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1.1回归分析的基本思想及其初步应用数学必修３——第二章统计2.1随机抽样2.2用样本估计总体2.3变量间的相关关系问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间的关系是y=x2确定性关系变量之间的两种关系1020304050500450400350300··

·····施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455xy施化肥量水稻产量问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否有一个确定性的关系？非确定性关系-----相关关系两个变量的关系不相关相关

关系（非确定性关系）函数关系（确定性关系）线性相关非线性相关问题1：两个变量间的关系有哪些呢？相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.步骤：（

1）画出两个变量的散点图（2）求回归直线方程（3）利用回归直线方程进行预报例1从某大学中随机选出8名女大学生，其身高和体重数据如下表：编号12345678身高165165157170175165155170体重485750546

4614359求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172ｃｍ的女大学生的体重.解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编

号4045505560657075150155160165170175180185身高/cm体重/kg由散点图可知，身高和体重有比较好的线性相关关系，设回归直线方程为由最小二乘法公式得0.849b=$$85.712a=−所以回归方程为$0.84985.

712yx=−对于身高172cm的女大学生，可以预报其体重为$0.84917285.71260.316(kg)y=−=+=axby1.确定变量；2.作散点图，判断相关关系；3.设回归方程；4.求

回归方程:(最小二乘法)5.根据回归方程作出预报.解答步骤：用最小二乘法求线性回归方程步骤：ˆˆˆybxa=+121()()ˆ()niiiniixXyYbXX==−−=−ˆˆaYbX=−=−=−−−−=niiniiixnxyxnyx1221（1）求,1211nxxxxnx

nnii+++===−nyyyynynnii+++===−2111（2）求（3）把（1）（2）带入公式即可,22111nnniiiyxyxyxyx+++==2222112nniixxxx+++==25.165817015516517517015716516

58181=+++++++===−iixx5.54859436164545057488181=+++++++===−iiyy723155917050157571654816581=++++==iiiyx218774)170()165()165(2

2212=+++==niix编号12345678x身高165165157170175165155170y体重4857505464614359849.0)25.165(82187745.5425.165872315882812281

−−=−−==−=−−iiiiixxyxyxb25.16581701551651751701571651658181=+++++++===−iixx5.54859436164545057488181=+++++++===−iiyy72315591705015757165481

6581=++++==iiiyx218774)170()165()165(222812=+++==iix712.85−−=−−xbya练习：活页练习P55、77．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤

)的几组对照数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测技巧后生产100吨甲产品比技改前少消耗多少吨标准煤．(参考数值

：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)x3456y2.5344.5解：(1)如下图．7.0)5.4(4865.35.445.66442412241=−−=−−==−=−−iiiiixxyxyxb5.4465434141=+++===−iixx5

.345.4435.24141=+++===−iiyy5.665.4645345.2341=+++==iiiyx86)6()5()4()3(2222412=+++==iix(2)35.0=−=−−xbya35.07.0+=xy则(3)根据回归方程预

测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨/标准煤)．讲评：活页练习P55、1,2,3,5，课后练习报纸第五版随堂练习回归分析1,2,4,5，探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？

如果不是，你能解析一下原因吗？答：用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的估计值。$0.84985.712yx=−回归方程对于身高172cm的女大学生

，可以预报其体重为$0.84917285.71260.316(kg)y=−=由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一直线的附近，所以身高和体重的关系可以用线性回归模型来表示：其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差.eabxy++=4045505560657075150155160165170

175180185身高/cm体重/kg函数模型与“回归模型”的关系函数模型：因变量y完全由自变量x确定回归模型：预报变量y完全由解释变量x和随机误差e确定注：e产生的主要原因：(1)所用确定性函数不恰当；(2)忽略了某些因素的影响；(3)观测误差。思考1:产生随机误差项e的原因是什么？思考2

：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？e=y-(bx+a),1,2,...,,1,2,...iiiiiiiiybxaineyyybxaine=−−==−=−−=1122nniii残差：一般的对于样本

点（x,y）,(x,y),...,(x,y),它们的随机误差为e其估计值为称为相应于点(x,y)的残差。结合例1除了身高影响体重外的其他因素是不可测量的，不能希望有某种方法获取随机误差的值以提高预报变量的估计精度，但却可以估计预报变量观测值中所包含的随机误差，这对我们查找样本数据中的错

