≤0，2x>0时，不等式组无解.③当x＋1>0，2x≤0，即－1<x≤0时，f(x＋1)<f(2x)即1<2－2x，解得x<0.因此不等式的解集为(－1,0).∴函数f(x)的图象如图所示.由图

可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)<f(2x)转化为x＋1>2x.此时x≤－1.当2x<0且x＋1>0时，f(2x)>1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)<f(2x).此时－1<x<0.综上，不等式f(x＋1)<f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1

,0)＝(－∞，0).④当x＋1>0，2x>0，即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意.综上，不等式f(x＋1)<f(2x)的解集为(－∞，0).方法二∵f(x)＝2－x，x≤0，1，x>0，基础保分练1

.下列集合A到集合B的对应f是函数的是A.A＝{－1,0,1}，B{－1,0,1}，f：A中的数的平方B.A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数求平方根C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D.A＝R，B＝{正实数}，

f：A中的数取绝对值√12345678910111213141516课时精练解析选项B中A中元素出现一对多的情况；选项C，D中均出现元素0无对应元素的情况.2.下列图象中不能作为函数图象的是12345678910111213141

516√解析B项中的图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义，故选B.12345678910111213141516所以f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，3.已知f12x－1＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于A.－74B.74C.43D.－43√解析

令t＝12x－1，则x＝2t＋2，所以f(a)＝4a－1＝6，即a＝74.4.已知函数f(x)＝2x＋1，x≤0，1－log2x，x>0，则f(f(3))等于A.43B.23C.－43D.－312345678910111213141516√解析因为f(3

)＝1－log23＝log223<0，所以f(f(3))＝flog223＝＝＝43.22log132+432log25.(2019·衡水调研)已知函数f(x)＝2x＋1，x≥0，3x2，x<0，且f(x0)＝3，则实数x0的值为A.－1B.1C.－1或1D.－1或－

13√12345678910111213141516解析由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0<0时，f(x0)＝3＝3，所以x0＝－1.所以实数x0的值为－1或1.x2012345678910111213141516√6.如

图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD

)的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图象是12345678910111213141516解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当0<x≤1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快.(2)当1<x<2时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢.分析四个答案中的图

象，只有选项A符合条件.B.f(x)＝x，g(x)＝(x)2C.f(x)＝x，g(x)＝3x3123456789101112131415167.(多选)下列四组函数中，f(x)与g(x)相等的是A.f(x)＝ln

x2，g(x)＝2lnx√D.f(x)＝x，g(x)＝logaax(a>0且a≠1)√对于选项C，g(x)＝3x3＝x，两函数的定义域和对应法则相同，是相等函数；12345678910111213141516解析对于选项A，f(x)的定义

域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项D，g(x)＝logaax＝x，x∈R，两个函数的定义域和

对应法则相同，是相等函数.f(－x)＝－x1＋(－x)2＝－x1＋x2＝－f(x)，8.(多选)函数f(x)＝x1＋x2，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是A.f(x)＝f1xB.－f(x)＝f1xC.1f(x)＝f

1xD.f(－x)＝－f(x)12345678910111213141516√√解析根据题意得f(x)＝x1＋x2，所以f1x＝1x1＋1x2＝x1＋x2，所以f(x)＝f1x；所以f(－x)＝－f(x).12345678

9101112131415169.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝3x·f1x＋1，则f(x)＝______________.－38x－18(x>0)解析在f(x)＝3x·f

1x＋1中，将x换成1x，则1x换成x，得f1x＝31x·f(x)＋1，将该方程代入已知方程消去f1x，得f(x)＝－38x－18(x>0).12345678910111213141516解析由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)

，可知函数f(x)的周期是4，10.(2020·福州质检)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝cosπx2，0<x≤2，x＋12，－2<x≤0

，则f(f(15))的值为________.22所以f(15)＝f(－1)＝－1＋12＝12，所以f(f(15))＝f12＝cosπ4＝22.1234567891011121314151611.若f(x)对于

