【文档说明】3.4 函数的应用（一）（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(34)页，769.798 KB，由飞向未来上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-20.html

以下为本文档部分文字说明：

3.4函数的应用（一）3．4函数的应用(一)1．理解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数)是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．2．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．3．通过本节课的学习，使学生体会常见

函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模和数据分析的核心素养．题型一一次函数模型[学透用活]形如y＝kx＋b(k≠0)的函数模型是一次函数模型．应用一次函数的性质及图象解题时，应注意：(1)一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项

系数为负)两种情况；(2)一次函数的图象是一条直线．[典例1]某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个

方案进行污水处理，并准备实施．方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．(1)若

工厂每月生产3000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6000件时，你作为厂长又该如何决策呢？[解]设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y

1，依方案2的利润为y2，则y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000，y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000.因为y1<y2，

故应选择第2个方案处理污水．(2)当x＝6000时，y1＝114000元，y2＝108000元．因为y1>y2，故应选择第1个方案处理污水．[方法技巧]建立一次函数模型，常设为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出k，b的值，再根据单调性求最值，或利用方

程、不等式思想解题．[变式训练]车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元．(1)若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；(2)若估计前来

停放的3500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．解：(1)由题意得y＝0.3x＋0.5(3500－x)＝－0.2x＋1750(x∈N*且0≤x≤3500

)．(2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，则3500×(1－40%)≤x≤3500×(1－25%)，即2100≤x≤2625.画出函数y＝－0.2x＋1750(2100≤x≤2625)的图象，可得函数y＝－0.2x＋

1750(2100≤x≤2625)的值域是[1225,1330]，即收入在1225元至1330元之间．题型二二次函数模型[学透用活]形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数模型是二次函数模型．二次函数模型是重要的数学模型

之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题．[典例2]牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际

蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年

增长量达到最大值时，求k的取值范围．[解](1)据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为xm，故空闲率为1－xm，由此可得y＝kx1－xm(0<x<m)．(2)对原二次函数配方，得y＝－km(x2－mx)＝－k

mx－m22＋km4，即当x＝m2时，y取得最大值km4.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即0<x＋y<m.因为当x＝m2时，ymax＝km4，所以0<m2＋km4<m，解得－2<k<2

.又因为k>0，所以0<k<2.故k的取值范围为(0,2)．[方法技巧]解决二次函数模型应用题的4步骤[变式训练]某地预计明年从年初开始的前x个月内，某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x的近似关系为f(x)＝1150x(x＋1)(35－2x)(x∈N，且x≤12)．(1)写

出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式；(2)求哪个月份的需求量最大？最大值为多少？解：(1)由题意知：g(x)＝f(x)－f(x－1)＝1150x(x＋1)(35－2x)－1150(x－1)x[35－2(x

－1)]＝1150x[(x＋1)(35－2x)－(x－1)(37－2x)]＝1150x(72－6x)＝125x(12－x)．∴g(x)＝125x(12－x)(x∈N且x≤12)．(2)g(x)＝x25(12－x)＝－125(x2－12x＋3

6－36)＝－125(x－6)2＋3625，∴当x＝6时，g(x)有最大值3625.即第六个月需求量最大，为3625万件．题型三幂函数模型的应用[学透用活]能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)表达的函数模型叫做幂函数模

型，其增长情况随xα中α的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．[典例3]某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润

为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．[解析]由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝12

5.[答案]125[方法技巧]解决幂函数模型的4步骤(1)认真阅读，理解题意；(2)用数学符号表示相关量，列出函数解析式；(3)根据幂函数的性质推导运算，求得结果；(4)转化成具体问题，给出解答．[变式训练]在固定压力差(压力差为常数)下

，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为400cm3/s，求该气体通过半径为rcm的管道时，其流量R的函数解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为

5cm，计算该气体的流量．解：(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．(2)由r＝3cm，R＝400cm3/s，得k·34＝400，∴k＝40081，∴流量R的函数解析式为R＝40081·r4.(3)∵R＝40081·r4，∴

当r＝5cm时，R＝40081×54≈3086(cm3/s).题型四分段函数模型的应用[探究发现]什么是分段函数？分段函数的最值怎样求解？提示：分段函数是自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系的函数．求最值时应求出每个范围内

的最值再比较取最大最小．[学透用活][典例4]提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造

成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：

辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)[解](1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝

60，解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表达式为：v(x)＝60，0≤x≤20，13(200－x)，20＜x≤200.(2)依题意并结合(1)可得：f(x)＝60x，0≤x≤20，13x(200－x)，20＜x≤200.当0≤x≤20时，f(

x)为增函数，故当x＝20时，f(x)在区间[0,20]上取得最大值60×20＝1200；当20＜x≤200时，f(x)＝13x(200－x)＝－13(x－100)2＋100003≤100003，当且仅当x＝100时，

等号成立．所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值100003.综上可得，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到

最大，最大值约为3333辆/时．[方法技巧](1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型．(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到

一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.[变式训练]某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元．公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数

多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元．已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元．(1)写出y与x(x＞0，x∈N*)之间的函数解析式．(2)当公司参加培

训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润．解：(1)由题知参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元，当1≤x≤30且x∈N时，y＝850，当30＜x≤60且x∈N时，y＝850－10(x－30)＝1150－10x，

所以y＝850，1≤x≤30，且x∈N，1150－10x，30＜x≤60，且x∈N.(2)当1≤x≤30且x∈N时，Q＝850x－12000，ymax＝850×30－12000＝13500(元)，当3

0＜x≤60且x∈N时，Q＝－10x2＋1150x－12000，其对称轴为x＝1152＝57.5，故当x＝57或58时，ymax＝21060(元)，所以当公司参加培训的员工为57或58人时，培训机构可获得最大利润，最大利润21060元．[

课堂思维激活]一、应用性——强调学以致用1．氟利昂是一种重要的化工产品，它在空调制造业有着巨大的市场价值．已知它的市场需求量y1(吨)、市场供应量y2(吨)与市场价格x(万元/吨)分别近似地满足下列关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20.当y1＝y2时的市场

价格称为市场平衡价格．此时的需求量称为平衡需求量．(1)求平衡价格和平衡需求量；(2)科学研究表明，氟利昂是地球大气层产生臭氧空洞的罪魁祸首，《京都议定书》要求缔约国逐年减少其使用量．某政府从宏观调控出发，决定对每吨征税3万元，求新的市场平衡价格和平衡需求量．解：(1)由y1＝y2得－x＋

70＝2x－20，∴x＝30，此时y1＝y2＝40，平衡价格为30万元/吨，平衡需求量为40吨．(2)设新的平衡价格为t万元/吨，则y1＝－t＋70，y2＝2(t－3)－20＝2t－26，由y1＝y2得－t＋70＝2t－26，∴t＝32，此时y1＝y2＝38，即新的平衡价格为

32万元/吨，平衡需求量为38吨．二、创新性——强调创新意识和创新思维2．某市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从这两家中的一

家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)

和g(x)；(2)选择哪家比较合算？为什么？解：(1)f(x)＝5x,15≤x≤40；g(x)＝90，15≤x≤30，30＋2x，30<x≤40.(2)①当15≤x≤30时，5x＝90，x＝18，即当15≤x<18时，f(x)<g(x)；当x＝18时，f(x)＝g(x)；当18

<x≤30时，f(x)>g(x)．②当30<x≤40时，f(x)>g(x)，∴当15≤x<18时，选甲家比较合算；当x＝18时，两家一样合算；当18<x≤40时，选乙家比较合算．谢谢观看