误和模型的评价极为有用，因此在此我们引入残差概念。eyy=−随机误差ˆˆeyy=−e的估计量样本点：1122(,),(,),...,(,)nnxyxyxy相应的随机误差为：,1,2,...,iiiiieyyybxain=−=−−=

随机误差的估计值为：ˆˆˆˆ,1,2,...,iiiiieyyybxain=−=−−=ˆie称为相应于点的残差.(,)iixy思考3：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？(1)我们可以通过分析发现原始数据中的可疑数据，判断建立模型的拟合

效果。iiieybxa=−−（1）计算（i=1,2,...n）残差分析（2）画残差图（1）查找异常样本数据（3）分析残差图（2）残差点分布在以O为中心的水平带状区域

，并沿水平方向散点的分布规律相同。残差图的制作和作用：制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择.横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系，常用于调查数据错误.横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，常用于研究模型是否有改

进的余地.作用：判断模型的适用性若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域.下面表格列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。编号12345678身高/cm16516515717017516515517

0体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382残差图的制作及作用。•坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；•若模型选

择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；•对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点•错误数据•模型问题几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人

为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说

明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能

采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。（2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRy

y==−=−=−−残差平方和。总偏差平方和一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则

选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。问题五：归纳建立回归模型的基本步骤问题六：若两个变量呈现非线性关系，

如何解决？（分析例2）例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：温度xoC21232527293235产卵数y/个711212466115325（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。（2）你所建立的模型中温

度在多大程度上解释了产卵数的变化？选变量解：选取气温为解释变量x，产卵数为预报变量y。画散点图假设线性回归方程为：ŷ=bx+a选模型分析和预测当x=28时，y=19.87×28-463.73≈93估计参数由计算器得：线性回归方程为y=19.87

x-463.73相关指数R2=r2≈0.8642=0.7464所以，一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。050100150200250300350036912151821242730333639当x=28时，y=19.87×28-463.73≈93方法一：一元函数模型产卵数气温变换y

=bx+a非线性关系线性关系43cxyce=-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540对数方法二：指数函数模型xccexccecyxc43433lnlnlnlnlnln4+=+=+=abxzzybc

ac+====则有令,ln,,ln43温度x/21232527Z=lny1.9462.3983.4053.178产卵数y/个71121242932354.1904.7455.78466115325c由

计算器得：z关于x的线性回归方程相关指数因此y关于x的非线性回归方程为98.02=R489.3272.0^−=xz当x=28时，y≈44，指数回归模型中温度解释了98%的产卵数的变化C489.3272.0^−=xeyy=c1x2+

c2变换y=c1t+c2非线性关系线性关系问题１选用y=c1x2+c2，还是y=c1x2+cx+c2？问题3-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040产卵数气温问题2如何求c1、c2？

t=x2方法三，二元函数模型平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a温度21232527293235温度的平方t44152962572984110241

225产卵数y/个711212466115325作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.54，相关指数R2=r2≈0.8962=0.802将t=x2代入线性回归方程得：y=0.367x2-202.54当x=28时，y=0.3

67×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函数模型中温度解释了80.2%的产卵数变化。产卵数y/个0501001502002503003500150300450600750900105012001350t

函数模型相关指数R2线性回归模型0.7464二次函数模型0.802指数函数模型0.98最好的模型是哪个?显然，指数函数模型最好！(2)2ˆ0.367202.543yx=−(1)0.2723.849ˆxye−=利用残差计算

公式：0.2723.849(1)(1)ˆˆ,1,2,,7ixiiiieyyyei−=−=−=(2)(2)2ˆˆ0.367202.543,1,2,,7iiiiieyyyxi=−=−+=77.968-58.265-40.104-41.000-5.83

219.40047.69634.675-13.3819.230-8.9501.875-0.1010.557325115662421117Y35322927252321X(1)ˆie(2)ˆie故指数函数模型

的拟合效果比二次函数的模拟效果好.由条件R2分别为0.98和0.80，可得它们的效果.在散点图中，样本点没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈现线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.令z=lny，则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a（a=lnc1，b

=c2）的周围.利用线性回归模型建立y和x之间的非线性回归方程.当回归方程不是形如y=bx+a时，我们称之为非线性回归方程.根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线的周围，其中c1和c2是待定参数.xcecy21=回归分析的基本思想及其初步应用探索无止境探索

无止境探索无止境探索无止境