【文档说明】2020年高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用21函数及其表示课件文.ppt，共(52)页，3.050 MB，由小橙橙上传

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第2章函数、导数及其应用第1讲函数及其表示板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1函数与映射的概念考点2函数的三要素函数由定义域、和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：的取值构成的集合；(2)值域：函数值的集合考点3函数的表示法表示函数的常用方法有：对应关系自变

量x{f(x)|x∈A}．解析法、列表法、图象法．考点4分段函数若函数在定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．对应关系[必会结论]1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映

射就是函数；(2)映射的两个特征：第一，在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一，但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数

虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．[双基夯实]一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)1．若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()2．函数f(x)＝x2－2x与g(

t)＝t2－2t是同一函数．()×√3．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．()4．若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff12＝0.()5．分段函数是由两个或几个函数组成的．(

)×××二、小题快练1．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{x|0≤x≤1}为值域的函数的是()解析A选项中的值域不对，B选项中的定义域错误，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确．2．[2017·济宁模拟]已知函数f(x)满足f(2x)＝2f(

x)，且当1≤x<2时，f(x)＝x2，则f(3)＝()A.98B.94C.92D．9解析∵f(2x)＝2f(x)，且当1≤x<2时，f(x)＝x2，∴f(3)＝2f32＝2×

322＝92.3．[2016·江苏高考]函数y＝3－2x－x2的定义域是________．[－3,1]解析若函数有意义，则3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1.4．[课本改编]设f(x)＝1－x，x≥0，2x，x<0，则f(f(－2

))＝________.12解析因为－2<0，所以f(－2)＝2－2＝14>0，所以f14＝1－14＝1－12＝12.5．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式__________________．f(x)＝x2－1(x≥1)解析解法一：设u＝x＋1，则x＝u－1(u

≥1)．∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)．即f(x)＝x2－1(x≥1)．解法二：∵x＋2x＝(x＋1)2－1，又∵x≥0，∴x＋1≥1.∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1，即f(x)＝x2－1(

x≥1)．板块二典例探究·考向突破考向求函数的定义域例1(1)[2015·湖北高考]函数f(x)＝4－|x|＋lgx2－5x＋6x－3的定义域为()A．(2,3)B．(2,4]C．(2,3)∪(3,4]D．(－1,3)∪(3,6][解

析]依题意，知4－|x|≥0，x2－5x＋6x－3>0，即|x|≤4，(x－3)(x－2)x－3>0，解之得2<x<3或3<x≤4，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．(2)已知函数

f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()A．(－1,1)B.－1，－12C．(－1,0)D.12，1[解析]由函数f(x)的定义域为(－1,0)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1<x<－

12，即所求函数的定义域为－1，－12.延伸探究1本例(2)中条件不变，求函数g(x)＝f(2x＋1)＋f(3x＋1)的定义域．解函数f(3x＋1)有意义，需－1<3x＋1<0，解得－23<x<－13，又由f(2x＋1)有意义，

解得－1<x<－12，所以可知g(x)的定义域为－23，－12.延伸探究2若本例(2)中条件变为：“函数f(x－1)的定义域为(－1,0)”，则结果如何？解因为f(x－1)的定义域为(－1,0)，即－1<x<0

，所以－2<x－1<－1，故f(x)的定义域为(－2，－1)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－2<2x＋1<－1，解得－32<x<－1.所以所求函数的定义域为－32，－1.触类旁通1．求具体函数y＝f(x)的定义域2．求抽象函数的定义域(1)

若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【变式训练1】(1)[2016·德州期末]y＝x－12x－log2(4－x2)的定义

域是()A．(－2,0)∪(1,2)B．(－2,0]∪(1,2)C．(－2,0)∪[1,2)D．[－2,0]∪[1,2]解析要使函数有意义，必须x－12x≥0，x≠0，4－x2>0，∴x∈(－2,0)∪[1,2)．(2)若函数f(x2＋1)的定义域为

[－1,1]，则f(lgx)的定义域为()A．[－1,1]B．[1,2]C．[10,100]D．[0，lg2]解析因为f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2

＋1≤2.因为f(x2＋1)与f(lgx)是同一个对应法则，所以1≤lgx≤2，即10≤x≤100，所以函数f(lgx)的定义域为[10,100]．考向求函数的解析式例2(1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(2)已知f

2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；(4)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f1x·x－1，求f(x)．[解](1)由于f

x＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．(2)令2x＋1＝t得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式

是f(x)＝lg2x－1(x>1)．(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋

(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x，x∈R.(4)在f(x)＝2f1xx－1中，用1x代替x，得f

1x＝2f(x)1x－1，将f1x＝2f(x)x－1代入f(x)＝2f1xx－1中，可求得f(x)＝23x＋13.触类旁通求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f[g(x)]＝F(x)，可将F(x)改写

