【文档说明】53平面向量的数量积与平面向量的应用课件2022届高考数学文科一轮复习基础过关.pptx，共(54)页，1.482 MB，由小橙橙上传

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5.3平面向量的数量积与平面向量的应用第五章内容索引0102必备知识预案自诊关键能力学案突破03素养提升微专题5数学运算——平面向量与三角形的“四心”必备知识预案自诊【知识梳理】1.平面向量的数量积2.向量数量积的运算律交换律a·b=b·a分配律(

a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影,|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·

b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.向量的有关概念几何表示坐标表示模|

a|=𝑎·𝑎|a|=𝑥12+𝑦12数量积|a||b|cosθx1x2+y1y2夹角cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|cosθ=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2𝑥12+𝑦12·𝑥22+𝑦22A(x1,y1),B(x2,y2)两点的距离|AB|=|𝐴𝐵

||AB|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2a⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤𝑥12+𝑦12·𝑥22+𝑦224.向量在平面几何中的应用(1)要证AB=CD,可转化为

证明𝐴𝐵2=𝐶𝐷2或|𝐴𝐵|=|𝐶𝐷|.(2)要证两线段AB,CD平行,只要证存在唯一实数λ≠0,使等式𝐴𝐵=λ𝐶𝐷成立即可.(3)要证两线段AB,CD垂直,只需证𝐴𝐵·𝐶𝐷=0.(

4)求夹角问题,利用夹角公式cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|.常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·

b=-|a||b|.3.a与b的夹角θ为锐角,则有a·b>0,反之不成立(θ为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(θ为π时不成立).【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“×”.(1)一个非零向量在另一个非零向

量方向上的投影为数量,且有正有负.()(2)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.()(3)若a·b=0,则必有a⊥b.()(4)(a·b)·c=a·(b·c).()(5)在△ABC中,若𝐴𝐵·𝐵𝐶<0,则△ABC为钝角三角形.()××××2

.(2020全国3,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=()A.-3135B.-1935C.1735D.1935答案D解析∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19

,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,∴|a+b|=7,∴cos<a,a+b>=𝑎·(𝑎+𝑏)|𝑎||𝑎+𝑏|=195×7=1935.3.(2019全国2,理3)已知𝐴𝐵=(2,3),𝐴𝐶=(3,t),|𝐵𝐶|=1,则𝐴𝐵·𝐵

𝐶=()A.-3B.-2C.2D.3答案C解析由𝐵𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐵=(1,t-3),|𝐵𝐶|=12+(𝑡-3)2=1,得t=3,则𝐵𝐶=(1,0).所以𝐴𝐵·𝐵𝐶=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.4.(2020全国1,文14)设向量a=(1,

-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=.答案5解析由a⊥b,可得a·b=1×(m+1)+(-1)×(2m-4)=0,解得m=5.5.(2020全国2,理13)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直

,则k=.答案22解析由题意可知,a·b=|a||b|cos45°=22.∵ka-b与a垂直,∴(ka-b)·a=k|a|2-a·b=k-22=0,∴k=22.关键能力学案突破考点1平面向量数量积的运算【例1】(1)(

2020新高考全国1,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则𝐴𝑃·𝐴𝐵的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)(2)(2020北京,13

)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足𝐴𝑃=12(𝐴𝐵+𝐴𝐶),则|𝑃𝐷|=;𝑃𝐵·𝑃𝐷=.答案(1)A(2)5-1解析(1)如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F

(-1,3),C(3,3).设P(x,y),则𝐴𝑃=(x,y),𝐴𝐵=(2,0),∴𝐴𝑃·𝐴𝐵=2x+0×y=2x.∵-1<x<3,∴𝐴𝑃·𝐴𝐵的取值范围为(-2,6),故选A.(2)以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别

为x,y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则点A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),𝐴𝑃=12(𝐴𝐵+𝐴𝐶)=(2,1),则点P(2,1),∴𝑃𝐷=(-2,1),𝑃𝐵=(0,-1),因此,|𝑃𝐷|=(-2)2+12=5,𝑃𝐵·𝑃𝐷=0×

