【文档说明】第2章波动-波动理论及其在生物医学工程的应用课件.ppt，共(85)页，3.521 MB，由小橙橙上传

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《波动理论及其在生物医学工程中的应用》第二章波动传播《波动理论及其在生物医学工程中的应用》§2-1波的描述一.机械波产生条件波源：作机械振动的物体机械波:机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波。弹性

介质：承担传播振动的物质1.弹性介质和弹性波。弹性波:机械振动在弹性媒质中的传播波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.注意《波动理论及其在生物医学工程中的应用》机械波可分为横波和纵波两大类。横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.➢特征：具有交替出现的波峰和波谷.·····t

=T····················t=00481620············12·············t=T/2·····························t=3T/4·······

··················t=T/4·····················u《波动理论及其在生物医学工程中的应用》《波动理论及其在生物医学工程中的应用》《波动理论及其在生物医学工程中的应用》波长：沿波的传播方向，两个相邻

的、相位差为的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.π2OyAA-ux波长反映了波的空间周期性。描写波动过程的物理量《波动理论及其在生物医学工程中的应用》周期：波前进一个波长的距离所需要的时间.TT1=频率：周期的倒数，即单

位时间内波动所传播的完整波的数目.周期表征了波的时间周期性。《波动理论及其在生物医学工程中的应用》==TuTuu==波速：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.u(1)波的周期和

频率与媒质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同。(2)波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；其大小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。《波动理论及其在生物医学工程中的应用》四.波动过程的几何描述在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成

的面。沿波的传播方向作的有方向的线。波面波线波前在某一时刻，波传播到的最前面的波面。平面波波线波面球面波波面波线平面波：波面为平面球面波：波面为球面《波动理论及其在生物医学工程中的应用》波线波面波前*球面波平面波波前波面波线1、在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。2、在远离波源的球面

波波面上的任何一个小部份，都可视为平面波。《波动理论及其在生物医学工程中的应用》五.惠更斯原理惠更斯原理◆介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作为发射子波的波源。◆其后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。《波动理论及其在生物医学工程中的应用》球面波

平面波O1R2Rtu用惠更斯原理可以解释许多与波传播过程有关的物理现象《波动理论及其在生物医学工程中的应用》夜晚与白天空气的冷热分布不一样：白天上冷下热；夜晚下冷上热。导致声波传播特点不一样.白天夜间《波动理论及其在生物医学工程中的应用》《波动理论及其在生

物医学工程中的应用》波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系。平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离

开各自的平衡位置有相同的位移。平面简谐波§2-2波动方程的描述《波动理论及其在生物医学工程中的应用》一.平面简谐波波动方程•平面简谐行波，无吸收的均匀无限介质中沿x轴的正方向传播，波速为u。•任意一条波线为x轴，取O作为x轴的原点，则O点处质点的振动表示为•波

线上任意点P，振动从O传到P所需的时间为t，相位差为t。)cos()(00+=tAtyOxyuxP()0'cos)(+-=ttAtyP《波动理论及其在生物医学工程中的应用》

+-=0cos)(uxtAtyP因uxt='波动方程：波线上任一点的质点任一瞬时的位移。一.平面简谐波波动方程22==T=uT+=02cos),(xTtAtxy

+=02cos),(xtAtxy+=02cos)(xtAtyP+=0cos)(uxtAtyP《波动理论及其在生物医学工程中的应用》二.波动方程的物理意义-=12cosxtAy即x一

定。令x=x1，则质点位移y仅是时间t的函数。+-=0cos)(uxtAtyP-=xtAy2cos1t一定。令t=t1，则质点位移y仅是x的函数。x、t都变化。x

y《波动理论及其在生物医学工程中的应用》一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为a.比较法(与标准形式比较）标准形式波函数为比较可得例1解(1)波的振幅、波长、周期及波速；(2)质点振动的最大速度。求(1))210.0250(π

2cos04.0xty-=m04.0=As04.0502==Tm2010.02==m/s500==Tu])(π2cos[),(0+-=xTtAtxym)10.050(cos04.0xty-=《波动理论及其在生物医学工程中的应用

