【文档说明】2020年高考一轮复习函数yAsinx的图象及应用课件.pptx，共(55)页，1.999 MB，由小橙橙上传

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2020年高考一轮复习函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用2023年5月31日星期三最新考纲考情索引核心素养1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2.了解三角函数是描

述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.2018·天津卷，T62016·全国卷Ⅰ，T62016·全国卷Ⅲ，T141.数学运算2.直观想象1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画

y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．x___－φω＋π2ω___3π2ω－φω___ωx＋φ0___π___2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0－φωπ－φω2π－φωπ23π22.函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义简谐振动

振幅周期频率相位初相y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)x∈[0，＋∞]A______f＝1T_____φT＝2πωωx＋φ3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径1．由y＝si

nωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．1．概念思辨判断下列结论的正误(正确的打

“√”，错误的打“×”)．(1)将函数y＝3sin2x的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin2x＋π4.()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．()(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)

的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．()解析：(1)将函数y＝3sin2x的图象向左

平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos2x.(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为φω.故当ω≠1时平移的长度不相等．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．教材衍化(1)(人A必修4·

P56T3改编)y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为()A．2，4π，π3B．2，14π，π3C．2，14π，－π3D．2，4π，－π3(2)(人A必修4·P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表

是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购价格y(元/斤)6765选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月价之间的函数关系为________．解析：(1)由题意知A＝2，f＝1T＝ω2π＝14π，初相为－π3.(2)设y＝A

sin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，b＝6，T＝4，因为T＝2πω，所以ω＝π2，所以y＝sinπ2x＋φ＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sinπ2＋φ＋6，结

合表中数据得π2＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－π2，所以y＝sinπ2x－π2＋6＝6－cosπx2.答案：(1)C(2)y＝6－cosπx23．典题体验(1)(2019·永州模拟)函数y＝2c

os2x＋π6的部分图象是()(2)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sin2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y＝2sin

2x－π4D．y＝2sin2x－π3(3)(2019·长沙模拟改编)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．解析：(1)y＝2cos2x＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象

过点π6，0，故排除B；又因为函数图象过点－π12，2，故排除C.(2)函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周

期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3，故选D.(3)相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半

个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.答案：(1)A(2)D(3)π2＋4考点1函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换(讲练互动)【例】某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2在某一个周

期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移

动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为5π12，0，求θ的最小值．解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12Asin(ωx＋φ)050－50且函

数解析式为f(x)＝5sin2x－π6.(2)由(1)知f(x)＝5sin2x－π6，则g(x)＝5sin2x＋2θ－π6.因为函数y＝sinx图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，令2x＋2θ－π6＝kπ，解得x＝kπ

2＋π12－θ，k∈Z.由于函数y＝g(x)的图象关于点5π12，0成中心对称，所以kπ2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝kπ2－π3，k∈Z.由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值π6.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的作法1

．五点法作图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，令z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．2．图象的变换法，由函

数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．[变式训练](2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A

．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右

平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2解析：首先利用诱导公式化异名为同名．y＝sin2x＋2π3＝cos2x＋2π3－π2＝cos

2x＋π6＝cos2x＋π12.由y＝cosx的图象得到y＝cos2x的图象，需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变；由y＝cos2x的图象得到y＝cos2x＋π12的图象，需将y＝cos2x的图象

上的各点向左平移π12个单位长度，故选D.答案：D考点2求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(自主演练)【例1】(2019·河北衡水金卷一模)已知函数f(x)＝－2cosωx(ω>0)的图象向左平移φ0<φ<π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为()

A.π6B.5π6C.π12D.5π12解析：由题图知，T＝211π12－5π12＝π，所以ω＝2πT＝2，所以f(x)＝－2cos2x，所以f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)．则由图象知，f512π＋φ＝－2cos56π＋2

φ＝2.所以5π6＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，则φ＝π12＋kπ(k∈Z)．又0<φ<π2，所以φ＝π12.答案：C【例2】[一题多解]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．解析：

由题图可知A＝2，法一T4＝7π12－π3＝π4，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝2sin(2x＋φ)，又π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3，故f(x)＝2sin

2x＋π3.法二以π3，0为第二个“零点”，7π12，－2为最小值点，列方程组ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得ω＝2，φ＝π3，故f(x)＝2sin2x＋π3.答案：f(x)＝2sin2x＋π3【例3

】(2019·唐山调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则f(x)图象的对称轴方程是________．解析：由函数图象知，A＝2，且2sinφ＝1.又|φ|<π2，所以φ

