【文档说明】38函数的应用二2021届高三数学新高考一轮复习课件.ppt，共(45)页，1.531 MB，由小橙橙上传

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第8节函数的应用(二)【教材回扣】1．函数的零点(1)函数的零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)________⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3

)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数解，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数解x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1.f(x)＝0有零点

2．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．连续不断f(a)·f(b)<0f(c)＝03．二

次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点________________无交点零点个数210(x1,0)，(x2,0)(x1,0)4.常见的函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k

≠0)(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数型函数模型y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4)对数型函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)常见

函数模型(5)幂函数型模型y＝axα＋b(a，b为常数，a≠0)【教材提炼】一、教材改编1．[必修一·P155习题4.5T4改编]函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(1e，1)和(3,4)D．(4，＋∞)答案：

B解析：∵f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－23>0，且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(x)为增函数，∴f(x)的零点在区间(2,3)内．2．[必修一·P156习题4.5T13改编]若函数f(x)＝2

4ax2＋4x－1在区间(－1,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是________．答案：{0，－16}∪(－18，524)解析：(1)当a＝0时，f(x)＝4x－1.令f(x)＝0，得4x－1＝0，x＝14∈(－1,1)．∴当a＝0时，f(x)在(－1,1)内恰有一个零点．(

2)当a≠0时，Δ＝42－4×24a×(－1)＝16＋96a.①若Δ＝0，即a＝－16，则函数f(x)的图象与x轴交于点(12，0)，x＝12是(－1,1)内的唯一零点．②若Δ>0，即a>－16，则a>－16，f(－1)f(1)＝(24a－5)(24a＋3)<0⇔－18<a<524.综上

可得，a的取值范围是{0，－16}∪(－18，524)．二、易错易混3．[多选题]若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的有()A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B．

f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点答案：ABD解析：由题知f(0)·f(

1)<0，所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点，又f(1)·f(2)>0，因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点．4．设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(

a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内()A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一实根答案：D解析：由函数零点存在定理知，函数f(x)的图象在[a，b]内与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝0在[a

，b]内只有一个实根．三、走进高考5．[2019·全国Ⅲ卷]函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为()A．2B．3C．4D．5答案：B解析：由f(x)＝2sinx－sin2x＝2sinx－2sinxcosx＝2si

nx(1－cosx)＝0得sinx＝0或cosx＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π.即零点有3个．故选B.6．[2018·全国Ⅰ卷]已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x>0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(

x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)答案：C解析：g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点等价于函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x>0与h(x)＝－x－a的图象存在2个交点，如图，当x＝0时，h(0)＝－a，由图可知要

满足y＝f(x)与y＝h(x)的图象存在2个交点，需要－a≤1，即a≥－1.故选C.题型一函数零点的判断与求解[自主练透]1．已知函数f(x)＝1x－a为奇函数，g(x)＝lnx－2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案：

C解析：由函数f(x)＝1x－a为奇函数，可得a＝0，则g(x)＝lnx－2f(x)＝lnx－2x，所以g(2)＝ln2－1<0，g(3)＝ln3－23>0，所以g(2)g(3)<0，可知函数的零点在(2,3)之间

，故选C.2．函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x>0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0答案：B解析：由f(x)＝0得x≤0x2＋x－2＝0或x>0－1＋lnx＝0，解得x＝－2或x＝e，因此函数f(x)共有2个零点．故选B.3．

已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)，当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.答案：2解析：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝log

ax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.类题通法(1)确定函数f(x)的零点所在区间的两种常用方法：①定义法；②图象法．(如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)与y＝

h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点．(2)判断函数零点个数的判断方法：①解方程法；②利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数．③利用函数图象的交点个数判断.题型二函数零点的应用[微点探究]微点1根据函数零点个数求参数[例1](1

)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间(12，3)上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．[2，52)D．[2，103)答案：D解析：由题意知方程ax＝x2＋1在(12，

3)上有实数解，即a＝x＋1x在(12，3)上有解，设t＝x＋1x，x∈(12，3)，则t的取值范围是[2，103)．所以实数a的取值范围是[2，103)．(2)已知函数f(x)＝x2－6x＋1，

x≥0，(12)x＋1，x<0.若g(x)＝f(x)－a恰好有3个零点，则a的取值范围为________．答案：(12，1]解析：g(x)＝f(x)－a恰好有3个零点，等价于f(x)＝a有三个根，等价于y＝f(x)与y＝a的图象有三个不

同的交点，作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图，由图可知，当12<a≤1时，y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点，即当12<a≤1时，g(x)＝f(x)－a恰好有3个零点，所以a的取值范围是(12，1]．微点2根据函数零点的范围求参数[例2](1)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1

,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)答案：C解析：根据指数函数和反比例函数的性质，可知函数f(x)＝2x－2x－a在区间(1,2)内是增函数，又函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，所以f(1)<0且f

(2)>0，求得0<a<3.故选C.(2)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是________．答案：(14，12)解析：依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足m≠2，f(－1)·f(0)<