》b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系）振幅波长周期波速(2)π2)10.050(π)10.050(π12=---xtxts04.012=-=ttTπ2)10.050(π)10.050(π21=---xtxtm20

12=-=xx)10.050(π)10.050(π1122xtxt-=-m/s5001212=--=ttxxu)10.050(πsinπ5004.0xtty--==vm/smax28.65004.0==vm.yA040max==u《波动理

论及其在生物医学工程中的应用》设纵波沿一根截面积为S,密度为的均匀细长棒传播，则棒中各质元将不断被拉伸和压缩。如图所示：纵向形变的应力满足弹性形变的Huke定律0llYSF=abdxx+ydyy+x2F1F纵波的动力学方程与波速三.动力学方程与波速Y为杨氏弹性模量《波

动理论及其在生物医学工程中的应用》体积元ab因拉伸或压缩所产生的应力：abdxx+ydyy+x2F1F三.动力学方程与波速xySYF=体积元ab两端的应力差：xdxxxySYxySYFFF-=-=+12《波动

理论及其在生物医学工程中的应用》由牛顿第二定律，质元动力学方程为：()22tydmF=2222xyYty=一维纵波运动方程：对于一维简谐波+-=0uxtAtxycos),(Sdxdm=代入求解u：PYu=《波动理论及其在生物医学工程中的应用》abdxx

+x2F1F横波的动力学方程与波速横向形变产生的切应力满足弹性形变的Huke定律dlGSF=切G为材料的切变模量一维横波运动方程：2222xyGty=《波动理论及其在生物医学工程中的应用》波速与介质的性质有关，为介质的密度.u如声音的传播速度s

m4000sm343空气，常温左右，混凝土Gu=Yu=Ku=横波固体纵波液、气体切变模量弹性模量体积模量《波动理论及其在生物医学工程中的应用》§2-3波的能量传输当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能

.同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.xxOxdxOyyyd+以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.《波动理论及其在生物医学工程中的应用》()()22kd21d21dvvVmW==)(cosuxtAy-=)(sinuvxtAty--==振

动动能)(sind21d222kuxtVAW-=xxOxdxOyyyd+§2-3波的能量传输《波动理论及其在生物医学工程中的应用》()2Pd21dykW=杨氏模量llYSF=Yu=)(sinuxtAuxy--=xSYkd=)(sind21222uxtVA-=

22)dd(d21xyVu=()222121)dd(dddPxyxYSykW==弹性势能xxOxdxOyyyd+llYSF=§2-3波的能量传输《波动理论及其在生物医学工程中的应用》➢体积元的总机械能)(sindddd222pkuxtVAWWW-=+=)(sin

d21dd222pkuxtVAWW-==§2-3波的能量传输振动动能)(sind21d222kuxtVAW-=势能《波动理论及其在生物医学工程中的应用》讨论体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大

.体积元的位移最大时，三者均为零.1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随x，t作周期性变化，且变化是同相位的.§2-3波的能量传输2）任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量.任一体积元的机械能不守恒.波动是能量传递的一种方式.《波动理论及其

在生物医学工程中的应用》➢能量密度：单位体积介质中的波动能量.222dsin()dWxAtVu==-220211AdtTT==波的能量通量和能流密度➢平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.➢能量通量：单位时间内垂直通过某一面积的能量.PuS=《波动理论及其在生物

医学工程中的应用》波的能量通量和能流密度uSPI==➢能流密度(波的强度):单位时间内垂直通过单位面积的能量。udtSuuAI2221=《波动理论及其在生物医学工程中的应用》例证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐

波的波函数.证介质无吸收，通过两个球面的能通量相等.1s2s1r2r1221rrAA=)(cos00urtrrAy-=2211uSuS=2222221221π421π421ruAruA=即式中为离开波源的距离，为处的振幅.r0rr=0A《波动理论及其在生物医学工程中的应用》➢听觉范围

➢声强级声波的平均能流密度称为声强频率为1000Hz的声波的可闻强度即为dBIIL0lg101=声强举例：•树叶沙沙响:10dB.•耳语:20dB.•正常谈话:60dB.•繁忙街道:70dB.•摇滚乐:120dB.•聚焦超声波:21

