【文档说明】4.2.2 指数函数的图象和性质（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(40)页，1.437 MB，由飞向未来上传

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4.2.2指数函数的图象和性质4．2.2指数函数的图象和性质1．掌握指数函数的定义域、值域的求法．2．能画出具体的指数函数图象，并根据指数函数的图象说出指数函数的性质．3．掌握指数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较大小．4．通过学习本节知识，进一步

体会函数图象的重要性，培养学生直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．(一)教材梳理填空指数函数的图象和性质a>10<a<1图象定义域___值域____________过定点过定点______，即x＝__时，y＝__函数值的变化当x<0时，__________当x>0时，____当x

>0时，_______当x<0时，____单调性在R上是______在R上是______性质对称性y＝ax与y＝1ax的图象关于___轴对称(0，＋∞)(0,1)(0，＋∞)0<y<1y>1y>1增函数减函数Ry01[思考]指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的底数a对图象有哪些

影响？提示：(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的增减性：a＞1时，图象单调递增；0＜a＜1时，图象单调递减．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越小，函数图象越靠近x轴；底数越大，函数图象越靠近y轴．(二)基本知能小试1．判断正误(1

)函数y＝13x－1的值域是(0，＋∞)．()(2)已知函数f(x)＝52x，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m＞n.()(3)指数函数f(x)的图象过点0，1.()(4)函数y＝2x－1的定义域是R.()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．

函数y＝1－3x的定义域是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．[1，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析：∵1－3x≥0，即3x≤1，∴x≤0，即x∈(－∞，0]．故选B.答案：B3．函数y＝1－2x，x∈[0

,1]的值域是()A．[0,1]B．[－1,0]C.0，12D．－12，0解析：由指数函数y＝2x在x∈[0,1]上单调递增知1≤2x≤2，∴y＝1－2x∈[－1,0]．答案：B4．(多选)下列函数中，是增函数的为(

)A．y＝13xB．y＝(3＋1)xC．y＝2－xD．y＝(a2＋2)x答案：BD题型一指数函数的定义域和值域[学透用活][典例1]求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x－4；(2)y＝23－|x|；(3

)y＝1－12x.[解](1)x应满足x－4≠0，∴x≠4，∴定义域为{x|x≠4，x∈R}．∵1x－4≠0，∴214－x≠1，∴y＝214－x的值域为{y|y＞0，且y≠1}．(2)定义域为

R.∵|x|≥0，∴y＝23－|x|＝32|x|≥320＝1，∴此函数的值域为[1，＋∞)．(3)由题意知1－12x≥0，∴12x≤1＝120，∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．∵x≥0，∴12x≤1.又∵12x

＞0，∴0＜12x≤1.∴0≤1－12x＜1，∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0,1)．[方法技巧]求指数型函数的定义域和值域的一般方法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与

f(x)的定义域一致，而求y＝f(ax)型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面要注意指数函数的值域是(0，＋∞)．一般地，对于y＝

af(x)型函数，应先求出f(x)的值域A，再画出y＝ax(x∈A)的图形或利用函数的单调性，就能很容易求出原函数的值域．[提醒](1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数

型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．[变式训练]求下列函数的定义域、值域：(1)y＝3x1＋3x；(2)y＝2xx22－；(3)y＝4x－2x＋1.解：(1)函数的定义域为R.∵y＝3x1＋3x＝(1＋3x)

－11＋3x＝1－11＋3x，又∵3x＞0，∴1＋3x＞1，∴0＜11＋3x＜1，∴－1＜－11＋3x＜0，∴0＜1－11＋3x＜1，∴函数的值域为(0,1)．(2)函数的定义域为R.∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，∴2xx22－≤2

，即y≤2.又2xx22－＞0，∴函数的值域为(0,2]．(3)函数的定义域为R.y＝(2x)2－2x＋1＝2x－122＋34，∵2x＞0，∴当2x＝12，即x＝－1时，y取最小值34，∴函数的值域为34，

＋∞.题型二指数函数的图象及应用[学透用活]1．指数函数图象的特征同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有0＜b＜a＜1＜d＜c，因

此可得出以下结论：在y轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”．2．指数函数图象的变换(1)平移规律：设b＞0，①y＝ax的图象―――――→上移b个单位y＝ax＋b的图象；②y＝ax的图象―――――→下移b个单位y＝ax－b的图象；③y＝ax的图象―

――――→左移b个单位y＝ax＋b的图象；④y＝ax的图象―――――→右移b个单位y＝ax－b的图象．(2)对称规律与y＝a－x的图象关于y轴对称与y＝－ax的图象关于x轴对称y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称[典例2](1)函数y＝ax－a

(a＞0，且a≠1)的图象可能是()(2)在如图所示的图象中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝bax的图象可能是()[解析](1)当x＝1时，y＝a1－a＝0，故函数y＝ax－a的图象过定点(1,0)，结合图象可知选C.(2)根据图中二次函数图象可知c＝0，∴二次函

数y＝ax2＋bx，∵ba>0，∴二次函数的对称轴为x＝－b2a<0，排除B、D.对于A、C，都有0<ba<1，∴－12<－b2a<0，C不符合，故选A.[答案](1)C(2)A[方法技巧]指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．(2

)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．[对点练清]1．[图象识别与判断]函数y＝a|x|(a＞1)的图象是

()解析：该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x＜0时的函数图象．答案：B2.[图象中数据判断问题]函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b