任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝______.解析令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2，②联立①②得，f(1)＝2.21234567891011121

314151612.已知函数f(x)＝3＋log2x，x>0，x2－x－1，x≤0，则不等式f(x)≤5的解集为________.解析由于f(x)＝3＋log2x，x>0，x2－x－1，x≤0，当x>0时，令3＋log2x≤5，即log2x≤2＝log24，解得0<

x≤4；当x≤0时，令x2－x－1≤5，即(x－3)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤3，∴－2≤x≤0.∴不等式f(x)≤5的解集为[－2,4].[－2,4]13.(2019·湖北宜昌一中模拟)设函数f(x)＝3x－b，x<1，2x，

x≥1.若ff56＝4，则b等于A.1B.78C.34D.12技能提升练12345678910111213141516√5-22b12345678910111213141516解析f56＝3×56－b＝52－b，当52

－b≥1，即b≤32时，f52－b＝，即＝4＝22，得到52－b＝2，即b＝12；当52－b<1，即b>32时，f52－b＝152－3b－b＝152－4b，即152－4b＝4，得到b＝78<32，舍去.综上，b＝12，

故选D.5-22b1234567891011121314151614.已知函数f(x)＝－2x，x<0，x2－2x，x≥0，若f(f(－2))>f(t)，则实数t的取值范围是____________.解析f(－2)＝4，f(4)＝8，不等式f(

f(－2))>f(t)可化为f(t)<8.当t<0时，－2t<8，得－4<t<0；当t≥0时，t2－2t<8，即(t－1)2<9，得0≤t<4.综上所述，t的取值范围是(－4,4).(－4,4)15.已知具有性质：f1x＝－f(x)的函数，我们称f(x)为满足“倒负”变换的函

数，下列函数：①f(x)＝x－1x；②f(x)＝x＋1x；③f(x)＝x，0<x<1，0，x＝1，－1x，x>1.拓展冲刺练12345678910111213141516其中满足“倒负”变换的函数

是_________.(填序号)①③12345678910111213141516综上，满足“倒负”变换的函数是①③.解析对于①，f(x)＝x－1x，f1x＝1x－x＝－f(x)，满足；对于②，f1x＝1x＋x＝f(x)，不满足；对于③，f1x

＝1x，0<1x<1，0，1x＝1，－x，1x>1，即f1x＝1x，x>1，0，x＝1，－x，0<x<1，故f1x＝－f(x)，满足.123456789101112

1314151616.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝cx，x<A，cA，x≥A(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，则c＝________，A＝___

_____.6016解析因为组装第A件产品用时15分钟，所以cA＝15，①所以必有4<A，且c4＝c2＝30，②联立①②解得c＝60，A＝16.函数的定义域与值域第2课时函数的定义域题型一自主演练求下列函数的定义域：(1)y＝1

2－|x|＋x2－1；解由2－|x|≠0，x2－1≥0，得x≠±2，x≤－1或x≥1.所以函数的定义域为{x|x≤－1或x≥1且x≠±2}.(2)y＝25－x2＋lgcosx；解由25－x2≥0，cosx>0，得－5≤x≤5，2kπ－π2<

x<2kπ＋π2(k∈Z).所以函数的定义域为－5，－32π∪－π2，π2∪3π2，5.(3)y＝x－12x－log2(4－x2)；解要使函数有意义，必须

x－12x≥0，x≠0，4－x2>0，解得－2<x<0或1≤x<2，∴函数的定义域为(－2,0)∪[1,2).(4)y＝1log0.5(x－2)＋(2x－5)0.解由log0.5(x－2)>0，2x－5≠0得2<x<3，x≠52，∴函数的定义域为

2，52∪52，3.(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等.(2)求函数的定义域

往往归结为解不等式组的问题.在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值.思维升华SIWEISHENGHUA函数的值域题型二师生共研例1(2019·长沙月考)求下列函数的值域：(1)y＝x2

