【文档说明】72平面向量基本定理及向量坐标运算2021届高三数学新高考一轮复习课件.ppt，共(33)页，670.000 KB，由小橙橙上传

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第2节平面向量基本定理及向量坐标运算【教材回扣】1．平面向量基本定理(1)基底：________的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．(2)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使a＝________.2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，a与数对(x，y)是一

一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝_____，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.不共线不共线(x，y)λ1e1＋λ2e23．平面向量的坐标运算向量的加法、减法设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

，则a＋b＝____________，a－b＝____________向量的数乘设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝____________向量坐标的求法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|

＝________________4.向量共线的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔____________＝0.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)(x2－x1)2＋(y2－y1)2x1y2－x2y1【教材提炼

】一、教材改编1．[必修二·P36习题6.3T4改编]已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为()A．(1,5)B．(2,5)C．(3,4)D．(5,1)答案：A解析：设顶点

D的坐标为(x，y)，AB→＝(4,1)，DC→＝(5－x,6－y)，∵平行四边形ABCD中，AB→＝CD→，∴4＝5－x，1＝6－y，解得x＝1，y＝5.所以顶点D的坐标为(1,5)．2．

[必修二·P36习题6.3T1改编]如图，在△ABC中，AD＝13AB，点E是CD的中点．设AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示CD→＝________，AE→＝________.答案：13a－b，16a＋12b解析：CD→＝CA→＋A

D→＝CA→＋13AB→＝－AC→＋13AB→＝13a－bAE→＝AC→＋CE→＝AC→＋12CD→＝AC→＋12(AD→－AC→)＝12AC→＋12AD→＝12AC→＋12×13AB→＝12AC→＋

16AB→＝16a＋12b.二、易错易混3．给出下列三个向量：a＝(－2,3)，b＝(1，－32)，c＝(－1,1)．在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．答案：2解析：易知a∥b，a与c不共线，

b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.4．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为()A．4B．－4C．2D．－2答案：B解析：b＝2a＋b－2a＝(2,1)，∵b∥c，∴x＋4＝0，∴x＝－4.

故选B.三、走进高考5．[2017·全国Ⅲ卷]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP→＝λAB→＋μAD→，则λ＋μ的最大值为()A．3B．22C.5D．2答案：A解析：建立如图所示的直角坐标系，则

C点坐标为(2,1)．设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.∵CD＝1，BC＝2，∴BD＝12＋22＝5，EC＝BC·CDBD＝25＝255，即圆C的半径为255，∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋

(y－1)2＝45.设P(x0，y0)，则x0＝2＋255cosθ，y0＝1＋255sinθ(θ为参数)，而AP→＝(x0，y0)，AB→＝(0,1)，AD→＝(2,0)．∵AP→＝λAB→＋μAD→＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x0＝1＋55

cosθ，λ＝y0＝1＋255sinθ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sinθ＋1＋55cosθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中sinφ＝55，cosφ＝255)当且仅当θ＝π2＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.题型一平面向

量基本定理及应用[师生共研][例1](1)[2020·山东省实验中学、淄博实验中学、烟台一中、莱芜一中四校联考]如图在Rt△ABC中，∠ABC＝π2，AC＝2AB，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，设AB→＝a，AC→＝b，则向量AD→＝()A．a＋bB．12a＋bC

．a＋12bD．a＋23b答案：C解析：由题意可得∠C＝30°，∠OAD＝∠ODA＝∠DAB＝30°，则OD∥AB，又OD＝AB，所以四边形OABD为平行四边形，则AD→＝AB→＋AO→＝a＋12b.(2)[多

填题]在△ABC中，点M、N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→，若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________.答案：12，－16解析：∵AM→＝2MC→，∴AM→＝23AC→，∵BN→＝NC→，∴AN→

＝12(AB→＋AC→)，∴MN→＝AN→－AM→＝12(AB→＋AC→)－23AC→＝12AB→－16AC→＝xAB→＋yAC→∴x＝12，y＝－16.类题通法平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的

加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【跟踪训练1】(1)如图，在三角形ABC中，BE是边AC的中线

，O是BE的中点，若AB→＝a，AC→＝b，则AO→＝()A.12a＋12bB.12a＋13bC.14a＋12bD.12a＋14b答案：D解析：∵在三角形ABC中，BE是AC边上的中线．∴AE→＝12AC→，∵O是B

E边的中点∴AO→＝12(AB→＋AE→)，∴AO→＝12(AB→＋AE→)＝12AB→＋12AE→＝12a＋14b.(2)[2020·山东济南模拟]在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ的

值为()A.14B.15C.45D.54答案：C解析：如图，连接AC，由AB＝λAM→＋μAN→，得AB→＝λ·12(AD→＋AC→)＋μ·12(AC→＋AB→)，则(μ2－1)AB→＋λ2AD→＋(λ2＋μ

2)AC→＝0，得(μ2－1)AB→＋λ2AD→＋(λ2＋μ2)(AD→＋12AB→)＝0，得(14λ＋34μ－1)AB→＋(λ＋μ2)AD→＝0.又AB→，AD→不共线，所以由平面向量基本定理得14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0

，解得λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.题型二平面向量的坐标运算[自主练透]1．已知AB→＝(1，－1)，C(0,1)，若CD→＝2AB→，则点D的坐标为()A．(－2,3)B．(2，－

3)C．(－2,1)D．(2，－1)答案：D解析：设D(x，y)，则CD→＝(x，y－1)，2AB→＝(2，－2)，根据CD→＝2AB→，得(x，y－1)＝(2，－2)，即x＝2，y－1＝－2，解得D(2，－1)，故选D.2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－

3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝________.答案：－2解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，

－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.∴m＋n＝－2.类题通法平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标

．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.题型三共线向量的坐标表示及其应用[微点探究]微点1利用向量共线求向量或点的坐标[例2]已知梯形ABCD中，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点

A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则D点坐标为________．答案：(2,4)解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴DC→＝2AB→，设点D的坐标为(x，y)，则DC→＝(4－x,2－y)，AB→＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，

－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴4－x＝2，2－y＝－2，解得x＝2，y＝4，故点D的坐标为(2,4).类题通法利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程

，求出λ的值后代入λa，即可得到所求向量.微点2利用向量共线求参数[例3](1)已知点P(－3,5)，Q(2,1)，向量m＝(2λ－1，λ＋1)，若PQ→∥m，则实数λ等于()A．113B．－113C．13D．－13答案：B解析：(1)由题知PQ

→＝(5，－4)，因为PQ→∥m，所以5λ＋5＝－8λ＋4，解得λ＝－113，故选B.(2)已知a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.答案：－6解析：

由题意得a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由(a＋2b)∥(3a－b)，得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.类题通法如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(

x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”.【跟踪训练2】(1)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，则3a＋2b等于()A．(－1,7)B．(－1,2)C．(1,2)D．(1，－2)答案：D解析：∵a＝(－1,2)，b＝(2，y)

，且a∥b，∴－1×y－2×2＝0，解得y＝－4，故可得3a＋2b＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2)，故选D.(2)已知向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是________．答案：－23

解析：AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴AB→，AC→共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.