成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f(x)与f

1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．【变式训练2】(1)已知f(x)＝1x，x>0，x2，x≤0，求f(x＋1)．解当x＋1>0，即x>－1时，f(x＋1)＝1x＋1；当x＋1≤0，即x≤－1时，

f(x＋1)＝(x＋1)2.∴f(x＋1)＝1x＋1，x>－1；(x＋1)2，x≤－1.(2)已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x.①若f(x)＝3，求f(1)；又f(0)＝a，求f(a)；②设有且仅有一个实数x0，解得f(x0)＝x0，求f(

x)的解析式．解①∵f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，f(x)＝3，∴f(3－x2＋x)＝3－x2＋x，∴f(x)＝x，∴f(1)＝1.∵f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，令x＝0，∴f[f(0)]＝

f(0)，又f(0)＝a，∴f(a)＝a.②∵f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，且f(x0)＝x0，得f(x0)－x20＋x0＝x0，将f(x0)＝x0代入得：x0－x20＋x0＝x0，即：x0－x20＝0，解得：x0＝0或x

0＝1.验证：若x0＝0，则函数始终满足f(x)－x2＋x＝0，故函数解析式为f(x)＝x2－x，经计算，该函数与f(x)在图象上有两个交点，即(0,0)和(1,0)，这与已知矛盾，舍去．若x0＝1，则f(x)－x2＋x＝1，即f(x)

＝x2－x＋1，经计算，f(x)＝x在图象上有且只有一个交点，即f(1)＝1，符合题意．综上所述，函数解析式为：f(x)＝x2－x＋1.考向分段函数命题角度1分段函数求值问题例3[2017·北京西城模拟]设函数f(x)＝1x，x>1，－x

－2，x≤1，则f[f(2)]＝________，函数f(x)的值域是_____________．－52[－3，＋∞)[解析]f(2)＝12，则f[f(2)]＝f12＝－52.当x>1时，f(x)∈(0,1

)，当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，∴f(x)∈[－3，＋∞)．命题角度2分段函数与方程的交汇问题例4[2015·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝2x－1－2，x≤1，－log2(x＋1)，x>1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()A．－74B．－54C．－34

D．－14[解析]∵f(a)＝－3，∴当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3，即2a－1＝－1，此等式显然不成立．当a>1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，即a＋1＝23，解得a＝7.∴f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝14－2＝－74.

命题角度3分段函数与不等式的交汇问题例5设函数f(x)＝2－x，x∈(－∞，1)，x2，x∈[1，＋∞).若f(x)>4，则x的取值范围是____________________________．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解析]当x<1时，由2－x>4得x<－2；当

x≥1时，由x2>4得x>2.综上所述，x的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．例6已知f(x)＝3－x，x≥0，x－1，x<0，则|f(x)|≥13的解集是________．[－3,1][解析]当x≥0时，f(

x)＝3－x>0，此时|f(x)|＝3－x≥13，解得x≤1，所以0≤x≤1；当x<0时，f(x)＝x－1<0，此时|f(x)|＝－x－1≥13，解得x≥－3，所以－3≤x<0.综上所述，|f(x)|≥13的解集为[－3,1]．触

类旁通分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．(2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．核心规律1.在判断两个函数是否

为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配

凑法、解方程组法．满分策略1.已知函数的解析式求函数的定义域，就是构建使解析式有意义的不等式(组)求解，切不可将所给解析式化简后再求定义域．2.利用换元法求函数解析式时，换元后应注意参数的取值范围．3.解决分段函数问题的策略是分段击破，即对不同的区间进行分类求解，然后整合，要注意检验所

求结果是否适合自变量的取值范围．另外图象法也是解决很多分段函数的一种重要方法，应引起同学们注意，灵活运用.板块三启智培优·破译高考题型技法系列3——分段函数中的分类求解策略[2015·山东高考]设函数f(x)＝

3x－b，x<1，2x，x≥1.若ff56＝4，则b＝()A．1B.78C.34D.12[解题视点]根据自变量所在的区间代入相应段的函数解析式，若涉及复合函数求值，从内到外逐步求值，注意相应自变量所在的区间；已知函数值求自变量(或参数)的值，通过分类

讨论化为若干个混合组求解，要充分利用分段函数在各段上的值域，减少运算量．[解析]∵f56＝3×56－b＝52－b，∴ff56＝f52－b.当52－b<1时，即b>32时，f52－b＝3

×52－b－b＝4，∴b＝78(舍去)．当52－b≥1时，即b≤32时，f52－b＝252－b＝4，即52－b＝2，∴b＝12.选D.答题启示(1)分类讨论思想在求函数值中的应用：对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求

解．(2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意：求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．跟踪训练函数f(x)＝5x＋3，x≤－2，3x－1，－2<x≤0，x2－7，x>0，若f(a)

＝－3，则a＝______.0或2解析若a≤－2，则5a＋3＝－3，∴a＝－65>－2(舍)；若－2<a≤0，则3a－1＝－3，∴a＝0∈(－2,0]；若a>0，则a2－7＝－3，∴a＝2或a＝－2(舍)．综上，a＝0或a＝2.