0dB.212010mwI/-=《波动理论及其在生物医学工程中的应用》§2-4波的折射与反射反射与折射也是波的特征，当波传播到两种介质的分界面时，波的一部分在界面返回，形成反射波，另一部分进入另一种介质形成折射

波。反射定律：i=i'ABCDii'《波动理论及其在生物医学工程中的应用》惠更斯原理：波传播过程中所到媒质中的每一点均可视为新的波源，这些波源所产生次级波的波前的包络即为该时刻的波前。折射定律：21sinsi

nuuri=iCABDr1u2u《波动理论及其在生物医学工程中的应用》折射与反射中的振幅与相位变化平面简谐纵波垂直入射到两媒质分界面)(111uxtjeAy-=')(''1111juxtjeeAy=+2222juxtje

eAy=-)(入射波：反射波：透射波：媒质1媒质2入射反射透射x\\\\\\\\\\\\\\\\\\\《波动理论及其在生物医学工程中的应用》边界条件1：分界面上振动位移连续02011===+xxyyy)('边界条件2：分界面

上应力连续0220111===+xxxyYxyxyY)('解得：21211'1'1zzzzeAAj+-=2111222zzzeAAj+=Yu=利用已知结论：uz=《波动理论及其在生物医

学工程中的应用》振幅关系：212111zzzzAA+-='211122zzzAA+=相位关系：=212110zzzz'02=◼波密到波疏反射波与透射波保持与入射波同相的波形◼波疏到波密透射波保持与入射波同相的波形反射波相较于入射波发生相

位反转《波动理论及其在生物医学工程中的应用》定义反射波和入射波的能通量之比为反射比，记作R22121+-=zzzzR22121)(4zzzzT+=1=+TR定义透射波和入射波的能通量之比为透射比，记作T能量守恒：《波动理

论及其在生物医学工程中的应用》奥地利物理学家,他于1842年第一次论证了相互转动的双星系统所发射的光的频率的微小变化，继而又讨论了声源与观察者之间相对运动时，观察者所接收的声波频率的变化.ChristianJohannDoppler（1803—1

853）§2-5Doppler效应如果波源或观察者或两者都相对于介质运动,那么观察者接收到的频率与波源发出的频率就不相同.这种现象叫做多普勒效应.《波动理论及其在生物医学工程中的应用》多普勒效应最常见的实例：当火车通过时汽笛声的变化.《波动理论及其在生物医学工程中的应用》一

波源不动,观察者相对介质以速度运动观察者向着波源运动时波速:,内波传播的距离:utdtudSPutd0vtud0v如图,一观察者在点P向着波源S运动,速度为,则时间内观察者移动的距离为0vtdtd0v

0v《波动理论及其在生物医学工程中的应用》在距离内的波都被观察者所接收t)d0v(u+bf)0v(u+=fub=即fuf0vu+=SPutd0vtud0v当观察者向着静止波源运动时，观察者接收到的声波频率高于.ff

《波动理论及其在生物医学工程中的应用》观察者远离波源运动时SPtd0vtud0v设观察者在点P远离波源S运动,速度仍为,则时间内观察者移动的距离为0vtd0vtd《波动理论及其在生物医学工程中的应用》SPtd0vtud0v观察者接收到了在距离内的波t

)d0v(u-当观察者远离静止波源运动时，观察者接收到的声波频率低于.ffbf)0v(u-=fub=fuf0vu-=《波动理论及其在生物医学工程中的应用》二观察者不动,波源相对介质以速度运动波源向着观察者A运动时sv波速：波长：uuT=AuTsv1

S2S波源向A运动速度，一周期T内波源移动sv被观察者接收到的介质中的波长为：fuTuTsssb)(vvv-=-=-=Tsv《波动理论及其在生物医学工程中的应用》当波源向着静止的观察者运动时，观察者接收到的声波频率高于波

源的频率.介质中的频率为：fuuufsbv-==AuTsv1S2Sfusbv-=《波动理论及其在生物医学工程中的应用》波源远离观察者运动时如果波源远离观察者运动，观察者接收到的声波频率低于波源的频率.Au2S1STsv通过类似分析,可知fuTuTsss

b)(vvv+=+=+=fuuufsbv+==《波动理论及其在生物医学工程中的应用》两者同时相对介质运动时三波源和观察者同时相对介质运动波源静止，观察者运动观察者静止，波源运动注：正负号的取舍与前面相同fuufsv=fuf0vu=fufs0vvu

