【文档说明】4.3.2 对数的运算（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(37)页，1.022 MB，由飞向未来上传

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4.3.2对数的运算4.3.2对数的运算1．理解对数的运算性质．2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．3．通过对数的运算性质及换底公式的掌握提升学生数学抽象的核心素养，会用对数的运算性质进行化简求值，进一步提升学生数学运算的核心素养．知识点一对数的运算性质(一)教材梳理填空

若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝______________；(2)logaMN＝_____________；(3)logaMn＝_______(n∈R)．logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM[提醒]对数与指数运算对照表(a＞0，且a≠1，m

＞0，N＞0)式子ab＝NlogaN＝bam·an＝am＋nloga(MN)＝logaM＋logaNaman＝am－nlogaMN＝logaM－logaN运算性质(am)n＝amnlogaMn＝nlogaM(二)基本知能小试1．判断正误(1)log2x2＝2log2x.()

(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．()(3)loga(xy)＝logax·logay.()(4)log2(－5)2＝2log2(－5)．()答案：(1)×(2)×(3)×(3)×2．计算log84＋l

og82等于()A．log86B．8C．6D．1答案：D3．log1327－log139＝________.答案：－14．2lg4＋lg58＝________.答案：1知识点二换底公式(一)教材梳理填空logab＝______

_(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)．我们把上式叫做对数换底公式．logcblogca提示：是大于0且不等于1的任意数．[思考]换底公式中底数c是特定数还是任意数？(二)基本知能小试1．判断正误(1)由换底公式可得l

ogab＝log(－2)blog(－2)a.()(2)log2M＋log3N＝log6(MN)．()(3)log23·log32＝1.()答案：(1)×(2)×(3)√2．填空：(1)logab·logba＝________；(2)

logab·logbx＝________；(3)logamNn＝________.答案：(1)1(2)logax(3)nmlogaN3．log23·log34·log42＝________.解析：log23·log34·log42＝lg3lg2·lg4lg3·lg2lg4＝

1.答案：1题型一对数运算性质的应用[学透用活]1．对数运算性质的适用前提对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数为正”，即a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.若去掉此条件，性质不一定成立．2．对数运算性质(1)的推广性质(1)可以推广到若干个正因数的积：loga(M1·M2·M3·…·Mn)

＝logaM1＋logaM2＋…＋logaMn(a＞0，且a≠1，Mi＞0，i＝1,2，…，n)．[典例1](1)若lg2＝a，lg3＝b，则lg12lg15＝()A.2a＋b1－a＋bB．2a＋b1＋a＋b

C.a＋2b1－a＋bD．a＋2b1＋a＋b(2)①(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；②lg3＋25lg9＋35lg27－lg3lg81－lg27；③log535－2log573＋log57－log51.8.[解析](1)选Alg12lg15＝lg(3×4)lg(3×5

)＝lg3＋2lg2lg3＋lg5＝2lg2＋lg3lg3＋1－lg2＝2a＋b1－a＋b.(2)①原式＝(lg5)2＋(2－lg2)lg2＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg

2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝1.②原式＝lg3＋45lg3＋910lg3－12lg34lg3－3lg3＝1＋45＋910－12lg3(4－3)lg3＝115.③原式＝log5(5×7)－2(log57－lo

g53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.[方法技巧]对数式化简与求值的基本原则和方法基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真

数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数常用方法“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)[变式训练]1．如果lgx＝lga

＋3lgb－5lgc，那么()A．x＝ab3c5B．x＝3ab5c.C．x＝a＋3b－5cD．x＝a＋b3－c3解析：∵lgx＝lga＋lgb3－lgc5，∴lgx＝lgab3c5.∴x＝ab3c5.答案：A2．(1)计算：12lg25＋lg2－lg0.1－log

29×log32.解：(1)12lg25＋lg2－lg0.1－log29×log32＝lg5＋lg2－lg1012－－2log23×log32＝1＋12－2＝－12.2．(2)解方程：12(lgx－lg3)＝lg5－12lg(x－10)．解：(2)由已知得x＞0且x＞

10，则方程变形为lgx3＝2lg5－lg(x－10)，即lgx3＝lg25x－10，∴x3＝25x－10，即x(x－10)－75＝0，(x－15)(x＋5)＝0，∴x＝15或x＝－5.又x＞10，∴x＝15是原方程的解．题型二换底公式[学透用活]由换底

公式得到的常用结论(1)logab·logbc·logca＝1；(2)loganbn＝logab；(3)loganbm＝mnlogab；(4)log1ab＝－logab.[典例2](1)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254

