【文档说明】1.1 集合的概念（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(44)页，1.046 MB，由飞向未来上传

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1.1集合的概念1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.掌握常用的数集及其记法，掌握集合的两种表示方法.3.通过本节内容的学习，学生能选择不同的语言来描述不同,的具体问题，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养.1．1集合的概念第一章集

合与常用逻辑用语知识点一元素与集合(一)教材梳理填空1．元素与集合的含义定义表示元素一般地，把________统称为元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合把一些元素组成的____叫做集合，简称为___通常用大写拉丁字

母A，B，C，…表示研究对象总体集2．集合中元素的特性：_______、互异性和无序性．3．集合相等：只要构成两个集合的元素是____的，我们就称这两个集合是相等的．4．集合的分类：根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元

素的个数有限时，称之为有限集；当集合中元素的个数无限时，称之为无限集．确定性一样(二)基本知能小试1．判断正误(1)立德中学今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合．()(2)元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是相等的．()(3)单词“Good”的构成字母组成的集合中有4个元素．

()答案：(1)×(2)√(3)×2．下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼解析：A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案：C3．若以方程x2－3x

＋2＝0和x2－5x＋6＝0的解为元素组成集合A，则A中元素的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：方程x2－3x＋2＝0的解为1,2，方程x2－5x＋6＝0的解为2,3由于两方程有相同的解2，在集合中作为1个元素，故A中有3个元素，故选C.答案：C知识

点二元素与集合的关系及常用数集(一)教材梳理填空1．元素与集合的关系关系概念记法a属于集合A如果a是集合A的元素，就说a_____集合A____a不属于集合A如果a不是集合A中的元素，就说a______集合A____属于a∈A不属于a∉A2．常用数集及符号表示名称自然数集

正整数集整数集有理数集实数集记法___________________NN*或N＋ZQR[思考]N与N*有何区别？提示：N*是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N*多一个元素0.(二)基本知能小试1．给出下列关系：①

13∈R；②5∈Q；③－3∉Z；④－3∉N，其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.答案：B2．已知集合M有两个元

素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________.解析：由题意可知a＋1＝4，即a＝3.答案：3知识点三集合的表示方法(一)教材梳理填空1．列举法把集合的所有元素_________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做_______．2．描述法

一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有_________P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为______．一一列举列举法共同特征描述法(二)基本知能小试1．判

断正误(1)一个集合可以表示为{a，b，a，c}．()(2)集合{－3,1}与集合{(－3,1)}表示同一个集合．()(3){x∈R|x＞1}＝{y∈R|y＞1}．()答案：(1)×(2)×(3)√2．方程x2－1＝0

的解集用列举法表示为()A．{x2－1＝0}B．{x∈R|x2－1＝0}C．{－1,1}D．以上都不对解析：解方程x2－1＝0得x＝±1，故方程x2－1＝0的解集为{－1,1}．答案：C3．由大于－1小于5的自然数组成的集合

用列举法表示为____________，用描述法表示为______________．解析：大于－1小于5的自然数有0,1,2,3,4.故用列举法表示集合为{0,1,2,3,4}．用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N，且－1＜x

＜5.故用描述法表示集合为{x∈N|－1＜x＜5}．答案：{0,1,2,3,4}{x∈N|－1＜x＜5}题型一集合的概念及特征描述性“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明整体性集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此

一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体广泛性集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素准确认

识集合的含义[典例1]下列对象能构成集合的是()A．高一年级长得帅的学生B．sin30°，sin45°，cos60°，1C．全体很大的自然数D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点[解析]由于帅与很大没有一个确定

的标准，因此A、C不能构成集合；B中由于sin30°＝cos60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.[答案]D[方法技巧]判断元素能否构成集合，关键在于是否有一个明确的客观标准来衡量这些对象，即看这些元素是否具有确定性，如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合，否则就不能

构成集合．[提醒]注意集合元素的互异性，相同的元素在集合中只能出现一次．[变式训练]1．(多选)下列对象能构成集合的是()A．某市拥有小轿车的家庭B．2020年高考数学试卷中的难题C．所有的有理数D．绝对值大于5的

实数解析：根据集合的概念，B选项中的“难题”标准不明确，不满足集合中元素的确定性，显然A、C、D选项中都能构成集合，故选A、C、D.答案：ACD2．由实数x，－x|x|，x2，(x2)2，－x3组成的集合中最多含有________个元素．解析：由题可知x≥0，所以

x，－x|x|，x2，(x2)2，－x3可分别化为x，－x2，x，x2，－xx，故由实数x，－x|x|，x2，(x2)2，－x3组成的集合中最多含有4个元素．答案：4题型二元素与集合的关系元素与集合的关系解读唯一性a∈A与a∉A取决于a是不是集合A中的元

素，只有属于和不属于两种关系方向性符号“∈”“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合[典例2](1)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是()A．0B．1C．2D．3[解析](1)∵a∈A且4－a∈

A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0,4}满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1,3}满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A中只有一个元素2，不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.[答案](1)C