－2x＋3，x∈[0,3)；解(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6).(2)y＝2x＋1x－3；解(分离常数法)y＝2

x＋1x－3＝2(x－3)＋7x－3＝2＋7x－3，显然7x－3≠0，∴y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).解(换元法)设t＝x－1，则x＝t2＋1，且t≥0，(3)y＝2x－x－1；∴y＝2(t2＋1)－t＝2

t－142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为158，＋∞.(4)y＝x＋1＋x－1.∵y＝x＋1与y＝x－1在[1，＋∞)上均为增函数，∴y＝x＋1＋x－1在[1，＋∞)上

为单调递增函数，解函数的定义域为[1，＋∞)，∴当x＝1时，ymin＝2，即函数的值域为[2，＋∞).引申探究y＝x＋1－x－1＝2x＋1＋x－1，结合本例(4)求函数y＝x＋1－x－1的值域.由本例(4)知函数y＝x＋1＋x－1的值域为[2，＋∞)，∴0<1x＋1＋x－1≤22，解函数

的定义域为[1，＋∞)，∴0<2x＋1＋x－1≤2，∴函数的值域为(0，2].求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法.思维升华SIWEISHENGHUA跟踪训练1求下列函数的值域：(1)y

＝1－x21＋x2；解方法一y＝1－x21＋x2＝－1＋21＋x2，因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<21＋x2≤2.所以－1<－1＋21＋x2≤1.即函数的值域为(－1,1].方法二由y＝1－x21＋x2，得x2＝1－y1＋y.因为x2≥0，所以1－y1＋y≥0.所以－1<y≤1，即函数的

值域为(－1,1].(2)y＝x＋41－x；解设t＝1－x，t≥0，则x＝1－t2，所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5].(3)y＝2x2－x＋12x－1x>

12.解y＝2x2－x＋12x－1＝x(2x－1)＋12x－1＝x＋12x－1＝x－12＋12x－12＋12，因为x>12，所以x－12>0，所以x－12＋12x－12≥2x－12·12x－12＝2，当且仅当x－12

＝12x－12，即x＝1＋22时取等号.所以y≥2＋12，即原函数的值域为2＋12，＋∞.定义域与值域的应用题型三师生共研例2(1)(2020·广州模拟)若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为______

__.以a<0，a＋ab＋b＝0，4a＋2ab＋b＝0，解得a＝－32，b＝－3，所以a＋b＝－32－3＝－92.解析函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集.不等式ax2＋abx＋b≥0的解

集为{x|1≤x≤2}，－92(2)已知函数y＝x2＋ax－1＋2a的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围.解令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝t的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y|y＝g(x)}，即二次函

数的判别式Δ≥0，即a2－4(2a－1)≥0，即a2－8a＋4≥0，解得a≥4＋23或a≤4－23，∴a的取值范围是{a|a≥4＋23或a≤4－23}.已知函数的定义域、值域求参数问题.可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解.思维升华SIW

EISHENGHUA解析由于函数f(x)＝ax－2021在[2021，＋∞)上有意义，即ax－2021≥0在[2021，＋∞)上恒成立，即a≥2021x在[2021，＋∞)上恒成立，跟踪训练2(1)若函数f(x)＝a

x－2021在[2021，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围为___________.[1，＋∞)而0<2021x≤1，故a≥1.(2)已知函数f(x)＝(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数b＝_____.3

12解析f(x)＝12(x－1)2＋1，x∈[1，b]且b>1，则f(1)＝1，f(b)＝12(b－1)2＋1，∵f(x)在[1，b]上为增函数，∴函数值域为1，12(b－1)2＋1.由已知得12(b－1)2＋1＝b，解得b＝3或b＝1(舍).我们把不给出具体解析

式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y＝f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.抽象函数拓展视野例1(1)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)

＋f(y)，若f(8)＝3，则f(2)＝________.因为f(2)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)，所以2f(2)＝1，所以f(2)＝12.解析因为f(8)＝3，所以f(2×4)＝f(2)＋f(4)＝f(2)＋f(

