【文档说明】2020版高考文科数学第一轮复习课件第七章不等式推理与证明71.ppt,共(53)页,2.688 MB,由小橙橙上传
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不等式、推理与证明(必修5、选修1-2)第七章2020版高考文科数学一轮复习课件第一节不等式的性质、一元二次不等式高考概览:1.掌握不等式的性质及应用;2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元
二次方程的关系;4.会解一元二次不等式.主干知识梳理Z主干梳理精要归纳[知识梳理]1.两个实数比较大小的方法(1)作差法a-b>0⇔a>b,a-b=0⇔a=b(a,b∈R),a-b<0⇔a<b.(2)作商法ab>1⇔a>b(a∈R,b>0),ab=1⇔
a=b(a∈R,b>0),ab<1⇔a<b(a∈R,b>0).2.不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a>b,ab>0⇒1a1b.②a<0<b⇒1a1b.(2)有关分数的性质若a>b>0,m>0,则:①ba<b+ma+m;ba>b-ma-m(b-m>0).②ab>a+mb
+m;ab<a-mb-m(b-m>0).<<4.三个二次之间的关系5.简单分式不等式的解法x-ax-b>0等价于(x-a)(x-b)>0;x-ax-b<0等价于(x-a)(x-b)<0;x-ax-b≥0等价于(x-a)(x-b)≥0,x-b≠0;x-ax-b≤0
等价于(x-a)(x-b)≤0,x-b≠0.[辨识巧记]1.倒数性质的几个必备结论(1)a>b,ab>0⇒1a<1b.(2)a<0<b⇒1a<1b.(3)a>b>0,0<c<d⇒ac>bd.(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b<1x<1a.2.一元二次不等式的解
法技巧求不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集,先求出对应方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,再根据口诀:大于取两边,小于取中间求解集.[双基自测]1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若ab>1,则a>b.()(2)若ab>0,则a>b⇔1a<1b.()(3)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.()(4)一元二次不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤
0.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2.(2018·唐山模拟)若a,b为实数,且a<b<0,则下列不等式正确的是()A.1a<1bB.a+1b>b+1aC.b+1a>a+1bD.ba<b+1a
+1[解析]因为a<b<0,所以1ab>0,所以a·1ab<b·1ab<0,即1b<1a<0,所以a+1b<b+1a.故选C.[答案]C3.(必修5P80A组T4改编)已知集合A={x|x2-16<0},B={x|x2-4x+3>0},则A∪B=()A.(-4,4)
B.RC.{x|x>3或x<1}D.{x|-4<x<1或3<x<4}[解析]由x2-16<0得-4<x<4,所以A={x|-4<x<4};由x2-4x+3>0得x<1或x>3,所以B={x|x<1或x>3}.所以A∪B=R.故选B.[答案]B4.(必修5P
103A组T3改编)当x>0时,若不等式x2+ax+1≥0恒成立,则a的最小值为()A.-2B.-3C.-1D.-32[解析]若-a2≤0,即a≥0时,成立;若a<0,由Δ=a2-4≤0,得-2≤a<0,
综上,a≥-2.故选A.[答案]A5.若角α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是________.[解析]∵-π2<α<β<π2,∴-π2<α<π2,-π2<β<π2,-π2<-β<π2
,而α<β.∴-π<α-β<0,∴2α-β=(α-β)+α∈-3π2,π2.[答案]-3π2,π2核心考点突破H精研考题突破重难考点一不等式的性质及应用【例1】(1)(2018·南宁二中、柳州高中第二次联考)设a>b,a,b,c∈R,则下列结论正确的是()A.