(2)用符号∈与∉填空．①(－1)0______N*；3＋2______Q；43______Q.②若a2＝3，则a______R，若a2＝－1，则a______R.[解析](2)①(－1)0＝1∈N*，3＋2是无理数，故3＋2∉Q，43是无限循环小数，是有理数，故43∈Q.②平方等于

3的数是±3，是实数，平方等于－1的实数不存在，所以a2＝3时，a∈R，a2＝－1时，a∉R.[答案](2)①∈∉∈②∈∉[方法技巧]解决元素与集合的关系问题的策略(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这

个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R，Q，Z，N，N*表示什么数集．(3)解决比较复杂的集合问题时要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．[变式

训练]1．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是()A.5∈MB．0∉MC．1∈MD．－π2∈M解析：5＞1，故5∉M；－2＜0＜1，故0∈M；1不小于1，故1∉M；－2＜－π2＜1，故－π2∈M.故选D

.答案：D2．设集合D是由满足y＝x2的有序实数对(x，y)组成的，则－1________D，(－1,1)________D．(用符号∉或∈填空)解析：－1不是有序实数对，∴－1∉D.(－1,1)满足y＝x2，∴(－1,1)∈D.答案：∉∈题型三集合的表示列举法和描述法的优缺点列举法具有直

观、明了的优点，其缺点是不易看出元素所具有的属性，且有些集合是不能用列举法表示的，如x－1＞0的解集．描述法是把集合中的元素所具有的特征描述出来的表示方法，具有抽象性、概括性、普遍性的优点，其缺点是不易看出集合中的具体元素．[典例3]用适当的方法

表示下列集合：(1)满足不等式3x＋2＞2x＋1的实数x组成的集合；(2)方程组2x－3y＝14，3x＋2y＝8的解集；(3)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(4)平面坐标系中直线y＝－x＋2上的所有点构成的集合．[解](1)因为3x＋2＞2x

＋1，所以x＞－1.故可用描述法表示为{x|x＞－1}．(2)解方程组2x－3y＝14，3x＋2y＝8，得x＝4，y＝－2.故解集可用描述法表示为(x，y)|x＝4，y＝－2，也可用列举法表示为{(4，－2

)}．[解](3)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11.故可用列举法表示为{3,5,7,11}．(4)函数y＝－x＋2图象上的点可以用坐标(x，y)表示．故可用描述法表示{(x，y)|y＝－x＋2}．[方法技巧]选用列举法或描述法的原则要根据

集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具

有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．[变式训练]用适当的方法表示下列集合：(1)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合；(2)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合．解：(1)方程x2－

2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}．(2)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满

足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，故可用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．题型四集合与方程的综合问题[探究发现]怎样判断方程ax2＋bx＋c＝0的解的个数？提示：当a＝0，b≠0时，方程有一个解．当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；

若Δ＜0，则方程无解；若Δ＞0，则方程有两个不相等的实数根．[典例4]已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．[解]①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，x＝32，符合题意．②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ

＝4－12m≤0，得m≥13，即当m≥13时，方程mx2－2x＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．由①②知m＝0或m≥13.故m的取值范围为m|m≥13或m＝0.[方法技巧]集合与方程的综合问题的解题步骤(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数

根．(2)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论．(3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性．[变式训练]1．[变条件]若将本例中的“至多只有一个”

改为“恰有一个”，如何求解？解：当m＝0时，A＝32，即集合A中只有一个元素32，符合题意；当m≠0时，Δ＝4－12m＝0，即m＝13.综上可知，m＝0或m＝13.2．[变条件]若将本例中的“至多只有”改为“至少有”，如何求解？解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素

．由例题可知，当m＝0或m＝13时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－12m＞0，即m＜13.故m的取值范围为mm≤13.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．已知集合A中含有3

个元素1，x，x2－2x，且3∈A，求x的值．以下是小明同学给出的解题过程：解：∵3∈A，∴x＝3或x2－2x＝3，解得x＝－1或3.∴x的值为－1或3.分析以上解题过程，你能找出错误之处吗？请写出正确的解题过程．正解

如下：∵A中含有3个元素且3∈A，∴x＝3或x2－2x＝3.当x＝3时，x2－2x＝3＝x，不满足互异性，故x≠3.当x2－2x＝3时，解得x＝－1或x＝3(舍去)，当x＝－1时，a＝{－1,1,3}符合题意．综上，x的值为－1.提示：没有对求得的值进行互异性检验从而产生增根．二、应用性——强调

学以致用2．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________．解析

：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道，∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．∵甲和乙只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可

得27分或30分．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，此时乙可得24分．综上可得：乙的所有可能的得分值组成的集合为{24,27,30}．答案：{24,27,30}三、创新性—

—强调创新意识和创新思维3．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”．(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．解：(1)由于2的倒数为12不在集

合A中，故集合A不是可倒数集．(2)若a∈A，则必有1a∈A，现已知集合A中含有3个元素，故必有一个元素为a＝1a，即a＝±1，故可以取集合A＝1，2，12或－1，2，12或1，3，13等．谢谢观看