2×2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)＝3，所以f(2)＝1.12一、抽象函数的函数值(2)设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x1，x2，都有f(x1)＋f(x2)＝2fx1＋x22·fx1－x22，f(π)＝－1，则f(0)＝________.解析

令x1＝x2＝π，则f(π)＋f(π)＝2f(π)f(0)，∴f(0)＝1.1∴－1<2x＋1<0，则－1<x<－12.解析由题意知，－x－x2>0，∴－1<x<0，即f(x)的定义域为(－1,0).二、抽象函数的定义域例2(1)(2019·皖南八校模拟)已知函数f(x)＝ln(－x－x2)，则函

数f(2x＋1)的定义域为__________.－1，－12∴2≤x≤4.解析对于函数y＝f(2x)，－1≤x≤1，∴2－1≤2x≤2.则对于函数y＝f(log2x)，2－1≤log2x

≤2，(2)若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(log2x)的定义域为________.[2，4]故y＝f(log2x)的定义域为[2，4].基础保分练12345678910111213141516课时精练1.函数f(x

)＝1(log2x)2－1的定义域为A.0，12B.(2，＋∞)C.0，12∪(2，＋∞)D.0，12∪[2，＋∞)√解析由题意可知x满足(log2x)2－1>0，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0<x<12，故所求函数的定义域是

0，12∪(2，＋∞).2.下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为A.y＝1sinxB.y＝lnxxC.y＝xexD.y＝sinxx解析因为y＝13x的定义域为{x|x≠0}，而y＝1sinx的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，y＝lnxx的

定义域为{x|x>0}，y＝xex的定义域为R，y＝sinxx的定义域为{x|x≠0}，故D正确.√12345678910111213141516A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.[0，＋∞)D.[1，＋∞)√解析函

数y＝x－1＋1，定义域为[1，＋∞)，根据幂函数性质可知，该函数为增函数，12345678910111213141516当x＝1时，该函数取得最小值1，3.函数y＝x－1＋1的值域为故函数y＝x－1＋1的值域为[1

，＋∞).A.(－1,0)∪(0,1]B.(－1,1]C.(－4，－1)D.(－4,0)∪(0,1]√12345678910111213141516解析要使函数f(x)有意义，应有－x2－3x＋4≥0，x＋1>0，x＋1≠1，4.(2019·衡水中学调研)函数f(x)＝－x2－3x＋4

lg(x＋1)的定义域为解得－1<x<0或0<x≤1，故选A.5.函数y＝1＋x－1－2x的值域为A.－∞，32B.－∞，32C.32，＋∞D.32，＋∞√123456789101112

13141516解析设1－2x＝t，则t≥0，x＝1－t22，所以y＝1＋1－t22－t＝12(－t2－2t＋3)＝－12(t＋1)2＋2，因为t≥0，所以y≤32.所以函数y＝1＋x－1－2x的值域为－∞，32，故选B.A.[1，＋∞)B.(1，＋∞)C.(0,

1]D.(0,1)123456789101112131415166.(2019·佛山模拟)函数f(x)＝3x3x＋2x的值域为√解析f(x)＝3x3x＋2x＝11＋23x，∵23x>0，∴1＋23x>1，∴0<11＋

23x<1.C.f(x)＝x2，0≤x≤22x，x>2D.f(x)＝x3－17.(多选)下列函数中值域为R的有A.f(x)＝3x－1B.f(x)＝lg(x2－2)√12345678910111213141516√√解析A项，f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件

；12345678910111213141516B项，由x2－2＞0得x＞2或x＜－2，此时f(x)＝lg(x2－2)的值域为R，满足条件；C项，f(x)＝x2，0≤x≤2，2x，x>2，当x＞2时，f(x)＝2x＞4，当0≤x≤2时，f(

x)＝x2∈[0,4]，所以f(x)≥0，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件；D项，f(x)＝x3－1是增函数，函数的值域为R，满足条件.8.(多选)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能为A.2B.3C.4D.5解析