(-2)+1×(-1)=-1.思考求向量数量积的运算有几种形式?解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cosθ(其中θ是向量a与b的夹角).(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1)

,b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)利用数量积的几何意义.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的

加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.对点训练1(1)(2020北京朝阳期中,7)在△ABC中,AB=4,AC=3,且|𝐴𝐵+𝐴𝐶|=|𝐴𝐵−�

�𝐶|,则𝐵𝐶·𝐶𝐴=()A.-12B.-9C.9D.12(2)(2020北京海淀期中,14)在边长为2的正三角形ABC中,M是BC的中点,D是线段AM的中点.①若𝐵𝐷=x𝐵𝐴+y𝐵𝐶,则x+y=;②𝐵𝐷·𝐵𝑀=.答案(1)B(2)341解析(1)因为|�

�𝐵+𝐴𝐶|=|𝐴𝐵−𝐴𝐶|,所以以AB,AC为邻边组成的四边形的对角线相等,所以该四边形为矩形.故𝐵𝐶·𝐶𝐴=(𝐴𝐶−𝐴𝐵)·(-𝐴𝐶)=-𝐴𝐶2+𝐴𝐵·𝐴𝐶=-9+|𝐴

𝐵||𝐴𝐶|cosA=-9+0=-9.(2)如下图,𝐵𝐷=12(𝐵𝐴+𝐵𝑀)=12(𝐵𝐴+12𝐵𝐶)=12𝐵𝐴+14𝐵𝐶,所以x=12,y=14,x+y=34.𝐵𝐷·𝐵𝑀=(12

𝐵𝐴+14𝐵𝐶)·12𝐵𝐶=14𝐵𝐴·𝐵𝐶+18𝐵𝐶2=14×2×2×cos60°+18×4=12+12=1.考点2平面向量的模及应用【例2】(1)(2020陕西二模,文3)已知向量a=(1,-1),b=(x,2),且a⊥b,则|a+b|的

值为()A.2B.7C.22D.10(2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|𝑃𝐴+3𝑃𝐵|的最小值为.答案(1)D(2)5解析(1)由a⊥b,得a·b=x-2

=0,解得x=2.所以a+b=(3,1),所以|a+b|=32+1=10.故选D.(2)建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).所以𝑃𝐴+3𝑃𝐵=(2,-y)+3(1,b-y)=(5

,3b-4y),所以|𝑃𝐴+3𝑃𝐵|=25+(3𝑏-4𝑦)2(0≤y≤b),所以当y=34b时,|𝑃𝐴+3𝑃𝐵|取得最小值5.思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法?解题心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用及(a±b)2=|a|2±2a·b

+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义求解.2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的

图形求解.|a|=𝑎·𝑎对点训练2(1)(2020湖南衡阳高三一模,文5)若|a|=2,|b|=2,且(a-b)⊥a,则|a-b|=()A.22B.2C.0D.2(2)已知向量𝑂𝐴,𝑂𝐵满足|𝑂𝐴|=|𝑂𝐵|=2,点C在线段AB上,且|𝑂𝐶|的最小值为2,则|t

𝑂𝐴−𝑂𝐵|(t∈R)的最小值为()A.2B.3C.5D.2答案(1)D(2)D解析(1)∵|a|=2,|b|=2,(a-b)⊥a,∴(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,∴a·b=2,∴|a-b|=𝑎2-2𝑎·𝑏+𝑏2=

2-2×2+4=2.故选D.(2)由于|𝑂𝐴|=|𝑂𝐵|=2,说明O点在AB的垂直平分线上.当C是AB的中点时,|𝑂𝐶|取最小值,最小值为2,此时𝑂𝐴与𝑂𝐶的夹角为45°,𝑂𝐵与𝑂𝐶的夹角为45°,∴𝑂𝐴与