=《波动理论及其在生物医学工程中的应用》◼波源和观察者的运动造成双方互相接近，接收到的频率就高于原来波源的频率；互相远离，接收到的频率就低于原来波源的频率。◼波速相对于介质是不变的，观察者的运动相当于改变了波速，波源的运动相当于改变了波长，这二

者看似对称，但其实是不等价的。◼多普勒公式的记忆法《波动理论及其在生物医学工程中的应用》例一辆救护车以25m·s-1的速度在静止的空气中行驶，假设车上鸣笛的频率为800Hz，求：静止站在路边的人听到救护车驶近和离去时的鸣笛声波的频率.（设空气中声速330m·s-1.）-

1ssm25=vHz800=f《波动理论及其在生物医学工程中的应用》救护车驶近时，运用公式：解得:Hz6.865800)305/330(800)]25330/(330[==-=f-1ssm25=vHz800=ffuufsv-=《波动理论及其在生物医学工程中的应用》当救护

车离去时Hz7.734800)355/330(800)]25330/(330[s==+=-=fuufv-1ssm25=vHz800=f《波动理论及其在生物医学工程中的应用》应用之一：多普勒声纳舰艇、油轮、货船行驶

在浩瀚无垠的大海上，如何准确的沿着既定的目标前进呢？多普勒声纳可以提供这种帮助.多普勒声纳是根据多普勒效应研制的一种利用水下声波来测速和计程的精密仪器.《波动理论及其在生物医学工程中的应用》多普勒声纳一般安装在船体底部，由一个发射器和一个接收

器组成，如图中O点.此时，船上接收器接收到的频率为：PO船底a多普勒声纳原理简介vcoscos0vv-+=uuff《波动理论及其在生物医学工程中的应用》应用之二：多普勒超声诊断探头皮肤声靶我们以心脏病中的二尖瓣狭窄为例，说明其

诊断原理.利用超声波的多普勒效应可以测定血流的速度，如果发现明显的血流异常，则可以诊断二尖瓣狭窄，确定异常血流的深度.《波动理论及其在生物医学工程中的应用》Echocardiogramofa73-year-oldmanwithnew-

onsetatrialfibrillation.Moderatemitralregurgitationisseenonthisapicalview.ThecoloronDopplerimagingindicatesmovementofbloodawayfromthetransd

ucer,locatedatthetopoftheimage.(RV=rightventricle,LV=leftventricle,RA=rightatrium,LA=leftatrium)—BenjaminShipto

n,ValvularHeartDisease:ReviewandUpdate,AmFamPhysician，2001《波动理论及其在生物医学工程中的应用》DopplerultrasoundofbloodflowinhumanplacentaCaption:

Bloodflowthroughtheplacenta.Colourdopplerultrasoundscanshowingbloodflowthroughthehumanplacentainpregnancy.Here,comm

unicationofbloodbetweentwomaternalveinsoneachsideoftheplacentaisseen(yellow/red).Theplacentalinksthebloodsupplyofthemotherwiththedevelo

pingfoetus.ThisdopplerultrasoundscanwasmadebyDrPhilippeSaada.Saadaobtainssuchhigh-definitionimagesbylinkingultrasoundtoanumericcolourvide

o.Dopplerultrasounduseshigh-frequencysoundwavestodeterminewhetherapregnancyisnormal,andcanregistermovingparticleslikeb

lood.PhotographedattheUltra-soundCentreofLaMarjolaineatMontrouge,Paris.《波动理论及其在生物医学工程中的应用》波源运动带来的波前变化静止波源波源移动速度小于波速波源移动速度等于波速波源移动速度大于

波速《波动理论及其在生物医学工程中的应用》当波源运动的速度大于波速时，波前的包络面呈锥形，这种形式的波称为冲击波（shockwave）。马赫锥（Machcone）马赫数uvs马赫角svu=sin马赫数为1.5《波动理论及其在生物医学工程中的