ac2>bc2B.ab>1C.a-c>b-cD.a2>b2(2)已知a>b>c>0,若P=b-ca,Q=a-cb,则()A.P≥QB.P≤QC.P>QD.P<Q(3)(2018·长春市高三第一次质量监测)已知角α,β满足-π2<α-β<π2,0<α+
β<π,则3α-β的取值范围是________.[解析](1)当c=0时,ac2=bc2,所以选项A错误;当b=0时,ab无意义,所以选项B错误;因为a>b,所以a-c>b-c恒成立,所以选项C正确;当a≤0时,a2<b2,所以选项D错误.故选C.(2)解法一:P-Q=b
-ca-a-cb=b2-bc-a2+acab=(a-b)(c-a-b)ab.因为a>b>c>0,所以a-b>0,c-a-b<0,所以P<Q.故选D.解法二:特殊值检验.令a=3,b=2,c=1,则P=13,Q=1,所以P<Q.故选D.(3)设3α-β=m(α-β
)+n(α+β)=(m+n)α+(n-m)β,则m+n=3,n-m=-1,解得m=2,n=1.因为-π2<α-β<π2,0<α+β<π,所以-π<2(α-β)<π,故-π<3α-β<2π.[答案](1)C(2)D(3)(-
π,2π)(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.(2)比较大小的4种常用方法:作差法、作商法、单调性法和特殊值验证法.(3)运用不等式的性质解决范围问题时,应正确推导
和变形,注意整体思想的运用.[对点训练]1.(2019·南昌市一模)已知a>0,b∈R,那么“a+b>0”是“a>|b|成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]当a=1,b=2时,满足a+b>0,但是a>|b|不成立,即充分
性不成立,当a>|b|时,一定有a+b>0成立,所以“a+b>0”是“a>|b|成立”的必要不充分条件.故选B.[答案]B2.若a>b>1,0<c<1,则()A.ac<bcB.abc<bacC.alogbc<blogacD.logac<logbc[解析]解法一
:由0<c<1知y=xc在(1,+∞)上单调递增,故由a>b>1知ac>bc,A错;∵0<c<1,∴-1<c-1<0,∴y=xc-1在x∈(0,+∞)上是减函数,∴bc-1>ac-1,又ab>0,∴ab·bc-1>ab·ac-1,即a
bc>bac,B错;易知y=logcx是减函数,∴0>logcb>logca,∴logbc<logac,D错;由logbc<logac<0,得-logbc>-logac>0,又a>b>1>0,∴-alogbc>-blogac>0,∴alogbc<blogac
,故C正确.故选C.解法二:依题意,不妨取a=10,b=2,c=12.易验证A、B、D均是错误的,只有C正确.故选C.[答案]C3.若-1<x+y<4,2<x-y<3,则3x+2y的取值范围是________.[解析]设3x+2y=m(x+y)+n(x-y),则m+n=3,m-n=2
,∴m=52,n=12,即3x+2y=52(x+y)+12(x-y),又-1<x+y<4,2<x-y<3,∴-52<52(x+y)<10,1<12(x-y)<32,∴-32<52(x+y)+12(x-y)<232,即-32<3x+2y<232.故3x+2y的取值范围为-32,
232.[答案]-32,232考点二一元二次不等式的解法【例2】解关于x的不等式:(1)-4x2+4x+3>0;(2)x-12x+1≤1;(3)12x2-ax>a2(a∈R).[思路引导](1)二次项系数化为正数→确定方程的根→写出解集(2)化简不等式→转化为二次
不等式→求解(3)转化不等式→分类讨论→写出结果[解](1)由-4x2+4x+3>0,得4x2-4x-3<0,所以(2x-3)(2x+1)<0,解得-12<x<32,故不等式的解集为x|-12
<x<32.(2)x-12x+1≤1⇔x-12x+1-1≤0⇔-x-22x+1≤0⇔x+22x+1≥0.解法一:x+22x+1≥0⇔(x+2)(2x+1)≥0,2x+1≠0.得x|x>-12或x≤-2.解法二:x
+22x+1≥0⇔x+2≥0,2x+1>0或x+2≤0,2x+1<0.得x|x>-12或x≤-2.(3)∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0.令(
4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-a4,x2=a3.①当a>0时,-a4<a3,不等式的解集为x|x<-a4,或x>a3;②当a=0时,-a4=a3=0,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠0};③当a<0时,-a4>a3,不等式的解集为
x|x<a3,或x>-a4.综上所述:当a>0时,不等式的解集为x|x<-a4,或x>a3;当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠0};当a<0时,不等式的解集为x|x<a3,
或x>-a4.(1)解决二次问题的关键:一是充分利用数形结合;二是熟练进行因式分解.(2)应善于把分式不等式转化为整式不等式.(3)对含参的不等式,应合理地对参数进行分类讨论.讨论依据是:①首先对二次项系数的正、负及零进行分类,当二次项系数为负时转化为二次项系数为正.②其次根据判别式Δ
判断根的个数.③当方程有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论,从而确定不等式的解集.[对点训练]1.(2019·宁夏银川期末)已知不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|m<x<n},且m>0,则不等式cx2+bx+a<0的解
集为()A.1n,1mB.-1m,1nC.-∞,1n∪1m,+∞D.-∞,-1m∪1n,+∞[解析]∵不等式ax2+bx+c>0的解集为(m,n),∴a<0,
