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加速度瞬心法北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY一、加速度瞬心的概念平面运动的刚体，在某一瞬时存在而且唯一存在速度瞬心和加速度瞬心，但加速度瞬心与速度瞬心一般不重合，且在不同瞬时速度瞬心或加速度瞬心为不同的点。平面运动的刚体的速度瞬心与加速度瞬心的区别：(1)速度瞬心P：0=Pv0P

a(2)加速度瞬心P*：0*Pv0*=Pa对速度瞬心同学们已经很熟悉了，下面来讨论加速度瞬心的问题。2二、加速度瞬心的确定平面运动的刚体，其加速度瞬心为P*，如图所示。P*Mtn***MPMPPMaaaa++=0*=Pa2*n*=MPaM

Pn*MPa=MPaMP*t*t*MPaMa2t2n)()(**MPMPMaaa+=24*+=MP2nt**tan==MPMPaa结论：(1)aM的大小与成正比；MP*(2)aM的方向为。)arctan(2=北京理工大学

工程力学A加速度瞬心法BRY3例如：纯滚动圆盘CrCaPParaC=24*+=CaCP24+=r2tan=P*已知作平面运动刚体的角速度和角加速度以及某瞬时刚体上某一点M的加速度的大小和方向，就可以确定该瞬时刚体的加速度瞬心P*：24*+=MaMP加

速度瞬心P*位于：点M的加速度矢量沿刚体角加速度的转向转过的角度。Ma)arctan(2=北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY4几种特殊情况：(1)若刚体上点A的为常矢量，则点A为加速度瞬心。Av(2)若，，则。0=02=（瞬时平移或瞬时静止）AB

AaBaP*(3)若，，则。00=0=（匀角速度转动）AAaBBaP*三、加速度瞬心的应用举例北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY运动学例题1~4动力学例题5~95例1长度为l的杆AB，其A、B两端分别沿铅垂面和水平面滑动，已知为常矢量，试求当杆AB与水

平面夹角为时杆AB中点C的速度和加速度。AvAvABC解1.速度分析：BvPCvPAvA=coslvA=()=PCvCcos21lvlA=（方向如图）cos2Av=北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY62.加速度分析：第一种方法：

中点加速度法AvABCBvPCvtnBABAABaaaa++=大小方向Ba？√0nBAa2l√tBAal？√将上式沿BA方向投影得到ncosBABaa=cosnBABaa=

cos2l=cos)cos(2lvlA=32coslvA=点C为杆AB的中点，则)(21BACaaa+=Ba21=Ca32cos2lvaAC=()北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY7第二种方法：两点的加速度关系法

AvABCBvPCvtnBABAABaaaa++=大小方向Ba？√0nBAa2l√tBAal？√将上式沿铅垂向上投影得到cossin0tnBABAaa−=cossi

n02ll−=tan2=tnCACAACaaaa++=大小方向？？0nCAa221l√tCAal21√北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY8AvABCBvPCvBanBAatBAanCAatCAasincos

tnCACACxaaa−−=sin21cos212ll−−=sintan21cos2122−−=llcos22l−=32cos2lvA−=cossintnCACACyaaa−=cos21sin212ll−=costan21sin21

22−=ll0=即32cos2lvaaACxC==()Ca北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY9第三种方法：点C的轨迹法AvABCBvPCv在杆AB的运动过程中，其中点C与点O的距离始终保持不变，OC=l/2，即中点C的轨迹

是以点O为圆心、以OC为半径的圆弧。OnCaOCvaCC2n=2)cos2(2lvA=22cos2lvA=（方向如图）tCatntnCACAACCaaaaa++=+大小方向√√?221l√l

21√√0?nCAatCAa将上式沿BA方向投影得到ntn)22cos()2cos(CACCaaa=−−−−2t22212sin2coscos2lalvCA=−北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY10AvABCBvP

CvOnCatCanCAatCAa2t22212sin2coscos2lalvCA=−2t22)cos(212sin2coscos2lvlalvACA=−2sincos2)12(cos2

2tlvaAC−=32cos2sinlvA−=（负号表示其方向与图示相反）2tn)()(CCCaaa+=232222)cos2sin()cos2(lvlvAA−+=32cos2lvA=nttanCCaa=2232cos2cos2sinlvlv

AA−=tan−=（由此可见点C的加速度方向为水平向左）Ca北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY11第四种方法：加速度瞬心法AvABCBvPCvtnBABAABaaaa++=大小方向Ba？√0nBAa2l√tBAa

l？√将上式沿BA方向投影得到ncosBABaa=cosnBABaa=cos2l=cos)cos(2lvlA=32coslvA=杆AB的加速度瞬心为点A24+==BalAB42)(−=laB42322)cos()cos(lvlvAA