＝π6.又11π12×ω＋π6＝2π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin2x＋π6，令2x＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)．所以f(x)图象的对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)．答案：x＝kπ2＋π6(k∈Z)1．已知f(x)＝

Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，利用周期性求ω，难点是“φ”的确定．2．y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法．(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间上)或把图象

的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．考点3三角函数性质及图象的综合应用(讲练互动)【例】(2017·山东卷)设函数f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，其中0<ω<3，已知f

π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在－π4，3π4上的最小值．解：(1)因为f(x)＝sinωx－π6＋sinωx

－π2，所以f(x)＝32sinωx－12cosωx－cosωx＝32sinωx－32cosωx＝312sinωx－32cosωx＝3sinωx－π3.由题设知fπ6＝0，所以ωπ6－π3＝kπ，k∈Z，

故ω＝6k＋2，k∈Z.又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f(x)＝3sin2x－π3，所以g(x)＝3sinx＋π4－π3＝3sinx－π12.因为x∈－π4

，3π4，所以x－π12∈－π3，2π3.当x－π12＝－π3，即x＝－π4时，g(x)取得最小值－32.1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．利用换元法和三角函数的性质求解．2．研究三角函数零点问题可转化为研究图

象的交点问题或借助函数性质求解．[变式训练]已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求fπ4的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π12

个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．解：(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.又f(x)的图象关于直线x＝π3对称，所以2×π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，所以φ＝－π6＋kπ，(k∈Z)．因为－π2≤φ<π2

，所以φ＝－π6，所以f(x)＝3sin2x－π6，则fπ4＝3sin2×π4－π6＝3sinπ3＝32.(2)将f(x)的图象向右平移π12个单位后，得到fx－π12的图象，所以g(x)＝fx－π12

＝3sin2x－π12－π6＝3sin2x－π3.当2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)，即kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12(k∈Z)时，g(x)单调递减．所以g(x)的单调递减区间为kπ＋5

π12，kπ＋11π12(k∈Z)．【例】如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米．解析：以圆心O1为原点，以水

平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一圈，设∠OO1P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t)．又周期T＝12，所以θ＝π6t，则f(t)＝3＋2sinθ－π2＝3－2cosπ6t(t

≥0)．当t＝40秒时，f(40)＝3－2cosπ6×40＝4.答案：41．三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“

翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练]某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acosπ6（x－6）(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月

平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a＝28＋182＝23，A＝28－182＝5，所以y＝23＋5cosπ6（x－6），当x＝10时，y＝23＋5cosπ6×4＝20

.5.答案：20.5核心素养欣赏数学运算——三角函数解析式中参数ω的求解问题1．三角函数的周期性与ω的关系【例1】为了使函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为()A．98πB.1972πC.1992πD．100

π解析：由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以4914T＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.答案：B2．三角函数的单调性与ω的关系【例2】若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在

区间π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是()A．0≤ω≤23B．0≤ω≤32C.23≤ω≤3D.32≤ω≤3解析：令π2＋2kπ≤ωx≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得π2ω＋2kπω≤x≤

3π2ω＋2kπω，因为f(x)在π3，π2上单调递减，所以π2ω＋2kπω≤π3，π2≤3π2ω＋2kπω，得6k＋32≤ω≤4k＋3(k∈Z)．又ω>0，所以k≥0.由6k＋32<4k＋3，得0≤k<34

.取k＝0，则有32≤ω≤3.答案：D【点评】根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间π3，π2上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．3．三角函数的对称性、最值与ω

的关系【例3】(2019·枣庄模拟)已知f(x)＝sinωx－cosωxω>23，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________(结果用区间表示)

．解析：f(x)＝sinωx－cosωx＝2sinωx－π4，令ωx－π4＝π2＋kπ，k∈Z，解得x＝3π4ω＋kπω，k∈Z.当k＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω，当k＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78.综上，34≤ω≤

78.答案：34，78【例4】已知函数f(x)＝2sinωx在区间－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．解析：显然ω≠0，可分两种情况：若ω>0，当x∈

－π3，π4时，－π3ω≤ωx≤π4ω.因函数f(x)＝2sinωx在区间－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32.若ω<0，当x∈－π3，π4时，π4ω≤ωx≤－π3ω

，因函数f(x)＝2sinωx在区间－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2.综上所述，ω的取值范围为ω|ω≤－2或ω≥32.答案：{ω|ω≤－2或ω≥32}．【点评】这类三角函数题除了需

要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何．