m+n=-ba,mn=ca,∴b=-a(m+n),c=amn,∴cx2+bx+a<0⇔amnx2-a(m+n)x+a<0.∵a<0,∴mnx2-(m+n)x+1>0,即(mx-1)(nx-1)>0.又∵0<m<n,∴1m>1n,∴x>1m或x<1n,故不等式cx2+bx+a<
0的解集是-∞,1n∪1m,+∞.故选C.[答案]C2.不等式x-2x2+3x+2>0的解集为________.[解析]x-2x2+3x+2>0⇔x-2(x+2)(x+1)>0⇔(x-2)(x+2)(x+1)>0,数轴标根得{x|-
2<x<-1或x>2},故填{x|-2<x<-1或x>2}.[答案]{x|-2<x<-1或x>2}3.解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.[解]若a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得x>1.若
a<0,原不等式等价于x-1a(x-1)>0,解得x<1a或x>1.若a>0,原不等式等价于x-1a(x-1)<0.①当a=1时,1a=1,x-1a(x-1)<0无解;②当a>1时,1a<1,解x-1a(x-1)<0得1a<x
<1;③当0<a<1时,1a>1,解x-1a(x-1)<0得1<x<1a.综上所述:当a<0时,解集为x|x<1a或x>1;当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为
x|1<x<1a;当a=1时,解集为∅;当a>1时,解集为x|1a<x<1.考点三不等式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等
式恒成立问题,常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围.常见的命题角度有:(1)形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围;(2)形如f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数的范围;(3)形如f(x)≥0(参数
m∈[a,b])确定x的范围.角度1:形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围【例3-1】不等式ax2+ax+1≥0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是()A.0<a<4B.0≤a<4C.0<a≤4D.0≤a≤4[思路引导]对a分类讨论→a≠0时考虑
判别式Δ[解析]当a=0时,不等式化为1≥0恒成立;当a≠0时需满足a>0,Δ≤0,所以0<a≤4,综上可知,实数a的取值范围是0≤a≤4.故选D.[答案]D角度2:形如f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数的范围【例3-2】若不等式x2+ax+4≥0
对一切x∈(0,1]恒成立,则a的取值范围为________.[思路引导]分离参数a→以x变量转化为最值问题[解析]由题意,分离参数后得,a≥-x+4x.设f(x)=-x+4x,x∈(0,1],则只要a≥[f(x)]max即可.由于函数f(x)在
区间(0,1]上单调递增,所以[f(x)]max=f(1)=-5,故a≥-5.[答案][-5,+∞)角度3:形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])确定x的范围【例3-3】已知a∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围是________.[思路引导]将不等式以a
为变量变形→转化为以a为变量的不等式恒成立→在a∈[-1,1]时列不等式组→解不等式组[解析]由不等式x2+(a-4)x+4-2a>0,得(x-2)a+x2-4x+4>0.设f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,a∈[-1,1
],则f(a)>0在a∈[-1,1]恒成立可转化为f(-1)>0,f(1)>0,即x2-5x+6>0,x2-3x+2>0,解得x<1或x>3,即x的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞).[答案](-∞,1)∪(3,+∞)一元
二次型不等式恒成立问题的3大破解方法[对点训练]1.(2019·吉林省吉大附中第一次摸底考试)若命题“∃x0∈R,使得x20+mx0+2m-3<0”为假命题,则实数m的取值范围是()A.[2,6]B.[-6,-2]C.(2,6)D.(-6,-2
)[解析]由题意知不等式x2+mx+2m-3≥0对一切x∈R恒成立,所以Δ=m2-4(2m-3)≤0,解得2≤m≤6.故选A.[答案]A2.已知x∈(0,+∞)时,不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立,则m的取值范围是()A.2-22<m<2+22B
.m<2C.m<2+22D.m≥2+22[解析]令t=3x(t>1),则由已知得函数f(t)=t2-mt+m+1的图象在t∈(1,+∞)上恒在x轴的上方,则对于方程f(t)=0有Δ=(-m)2-4(m+1)<0或Δ≥0,m2≤1,f(
1)=1-m+m+1≥0,解得m<2+22.故选C.[答案]C3.若不等式x2+(a-6)x+9-3a>0,|a|≤1恒成立,则x的取值范围是________.[解析]将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x-3)a+x2-6x+9>0.令f(a)=(x-
3)a+x2-6x+9.因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立,所以①若x=3,则f(a)=0,不符合题意,应舍去.②若x≠3,则由一次函数的单调性,可得f(-1)>0,f(1)>0,即x2-7x+12>0,x2-5x+6>0,解得x<2或x>4.[答案](-∞,
2)∪(4,+∞)