𝑂𝐵的夹角为90°,∴|t𝑂𝐴−𝑂𝐵|2=𝑂𝐵2+t2𝑂𝐴2-2t𝑂𝐴·𝑂𝐵=4t2+4(t∈R),当t=0时,4t2+4的最小值是4,即|t𝑂𝐴−𝑂𝐵|的最小值是2.故选D.考点3平面向量数量积的应用(多考向探究)考向1求平面向量的夹角【例

3】(1)(2019全国1,理7)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6(2)(2020山西太原三模,文8)已知向量e1,e2是夹角为π3的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=-3e1+

2e2的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6思考两向量数量积的正负与两向量的夹角有怎样的关系?答案(1)B(2)C解析(1)因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2.设a与

b的夹角为θ,则cosθ=𝑎·𝑏|𝑎|·|𝑏|=|𝑏|22|𝑏|2=12,所以a与b的夹角为π3,故选B.(2)根据条件,∵|e1|=|e2|=1,e1·e2=12,∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)

=-6𝑒12+e1·e2+2𝑒22=-6+12+2=-72,a2=4𝑒12+4e1·e2+𝑒22=7,b2=9𝑒12-12e1·e2+4𝑒22=7.∴cos<a,b>=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=-727·7=-12,∴a与b的夹角为2π3.考向2

求参数的值或范围【例4】(2020河北5月模拟,理9)已知𝐴𝐵=(1,0),𝐵𝐶=(-2,2).若(λ𝐴𝐵+μ𝐴𝐶)⊥𝐵𝐶且|μ𝐴𝐶|=10,则λ+μ的值为()A.42B.±42C.62D

.±62思考两向量的垂直与其数量积有何关系?答案B解析因为𝐴𝐵=(1,0),𝐵𝐶=(-2,2),所以𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶=(-1,2),由|μ𝐴𝐶|=10,得5|μ|=10,所以|μ|=2.因为(λ𝐴𝐵

+μ𝐴𝐶)⊥𝐵𝐶,所以(λ𝐴𝐵+μ𝐴𝐶)·𝐵𝐶=0,即λ𝐴𝐵·𝐵𝐶+μ𝐴𝐶·𝐵𝐶=0,即-2λ+6μ=0,所以λ=3μ,所以λ+μ=4μ=±42.故选B.考向3在三角函数中的应用【例5】(2020河南高三质检,17)已知向量a=(2sinx,-si

n2x),b=(-2sinx,2),函数f(x)=a·b+2+1.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的单调递减区间.思考利用向量求解三角函数问题的一般思路是什么?33解(1)因为a=(2sinx,-sin2x),

b=(-23sinx,2),所以a·b=-43sin2x-2sin2x=-43·1-cos2𝑥2-2sin2x=23cos2x-2sin2x-23.所以f(x)=23cos2x-2sin2x+1=4cos(2x+π6)+1,故函数f(x)的最小正周期是T=2π2=π.(2)由f(x)=

4cos(2x+π6)+1,得2kπ≤2x+π6≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z),所以函数f(x)的单调递减区间为[kπ-π12,kπ+5π12](k∈Z).考向4在解析几何中的应用【例6】(2020全国3,文6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若=1

,则点C的轨迹为()A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线思考在向量与解析几何相结合的题目中,向量起到怎样的作用?𝐴𝐶·𝐵𝐶答案A解析以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设A(-a,0),则B(a,0),C(x

,y),则𝐴𝐶=(x+a,y),𝐵𝐶=(x-a,y),由𝐴𝐶·𝐵𝐶=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选A.解题心得1.数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为

直角;数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角.3.求一向量在另一向量上的投影有两种方法:一是利用向量投影的概念求,二是利用向量的数量积求.4.解决与向量有关的三角函数问题的一般思路是应用转化与化归的数学思想,即通过向量

的相关运算把问题转化为三角函数问题.2.若a,b为非零向量,cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|(夹角公式),则a⊥b⇔a·b=0.5.向量在解析几何中的作用(1)载体作用:解决向量在解析几何中的问题时

关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题.特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决

