【文档说明】3.2.1.2 单调性与最大（小）值——函数的最大（小）值（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(49)页，1.213 MB，由飞向未来上传

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3.2.1.2单调性与最大（小）值函数的最大（小）值第二课时函数的最大(小)值(一)教材梳理填空1．函数的最大(小)值最大值最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足(1)∀x∈I，都有_________；

(2)∃x0∈I，使得________(1)∀x∈I，都有_______；(2)∃x0∈I，使得_________那么，我们称M是函数y＝f(x)的______那么，我们称M是函数y＝f(x)的______f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M最大值最小值[思考

]若函数y＝f(x)在区间[a，b]上为增函数，则f(x)的最大值与最小值分别是多少？提示：最大值为f(b)，最小值为f(a)．2．有关函数最大(小)值问题的关注点(1)定义中M首先是一个函数值，它是值

域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0.(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)成立，也就是说，y＝f

(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．(4)求函数在某个闭区间上的最值问题，可以先作出函数的图象，判断其在该区间上的单调性，并加以证明，利用

函数的单调性求函数的最大值和最小值．另外利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小；求某些函数的值域，也常用于解(证)不等式；还可以绘制某些函数的草图等等．(二)基本知能小试1．判断正误(1)若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数

f(x)的最大值．()(2)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素．()(3)如果函数的值域是确定的，则它一定有最值．()(4)函数的最大值一定比最小值大．()(5)若函数f(x)在区间[－1,2

]上是减函数，则函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2.函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．－1,0B．0,2C．－1,2D．12，2解析：由图可知，f(x)的最

大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.答案：C3．设函数f(x)＝3x－1(x＜0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．既有最大值又有最小值D．既无最大值又无最小值解析：∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)＜f(0)＝－1，故选D.答案：D4．函数f(x)＝

1x，x∈[1,2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．解析：∵f(x)＝1x在区间[1,2]上为减函数，∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即12≤f(x)≤1.答案：112题型一图象法求函数的最值问题[探究发现]函数最大值或最

小值与函数图象有什么关系？提示：函数的最大值是f(x)图象上最高点的纵坐标．函数的最小值是f(x)图象上最低点的纵坐标．[学透用活][典例1](1)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)

的最大值为()A．2B．1C．－1D．无最大值(2)求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．[解](1)选B在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图：根据题意，图中实线部分即为函数

f(x)的图象．所以当x＝1时，f(x)max＝1.(2)y＝|x＋1|－|x－2|＝－3，x≤－1，2x－1，－1＜x＜2，3，x≥2.作出函数的图象如图所示，由图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3.[方法技巧]图象法求最值的步骤[变式训练]1．[已知图象求最值

]函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．－2，f(2)B．2，f(2)C．－2，f(5)D．2，f(5)解析：由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时

，有最大值f(5)．答案：C2．[作函数图象求最值]对于每个实数x，设f(x)是y＝4x＋1，y＝x＋2和y＝－2x＋4这三个函数值中的最小值，则函数f(x)的最大值为()A.83B．3C.23D．1

2解析：由题意，可得函数f(x)的图象如图所示．由y＝－2x＋4，y＝x＋2得A23，83，∴f(x)的最大值为83.答案：A题型二利用单调性求函数最值[学透用活]利用单调性求最值的常用结论(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[

a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．(3)如果函数f(x)在区

间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．[典例2]已知函数f(x)＝x＋1x.(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；(2)求f(x

)在[2,4]上的最值．[解](1)证明：设对于任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2.则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x2－1x2＝(x1－x2)·1－1x1x2＝(x1－x2)(x1x2－1)x1x2.∵x2>x1>1，∴x1－x2<0，又∵x1x2>1，∴x

1x2－1>0，故(x1－x2)·(x1x2－1)x1x2<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)内是增函数．(2)由(1)可知f(x)在[2,4]上是增函数，∴当x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(

4)．又f(2)＝2＋12＝52，f(4)＝4＋14＝174，∴f(x)在[2,4]上的最大值为174，最小值为52.[方法技巧]1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．[提醒]

(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．2．分离参数法解决恒成立问题在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解：若对区间D上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>f(x)max；若对于区间D上的任意x，

a<f(x)恒成立，则a<f(x)min；若在区间D上存在x使a>f(x)成立，则a>f(x)min；若在区间D上存在x使a<f(x)成立，则a<f(x)max，其他(如a≥f(x)等)情形类似可得相应结论．[变式训练]1．[实数集上的恒成立问题]已知关于x的不等式x2－x＋a－1≥0在R

上恒成立，则实数a的取值范围是()A.－∞，54B．－∞，54C.54，＋∞D．54，＋∞解析：记f(x)＝x2－x＋a－1，则原问题等价于二次函数f(x)＝x2－x＋a－1的最小值大于或等于0.而f(x)＝x－122＋a－54，当x＝12时，f(x)min＝a

