【文档说明】3.3 幂函数（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(44)页，1.366 MB，由飞向未来上传

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3.3幂函数3．3幂函数1．通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝1x的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数的性质．2．以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图象与性质，发展学生数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养．(一)教

材梳理填空1．幂函数的概念一般地，函数_____叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．y＝xα2．五个幂函数的图象与性质解析式y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝1x图象定义域___________________________[0，＋∞){x|x≠0}RRR解析式y＝xy＝x2

y＝x3y＝x12y＝1x值域___________________________________奇偶性___函数___函数___函数_____函数___函数单调性在(－∞，＋∞)上单调____在(－∞，0]上单调____，在(0，＋∞)上单调

_____在(－∞，＋∞)上单调____在[0，＋∞)上单调____在(－∞，0)上单调____，在(0，＋∞)上单调____定点______R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶奇非奇非偶递增递减递增递增递增递减奇递减(1,1)[思考]通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂

函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？提示：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．(二)基本知能小试1．判断正误(1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．()(2)幂函数的图象都不过第二、四象限．()(3)当幂指数α取1,

3，12时，幂函数y＝xα是增函数．()(4)若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．已知幂函数的图象过点(2,4)，则其解析式为()A．y＝x＋2B．y＝x2C．y＝xD．y＝x3解析：设幂

函数的解析式为y＝xα，当x＝2时，y＝4，故2α＝4，即α＝2.答案：B3．在下列四个图形中，y＝x12－的大致图象是()解析：函数y＝x12－的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.答案：D4．

已知f(x)＝(m－1)x22mm＋是幂函数，则m＝________.解析：∵函数f(x)＝(m－1)x22mm＋是幂函数，∴m－1＝1，即m＝2.答案：25．已知幂函数f(x)＝xα图象过点2，22，则f(4)＝_____

___.解析：∵幂函数f(x)＝xα的图象过点2，22，∴2α＝22，∴α＝－12.即f(x)＝x12－，∴f(4)＝412－＝12.答案：12题型一幂函数的概念[探究发现]幂函数的解析式有什么特征？提示：(1)指数为常数．(2)底数是自变量，自变量的系数为1.(3)幂xα的

系数为1.(4)只有1项．[学透用活][典例1](1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a＞1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4[解析](1)

由幂函数的概念可知，只有①⑥是幂函数．[典例1](2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.[解析](2)因为f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.[答案](

1)B(2)5或－1[方法技巧]求幂函数解析式的依据和常用方法(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．(2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，依据条件求出α.

[变式训练]1．在函数y＝1x2，y＝2x3，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：因为y＝1x2＝x－2，所以是幂函数；y＝2x3由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2

＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数y＝1不是幂函数．答案：B2．已知幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)x268mm－＋在(0，＋∞)为增函数，则m的值为()A．

1或3B．3C．2D．1解析：由函数f(x)为幂函数，得m2－4m＋4＝1，解得m＝1或m＝3.又幂函数f(x)单调递增，则m2－6m＋8＞0，据此可得，m＝1.答案：D题型二幂函数的图象及应用[学透用活](1)幂函数y＝xα在第一

象限内的图象特征：①当α＞1时，图象过点(1,1)，下凸递增，如y＝x3；②当0＜α＜1时，图象过点(1,1)，上凸递增，如y＝x12；③当α＜0时，图象过点(1,1)，下凸递减，且向两坐标轴无限地逼近，如y＝x－1.(2)幂函数在第一象限内

指数的变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．(3)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函

数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．[典例2]若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点－2，14在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)

；(3)f(x)＜g(x)．[解]设f(x)＝xα，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(2，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.在同一坐标

系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1＜x＜1且x≠0时，f(

x)＜g(x)．[方法技巧]解决幂函数图象问题的原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为

指大图高)．(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．[变式训练]1．函数y＝

x12－1的图象关于x轴对称的图象大致是()解析：y＝x12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x12－1的图象可看作由y＝x12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x12－1的图象关于x轴对称后即为选项B.答案：B2

．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞bD．a＞b＞d＞c解析：令a＝2，b＝12，c＝－13，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在

第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b＞c＞d.故选B.答案：B题型三利用幂函数的单调性比较大小[探究发现]幂函数y＝xa的单调性如何判断？提示：(1)幂函数y＝xa的单调性主要通过a的正负判断，并且在