−=322cossinlvA=()北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY12AvABCBvPCvBanBAatBAa24+=ACaC23224)cossin()cos(2lv

lvlAA+=2222tan1cos2+=lvlA32cos2lvA=2tan=2322)cos(cossinlvlvAA=tan==Ca（即点C的加速度方向水平向左，如图）北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY

13例2如图所示平面的曲柄连杆滑块机构，曲柄OA以匀角速度作逆时针转动，已知OA=r，AB=2r，试求在图示瞬时（曲柄OA处于铅垂位置）连杆AB中点C的轨迹的曲率半径。ABCO解1.速度分析：AvBvrv

A=()杆AB瞬时平移0=AB0ABrvvvBAC===Cv2.加速度分析：方法1：两点的加速度关系tnBABAABaaaa++=大小方向Ba?√Aa2r√0ABtBAaABr2?√

北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY(*)14北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY将式(*)沿铅垂向上方向投影，得到ABCOAvBvCvBaAaABtBAa30cos0tBAAaa+−=2322=ABrr233=AB()tntnCACA

ACCCaaaaaa++=+=大小方向nCa2Cv√tCa?√2r√0tCAaABr√?将式(**)沿铅垂向上方向投影，得到(**)30costnCAACaaa+−=−2322+

−=−ABCrrv15北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY2322+−=−ABCrrv2333)(222+−=−rrrr2=另一种方法：将式(*)沿AB方向投影，得到ABCOAvBvCv

BaAaABtBAa60cos30cosABaa=22123raB=233raB=()tn(*)BABAABaaaa++=16北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY)(21tnBACCCaaaaa+=+=ABCOAvBvCvBaA

aABtBAaBCCxaaa21t==nCatCa263r=ACCyaaa21n−=−=221r−=22n21rvaCC==222rvC=22)(2rr=r2=17北京理工大学工程力学A加

速度瞬心法BRY方法2：加速度瞬心法ABCOBvCvAvBaAa杆AB瞬时平移0=AB0ABP*杆AB的加速度瞬心为点P*ABAPaAAB*=rr32=233=()CaABCCPa=*

233=r233r=（方向如图）nCatCa2nCCva=30cosnCCaa=30cos2CCav=2333)(22=rrr2=18北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY例3

如图所示平面机构，曲柄OA以匀角速度作逆时针转动，已知OA=r，AB=2r，在图示瞬时，曲柄OA处于铅垂位置，试求图示瞬时滑杆DE的速度和加速度。ABDOEr/2解1.运动分析：动点：滑杆DE上的点D（套筒D）；动系：与杆AB固连。2.速度分析：avreavvv

+=AvBvCvv=e杆AB瞬时平移0=AB0ABrvvvvBAC====ervv==ea()0r=v19北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY3.加速度分析：ABDOEr/2Crea

aaaa++=aa加速度瞬心法BaAaP*点P*为杆AB的加速度瞬心ABDaAPaAAB*=rr32=233=()ABDDPa=*233=r233r=（方向如图）大小方向Da√?√ra?√02a33raa

D==()20北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY例4如图所示平面机构，曲柄OC以匀角速度作逆时针转动，已知OC=r，AB=2r，C为杆AB的中点，试求图示瞬时（曲柄OC与水平线夹角为60°），(1)滑块A和滑块B的速度和加速度；(2)杆AB的加

速度瞬心的速度。ABOC解1.速度分析：CvAvBvPABrvC====rrPCvCAB()rPAvABA3==()rPBvABB==()2.加速度分析：方法1：加速度瞬心法ΔOCA为等腰三角形=const===

const===AB0==ABAB21北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY杆AB的加速度瞬心为点A、B、C加速度方向线的汇交点P*（与点O重合），如图ABOCCaAaBaP*PAB*P

vABPPPv=**r2=（方向如图）22rOCaC==24*ABABCCPa+=（方向如图）2r=24*ABABAAPa+=240+=r2r=()24*ABABBBPa+=2403+=r23r=()22方法2：两点的加速度关

系北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRYABOCABCa22rOCaC==tnBCBCCBaaaa++=大小方向Ba?√2r√nBCa2ABr√ABtBCaABr?√沿水平向右投影得到

30cos60cos60cos0tnBCBCCaaa++−=332121022++−=ABrrr0=AB沿AB方向投影得到n60cos30cosBCCBaaa−−=−22212

3rraB+=23raB=()23北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY)(21BACaaa+=ABOCABCaBanBCaABtBCa大小方向2r√Aa?√23r√沿水平向左投影得到ACaa2160cos=2

raaCA==()另一种求滑块A的加速度的方法：tnACACCAaaaa++=大小方向?√2r√nACa2ABr√tACaABr√沿水平向左投影得到30cos60cos60costnACACCAaaaa++=02222+