应用》《波动理论及其在生物医学工程中的应用》波传播的独立性与叠加原理波的线性叠加原理:在几列波相遇的区域中，质点的振动是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成。每列波传播时，不会因与其它波相遇而改变自己原有的特性(传播方向、振动方向、频率、波长等

）。波传播的独立性：§2-6波的干涉1s2s《波动理论及其在生物医学工程中的应用》➢波的干涉最简单、最重要的波动叠加情况相干波源:•振动方向相同•频率相同•位相差恒定相干波叠加后，空间形成稳定的合振动加强、减弱的分布,这种现

象称波的干涉。水波干涉《波动理论及其在生物医学工程中的应用》1s2sP*1r2r波源振动1112cos()yAtT=+2222cos()yAtT=+1111cos[2π()]prtyAT=-+2222cos[2π()]prtyAT=-

+点P的两个分振动122cos()pppyyyAtT=+=+点P的两个合振动方程《波动理论及其在生物医学工程中的应用》)π2cos()π2cos()π2sin()π2sin(tan122111222111rArArArA-+--+-=++=cos2212221AAAA

A1212π2rr---=,2,1,0π2==kk,2,1,0π)12(=+=kk2121AAAAA+-=其他21AAA+=振动始终加强21AAA-=振动始终减弱合成振动的振幅A

：《波动理论及其在生物医学工程中的应用》若则21=π2-=12rr-=波程差21AAA+=振动始终加强2121AAAAA+-其他=0,1,2,kk==21AAA-=(120,1,2),kk

=+=振动始终减弱1s2sp1r2r0k=1k=1k=2k=《波动理论及其在生物医学工程中的应用》例1、如图所示，A,B两点为同一介质中两相干波源，其振幅皆为5cm,其频率为100Hz,但当A为波峰时B为波谷，设波速为10m/s，试写出由A,B发出的两列波传播到P点时

干涉的结果。解：2212122cosΔAAAAAφ=++21φφπ-=-ABP20m15m25m2515Δ22010.10φπππ-=--=-100.10m100uλν===120AAA=-=所以，P点因干涉而静止。2121Δ2rrφφφπλ-

=--《波动理论及其在生物医学工程中的应用》例2、两相干波波源位于同一介质中的A,B两点，其振幅相等，频率皆为100Hz，B比A的相位超前，若A,B相距30.0m,波速为400m/s，试求AB连线上因干涉而静止的各点的位置。

2212122cosΔAAAAAφ=++4004m100uλν===π30mABPxO解：21Δ224BABArrrrφφφπππλ--=--=-215xk=+在AB之间的任意点P解出:3024xxππ--=-14ππx=-+(21)kπ=+《波动理论及其在生物医学

工程中的应用》一驻波的产生振幅相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.§2-7驻波AB1N2N3N4N1L5L4L3L2L《波动理论及其在生物医学工程中的应用》2c

os2πcos2πxtAT=振幅因子：驻波的振幅与位置有关二驻波方程1cos2π()txyAT=-正向2cos2π()txyAT=+负向21yyy+=谐振因子：各质点都在作同频率的简谐运动=xπ2cos,2,1,0ππ2==kkx,2,1,0π)21(π2=+=kkx10=

xAAkk2,1,02max==min1()0,1,022kkA+==波腹波节《波动理论及其在生物医学工程中的应用》2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在波节处产生的相位跃变.（与行波不同，无相位的传播）.πtxAyπ2cosπ2cos2=xπ2co

s,44,0-xtxAyπ2cosπ2cos2=)ππ2cos(π2cos2+=txAy,434,0xxπ2cosxyo22-4=x为波节例《波动理论及其在生物医学工程中的应用》2k

)(dtyW2p)(dxyW驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播.ABC波节波腹xx位移最大时平衡位置时三驻波能量《波动理论及其在生物医学工程中的应用》驻波的特点❖1.频率特

点：由上式知，各质元以同一频率作简谐振动。❖2.振幅特点：(1)各点的振幅|2Acoskx|和位置x有关，振幅大小按余弦规律随x变化。(2)波节(node)：有些点始终静止，这些点称作波节。波节处，由两列波引起的两振动恰好反相，相互抵消，故波