第一象限内单调性的规律体现的比较明显．(2)a＞0时，幂函数y＝xa在第一象限内单调递增；a＜0时，幂函数y＝xa在第一象限内单调递减．[学透用活][典例3]比较下列各组数中两个数的大小．(1)250.5与130.5；(

2)－23－1与－35－1；(3)3432与3234.[解](1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴250.5>130.5.(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35

，∴－23－1>－35－1.(3)∵函数y1＝x34为(0，＋∞)上的增函数，又32＞1，∴3234＞134＝1.又∵函数y2＝x32在(0，＋∞)上是增函数，且34＜1，∴3432＜132＝1，∴3234＞3432.[方法技巧]1．比较幂的大小的三种基本方法直接法当幂指数相同时

，可直接利用幂函数的单调性来比较转化法当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小中间量法当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的2．利用幂函数单

调性比较大小时的注意点比较大小的实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．[变式训练]1．(多选)下列不等式在a＜b＜0的条件下能成立的是()A．a－1＞b－1B．a13＜b13C．b2＜a2D．a23－＞b23－解析：分别构造函数y＝x－1，y＝x13，

y＝x2，y＝x23－，其中函数y＝x－1，y＝x2在(－∞，0)上为减函数，故A、C成立．而y＝x13，y＝x23－为(－∞，0)上的增函数，从而B成立，D不成立．答案：ABC2．比较下列各题中两个幂的值的大小：(1)1.112－，0.

912－；(2)334－，1234.解：(1)因为y＝x12－为(0，＋∞)上的减函数，又1.1＞0.9，所以1.112－＜0.912－.(2)因为334－＝1334，函数y＝x34为[0，＋∞)上的增函数，且13＜12，所以1334＜1

234，即334－＜1234.题型四幂函数性质的综合应用[学透用活][典例4]已知函数f(x)＝x1m2＋m(m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数图象经过点(2，2)，试确定m的值，

并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．[解](1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，∴m与m＋1中必定有一个为偶数，∴该函数的定义域为[0，＋∞)，由幂函数的性质知，该函数在定义域上单调递增．(2)∵该函数图象过点(2，2)，∴2

21mm＋＝2，∴m2＋m＝2，∴m＝1(m∈N*)．由f(2－a)>f(a－1)，得2－a≥0，a－1≥0，2－a＞a－1，解得1≤a<32.故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为1，32.[方法技巧]解决幂函数的综合问题

，应注意以下两点：(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象所过定点、单调性、奇偶性等；(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论思想、数形结合思想．[变式训练]已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函

数．(1)求f12的值；(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．解：(1)函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为幂函数，∴m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3.当m＝2时，f(x)＝x－3，不是偶函数，舍去；当m＝3时，f(x)＝x－

4，为偶函数，满足题意．∴f(x)＝x－4，∴f12＝12－4＝1124＝16.(2)由f(2a＋1)＝f(a)，可得(2a＋1)－4＝a－4，即2a＋1＝±a，2a＋1≠0，a≠0，解得a＝－1或a＝－13.[课堂思维激活]一、综

合性——强调融会贯通1．已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数．(1)求实数m的值；(2)请画出f(x)的大致图象；(3)若f(2a－1)＞f(a)，a∈R成立，求a的取值范围．解：(1)由函数f(x)是幂函数，则m2＋m－1＝1，解得m＝

－2或m＝1，又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m＝－2.(2)由(1)知，f(x)＝x－2，则f(x)的大致图象如图所示：(3)由(2)知，f(x)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上递减，则由f(2a－1)＞f(a)，得|2a－1|＜|a|，即(2a－1)2＜a2，可

得(a－1)(3a－1)＜0，解得13＜a＜1，又a≠12，∴a的取值范围为13，12∪12，1.二、应用性——强调学以致用2．为了保证信息的安全传输须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文

(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是什么？解：由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出

α的值．由题意得2＝4α，解得α＝12，则y＝x12.由x12＝3，得x＝9.即解密后得到的明文是9.三、创新性——强调创新意识和创新思维3．已知幂函数y＝xα的图象经过点A(0,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(4,2)中的三点，写出满足条件的一个α值．解：当α＝2时，y＝x2经过

A，B，C三点．当α＝12时，y＝x12经过A，B，D三点，答案不唯一．谢谢观看