0，f(1)·f(2)<0，即m≠2，(m－2－m＋2m＋1)(2m＋1)<0，(m－2＋m＋2m＋1)[4(m－2)＋2m＋2m＋1]<0，解得14<m<12.类题通法根据函数零点的情况求

参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.【跟踪训练1】(1)已知f(x)＝(1

2)|x|，(x≤1)，－x2＋4x－2，(x>1)，若关于x的方程a＝f(x)恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是()A．(－∞，12)∪[1,2)B．(0，12)∪[1,2)C．(1,2)D．[1,2)答案：B解析：关于x的方程a＝f(x)恰有两个不等实根

，等价于y＝a，y＝f(x)的图象有两个不同的交点，画出y＝a，y＝f(x)的图象，如图所示，由图可知，当a∈(0，12)∪[1,2)时，y＝a，y＝f(x)的图象有两个不同的交点，此时，关于x的方程a＝f(x)恰有两个不等实根，所以实数a的取值范围是(0，12)∪[1,2)．

(2)已知函数f(x)＝log2x＋2x－m有唯一零点，若它的零点在区间(1,2)内，则实数m的取值范围是________．答案：(2,5)解析：∵函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(1)<0，且f(2)>0，即2－m<05－m>0，解得2<m<5.

题型三指数、对数函数模型的应用[师生共研][例3]为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x年(2018

年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)该企业从第几年开始(2018年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元？(参考数据：lg0.11≈－0.959，lg1.1≈0.041，lg11≈1.041，lg2≈0.301)解：

(1)第一年该企业投入的资金数为100(1＋10%)万元，第二年该企业投入的资金数为100(1＋10%)＋100(1＋10%)10%＝100(1＋10%)2(万元)，第x年(2018年为第一年)该企业投入的资

金数y(万元)与x的函数关系式为y＝100(1＋10%)x，其定义域为{x∈N*|x≤10}．(2)由100(1＋10%)x>200可得1.1x>2，即x>lg2lg1.1≈0.3010.041≈7.3，即该企业从第8年开始(201

8年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元.类题通法指数函数与对数函数的应用通常与增长率或利用率相结合进行考查．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可用指数函数模型表示．在解题中，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可互相转化应用.【跟踪训练2】(1)[

2019·北京卷]在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等为－26.7，天狼星

的星等为－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10－10.1答案：A解析：若太阳的星等m1＝－26.7，天狼星的星等m2＝－1.45，则m2－m1＝－1.45－(－26.7)＝25.2

5.设太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2，因为m2－m1＝52lgE1E2，所以lgE1E2＝10.1，所以E1E2＝1010.1.(2)已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2500mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为ymg.①y

与x的关系式为______________；②当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上时，才有疗效；而低于500mg时，病人就有危险，则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过________小时．(精确到0.1)(参考数

据：0.20.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1)答案：①y＝2500×0.8x②7.2解析：①由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2500m

g，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2500×(1－20%)x＝2500×0.8x(mg)，即y与x的关系式为y＝2500×0.8x.②当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上时，才有疗效；而低于500mg时

，病人就有危险，∴令2500×0.8x≥500，即0.8x≥0.2.∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是单调递减函数，∴x≤7.2，∴要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时．数学核心素养(二)——直

观想象数形结合法求解函数零点问题直观想象是指借助几何直观想象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程．函数的零点问题可以转化为两个函数图象的交点问题，可以通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决．[例](1)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是(

)A．1B．2C．3D．4答案：B解析：∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．(2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x

)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，则a的取值范围为________．答案：(6，10)解析：由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，所以函数图象关于x＝2对称，且f(

2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，则满足a>1，f(6)<2，f(10)>2，如图，即a>1，loga6<2，loga10>2，解得6<a<10.故a的取值范围是(6，10)．类题

通法函数与方程中的直观想象素养的培养，运用数形结合思想是解决函数与方程问题的行之有效的思想方法，利用直观想象建立形与数的联系，探索到方程的根，函数的零点，图象的交点之间的关系，通过“挖”题目的信息，培

养了学生直观想象力、数学抽象、逻辑推理的学科素养.【练一练】(1)[2020·山东济宁邹城一中模拟]已知函数f(x)＝1－ex，x≤0，x2－2x，x>0，若函数y＝f(x)－m有两个不同的零点，则m的取值范围是()A．(－1,1)B

．(－1,1]C．(－1，＋∞)D．[－1，＋∞)答案：A解析：根据题意知f(x)＝1－ex，x≤0，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x>0.画出函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，∵函数y＝f(x)－m有两个不同的零点，∴函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，由图象可得m的

取值范围为(－1,1)．(2)[多填题][2018·浙江卷]已知λ∈R，函数f(x)＝x－4，x≥λ，x2－4x＋3，x<λ.当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．答案：(1,4)(1,3]∪(4，＋∞)

解析：当λ＝2时，f(x)＝x－4，x≥2，x2－4x＋3，x<2，其图象如图(1)．由图知f(x)<0的解集为(1,4)．f(x)＝x－4，x≥λ，x2－4x＋3，x<λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；

②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y1＝x－4与y2＝x2－4x＋3的图象，如图(2)，平移直线x＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．