＜0解析：从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.答案：D3．[图象过定点问题]已知函数f(x)＝ax－16＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定

点P，若定点P在幂函数g(x)的图象上，则幂函数g(x)的图象是()解析：f(x)＝ax－16＋3恒过定点P(16,4)，设幂函数g(x)＝xα，则16α＝4，∴α＝12，∴g(x)＝x.答案：A4．[图象的应用]已知直线y＝2a

与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．解：函数y＝|2x－2|的图象如图所示．要使直线y＝2a与该图象有两个公共点，则有0＜2a＜2，即0＜a＜1，故实数a的取值范围为(0,1)．题型三比较大小问题[探究发现](1)函数幂的形式有哪些？(2)它们的

单调性如何判断？提示：(1)幂的形式的函数有幂函数和指数函数．(2)幂函数y＝xα，x＞0，α＞0时为增函数，指数函数y＝ax，当a＞1时为增函数，当0＜a＜1时为减函数．[学透用活][典例3]比较下列各题

中两个值的大小：(1)1.70.3,0.93.1；(2)57－1.8，57－2.5；(3)0.20.3,0.30.2.[解](1)因为1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，所以1.70.3>0.93.1.(2)因为0＜57＜1，所以函数y＝

57x在其定义域R上单调递减，又－1.8＞－2.5，所以57－1.8＜57－2.5.(3)因为0＜0.2＜0.3＜1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2＜0.30.2.又根

据指数函数y＝0.2x在R上是减函数，可得0.20.3＜0.20.2，所以0.20.3＜0.30.2.[方法技巧][变式训练]1．已知a＝3513－，b＝3514－，c＝3234－，则a，b，c的大小关系是()A．c＜a＜bB

．a＜b＜cC．b＜a＜cD．c＜b＜a解析：c＝3234－＝2334＜1，又a＝5313，b＝5314，∴a＞b＞1.故c＜b＜a，选D.答案：D2．比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2

；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.50.3和0.81.2.解：(1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.(2)∵函数y＝0.6x在R上是减函数，－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0

.6－1.5.(3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)．(

1)若f(1)＋f(－1)＝52，求f(2)＋f(－2)的值；(2)若函数f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的差为83，求实数a的值．请根据题设条件把下面的解析补充完整．解：(1)∵f(x)＝ax，f(1)＋f(－1)＝52，∴a＋1a＝52，解得a＝2或12，当a＝2时，f(x)＝

___，f(2)＋f(－2)＝174，当a＝12时，f(x)＝___，f(2)＋f(－2)＝174，故f(2)＋f(－2)＝174.2x12x(2)当a＞1时，f(x)＝ax在[－1,1]上________，∴f(x)max－f(x)min＝f(

1)－f(－1)＝a－a－1＝83，化简得3a2－8a－3＝0，解得a＝－13(舍去)或a＝3.当0＜a＜1时，f(x)＝ax在[－1,1]上________，∴f(x)max－f(x)min＝f(－1)－f(1)＝a－1－a＝83，化简得3a2＋8a－3＝0.解得a＝－3(舍去)或a＝1

3.综上，实数a的值为3或13.单调递增单调递减二、应用性——强调学以致用2．[好题共享——选自苏教版新教材]有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种

水平时，具有关系式Q＝Q0e－0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量．(1)随时间t的增加，臭氧的含量是增加还是减少？(2)试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失．(用计算器计算)[析题建模]函数关系是指数型函数模型――→逻辑推理根据函数的特征知其是减函数―→题代入数据得关于t的等式――→

数学运算计算t的值解：(1)Q＝Q0e－0.0025t，∵u＝－0.0025t随t的增大而减少，且e＞1，∴e－0.0025t的值也随t的增大而减小．∴随时间t的增加，臭氧的含量减少．(2)由题意得12Q0＝Q0e－0.0025t，即e－0.0025t＝12.借助计算器计算得t≈277.2年，∴

278年后将会有一半的臭氧消失．三、创新性——强调创新意识和创新思维3.已知四个函数f(x)＝2x，g(x)＝12x，h(x)＝3x，p(x)＝13x，若y＝f(x)，y＝g(x)的图象如图所示．(1)请在如图坐标系中画出y＝

h(x)，y＝p(x)的图象，并根据这四个函数的图象抽象出指数函数具有哪些性质？(2)举出在实际情境能够抽象出指数函数的一个实例并说明理由．解：(1)画出y＝h(x)，y＝p(x)的图象如图所示：4个函数都是y＝ax(a

＞0，a≠1)的形式，它们的性质有：①定义域为R；②值域为(0，＋∞)；③都过定点(0,1)；④当a＞1时，函数在定义域内单调递增，0＜a＜1时，函数在定义域内单调递减；⑤a＞1时，若x＜0，则0＜y＜1，若x＞0，则y＞1.0＜a＜1时，若x

＞0，则0＜y＜1，若x＜0，则y＞1；⑥对于函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，y＝bx(b＞0，且b≠1)，当a＞b＞1时，若x＜0，则0＜ax＜bx＜1；若x＝0，则ax＝bx＝1；若x＞0，则ax＞bx＞1.当0＜a＜b＜1时，若x＜0，则ax＞bx＞1；若x＝

0，则ax＝bx＝1；若x＞0，则0＜ax＜bx＜1.(2)举例：原来有一个细胞，细胞分裂的规则是细胞由一个分裂成2个，则经过x次分裂，细胞个数y，则y＝2x，是一个指数函数．谢谢观看