+=rr2r=24北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY例5如图所示处于铅垂平面内机构，均质杆AB的长度为l，质量为mAB=m，两端铰接质量分别为mA=m和mB=m的滑块A和滑块B，分别沿水平和倾角为60º的滑道滑动。不计各接触处摩擦

。在滑块A上作用一变化力，使得滑块B的速度为常矢量。试求当=30º时，力的大小。ABCBv60º)(F)(FBv)(F解1.运动分析：PABlvPBvBBAB==()杆AB的加速度瞬心为P*（与点B重合）P*容易判定点A的

加速度方向为水平向左，如图所示AaAB2tanABAB=tan2ABAB=2233lvB=()25ABABCCJM=I22233121lvmlB=2363Bmv=北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY

24*ABABAAPa+=ABCBv60º)(FPABP*AaAB22244)33(lvlvlBB+=lvB2332=CaAABABCaCPa2124*=+=lvB2632=()2.受力分析和惯性力系分析：gm

ABgmAgmBAFNBFNCFIlvmamFBCABC2I632==CMIAFIlvmamFBAAA2I332==263.达朗贝尔原理：ABCBv60º)(FPABP*AaABCagmABgmAgmBAFNBFNCFICMIAFI

北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY：0=PM0234343)(III=−−−−−lgmMlFlgmlFlFBCCABA233634363243332)(222++++=mglvmlvmmglvmFBBBmglvmB433183172+=27北京

理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY例6如图所示处于铅垂平面内机构，均质杆AB的长度为l，质量为mAB=m，两端铰接质量分别为mA=m和mB=m的滑块A和滑块B，滑块A和滑块B分别可沿水平和倾角为60º的滑道滑动。不计各接触处摩擦。试求系统于图示位置无初速释放时：(1)杆AB的角加速度；

(2)滑块A和滑块B的加速度；(3)滑道对滑块A和滑块B的约束力。解1.运动分析：ABC60º30º系统在无初速释放瞬时，处于瞬时静止0==BAvv0=AB0ABAaBa杆AB的加速度瞬心为P*P*CaABABABAlAPa==*ABABBlBPa==*

23*ABABClCPa==28北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY2.受力分析和惯性力系分析：ABC60º30ºAaBaP*CaABgmABgmAgmBAFNBFNAFIABAAAmlamF==IBFIABBBBmlamF=

=ICFIABCABCmlamF23I==CMIABABCCJM=IABml2121=3.达朗贝尔原理：：0=PM0232343IIII=−−−−+lFMlFlFlgmlgmBCCABAB012123232343=−−−−+ABABABA

BmlmlmlmlmgmglgAB3439=()29北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRYABAla=g3439=()ABBla=g3439=（方向如图）ABC60º30ºAaBaP*CaABgmABgmAgmBAFNBFN

AFIBFICFICMI：0=xF060cos30cos30cosIIIN=−−−BCABFFFF0323IIIN=−−−BCABFFFF)32(33IIINBCABFFFF++=)

2332(33ABABABmlmlml++=ABml233=mg6881=（方向如图）30北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRYABC60º30ºAaBaP*CaABgmABgmAgmBA

FNBFNAFIBFICFICMI：0=BM023212343NII=−+++lFlFlgmlgmMAAAABCACAFmglMFIIN3323332++=ABABmlmgmll++=33231213322mg68123=()31AB60º北京理工大学工

程力学A加速度瞬心法BRY例7如图所示处于铅垂平面内系统，均质杆AB的长度为l，质量为mAB=m，其一端与质量为mA=m的在水平滑道内可滑动的滑块A铰接。不计各接触处摩擦。试求系统于图示位置无初速释放时杆AB上的最大加速度amax和最小加速度amin及其点的位置。解系统在水平方向上无

外力作用，由质心运动定理得到CC′0R=xF0)(+CxAABamm0Cxa又由于系统初始静止，由此可见，系统质心C只能沿铅垂向下运动。CaAa杆AB的加速度瞬心为P*，如图所示。P*可

知，距离加速度瞬心越远的点加速度越大，反之亦然。32AB60ºCC′AaP*北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY下面求解在释放瞬时杆AB的角加速度。Ca=APaA*l83=30cos)()(2)()()(*22*2*C

AAPCAAPCP−+==CPaC*2321832)21()83(22−+=llll2647l=l87=gmABgmAAFNAFICFICMImlamFAAA83I==mlamFCABC87I==2I

121mlJMABCC==33北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRYAB60ºCC′AaP*CagmABgmAAFNAFICFICMI：0=AM0412875II=−+lgmlFMABCC0412875871212=

