【文档说明】2020年高考一轮复习正弦定理和余弦定理课件.pptx，共(39)页，1.005 MB，由小橙橙上传

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2020年高考一轮复习正弦定理和余弦定理2023年5月31日星期三最新考纲考情索引核心素养掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2018·全国卷Ⅰ，T162018·全国卷Ⅱ，T72018·全国卷Ⅲ，T112017·全国卷Ⅰ，T112017·全国卷Ⅱ，T162017·全国

卷Ⅲ，T152016·全国卷Ⅰ，T42016·全国卷Ⅱ，T151.数学运算2.逻辑推理1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式____________________

＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝_______________；c2＝_______________asinA＝bsinB＝csinCc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝________，c

＝________；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(3)a∶b∶c＝__________________；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝________；cosB＝________；cosC＝________2

RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab2.S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：项目A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数____________________________一解两解一解一解无解1．三角形中的

三角函数关系．(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.2．三角形中的射影定理．在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bco

sA＋acosB.3．△ABC中，∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.1．概念思辨判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC

中，若sinA>sinB，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形

；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．()解析：(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比．(3)已知三角时，不可求三边．(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形．答案：(1)×(2

)√(3)×(4)×2．教材衍化(1)(人A必修5·P10A组T4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π6(2)(人A必修5·P10T2改编)在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________．解析：(1)因为在

△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝9＋25－4930＝－12，因为在△ABC中，∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝2π3.(2)由正弦定理，得sinAcosA＝

sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．答案：(1)C(2)等腰三角形或直角三角形3．典题体验(1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC

＝5，则AB＝()A．42B.30C.29D．25(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝________．(3)(2019·佛山质检)我国南宋著名数学

家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝14a2c2－a2＋c2－b222.若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公

式求得△ABC的面积为________．解析：(1)因为cosC2＝55，所以cosC＝2cos2C2－1＝2×(55)2－1＝－35.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×(－35)＝32，所以AB＝3

2＝42.故选A.(2)如图，由正弦定理，得3sin60°＝6sinB，所以sinB＝22.又c>b，所以B＝45°，所以A＝180°－60°－45°＝75°.(3)根据正弦定理及a2sinC＝4sinA，可得ac＝4，由(a＋c)2＝12＋b2，可得a2＋c2－b2＝4，所以S△A

BC＝14a2c2－a2＋c2－b222＝14×（16－4）＝3.答案：(1)A(2)75°(3)3考点1利用正、余弦定理解三角形(自主演练)【例1】在△ABC中，角A，

B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝2π3，a＝2，b＝233，则B等于()A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6解析：因为A＝2π3，a＝2，b＝233，由asinA＝bsinB得，sinB＝basinA＝2332×32＝1

2.因为A＝2π3，所以B＝π6.答案：D【例2】(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6解析：因为S＝12absinC＝a2＋b2－c24＝2abcosC

4＝12abcosC，所以sinC＝cosC，即tanC＝1.因为C∈(0，π)，所以C＝π4.故选C.答案：C【例3】(2019·郑州二模)在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若2cos2A＋B2－cos2C＝1，4s

inB＝3sinA，a－b＝1，则c的值为()A.13B.7C.37D．6解析：由2cos2A＋B2－cos2C＝1，可得2cos2A＋B2－1－cos2C＝0，则有cos2C＋cosC＝0，即2cos2C＋cosC－1＝0，解得c

osC＝12或cosC＝－1(舍)，由4sinB＝3sinA，得4b＝3a，①又a－b＝1，②联立①②得a＝4，b＝3.所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋9－12＝13，则c＝13.答案：A1．三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是

唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．2．已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理，用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．考点2判断三角形的

形状(典例迁移)【例1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：由cb<cosA，得sinCsinB<cosA，所以sin

C<sinBcosA，即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因为在三角形中sinA>0，所以cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．答案：A【例2】(经典母题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，

b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A，因为A∈(0，π)，所以sinA>0

，所以sinA＝1，即A＝π2.所以△ABC为直角三角形．答案：B[迁移探究1]例2中，若将条件变为2sinAcosB＝sinC，判断△ABC的形状．解：因为2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，所以2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.又

A，B为△ABC的内角．所以A＝B，所以△ABC为等腰三角形．[迁移探究2]若将例2中的条件变为“c－acosB＝(2a－b)cosA”，试判断△ABC的形状．解：因为c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，所以

由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以cosA(sinB－sinA)＝0，所以co

sA＝0或sinB＝sinA，所以A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC为直角或等腰三角形．1．判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无

论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．考点3正(余)弦定理的应用(多维探究)角度和三角形面积有关的问题【例1】(2017·全国卷Ⅲ)△AB

C的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解：(1)由已知可得tanA＝－3，所以A＝2π3.在△ABC中，由余弦定理得28＝4

＋c2－4ccos2π3，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠

BAC＝23，所以△ABD的面积为3.1．对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．2．与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[变式训练](2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内

角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析：因为bsinC＋csinB＝4asinBsinC，所以由正弦定理得sinBsinC

＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC>0，所以sinA＝12.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝82bc＝4bc>0，所以cosA＝32，bc＝4cosA＝833，所以S△ABC＝12bcsinA＝12

×833×12＝233.答案：233角度与三角恒等变形有关的问题【例2】(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos(B－π6)．(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值

．解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acos(B－π6)，得asinB＝acos(B－π6)，即sinB＝cos(B－π6)，所以tanB＝3.又因为B∈(0，π)，

所以B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acos(B－π6)，可得sinA＝37.因为a<c，故cosA＝27.因此sin2A＝2sinA

cosA＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17.所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝437×12－17×32＝3314.1．牢记公式，正确求解：在三角函数及解三角形类解答题中，通常涉及三角恒等变换公式、诱导公式及正弦定理

和余弦定理，这些公式和定理是解决问题的关键，因此要牢记公式和定理．2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本例即是在第(1)问的基

础上求解．[变式训练](2019·安徽江南十校联考)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，函数f(x)＝3＋23sinxcosx＋2cos2x，且f(A)＝5.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC面

积的最大值．解：(1)由题意可得，f(A)＝3＋23sinAcosA＋2cos2A＝5，所以23sinAcosA＝2(1－cos2A)，所以sinA(3cosA－sinA)＝0，因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以sinA＝3cosA，即tanA＝3，A＝π3.(2)由余弦定理

可得，4＝b2＋c2－2bccosπ3，4＝b2＋c2－bc≥bc(当且仅当b＝c＝2时“＝”成立)，所以S△ABC＝12bcsinA＝34bc≤34×4＝3，故△ABC面积的最大值是3.