解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.对点训练3(1)(2020湖南长郡中学联考)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=233|a|,则向量a+b与a-b的夹角为.(2)(2020山东模考卷,3)设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-λb)⊥c,则λ=(

)A.3B.2C.-2D.-3(3)(2020福建师大附中段考,10)设圆M,圆N的半径分别为1,2,且两圆外切于点P,点A,B分别是圆M,圆N上的两动点,则𝑃𝐴·𝑃𝐵的取值范围是()A.[-8,12]B.[-16,34]C.[-8,1]D.[-16,1](4)在△ABC中

,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cosB,-sinB),且m·n=-35.①求sinA的值;②若a=42,b=5,求角B的大小及向量𝐵𝐴在𝐵𝐶方向上的投影.答案(1)π3(2)A(3)C解析(1)由|a+b|=|a-

b|,得a⊥b,则a·b=0,将|a+b|=233|a|两边平方,得a2+b2+2a·b=43a2,所以b2=13a2.设a+b与a-b的夹角为θ,所以cosθ=(𝑎+𝑏)·(𝑎-𝑏)|𝑎+𝑏||𝑎-𝑏|=𝑎2-𝑏2233|𝑎|·233|𝑎|=23𝑎243𝑎2

=12.又因为θ∈[0,π],所以θ=π3.(2)因为a=(1,1),b=(-1,3),所以a-λb=(1+λ,1-3λ).又因为(a-λb)⊥c,c=(2,1),所以2(1+λ)+(1-3λ)=0,即2+2λ+1-3λ=0,解得λ

=3.(3)圆M,圆N的半径分别为1,2,且两圆外切于点P,点A,B分别是圆M,圆N上的两动点,则𝑃𝐴·𝑃𝐵=|𝑃𝐴||𝑃𝐵|cos∠APB,当三点A,P,B共线,两个向量方向相反时,数量积取得最小值为2×4×(-1)=-8.当∠BPN=60°,∠APB=

60°时,𝑃𝐴·𝑃𝐵=|𝑃𝐴||𝑃𝐵|cos∠APB=1×2×12=1.则𝑃𝐴·𝑃𝐵的取值范围是[-8,1].(4)解①由m·n=-35,得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35,所以cosA=-35.因为0<A<π,所以sinA=1-cos2

𝐴=45.②由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,则sinB=𝑏sin𝐴𝑎=5×4542=22,因为a>b,所以A>B,且B是△ABC一内角,则B=π4.由余弦定理得(42)2=52+c2-2×5c×(-

35),解得c=1,c=-7(舍去),故向量𝐵𝐴在𝐵𝐶方向上的投影为|𝐵𝐴|cosB=ccosB=1×22=22.要点归纳小结1.平面向量的坐标表示与向量表示的比较:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a与b的夹角.要点归纳小结2.计算数量积的三种方法:定义、坐标

运算、数量积的几何意义,要灵活选用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.4.向量在三角函数中的应用对于向量与三角函数结合的题目,

其解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形等问题.5.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件,通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关

系等相关知识来解答.要点归纳小结6.向量在物理中的应用物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=|F||s|cosθ

(θ为F与s的夹角).1.根据两个非零向量夹角为锐角或钝角与数量积的正、负进行转化时,不要遗漏向量共线的情况.2.|a·b|≤|a||b|当且仅当a∥b时等号成立.3.注意向量夹角和三角形内角的关系.素养提升微专题5数学运算——平面向量与三角形的“四心”1.平面向量与三角形的

“重心”问题A.△ABC的内心B.△ABC的垂心C.△ABC的重心D.AB边的中点【例1】已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足𝑂𝑃=13[(1-λ)𝑂𝐴+(1-λ)𝑂𝐵+(1+2λ)𝑂𝐶],λ∈R,则点P的轨迹一定