－54，所以a－54≥0，解得a≥54.故选D.答案：D2．[闭区间上的恒成立问题]当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]D．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)解析：记f(

x)＝－x2＋2x,0≤x≤2，因为a＜－x2＋2x恒成立，所以a<f(x)min，而f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x∈[0,2]时，f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.故选C.答案：C3．[闭区间上的最值问题]已知函数f(x)＝2x＋1x＋1.(1)判断

函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．解：(1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：设∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－

f(x2)＝2x1＋1x1＋1－2x2＋1x2＋1＝x1－x2(x1＋1)(x2＋1).因为－1＜x1＜x2⇒x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0⇒f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由

(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值为f(4)＝2×4＋14＋1＝95.题型三二次函数在区间上的最值[探究发现](1)二次函数y＝ax2

＋bx＋c的图象和解析式之间的关系，由哪些关键因素决定？提示：二次函数的图象的开口方向由a决定，对称轴由a，b共同决定，c决定了函数与y轴的交点位置．(2)求二次函数y＝ax2＋bx＋c在区间[m，n]上的最值，

关键因素有哪些？提示：求二次函数y＝ax2＋bx＋c在区间[m，n]上的最值，关键因素是开口方向、对称轴与区间的位置关系．[学透用活][典例3]已知函数f(x)＝x2－ax＋1，(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；(2)当a＝

1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．[解](1)因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝a2，所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当a2≤12，即a≤1时，f

(x)的最大值为f(1)＝2－a；当a2>12，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.(2)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝12.①当t≥12时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；②当t＋1≤12，即t≤－

12时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；③当t<12<t＋1，即－12<t<12时，函数f(x)在t，12上单调递减，在12，t＋1上单调递增，所以f(x)min＝f12

＝34.[方法技巧]1．含参数的二次函数最值问题的解法解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值．[方法技

巧]2．含参数的二次函数最值问题的三种类型(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数．通常都是根据区间端点和对称轴的相

对位置进行分类讨论．[变式训练]1．[求给定区间的最值]已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.(1)当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值；(2)当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值；(3)(定轴动区间)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．解：f(x)＝x2－2x＋

3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．(1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是减函数，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.(2)当x∈[－2,3]时，f(

x)在[－2,3]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.又|－2－1|>|3－1|，所以f(x)的最大值为f(－2)＝11.(3)①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)

＝f(t)＝t2－2t＋3.②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(

t＋1)＝t2＋2，综上得g(t)＝t2－2t＋3，t>1，2，0≤t≤1，t2＋2，t<0.2．[已知最值求参数]二次函数f(x)＝12x2－2x＋3在[0，m]上有最大值3，最小值1，则实数m的取值范围是____

____．解析：因为f(x)＝12x2－2x＋3在[0,2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．则当0<m<2时，f(0)＝3，f(m)＝1，此时无解；当2≤m≤4时，在x＝2处有最小值1，

在x＝0或x＝4处有最大值3，此时条件成立；当m>4时，最大值必大于f(4)＝3，此时条件不成立．综上可知，实数m的取值范围是[2,4]．答案：[2,4]题型四函数最值的实际应用[学透用活][典例4]一个工厂生产某种产品每年需要固定投资10

0万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(

年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解](1)当0＜x≤20时，y＝(33x－x2)－x－1

00＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝－x2＋32x－100，0＜x≤20，160－x，x＞20(x∈N*)．(2)当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，当x＝16时，ymax＝156.

而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．[方法技巧]求解实际问题的4步骤[对点练清]1．用长度为24m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________

m.解析：设隔墙长度为xm，场地面积为Sm2，则S＝x·24－4x2＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18.所以当x＝3时，S有最大值．答案：32．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个

，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1000－10x)个，则y＝(x－40)(1000－10x)＝

－10(x－70)2＋9000.故当x＝70时，ymax＝9000.即售价为70元时，利润最大值为9000元．[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．请先阅读下列材料，然后回答问题．对于问题“已知函数f(x)＝13＋2x－x2，问函数f(x)是否存在最大值或最小值？

若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”一个同学给出了如下解答：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值．故当x＝1时，f(x)有最小值14，没有最大值．(1)你认为上述解答是否正确？若不正

确，说明理由，并给出正确的解答；(2)试研究函数y＝2x2＋x＋2的最值情况．解：(1)不正确．没有考虑到u还可以小于0.正解如下：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4，当0＜u≤4时，1u≥14，即f(x

)≥14；当u＜0时，1u＜0，即f(x)＜0.∴f(x)＜0或f(x)≥14，即f(x)既无最大值，也无最小值．(2)∵x2＋x＋2＝x＋122＋74≥74，∴0＜y≤87，∴函数y＝2x2＋x＋2的最大值为87，无最小值．二、创新性——强调创新意识和创新

思维2．对于函数f(x)，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界，则对于a∈R，a2－4a＋6的下确界为________．解析：设f(a)＝a2－4a＋6，f(a)≥M，即f(a)min≥M.而f(a

)＝(a－2)2＋2，∴f(a)min＝f(2)＝2.∴M≤2.∴Mmax＝2.答案：2谢谢观看