−+lmglmlmllg2324=30cos)()(2)()()(*22*2*ABAPABAPBP−+=23832)83(22−+=llll26443l=34北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRYAB60ºCCaAaP*Ba==BPaaB*maxglgl

234332324843==（方向如图）DDa===APDPaaD**min21glgl463323248321==（方向如图）35北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY另一种求解（在释放

瞬时）杆AB的角加速度的方法：AB60ºAaC′tnACACACaaaa++=tACAaa+=tACalaAC21t=gmABgmAAFNAFIAAAAmaamF

==I)1(ICFAAABCmaamF==)1(I)2(ICFmlamFACABC21t)2(I==CMI2I121mlJMABCC==：0=xF030cos)2(I)1(II=−+CCAFFF023212=−mlmaAlaA83=36

北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY：0=AMAB60ºAaC′tACagmABgmAAFNAFI)1(ICF)2(ICFCMI0412143)2(I)1(II=−+−lgmlFlFMABCCC041212143

1212=−+−lmglmllmamlAgalA3334=−lg2324=gaA2333=37北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY例8如图所示处于铅垂平面内系统，均质圆盘D的半径为r，质量mD=m，均质杆AB的长度为l=4r，质量mAB=m，滑块B的质量

mB=m，圆盘D在变化力偶M(t)的作用下以匀角速度作逆时针转动。不计各接触处摩擦。试求系统在图示瞬时：(1)杆AB的角加速度和滑块B的加速度；(2)圆盘所受力偶M(t)的大小；(3)滑道对滑块B的约束力。ABOCDM(t)r60º30º解1.运动

分析：AvBv在图示瞬时，杆AB作瞬时平移rvvBA2==（方向如图）0=AB0ABAaBaP*杆AB的加速度瞬心为P*，如图所示。CaAB22raA=（方向如图）38北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY

ABOCDM(t)r60º30ºAvBvAaBaP*CaABAPaAAB*=2233322==rrABBBPa=*2332r=()（方向如图）ABCCPa=*2332r=（方向如图）221raaAD==（方向如图）Da392.受力

分析和惯性力系分析：北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRYgmDABOCD60º30ºBaP*CaABDagmABgmBOxFOyFBFNDFI2ImramFDDD==CFI2I332mramFCABC==CMIABA

BCCJM=I2233)4(121=rm22934mr=BFI2I332mramFBBB==M(t)40北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY3.达朗贝尔原理：杆AB和滑块B：ABC30ºP*gmABgmBAxFAyFBFNCFICMIBFI：0=AM

024322INII=−−++−−rFrgmrFrFrgmMBBBCABC0233243233229342N222=−−++−−rmrmgrrFrmrmgrmrBmgmrFB3

952N+=（方向如图）41北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRYgmDABOCD60º30ºBaP*CaABDagmABgmBOxFOyFBFNDFICFICMIBFIM(t)整体：

：0=OM0453232)(INI=−−+−−−rFrgmrFrgmMrgmtMBBBABCD03324532393421)(2N22=−−+−−−rmrmgrrFmgrmrmgrtMB0932832217)(22N=−+−mrrFmgrtMBmgrmr

tM2532)(22+=()42北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY例9如图所示处于铅垂平面内系统，质量为mOA的均质杆OA、质量为mAB的均质杆AB和质量为mB的滑块B相互铰接，已知mOA=mAB=mB=m，OA=AB=l，在随时

间变化的主动力作用下杆OA以匀角速度作逆时针转动。不计各接触处摩擦。在图示瞬时，试求系统所受到的主动力F的大小。)(tFABODC60º)(tF解1.运动分析：容易求证，在任意瞬时const===ABOA0=ABCa221laC=Aa2l

aA=Ba杆AB的加速度瞬心为P*（与点O重合），如图所示。P*Da22*lBPaABB==22*23lDPaABD==43ABODC60ºCaAaBaP*Da北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY2.受力分析和惯性力系分析：)(tFgmOAgmABgmB

BFNOxFOyFCFI2I21mlamFCOAC==BFI2ImlamFBBB==DFI2I23mlamFDABD==3.达朗贝尔原理：整体：：0=OM0434N=−++lFlgmlgmlgmBBABOAmgmgmgFB++=43

41Nmg2=()44北京理工大学工程力学A加速度瞬心法BRY杆AB和滑块B：ABD)(tFgmABgmBBFNAxFAyFBFIDFI：0=AM02323)(21212141INI=−+−+−lFltFlFlgmlFlgmBBBDAB02323)(21221

21234122=−+−+−lmlltFlmglmglmllmg22363)(mlmgtF+=()45工程力学A加速度瞬心法结束谢谢！46