经过()答案C解析取AB的中点D,则2𝑂𝐷=𝑂𝐴+𝑂𝐵,因为𝑂𝑃=13[(1-λ)𝑂𝐴+(1-λ)𝑂𝐵+(1+2λ)𝑂𝐶],所以𝑂𝑃=13[2(1-λ)𝑂𝐷+(1+2λ)𝑂𝐶]=2(1-𝜆)3𝑂𝐷+1+2𝜆3𝑂𝐶

,又因为2(1-𝜆)3+1+2𝜆3=1,所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.2.平面向量与三角形的“垂心”问题【例2】已知O是平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足𝑂𝑃=𝑂𝐴+λ(𝐴𝐵|𝐴𝐵|cos𝐵+

𝐴𝐶|𝐴𝐶|cos𝐶),λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心答案B解析因为𝑂𝑃=𝑂𝐴+λ(𝐴𝐵|𝐴𝐵|cos𝐵+𝐴𝐶|𝐴𝐶|cos𝐶),所以𝐴𝑃=𝑂𝑃−𝑂𝐴=λ(𝐴𝐵|𝐴𝐵|c

os𝐵+𝐴𝐶|𝐴𝐶|cos𝐶).所以𝐵𝐶·𝐴𝑃=𝐵𝐶·λ(𝐴𝐵|𝐴𝐵|cos𝐵+𝐴𝐶|𝐴𝐶|cos𝐶)=λ(𝐴𝐵·𝐵𝐶|𝐴𝐵|cos𝐵+𝐴𝐶·𝐵𝐶|𝐴𝐶|cos𝐶)=λ(-|𝐵𝐶|+|𝐵𝐶|)=0.

所以𝐵𝐶⊥𝐴𝑃,则点P在边BC的高线上.故动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.3.平面向量与三角形的“内心”问题【例3】在△ABC中,AB=5,AC=6,cosA=15,O是△ABC的内心,若𝑂𝑃=x𝑂𝐵+y𝑂𝐶,其中x,y∈[0,1],则动点P的轨迹所覆

盖图形的面积为()A.1063B.1463C.43D.62答案B解析根据向量加法的平行四边形法则可知,动点P的轨迹是以OB,OC为邻边的平行四边形及其内部,其面积为△BOC的面积的2倍.在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理a2=b2+c2

-2bccosA,得a=7.设△ABC的内切圆的半径为r,则12bcsinA=12(a+b+c)r,解得r=263,所以S△BOC=12×a×r=12×7×263=763.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC=1463.4.

平面向量与三角形的“外心”问题【例4】已知在△ABC中,AB=1,BC=6,AC=2,点O为△ABC的外心,若𝐴𝑂=x𝐴𝐵+y𝐴𝐶,则有序实数对(x,y)为()A.(45,35)B.(35,45)

C.(-45,35)D.(-35,45)答案A解析取AB的中点M和AC的中点N,连接OM,ON,则𝑂𝑀⊥𝐴𝐵,𝑂𝑁⊥𝐴𝐶,𝑂𝑀=𝐴𝑀−𝐴𝑂=12𝐴𝐵-(x𝐴𝐵+y𝐴𝐶)=(12-x)𝐴𝐵-y𝐴𝐶,

𝑂𝑁=𝐴𝑁−𝐴𝑂=12𝐴𝐶-(x𝐴𝐵+y𝐴𝐶)=(12-y)𝐴𝐶-x𝐴𝐵,由𝑂𝑀⊥𝐴𝐵,得(12-x)𝐴𝐵2-y𝐴𝐶·𝐴𝐵=0,①由𝑂𝑁⊥𝐴𝐶,得(12-y)𝐴𝐶2-x𝐴𝐶·𝐴

𝐵=0.②又因为𝐵𝐶2=(𝐴𝐶−𝐴𝐵)2=𝐴𝐶2-2𝐴𝐶·𝐴𝐵+𝐴𝐵2,所以𝐴𝐶·𝐴𝐵=𝐴𝐶2+𝐴𝐵2-𝐵𝐶22=-12,③把③代入①,②得1-2𝑥+𝑦=0,4+𝑥-8𝑦=0,解得�

�=45,𝑦=35.故实数对(x,y)为(45,35).