节处静止不动。由coskx＝0得波节位置(3)波腹：有些点振幅最大，这些点称作波腹(antinode)。波腹处，由两列波引起的两振动恰好同相，相互加强，故波腹处振幅最大。由|coskx|＝1得波腹位置tTxAyyy2cos2cos221

=+=,2,1,0,2==kkx(),2,1,0,412=+=kkx《波动理论及其在生物医学工程中的应用》驻波的特点❖3.相位特点：驻波波形曲线分为很多“分段”(每段长λ/2)，同一分段中的各质元振动相位相同；相邻分段中的质元振动相位相反。

❖4.能量特点：驻波的能量被“封闭”在相邻波节和波腹间的λ/4的范围内，在此范围内有能量的反复流动，但能量不能越过波腹和波节传播。❖“驻”字的三层含义：（1）驻波波形不传播（2）驻波相位不传播（3）驻波不传播能量实际的驻波可由入射到媒质界面上的行波和它的反射波叠加而成。《波动理论及其

在生物医学工程中的应用》例1、两波在同一绳索上传播，它们的方程分别为：（1）证明绳索作驻波式振动，并求波节和波腹的位置。（2）波腹处的振幅多大？在x=1.2m处振幅多大？10.06cos(4)m,yπxπt=-20.06cos(

4)myπxπt=+解：（1）120.12cos()cos(4)myyyπxπt=+=波节位置：cos0(21)2ππxπxk==+波腹位置：cos1(2)2ππxπxk==所以绳索上的振动是驻波。(.....)012k=，，mxk=(0.5)mxk=+(..

...)012k=，，《波动理论及其在生物医学工程中的应用》（2）波腹处cos1πx=0.12cos0.12mAπx==x=1.2m处0.12cos1.20.097mAπ==《波动理论及其在生物医学工程中的应用》例2、一弦上的驻波方程若将它看成是由

传播方向相反、振幅和波速相等的两列波相干叠加而成。（1）求两列波的振幅和波速。（2）求相邻波节之间的距离。（3）求t=0.003s时位于x=0.02m处质点的振动速度。m0.03cos(1.6)cos(550)yπxπt=解：（1）0.03cos(1.6)cos(550)2220

.015cos()cos()1.250.00364yπxπtππxt==振幅A=0.015m,波长λ=1.25m,周期T=0.00364s波速1.25343.4m/s0.00364λuT===《波动理论及其在生物医学工程中的应用》（3）振动速度0.03

550cos(1.6)sin(550)xt=-(0.02,0.003)16.5cos(1.60.02)sin(5500.003)v=-46.0m/s=（2）相邻波节之间的距离1.250.625m22λd===yvt=《波动理论及其在生物医学工程中

的应用》应满足，由此频率两端固定的弦线形成驻波时，波长和弦线长2nnl=,2,12==nlunnnl决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式.四振动的简正模式《波动理论及其在生物医学工程中的应用

》,2,12==nnln两端固定的弦振动的简正模式一端固定一端自由的弦振动的简正模式,2,12)21(=-=nnln21=l222=l233=l41=l432=l453=l《波动理论及其在生物医学工程中的应用》垂

直悬挂的弦上的驻波lglglg===6537.8215021.5214048.221321垂直悬挂的弦是典型的非均匀弹性介质《波动理论及其在生物医学工程中的应用》例两端固定的弦自由振动的频率l2解：要形成

稳定驻波，两固定端一定为波节，此边界条件就限制了波长，在波速一定时也就限制了频率。只有弦长等于半波长的整数倍时，才能保证两固定端为波节的边界条件2nl=3,2,1n=nl2===Tl2nu1n=2n基频（基

音）谐频（谐音）（简正模式）《波动理论及其在生物医学工程中的应用》基频二次谐频三次谐频驻波的形成《波动理论及其在生物医学工程中的应用》,2,12==nnllnuu2==频率Tu=波速基频Hz2622111===TlnTlnnn21=谐频解：弦两端为固定

点，是波节.千斤码子l如图二胡弦长，张力.密度mkg108.34-=m3.0=lN4.9=T讨论.求弦所发的声音的基频和谐频.