函数y＝x2－4x－4的对称轴方程为x＝2，当0≤m≤2时，函数在[0，m]上单调递减，x＝0时，取最大值－4，x＝m时，有最小值m2－4m－4＝－8，解得m＝2.则当m＞2时，最小值为－8，而f(0)＝－4，由对称性可知，m≤4.∴实数m的值可能为2,

3,4.√12345678910111213141516√√9.(2019·江苏)函数y＝的定义域是________.7＋6x－x212345678910111213141516[－1,7]解析要使函数有意义，则7＋6x－x2≥0，解得－1≤x≤7，则函数的定

义域是[－1,7].10.函数f(x)＝3x＋，x∈[1,2]的值域为________.[5,7]∴f(x)在[1,2]上为增函数，从而得f(x)的值域为[5,7].123456789101112131415162x解析令g(x)＝3x＋2x＝3

x＋23x，x>0，易证g(x)在23，＋∞上是增函数，11.(2020·石家庄模拟)若函数f(x)＝x－2＋2x，则f(x)的定义域是________，值域是_____

_____.解析x－2≥0⇒x≥2，所以函数f(x)的定义域是[2，＋∞)；[2，＋∞)12345678910111213141516[4，＋∞)因为函数y＝x－2，y＝2x都是[2，＋∞)上的单调递增函数，故函数f(x)＝

x－2＋2x也是[2，＋∞)上的单调递增函数，所以函数f(x)的最小值为f(x)min＝f(2)＝4，故函数f(x)＝x－2＋2x的值域为[4，＋∞).12.函数y＝x2＋2x＋3x－1(x>1)的值域为________________.∴y＝(t＋

1)2＋2(t＋1)＋3t＝t2＋4t＋6t＝t＋6t＋4≥26＋4，当且仅当t＝6t即t＝6时等号成立.解析令x－1＝t>0，∴x＝t＋1.12345678910111213141516[26＋4，＋∞)∴函

数的值域为[26＋4，＋∞).技能提升练A.[0,1)B.[0,1]C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)1234567891011121314151613.若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)

x－1的定义域是解析函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，要使函数g(x)有意义，可得0≤2x≤2，x－1≠0，解得0≤x<1，故选A.√14.定义新运算“★”：当m≥n时，m★n＝m；当m<n时，m★n＝n2.设函

数f(x)＝(2★x)x－(4★x)，x∈[1,4]，则函数f(x)的值域为_______________.当x∈[1,2]时，f(x)∈[－2,0]；当x∈(2,4]时，f(x)∈(4,60]，故当x∈[1,4]时，f(x)∈

[－2,0]∪(4,60].12345678910111213141516[－2,0]∪(4,60]解析由题意知，f(x)＝2x－4，x∈[1，2]，x3－4，x∈(2，4]，15.已知函数f(x)＝－x2＋2x，0≤x≤5，1－

14x，a≤x<0的值域为[－15,1]，则实数a的取值范围是拓展冲刺练12345678910111213141516A.(－∞，－2]B.[－2,0)C.[－2，－1]D.{－2}√当a≤x<0时，f(x)＝1－

14x为增函数，所以1－14a≤f(x)<0，12345678910111213141516故－2≤a<0，故选B.解析当0≤x≤5时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以－15≤f(

x)≤1；因为f(x)的值域为[－15,1]，所以1－14a≥－15，a<0，1234567891011121314151616.(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“

同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1,2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是A.y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)B.y＝x＋x＋1C.y＝1x－log3xD.y＝x＋1x＋1

√√12345678910111213141516解析根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应.因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调.对于选项A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对

应同一函数值，故A可以构造“同值函数”；对于选项B，y＝x＋x＋1，为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故B不可以构造“同值函数”；对于选项C，y＝1x－log3x，为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故C不可以构造“

同值函数”；12345678910111213141516有不同的自变量对应同一函数值，故D可以构造“同值函数”.所以能够被用来构造“同值函数”的是A，D.对于选项D，y＝x＋1x＋1，不是定义域上的单调

函数，大一轮复习讲义§2.1函数及其表示