＋log1258)的值；(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．[解](1)法一：原式＝log253＋log225log24＋log25log28·log52＋log54log525＋log58log5125＝3log25＋2log252l

og22＋log253log22log52＋2log522log55＋3log523log55＝3＋1＋13log25·(3log52)＝13log25·log22log25＝13.法二：原式＝lg125lg2＋l

g25lg4＋lg5lg8lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125＝3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5＝13lg53lg23lg2lg5＝13.法三：原式＝(log253＋log2252＋log

2351)·(log52＋log5222＋log5323)＝3log25＋log25＋13log25(log52＋log52＋log52)＝3×3＋1＋13log25·log52＝3×133＝13.(2)法一：∵

log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝log1845log1836＝log18(9×5)log18(18×2)＝log189＋log1851＋log182＝a＋b1＋log18189＝a＋b2－a.法二：∵log189＝

a,18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝log18(9×5)log181829＝log189＋log1852log1818－log189＝a＋b2－a.[方法技巧]利用换底公式进行化简求

值的原则和技巧[变式训练]1．若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为________．解析：法一：由已知可得lgblga·lgclgb·lg3lgc＝2，即lg3lga＝2，∴lg3＝2

lga，∴a2＝3，a＝3.法二：由已知得logab·logaclogab·loga3logac＝2，即loga3＝2，∴a＝3.答案：32．计算(log43＋log83)(log32＋log92)．解：原式＝lg3lg4＋lg3

lg8lg2lg3＋lg2lg9＝lg32lg2＋lg33lg2·lg2lg3＋lg22lg3＝5lg36lg2×3lg22lg3＝54.题型三对数的综合应用[学透用活][典例3](1)

在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝1＋Mm2000(e为自然对数的底数)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(ln3≈1.099

)(2)已知2x＝3y＝5z，且1x＋1y＋1z＝1，分别求x，y，z的值．[解](1)因为v＝ln1＋Mm2000＝2000ln1＋Mm，所以v＝2000ln3≈2000×1.0

99＝2198(m/s)．故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2198m/s.(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，∴1x＝logk2，1y＝logk3，1z＝logk5，由1x＋1y＋1z＝1

，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.[方法技巧]1．解对数综合应用问题的3种方法(1)统一化：所求为对数式，条件转

为对数式．(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．[方法技巧]2．解对数应用题的4步骤[变式训练]1．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝()A.10B．10C．20D．100解析：由2a＝5b＝m(m

＞0)得a＝log2m，b＝log5m，所以1a＋1b＝logm2＋logm5＝logm10＝2，m2＝10，m＝10，故选A.答案：A2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝52lgE1E

2，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10－10.1解析：由题意知，m1＝－26.7，m2

＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝52lgE1E2，所以lgE1E2＝10.1，所以E1E2＝1010.1.答案：A[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．下面是某同学对“解方

程：log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1”的解题过程：解：原方程变形为log2(x＋1)－12log2(x＋4)＝1，∴log2(x＋1)－log2x＋4＝1，∴log2x＋1x＋4＝log22，∴x＋1x＋4＝2，∴x2－2x－15＝0，∴x＝－3或x＝5，故原方程的解为x＝－3或

x＝5.试分析以上解题过程是否正确，若错误，请指出错在哪里？提示：解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义，从而产生增解致误．正解：∵log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1，∴log4(x＋1)2x＋4＝1，∴x＋1>0，x＋

4>0，(x＋1)2x＋4＝4，解得x＝5或x＝－3(舍去)．∴方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5.二、应用性——强调学以致用2．[好题共享——选自苏教版新教材]如图，2000年我

国国内生产总值(GDP)为89442亿元．如果我国GDP年均增长7.8%，那么按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年以后，我国GDP就能实现比2000年翻两番的目标？解：假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标．根据题意，得89442×(1＋7.8%)x＝89442×4，化

简得1.078x＝4，故x＝log1.0784＝lg4lg1.078≈18.5.故约经过19年以后，我国GDP就能实现比2000年翻两番的目标．三、创新性——强调创新意识和创新思维3．[好题共享——选自苏教版新教材]我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a＜10，n∈Z)，此

时lgN＝n＋lga(0≤lga＜1)．当n＞0时，N是n＋1位数．(1)试用上述方法，判断2100是多少位数(lg2≈0.3010)；(2)当n＜0时，你有怎样的结论？解：(1)N＝2100＞0，lgN＝lg2100＝30.1.∴n＝30，lga＝0.1.∴n＋1＝31.∴

N是31位数．(2)n＜0时，N是－n位小数．例如：N＝0.002＞0，N＝2×10－3，lgN＝－3＋lg2，∴n＝－3，显然N＝0.002是三位小数．谢谢观看