【文档说明】2020年高考一轮复习函数模型及其应用课件.pptx，共(41)页，1.135 MB，由小橙橙上传

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2020年高考一轮复习函数模型及其应用2023年5月31日星期三最新考纲考情索引核心素养1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活的广泛应用.2

018·浙江卷，T112018·天津卷，T142017·全国卷Ⅲ，T32016·全国卷Ⅲ，T41.数学建模2.直观想象3.数学运算1．指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调_____单调__

___单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳递增递增图象的变化随x的增大逐渐表现为与____平行随x的增大逐渐表现为与______平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜axy轴x轴2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠

1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言

转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常

用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．2．充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性

．1．概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x

2的函数值大．()(3)不存在x0，使ax0<xn0<logax0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．()解析：(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×910＝99元，所以每件赔1元，(1)错．(2)中

，当x＝2时，2x＝x2＝4，(2)错．根据幂、指、对函数模型变化规律知(3)错，(4)正确．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．教材衍化(1)(人A必修1·P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.5

00.992.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2xB．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2x(2)(人A必修1·P59A组T6改编)某公司为激励创新，计划

逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0

.30)()A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年解析：(1)根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．(2)设经过n年资

金开始超过200万元，130(1＋12%)n>200.两边取对数，得n·lg1.12>lg2－lg1.3，所以n>lg2－lg1.3lg1.12≈0.30－0.110.05＝195，所以n≥4，所以从2021年开始，该公司投入的研

发资金开始超过200万元．答案：(1)D(2)B3．典题体验(1)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量

为()A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件(2)(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_

_______．解析：(1)利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18万件时，L(x)有最大值．(2)设总费用为y万元，则y＝600x×6＋4x＝4x＋900x≥240.当且仅当x＝900x，即x＝30时，等号成立．所以当x＝

30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．答案：(1)B(2)30考点1利用函数图象刻画实际问题(自主演练)【例1】(2019·长春检测)“乌龟赛跑”是一则经典故事：兔子与乌鱼在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当它醒

来后看到乌龟已经领先了，因此它用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程—时间图象()解析：由故事内容知乌龟先到达终点，兔子醒来乌龟未到达终点，且兔子后来的速度更快，故选项C正确．答案：C【例2】物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价

，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()解析：由运输效率(单位时间的运

输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凸的，故选B.答案：B【例3】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是

()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：根据图象知消耗1L汽油

，乙车最多行驶里程大于5km，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80km/h的速度行驶时燃油效率为10km/L，行驶1h，里程为80km，消耗8L汽油，故

选项C错；最高限速80km/h，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选项D正确．答案：D1．当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实

际情况的答案．2．图形、表格直观地刻画出变量间的依存关系，考查学生的直观想象等数学核心素养．考点2已知函数模型求解实际问题(讲练互动)【例】为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本

为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的

表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．解：(1)当x＝0时，C＝8，所以k＝40，所以C(x)＝403x＋5(0≤x≤10)，所以f(x)＝6x＋20×403x＋5＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)

．(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋8003x＋5－10.令3x＋5＝t，t∈[5，35]，则y＝2t＋800t－10，所以y′＝2－800t2，当5≤t＜20时，y′＜0，y＝2t＋800t－10为减函数；当20＜t≤35时，y′＞0，y＝2

t＋800t－10为增函数．所以函数y＝2t＋800t－10在t＝20时取得最小值，此时x＝5，因此f(x)的最小值为f(x)min＝6×5＋8003×5＋5＝70.所以隔热层修建5cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．1．求

解已知函数模型解决实际问题的关注点．(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．2．利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．[变式训练]某商

场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商

场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)当x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)

2x－3＋10（x－6）2＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.f′(x)＝30(x－4)(x－6)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4时，函数f(x)取得极大值

，也是最大值，所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．考点3构造函数模型求实际问题(多维探究)角度构建二次函数、分段函数模

型【例1】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤

20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．解：(1)由

题意得，当0<x≤4时，v＝2，当4<x≤20时，设v＝ax＋b，显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，由已知得20a＋b＝0，4a＋b＝2，解得a＝－18，b＝52，所以v＝－18x＋52.故函数v＝2，0<x≤4，－18x＋52，4<x≤

20.(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意由(1)得f(x)＝2x，0<x≤4，－18x2＋52x，4<x≤20.当0<x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；当4<x≤20时，f(x)＝－18x

2＋52x＝－18(x2－20x)＝－18(x－10)2＋252，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．角度构建指数、对数型函数

模型【例2】候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3Q10(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b

的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog33010＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故有a＋blog39010＝1，

整理得a＋2b＝1.解方程组a＋b＝0，a＋2b＝1，得a＝－1，b＝1.(2)由(1)知，v＝－1＋log3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，即－1＋log3Q10≥2，即log3Q10≥3，解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速

度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．1．解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．2．(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出

，而是由几个不同的关系式构成，应构建分段函数模型，但应关注两点：①分段要合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)中的最大(或最小)值．(2)指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数．求解时要准确进行

指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．[变式训练]1．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10m3的，按每立方米m元收费；用水超过10m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为()A．1

3m3B．14m3C．18m3D．26m3解析：设该职工用水xm3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝mx，0<x≤10，10m＋（x－10）·2m，x>10.则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x

＝13.答案：A2．将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin甲桶中的水只有a4L，则m的值为()A．5B．8C．9D．10解析：因为5min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数

y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝12a，可得n＝15ln12，所以f(t)＝a·12t5，因此，当kmin后甲桶中的水只有a4L时，f(k)＝a·12k5＝14a，即12k5＝14，所以k＝10，所以m＝k－5＝10－

5＝5.答案：A